Equazioni di Secondo Grado in Una Variabile, x Complete, Pure e Spurie. Tecniche per risolverle ed Esempi svolti

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1 Equazioni di Scondo Grado in Una Variabil, x Complt, Pur Spuri. Tcnich pr risolvrl d Esmpi svolti Francsco Zumbo Qusti appunti vogliono ssr un ultrior strumnto didattico pr gli studnti. Ida ch mi é vnuta dopo ssr stato a contatto con bambini studnti afftti da Sclrosi Multipla, costrtti a lungh dgnz prsso il Rparto di Nurologia dll Ospdal di Fidnza (Parma), Division Dirtta da una Ecczional prsona, il Prof. Enrico Montanari a cui mia riconoscnza stima andranno Smpr. A coloro ch vorranno dar un piccolo contributo all Associazion Nazional pr la Lotta Contro la Sclrosi Multipla (szion di Parma) un Grand Grazi!!! Conto Corrnt Postal : Intstato a: AISM di Parma (Associazion Italiana Sclrosi Multipla) di Parma - Indirizzo: Piazzal S. Spolcro, Parma (PR) - Tlfono : Con la sgunt Causal: + Matmatica,- Sclrosi Multipla 1. GENERALITÁ Torma 1.1. Torma Fondamntal dll Algbra Data un quazion di grado n (1.1) a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = 0 con a n, a n 1,..., a 0 R (numri Rali), ssa ha n soluzioni x 1, x 2,..., x n ni numri Complssi C, ch soddisfano l quazion. Quindi una quazion di scondo grado ha 2 soluzioni. Ricordiamo ch s c é una soluzion complssa, c é anch la sua coniugata. 1

2 2 Dfinizion 1.2. Equazion di scondo grado Si dfinisc quazion di scondo grado un quazion dov il massimo valor dll sponnt dlla variabil é du. Alcuni smpi (1) 5x 2 + x 7 = 0 (2) x 2 x = 0 () 8x 2 7 = 0 la forma piú gnral di quazion di scondo grado é (1.2) ax 2 + bx + c = 0 con a, b, c numri R. Pr uniformitá di notazion indichrmo, salvo altro splicito avviso, smpr con a il cofficint dlla x 2, con b il cofficint dlla x con c il trmin noto. Dfinizion 1.. Equazion di scondo grado complta Una quazion di scondo grado la si dic complta s i cofficinti a, b, c sono tutti divrsi da zro (1.) ax 2 + bx + c = 0 ad smpio (1.) 5x 2 + x = 0 in qusto caso: a = 5, b =, c = Dfinizion 1.. Equazion di scondo grado pura Una quazion di scondo grado la si dic pura, s manca il trmin noto c. Pr cui si prsnta nlla forma (1.5) ax 2 + bx = 0

3 Dfinizion 1.5. Equazion di scondo grado spuria Una quazion di scondo grado la si dic spuria, s manca il trmin in x. Si prsnta nlla forma (1.6) ax 2 + c = 0 Sia 2. RISOLUZIONE DELLE EQUAZIONI DI 2 o GRADO COMPLETE (2.1) ax 2 + bx + c = 0 una quazion di scondo grado complta, pr prima cosa si dv calcolar il Discriminant (2.2) = b 2 ac succssivamnt l soluzioni dll quazion sono dat dalla (2.) x 1,2 = b ± con x 1,2 intndiamo l 2 soluzioni dll quazion. Pr ottnrl spariamo l soluzioni dividndo il ± nl + nl (2.) x 1 = b + (2.5) x 2 = b (.1). ESEMPIO SVOLTO EQUAZIONE DI 2 o GRADO COMPLETA ax 2 + bx + c = 0 Risolvr la sgunt quazion di 2 o grado 2 x2 + x 5 = 0 iniziamo con il calcolar il m.c.m al fin di liminar l frazioni (.2) 2x 2 + 9x 15 = 0

4 da cui (.) 2x 2 + 9x 15 = 0 a qusto punto abbiamo ridotto l quazion (.1) nlla forma quindi possiamo applicar la (2.2) ax 2 + bx + c = 0 (.) = b 2 ac = (9) 2 (2)( 15) = = 201 (.5) = 201 adsso la (2.) (.6) x 1,2 = b ± = 9 ± 201 in qusto caso continuiamo i calcoli in via dcimal considrando l prim du cifr dopo la virgola (.7) x 1,2 = 9 ± 1, 9 da cui (.8) x 1 = 9 + 1, 9 = 5, 9 = 1, 7 (.9) x 1 = 1, 7 (.10) x 2 = 9 1, 9 = 2, 9 = 5, 9 (.11) x 2 = 5, 9

5 partndo dalla (.6) possiamo procdr in altro modo, snza utilizzar l approssimazion dcimal. Il numro 210 é scomponibil soltanto nl prodotto 210 = 67 ch sono ntrambi numri primi, quindi non ṕossibil portar quantitá fuori dal sgno di radic, pr cui l soluzioni saranno (.12) x 1 = (.1) x 2 = RISOLUZIONE EQUAZIONE DI SECONDO GRADO PURA ax 2 + bx = 0 In qust quazioni si mtt la x in vidnza (.1) x(ax + b) = 0 si ossrva ch affinché un prodotto possa valr 0 almno uno di du fattori x o (ax + b) dv valr 0. La prima soluzion quindi é immdiata (.2) x 1 = 0 la sconda la si calcola partndo da (.) ax + b = 0 qusta é una quazion di 1 o grado di smplicissima risoluzion (.) ax = b 5 (.5) x 2 = b a In dfinitiva l du soluzioni sono (.6) x 1 = 0 x 2 = b a

6 6 (5.1) 5. ESEMPIO SVOLTO EQUAZIONE DI SECONDO GRADO PURA Risolvr l quazion calcoliamo il m.c.m. (5.2) ax 2 + bx = 0 2 x x = 0 x 2 + x 6 = 0 6 ssndo uguali i dnominatori di ntrambi i mmbri (5.) x 2 + x = 0 mttiamo la x in vidnza (5.) x(x + ) = 0 la prima soluzion é (5.5) x 1 = 0 la sconda driva dallo studio di (5.6) x + = 0 (5.7) x = (5.8) x 2 = 6. RISOLUZIONE EQUAZIONE DI SECONDO GRADO SPURIA ax 2 + c = 0 (6.1) ax 2 + c = 0 (6.2) ax 2 = c (6.) x 2 = c a

7 (6.) x 1,2 = ± c a 7 quindi l du soluzioni sono: (6.5) x 1 = c a (6.6) x 2 = c a 7. ESEMPIO SVOLTO EQUAZIONE DI SECONDO GRADO SPURIA ax 2 + c = 0 Studiamo la sgunt quazion di scondo grado spuria (7.1) calcolando il m.c.m. (7.2) x2 1 5 = 0 20x 2 15 = 0 15 (7.) 20x 2 = 0 (7.) 20x 2 = (7.5) x 2 = 20 (7.6) x 1,2 = ± 20 da cui l soluzioni (7.7) x 1 = 20 (7.8) x 2 = 20