Valore del parametro Tipo di Equazione Soluzioni Equazione di I grado x = 4. Equazione Spuria x 1 = 0 x 2 = 5 Equazione Completa con < 0

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1 Equzioni letterli di II grdo Un equzione letterle di II grdo è un equzione che contiene, oltre l letter che rppresent l incognit dell equzione, ltre lettere, dette prmetri, che rppresentno numeri ben determinti, cioè venti vlore costnte m non indicto. L risoluzione di un equzione letterle di II grdo, dett discussione, consiste nel determinre come vrino le sue soluzioni l vrire dei vlori ssunti di prmetri che in ess compiono. In prticolre occorre determinre: per quli vlori dei prmetri l equzione mmette due soluzioni reli e distinte, due soluzioni reli e coincidenti o nessun soluzione rele. per quli vlori dei prmetri l equzione si riduce l I grdo e qundo ess risult determint indetermint o impossibile. Per risolvere un equzione prmetric di II grdo occorre:. Trsformre l equzione nell su form cnonic A + B + C 0 Rccogliere fttor comune i termini in e i termini in, per determinre i coefficienti A, B, C dell equzione, in funzione del prmetro. Studire il cso A 0 (l equzione divent di I grdo) Determinre i vlori di k per i quli A 0 Sostituire tli vlori nell equzione e determinre le soluzioni 3. Studire il cso B 0 (l equzione divent pur) Determinre i vlori di k per i quli B 0 Sostituire tli vlori nell equzione e determinre le soluzioni. Studire il cso C 0 (l equzione divent spuri) Determinre i vlori di k per i quli C 0 Sostituire tli vlori nell equzione e determinre le soluzioni 5. Clcolre il discriminnte b c 6. Studire il cso > 0 (l equzione mmette due soluzioni reli e distinte) Risolvere l disequzione > 0 per determinre i vlori di k per i quli > 0 Determinre le due soluzioni reli e distinte: e 7. Studire il cso 0 (l equzione mmette due soluzioni reli e coincidenti) Risolvere l equzione 0 per determinre i vlore di k per i quli 0 Determinre le soluzioni due soluzioni reli e coincidenti:, 8. Studire il cso < 0 (l equzione mmette due soluzioni complesse e distinte) Risolvere l disequzione < 0 per determinre i vlori di k per i quli < 0 9. Rppresentre il qudro rissuntivo dell discussione dell equzione Rppresentre il qudro rissuntivo con il seguente schem k Equzione di I grdo k Equzione Pur, ± 3 k 3 Equzione Spuri 0 5 Equzione Complet con > 0 Equzione Complet con 0 Equzione Complet con < 0 Equzione indetermint Equzione impossibile Equzione che perde significto Mtemtic

2 Esempio ( k + ) ( k + 3) + k 3 0 A ( k + ) ( k + 3). A 0 (Equzione di I ) k + 0 cioè: 3. B 0 k ; [ ( ) + 3] 3 0 B C k 3 ; 0; (Equzione Pur) k cioè: 3 k ; ; 0; 9 0; ; equzione impossibile.. C 0 (Equzione Spuri ) k 3 0 cioè: k ; 5. ( k + 3) ( k + ) ( k 3) k k ( k 3k + k 3) 0 9 ( k k 3) k k k + 8k k k k 6. > 0; 0 k + > 0 ; 7. 0; 0 k + 0 ; k > 0 0, k + 3 ± 0k + ( k + ) m k ( 0) 9 8. < 0; 0 k + < 0 ; k < Soluzioni complesse , k Equzione di I grdo 3 k Equzione pur Nessun soluzione k 3 Equzione spuri 0 e 9 k > 0 k k 3 k 0 Equzione complet con > 0 Equzione complet con 0 Soluzioni reli e coincidenti, k + 3 ±, 9 0k + ( k + ) k < Equzione complet con < 0 Soluzioni complesse 0 Mtemtic

3 Esempio ++0 A k B ( k +) C A 0 (Equzione di I ) - k 0 +0 ; B 0 (Equzione Pur) - k +0 ; C 0 mi. L equzione non è mi spuri >0 per, 0 per, <0 per nessun vlore di k k 0 Equzione di I grdo k Equzione pur, ± Per nessun vlore di k Equzione spuri k e k 0 Equzione complet con > 0 k e k Per nessun vlore di k Equzione complet con 0 soluzioni reli e coincidenti Equzione complet con < 0 Soluzioni complesse, Esempio ( k ) + k k( k + ) ( k + ) ; m.c.m. ( k + ) 0 ( k ) + ( k + ) ( k ) k k 0 k ; k + ; ( + ) + ( k + 7k ) k 0 A ( k + ) B ( k + 7k ) C k; k ; A 0; Equzione di I ; ( k + ) 0; k + 0; k non ccettbile, perché Dominio. Pertnto l equzione non è mi di I grdo. Mtemtic 3

4 B 0; Equzione Pur; k + 7k 0; k e k non ccettbile, perché Dominio. k per k + 0; 9 0; ; 8 6 0; C 0; Equzione Spuri; k 0; k 0; non ccettbile, perché 0 Dominio. Pertnto l equzione non è mi spuri. b c ( k + 7k ) + k ( k + ) 3 6k + 9k k 6k 8k + 6k + 6k + 6k 3 6k + 7k + 97k + 36k + ( + ) ( 6k + 8k + ) k ( k + ) ( k + ) 3, ± ; ( + ) ( k + ) > 0 > 0 k ; k e ( k + 7k ) ± ( k + ) ( k + ), k 7k + ± ( k + ) ( k + 9k + ) ( k + ) k k 8k 6k ( k + ) k + ( k + ) 7k + ± ( k + ) ( k + ) ( k + ) 8k ( k + ) k ( k + ) ( k + ) ( k + ) ( ) ( k + ) k + 0; per k. Per k l equzione perde di significto, perché Dominio Per k, < 0; per nessun vlore di k k 0 e k Equzione che perde significto Per nessun vlore di k Equzione di I grdo k Equzione Pur Per nessun vlore di k Equzione Spuri k 0 k k Equzione Complet con > 0 k Equzione Complet con 0 Per nessun vlore di k Equzione Complet con < 0, ± 9 k e k ( + ), 7 k ( + ) Mtemtic

5 Esempio 3+0 A B 3 C A 0 (Equzione di I ) - 0; 0 0 equzione impossibile. L equzione non è mi di I grdo, non è mi pur, non è mi spuri. Se 0, cioè se 0 si h: >0 0, 0 per 0. M tle vlore non è ccettbile perché per tle vlore l equzione è impossibile. <0 per nessun vlore di. 0 Equzione impossibile 0 Equzione complet con > 0 e Esercizio A B 3 C A 0 qundo 0. In questo cso però nche B 0. Risult: 0 l equzione è impossibile. L equzione non è mi di I grdo. L equzione non è mi pur. L equzione non è mi spuri. Per 0 il discriminnte è: 9 8 Essendo il discriminnte: >0 0 l equzione mmette sempre due soluzioni reli e distinte, per 0. M tle vlore non è ccettbile perché per tle vlore l equzione è impossibile. <0 per nessun vlore di. 0 Equzione impossibile 0 Equzione complet con > 0 e Mtemtic 5

6 Esercizio ; A B C A 0 qundo 0. In questo cso però nche B 0. Risult: 0 l equzione è impossibile. L equzione non è mi di I grdo. L equzione non è mi pur. L equzione non è mi spuri. Per 0 si h: Essendo il discriminnte:, >0 0 l equzione mmette due soluzioni reli e distinte: per 0. M tle vlore non è ccettbile perché per tle vlore l equzione è impossibile. <0 per nessun vlore di. 0 Equzione impossibile 0 Equzione complet con > 0 3 e + 3 Esercizio ; + 0 A B C A 0 qundo 0. In questo cso però risult: 00 l equzione è indetermint. L equzione non è mi di I grdo. L equzione non è mi pur. L equzione non è mi spuri. Per 0 si h: +8 9 Essendo il discriminnte: 9 >0 0, l equzione mmette due soluzioni reli e distinte: per 0. M tle vlore non è ccettbile perché per tle vlore l equzione è indetermint. <0 per nessun vlore di. 0 Equzione indetermint 0 Equzione complet con > 0 e Mtemtic 6

7 Esercizio ; ; ; 0 A B A 0 mi. L equzione non è mi di I grdo. C B 0 Equzione pur: 0; y ; y, m 0 C 0; Equzione spuri: 0 ; ; y 0; y 0 ; y + y 0 y y ; Essendo il discriminnte: >0, non è mi ugule zero o negtivo. y 0 y 0 e e y y + l equzione mmette due soluzioni reli e distinte: Per nessun vlore di Equzione di I grdo Equzione pur 0 e 0 Equzione Spuri y, m Equzione Complet con > 0 e Mtemtic 7

8 Esercizio A L equzione non è mi di I grdo. L equzione non è mi pur. C 0; Equzione spuri: b ( b) 0; b 0 b + ; B C b( b) t + t 0 t + t 0 t 0 t 0 Se il discriminnte >0 cioè se 0 cioè se l equzione mmette due soluzioni reli e distinte:, Se il discriminnte 0 cioè se 0 cioè se l equzione mmette due soluzioni reli e coincidenti:, <0 per nessun vlore di b. e e t t b 0 e b Equzione Spuri t 0 e t b 0 b b b Equzione Complet con > 0 b e b Equzione complet con 0, Soluzioni reli e coincidenti Mtemtic 8

9 Esercizio Per 0 si h: 0 l equzione perde significto. Per 0 si h: ; ++ 0 ; moltiplicndo per 0 si ottiene: ; dividendo per si ottiene: A B C Dto che il prmetro non può essere nullo, l equzione non è mi di I grdo e non è mi pur. C 0; Equzione spuri: 0; t + t 0; t 0 e t + ; Essendo: >0 ; per h, per 0 +, 0 l equzione mmette due soluzioni reli e distinte 0 Equzione che perde significto Equzione Spuri t 0 e t 0 Equzione Complet con > 0 e Equzione complet con 0, Soluzioni reli e coincidenti Mtemtic 9

10 Esercizio Per 0 0 l equzione perde significto. Per 0 0 moltiplicndo per il... 0 si ottiene: ; rccogliendo fttor comune si ottiene: ; +3 0 ; In questo cso non conviene effetture il prodotto per ovvi motivi di clcolo ; ; ; Se 0 ; cioè se: si hnno le due soluzioni: + Se 0 ; cioè se: per l legge dell nnullmento del prodotto si h: d cui si ottiene: L second equzione è impossibile. Mentre l prim divent: e b 0 Equzione che perde significto 0 b 0 b Equzione di I grdo 3 0 b 0 b Equzione Complet con > 0 + b e Se invece si effettu il prodotto: si ottiene: ( 5b 3) b dll qule si possono ricvre nche i vlori dei prmetri e b per i quli l equzione è pur e spuri. Mtemtic 0

11 Esercizio Per 0 0 l equzione perde significto. Per 0 0 moltiplicndo per il si h: ; A 3 B ( + b) C + b A 0 qundo 0. M per tle vlore l equzione perde significto. Pertnto non è mi di I grdo. B 0 qundo 0 o b. M per tli vlori l equzione perde significto. Pertnto non è mi pur. C 0 qundo b. Per tle vlore l equzione divent: ; 0 ; 0 0 ; >0 per, 3 Mentre se:, + 3 l equzione mmette due soluzioni reli e distinte l equzione mmette due soluzioni reli e coincidenti b 0 b Equzione che perde significto b Equzione spuri 0 e b 0 b 0 b b b Equzione Complet con > 0 Equzione complet con 0 Soluzioni reli e coincidenti + b e 3b, Mtemtic

12 Risolvi in R le seguenti equzioni letterli di II grdo incomplete pure, discutendole Esercizio.7 0 Per 0 si h: 0 l equzione è impossibile. Per 0 si h: ; cioè: ; l qule mmette due soluzioni reli ed opposte, Concludendo: per 0 l equzione è impossibile. se >0. per >0 l equzione mmette due soluzioni reli ed opposte, Esercizio.7b 0 Per 0 si h: 0 l equzione è impossibile. Per 0 si h: ; ; l equzione h due soluzioni reli ed opposte,. Esercizio.7c Per 0 l equzione mmette due soluzioni reli e coincidenti, 0 Per 0 l equzione mmette due soluzioni reli ed opposte, Esercizio.7d 0 Per 0 0 si h: 00 l equzione è indetermint. Per 0 0 si h: 0 l equzione è impossibile. Per 0 0 si h: 0 l equzione h due sol. reli e coincidenti, 0 Per 0 0 l equzione h due soluzioni reli e distinte:, Mtemtic

13 Esercizio.7e + 0 Per 0 si h: 0 l equzione h due soluzioni reli e coincidenti, 0 Per 0 si h: l equzione è impossibile. Esercizio.7f 0 Per 0 si h: 00 l equzione è indetermint. Per 0 si h: 0 l equzione è impossibile. Per 0 si h: 0 l equzione h due sol. reli e coincidenti, 0 Per > 0 l equzione h due soluzioni reli e distinte:, Per < 0 l equzione è impossibile Per < 0 si h: 0 l equzione h due sol. reli e coincidenti, 0 Mtemtic 3

14 Risolvi in R le seguenti equzioni letterli di II grdo incomplete spurie, discutendole Esercizio.7g 30 Per 0 si h: 30 Per 0 si h: l equzione h un soluzione rele 0 l equzione h due soluzioni reli e distinte: Esercizio.7h 0 Per 0 si h: 0 l equzione h due soluzioni reli e coincidenti, 0 Per 0 si h: l equzione h due soluzioni reli e distinte: Esercizio.7i Per 3 0 cioè per 3 si h: 0 Per 3 0 cioè per l equzione h due soluzioni reli e coincidenti, 0 l equzione h due soluzioni reli e distinte: 0 3 Esercizio.7l Per +0 cioè per si h: 0 Per + 0 cioè per l equzione h un soluzione rele 0 l equzione h due soluzioni reli e distinte: 0 + Mtemtic

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