Equazioni di 2 grado. Definizioni Equazioni incomplete Equazione completa Relazioni tra i coefficienti della equazione e le sue soluzioni Esercizi

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1 Equzioni di grdo Definizioni Equzioni incomplete Equzione complet Relzioni tr i coefficienti dell equzione e le sue soluzioni Esercizi Mteri: Mtemtic Autore: Mrio De Leo

2 Definizioni Un equzione è: Un uguglinz tr due espressioni lgebriche, in un o più vribili, che risulti verifict solmente per prticolri vlori ttribuiti lle vribili che in ess figurno. Le vribili sono dette incognite dell equzione (in genere si usno l, l y, ). Le equzioni lgebriche rzionli sono così clssificbili: NUMERICHE: se non figurno ltre lettere oltre l incognit; LETTERALI: se oltre l incognit figurno ltre lettere; INTERE: se l incognit non figur l denomintore; FRATTE: se l incognit figur nche, o solo, l denomintore. Il grdo di un equzione è dto dl grdo mssimo dell incognit presente nell equzione. Il grdo di un equzione è pri l numero delle possibili soluzione dell equzione stess.

3 Risolvere un equzione vuol dire trovrne le soluzioni (rdici). Può drsi che un equzione non mmett soluzioni, cioè non esist lcun vlore delle incognite che l verifichi; si dice llor che l equzione è impossibile (dllo svolgimento otterremo 0=n). In quelle di grdo ciò può dipendere dl Δ, o (in quelle frtte) dll nnullmento del denomintore. Potremo scrivere nche (simbolo di insieme vuoto). Può drsi che un equzione mmett un numero illimitto di soluzioni; si dice llor che l equzione è indetermint (in effetti è un identità e dllo svolgimento otterremo 0=0). Un equzione che mmette un numero finito di soluzioni si dice determint. Un equzione è di secondo grdo qundo il termine incognito h come grdo mssimo il secondo. 0 L su form complet è: (, b, c sono i coefficienti dell equzione) b c

4 Equzioni incomplete Posto che perché l equzione si di grdo deve sempre essere 0 si possono presentre i seguenti csi: ) Equzione spuri: (mnc il termine noto) b 0 c 0 L equzione vrà l form b 0 in cui mettendo in evidenz l incognit si vrà b 0 che srà soddisftt, per l legge dell nnullmento del prodotto (un prodotto è nullo se lmeno uno dei fttori è b 0), d 0 e d ESEMPIO: 0 0 0

5 ) Equzione pur: (mnc il termine di primo grdo) l equzione vrà l form l primo membro si vrà si vrà / c b 0 c 0 c 0 in cui isolndo l incognit c d cui, essendo c c ESEMPI: ) ) ) perché nessun 9 l' equzione è qudrto 7 impossibile è negtivo 7 ) Equzione monomi: (h solo il termine di grdo) b 0 c 0 l equzione vrà l form 0 d cui segue che 0 e per l legge dell nnullmento del prodotto 0 le soluzioni srnno: 0 0

6 Equzione complet Prtendo dll form complet b c 0 si moltiplicno entrmbi i membri per 4 e si ggiunge d entrmbi i membri b ottenendo d cui ricvndo l si h: 4 4b 4c b b che è l formul risolutiv dell equzione. d cui spostndo 4c 4 4b b b 4c e operndo lgebricmente b b 4c b b 4c b b 4c b b 4c ESEMPIO: pplicndo l formul vremo: 4 4 4

7 Nel cso in cui b è pri si può utilizzre un formul ridott: ESEMPIO: DISCRIMINANTE L quntità è dett discriminnte dell equzione e si indic con l letter (delt miuscol). Dl suo vlore dipende il tipo di rdici (soluzioni) dell equzione di grdo, ed in prticolre: se 0 rdici reli e distinte (due soluzioni diverse): = 0 rdici reli e coincidenti (due soluzioni uguli); 0 rdici non reli (nessun soluzione). b 4c c b b / 4 0

8 Relzioni tr i coefficienti di un equzione di grdo e le sue soluzioni Si possono utilizzre le soluzioni per ricvre l equzione che le h generte nei seguenti due modi: b c ) Prtendo dlle formule e per ottenere l equzione nell su form generle si può usre l formul: ESEMPIO: Dte le soluzioni d cui b) Oppure si può ottenere l equzione nell su form generle utilizzndo l formul: ( clcolndo il 0 0 m. c. m.) vremo pplicndo l 0 0 formul otterremo : 0 0

9 ESEMPIO: Dte le soluzioni d cui 0 ( clcolndo il m. c. m.) vremo pplicndo 0 0 Regol di Crtesio Permette di spere il segno delle soluzioni e qule delle due è mggiore in vlore ssoluto, ricvndole di segni dei coefficienti, b e c nel modo riportto in tbell; d ogni permnenz di segno corrisponde un soluzione negtiv, d ogni vrizione di segno corrisponde un soluzione positiv. l formul otterremo : 0 0 b c permnenze di segno si ottiene vrizioni di segno + _ + si ottiene + + vrizione e permnenz + si ottiene + _ Se l equzione h rdici discordi l rdice di vlore ssoluto mggiore è positiv qundo l vrizione precede l permnenz, ed è invece negtiv nel cso in cui l permnenz precede l vrizione. permnenz e vrizione + + _ si ottiene _ +

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