E U Q A U Z A I Z O I N O I N DI SE S C E O C N O DO

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1 EQUAZIONI DI ECONDO GRADO Riepilogo delle soluzioni in bse l segno di < φ : b > : b b Prof I voi,

2 EQUAZIONI DI ECONDO GRADO EQUAZIONI PURE DI ECONDO GRADO : EEMPI ) ) ) 7 7 ) > φ (impossibile) ) impossibil ) ( ) ( ) > φ ( impossibile ) ) ( ) { } 7) ) ( ) ( )( ) ( ) ) ( ) ( ) { } ) ) ( ) ( ) { } ) Equzioni riconducibili equzioni pure: ( Ù ) ) { } ) ) ( ) φ (impossibile) ) ( ) { } ) Prof I voi,

3 EQUAZIONI EQUAZIONI EQUAZIONI EQUAZIONI DI DI DI DI ECONDO ECONDO ECONDO ECONDO GRADO GRADO GRADO GRADO Prof Prof Prof Prof I I I I voi voi voi voi, EQUAZIONI EQUAZIONI EQUAZIONI EQUAZIONI DI DI DI DI ECONDO ECONDO ECONDO ECONDO GRADO GRADO GRADO GRADO PURIE: PURIE: PURIE: PURIE: EEMPI EEMPI EEMPI EEMPI ) ) ) ) ( ) /, ) ) ) ) ( ) { } ) ) ) ) / / ( ) ( ) / ) ) ) ) ) ) ) ) ( ) ) ) ) ) ( ) / / 7) 7) 7) 7) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ) ) )

4 EQUAZIONI DI ECONDO GRADO EQUAZIONI DI ECONDO GRADO COMPLETE: EEMPI CAO < <: ) < φ ) ) ( ) ( ) < φ ) ) ( ) < φ ( ) < φ ) ) CAO ) ) ( ) Not: oltre ll formul, per risolvere l'equzione con, si può nche riconoscere il qudrto di binomio che viene poi nnullto: ( ) ( ) ( ) / ) Not: oltre l riconoscimento del qudrto di binomio, si può nche usre l formul: ( /) : ( /) / b :() 7) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } Formul : : ( ) Prof I voi,

5 EQUAZIONI EQUAZIONI EQUAZIONI EQUAZIONI DI DI DI DI ECONDO ECONDO ECONDO ECONDO GRADO GRADO GRADO GRADO Prof Prof Prof Prof I I I I voi voi voi voi, CAO CAO CAO CAO Δ>: >: >: >: ( ) ( ) / ) ) ) ) ( ) ( ) / / ) ) ) ) > ( ) / ) ) ) ) ) ) ) ) ( ) ( ) ) ) ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } ) ) ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ) ) ) { } / ) ) ) )

6 EQUAZIONI DI ECONDO GRADO FORMULA RIDOTTA : b b c b c, > b n ) / / ( ) ) / ) ( ) / EERCIZI CON OLUZIONE EQUAZIONI PURE E RICONDUCIBILI A PURE ) ) ) { } ) ) Φ ) Φ ) 7 7) ) 7) ( ) ( ) ( ) { } ) ) ) { } ) ( ) { } ) ( ) Φ ) ( ) { } EQUAZIONI PURIE ) ) ) ) ( ) ( ) ( ) { } ) ) ) ) { } ) 7) ) ( ) ( ) 7 { } ) ) { } 7) ( ) ( ) ( ) { } ) ( ) ( ) { 7 } ) ( ) ( ) { } ) 7 Prof I voi,

7 EQUAZIONI DI ECONDO GRADO EQUAZIONI COMPLETE DI ECONDO GRADO: EERCIZI CON OLUZIONE ) ) ) { } ) ) 7 ) 7) ) ) ) ( ) ( ) ) ) ) { Φ} ) ) ( ) ) ) ) ( 7 ) 7 ( ) ) ( ) ( ) ) ) ) ( ) ( ) ) { Φ} ) ( ) ( ) ( ) { } FORMULA RIDOTTA PER EQUAZIONI n n c n c : ) 7) 7) { } ) ) ) { } ) ) 7 Prof I voi,

8 EQUAZIONI DI ECONDO GRADO Prof I voi,

9 EQUAZIONI DI ECONDO GRADO Prof I voi,

10 EQUAZIONI DI ECONDO GRADO EQUAZIONI INTERE DI ECONDO GRADO: CHEMA RIAUNTIVO Prof I voi,

11 EQUAZIONI DI ECONDO GRADO A COMPOIZIONE E EGNO DEL TRINOMIO: EEMPI Prof I voi,

12 EQUAZIONI DI ECONDO GRADO chem riepilogtivo sul segno del trinomio Prof I voi,

13 EQUAZIONI DI ECONDO GRADO GRAFICI DELLA FUNZIONE PARABOLA AOCIATI AL TRINOMIO DI ECONDO GRADO y b c b c Esercizi sull scomposizione e segno del trinomio con soluzione ) : > < / >, /, < < < / ) : > / < <, /, < / > ) : > R ) : > < / >, / < / < < ) : > /, / ) : < /, / 7) : <, ) : > R Prof I voi,

14 EQUAZIONI DI ECONDO GRADO EQUAZIONI FRATTE : PROCEDIMENTO DI RIOLUZIONE I O TEP Determinre le condizioni di esistenz (CE) delle frzioni lgebriche presenti nelle equzioni di prtenz dopo verne eventulmente scomposto i denomintori II O TEP Moltiplicre l'equzione per il minimo comune denomintore delle frzioni lgebriche per poi risolvere l'equzione inter ottenut III O TEP Esminre le soluzioni ottenute scrtndo le eventuli soluzioni che non pprtengono l cmpo di esistenz EQUAZIONI FRATTE: EEMPI VOLTI ) 7 CE : 7 ( 7) ( ) ( ) ( ) { } ) CE : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 ( ) 7 7 / ) CE : ( ) ( ) ( ) ( ) { } CE ccettt CE scrtt Prof I voi,

15 EQUAZIONI DI ECONDO GRADO ) 7 CE : 7 ( ) ( ) CE scrtt 7 ( ) ( ) { } CE ccettt ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 7 ( ) 7 CE : { } ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } CE : 7 CE ( ) ( ) CE 7) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 < Φ CE : Prof I voi,

16 EQUAZIONI EQUAZIONI EQUAZIONI EQUAZIONI DI DI DI DI ECONDO ECONDO ECONDO ECONDO GRADO GRADO GRADO GRADO Prof Prof Prof Prof I I I I voi voi voi voi, M ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } CE : CE CE CE ) ) ) ) CE CE CE CE ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 7/ CE : CE CE CE ) ) ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } CE : CE CE CE ) ) ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } ) ) ) )

17 EQUAZIONI EQUAZIONI EQUAZIONI EQUAZIONI DI DI DI DI ECONDO ECONDO ECONDO ECONDO GRADO GRADO GRADO GRADO Prof Prof Prof Prof I I I I voi voi voi voi, EQUAZIONI EQUAZIONI EQUAZIONI EQUAZIONI FRATTE: FRATTE: FRATTE: FRATTE: EERCIZI EERCIZI EERCIZI EERCIZI CON CON CON CON OLUZIONE OLUZIONE OLUZIONE OLUZIONE { } ) ) ) ) { } 7 ) ) ) ) { } ) ) ) ) { } ) ) ) ) { } ) ) ) ) ) ) ) ) { } 7) 7) 7) 7) ) ) ) ) { } ) ) ) ) { } ) ) ) ) { } ) ) ) ) ) ) ) ) { } ) ) ) ) ) ) ) ) { } ) ) ) ) { } ) ) ) ) { } 7) 7) 7) 7) ) ) ) ) { } ) ) ) ) ) ) ) ) ) Φ ) ) ) )

18 EQUAZIONI DI ECONDO GRADO RELAZIONI TRA LE OLUZIONI DELL'EQUAZIONE b c E I UOI COEFFICIENTI b c b/ c / b c b b b b b c b c ( ) ( b )/( ) ( b )/( ) ( b ) ( b ) b b b c b 7 ( ) c b c c ( ) b c / c / c b c c c b ( ) ( ) c b bc b bc b c / / bc b c Prof I voi,

19 EQUAZIONI DI ECONDO GRADO EQUAZIONI PARAMETRICHE Equzione prmetric di o grdo : equzione nell qule i coefficienti dell'incognit () sono delle espressioni letterli di un prmetro (k) d cui dipendono I prmetri, denotti in genere dlle lettere "k" oppure "m" o "p", differenz delle vribili (l stess ), posssono ssumere un numero limitto di vlori in relzione lle proprietà delle soluzioni d rispettre Per indicre che i coefficienti dipendono in generle dl premetro k, scrivimo l'equzione: ( k) b( k) c( k), ( k) Un equzione prmetric è ssocit d lcune condizioni lle quli le sue soluzioni, o rdici, devono soddisfre e tli condizioni si trducono in genere in relzioni lgebriche che coinvolgono i coefficienti in bse dlle quli si possono ricvre i vlori d ttribuire l prmetro k Un volt ottenuti uno o più vlori del prmetro, questi vengono sostituiti nell'equzione prmetric che viene così trsformt in un o più equzioni numeriche ( generlmente di primo o di secondo grdo) d risolvere con le bituli tecniche Ad esempio si consideri l'equzione k ( k ) k ssocit ll condizione: Un soluzione ugule : quest viene trdott dll relzione che si ottiene sostituendo il numero nell'equzione stess: ( k ) k k k k k k k ostituimo il vlore ottenuto nell'equzione prmetric e risolvimo l'equzione numeric: k k ( k ) k ( ) ( ) { } Relzioni tr coefficienti e soluzioni: in un equzione di secondo grdo nei csi, le principli relzioni d dovere considerre per risolvere le equzioni prmetriche sono: b somm delle rdici espress dll relzione c prodotto delle rdici espress dll relzione ( k) ( k) ( k) ( k) somm dei reciproci delle rdici espress dll relzione discriminnte dell'equzione dell'equzione [ b( k) ] ( k) c( k) [ ( k) ] ( ) b c ( k) ( k) [ ] Le relzioni del prmetro k che si ottengono possono essere, loro volt, delle equzioni di o grdo il cui discriminnte viene d or indicto con k Prof I voi,

20 EQUAZIONI DI ECONDO GRADO ) Dt l'equzione prmetric prmetric k ( k ) k ) l somm delle soluzioni è ugule b c, determinre k per cui: b) Il prodotto delle soluzioni è ugule c) Un soluzione è null d) Un soluzione è ugule e) L somm dei reciproci vle ) k ( k ) b) k 7 7 volgimento k k k k k k k / k ( k ) 7 7 c) k d) k k k k k k k k / 7 k k k k 7 7 k ( k ) k ( ) ( ) ( k ) ( ) ( k ) k e) / k k k k k k k k / k ( k ) k Impossibile k k k k k k k < Prof I voi,

21 EQUAZIONI DI ECONDO GRADO ) Dt l'equzione prmetric k prmetric k ( k) k, determinre k per cui: ) le soluzioni coincidono b) un soluzione è null c) un soluzione è oppost del reciproco dell'ltr d) un soluzionè è ugule e) soluzioni opposte volgimento ) le soluzioni coincidono: k ( ) k ( k) k( k) ( ) k b) un soluzione è null: ( ) k ( k) k k ( ) / k k k 7 k / k k k k c) un soluzione è oppost del reciproco dell'ltr: k / k k impossibile k d) un soluzionè è ugule : 7 ( ) ( k) k e) soluzioni opposte: 7 ( ) k k k k k k 7 k 7/ /7 k k, / Prof I voi,

22 EQUAZIONI DI ECONDO GRADO ) Dt l'equzione prmetric prmetric ( k ) k k k, determinre k per cui: ) le soluzioni coincidno b) L somm delle soluzioni si ugule c) Un soluzione si null d) Il prodotto delle soluzioni vlg e) Le rdici sino opposte f) L somm dei qudrti delle rdici vle g) L somm dei reciproci delle rdici vle h) L somm dei reciproci dei qudrti delle rdici vle / volgimento ) k ( k ) k k ( k) ( k ) ( k) ( ) k / k k k k ( ) k k k / ( ) k ( k ) k k ( ) b) ( k ) : c) d) k k k k k k k k k k k k ( k ) k k ( ) : / ( k ) : k k k k k k k / k k e) k ( k ) k k k Continu Prof I voi,

23 EQUAZIONI DI ECONDO GRADO f) k k ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) k k ( ) k k k k k k k k k k k k k k / k k k k ( k ) ( ) ( ) k / scrtto k k, k k k / k, g) ( k ) k k k k k k k k k, b h) dll relzione e c k, si perviene ll'equzione equzione: k k k k ( k ) ( k ) ( k) k d cui semplificndo e moltiplicndo k k k dopo k k c, dopo vere sostituito k, b k c vere sviluppto il numertore si h: k ( k ) per ( k k ) sih: / k Per brevità vengono trlsciti i pssggi dell sostituzione dei due vlori del prmetro sopr ottenuti nell'equzione di prtenz e l determinzione delle sue soluzioni Come si not, lo svolgimento dell'ultimo esercizio reltivo ll'ultimo punto h) è tutt'ltro che semplice e richiede numerosi pssggi, ottenendo delle soluzioni numericmente poco ttrenti Ciò si verific in tutti i csi nei quli ogni coefficiente dell'equzione prmetric è un espressione del prmetro ed in presenz di vlori numerici che non fcilitno il clcolo Per ltro, in lcuni csi più fortunti, e in prticolre qundo le condizioni sul prmetro sono poche o più semplici, il clcolo ne viene fsensibilmente vvntggito Prof I voi,

24 EQUAZIONI DI ECONDO GRADO Rpporto costnte fr le rdici Dt un equzione b c, l condizione che il rpporto fr le soluzioni si un numero rele "r" per cui vlg l relzione r, si trduce nello svolgere il sistem: _ r r b ( r) c c r b r ( r) b r r b c Il sistem port risolvere due distinti sistemi con due soluzioni seprte l cui unione fornisce l soluzione generle richiest dll condizione inizile impost r Un metodo lterntivo, del qule si riportno lcuni pssggi lgebrici, consiste nel risolvere l'equzione seguente: b r ( b ) b ( r) ( r) b ( r) ( r) b r b r r b r b ) Dt l'equzione k k, determinre k per cui un rdice è il triplo dell'ltr volgimento k k k k k k k k k k k k k / Prof I voi,

25 EQUAZIONI DI ECONDO GRADO ) Dt l'equzione l'equzione ( k ) ( k ) k, determinre k tle che: ) le soluzioni reli coincidno b) le soluzioni reli sino distinte c) le somm delle rdici si d) il prodotto delle rdici si e) un soluzione si f) un soluzione si g) l somm dei reciproci si ) ( k ) ( k )( k ) ( k ) ( k ) ( ) k k / k volgimento k k k k k k k k b) > k > k > k > k > c) ( k ) k ( k ) ( k ) < impossibile d) e) ( k ) ( k ), k k k k k k k k k k k / k k k ( k ) ( k ) ( ) : k k k Prof I voi,

26 EQUAZIONI DI ECONDO GRADO f) ( k ) ( ) ( k ) ( ) k k k / ( k ) ( k ) k < impossibile k k k k 7 7 g) b b b c c k k k 7 k 7 ( k ) ( k ) k 7 ( k ) k ( k ) c k k / ) Determinre i vlori di per i quli l'equzione ) due rdici reli e distinte b) un rdice null c) medi ritmetic delle rdici ugule d) volgimento ) > k > k > k < l'equzione ( k ) k k ( k ) ( k k ) ( k ) ( k k ) ( k ) : k b) k k k k > k c) d) k k ( k ) k k k ( k k ) k k k k ( k ) k k k k { } k k k k mmett: k k > Prof I voi,

27 EQUAZIONI DI ECONDO GRADO 7) Dt l'equzione l'equzione ( k ) k determinre k per cui vlgno le condizioni: ) b) c) volgimento ) ( k ) ( k ) ( k) ( k ) ( k ) k k b) k ( k ) ( k ) ( ) ( ) k k k k 7 k ( k ) ( k ) [ ( k ) ] ( k ) k k ( k ) k ( k ) ( k ) [ k 7] ( k ) ( k ) ( k ) c) k ( k ) ( k ) k ( k ) ( k ) k k 7 k k ( k ) ( k ) [ ( k ) ] k k ( k ) ( k ) ( k ) [ k 7] ( k ) ( k ) ( k ) 7 Prof I voi,

28 EQUAZIONI DI ECONDO GRADO EQUAZIONI PARAMETRICHE: EERCIZI CON OLUZIONE ) Dt l'equzione l'equzione ( k ) k, determinre i vlori del prmetro k per i quli: - le soluzioni coincidono { k } b- un soluzione è null { k } c- l somm delle soluzioni vle { k } d-il prodotto delle soluzioni vle { k ) Dt l'equzione, determinre i vlori di k per i quli: opposte { Φ } l'equzione ( k ) k - le soluzioni sono opposte b- le soluzioni sono reciproche { k } c- l somm delle soluzioni vle { k } d-il prodotto delle soluzioni vle k / { } ) Dt l'equzione l'equzione ( k ) k, determinre i vlori di k per i quli: - le soluzioni sono coincidenti { Φ } b- l somm delle soluzioni è { k } c- le soluzioni sono reciproche { k } d-un soluzione è { k / } e- un soluzione è { Φ } ) Dt l'equzione l'equzione ( k ) k k k, determinre i vlori di k per i quli: - le soluzioni sono coincidenti { k / } b- l somm delle soluzioni è { k } c- le soluzioni sono reciproche { Φ } d-un soluzione è { k } e- l somm dei reciproci delle soluzioni è k } ) Dt l'equzione k k, determinre i vlori di k per cui: ) Esistono due rdici coincidenti b) Esistono due rdici reli distinte coincidenti { k / } distinte { k > / } Prof I voi,

29 EQUAZIONI DI ECONDO GRADO ) Determinre k per cui l'equzione k l'equzione ( k ) k k soddisfi le condizioni: ) un soluzione null { k } b) un soluzione ugule { Φ} c) somm delle soluzioni ugule { k / } d) prodotto delle soluzioni ugule { k } e) prodotto delle soluzioni ugule { k } f) rdici opposte reciproche reciproche { k /} g) somm dei reciproci delle soluzioni ugule { k } 7) Determinre k per cui l'equzione k l'equzione ( k ) k soddisfi le condizioni: ) { } k b) { / } k c) { k /} d) k e) { k } ) Determinre k per cui l'equzione k l'equzione ( k ) k ( k ) soddisfi le condizioni: ) k b) { } k c) k Prof I voi,

30 EQUAZIONI DI ECONDO GRADO ) Determinre k per cui l'equzione l'equzione ( k ) ( k ) soddisfi le condizioni: ) k k b) { k } c) { } k d) 7 k e) k f) k 7 ) Determinre ) b) k per cui l'equzione l'equzione ( k ) k k k bbi le proprietà: k k 7 c) { k } d) { k } f) k ) Determinre k per cui l'equzione l'equzione ( k ) k k k rispetti le relzioni: ) b) c) { k } b) ( ) { k } { k } Prof I voi,

31 EQUAZIONI DI ECONDO GRADO DIZIONARIO DEI IMBOLI " " mggiore o ugule, " " minore o ugule " " pprtiene, " " non pprtiene " " esiste non esiste per ogni " " unione di insiemi " " intersezione tr insiemi " " conguntivo "o", oppure unione di elementi o di soluzioni " " congiuntivo "e", oppure intersezione di elementi o di soluzioni "" implic il pssggio seguente destr " " implic il pssggio seguente verso il bsso " " è equivlente INDICE DEI CONTENUTI Digrmmi sulle equzioni di secondo grdo P Equzioni pure di secondo grdo: esempi P Equzioni spurie di secondo grdo: esempi P Equzioni complete di secondo grdo: esempi P Formul ridott: esempi P Equzioni pure e spurie: esercizi con soluzione P Equzioni complete : esercizi con soluzione P 7 Proprietà delle soluzioni, scomposizione e segno del trinomio P Equzioni intere di secondo grdo: schem rissuntivo P composizione e studio del segno del trinomio: esempi P chem rissuntivo sul segno del trinomio P Grfici dell funzione prbol ssociti l trinomio P Esercizi con soluzione su scomposizione e segno del trinomio P Equzioni frtte: procedimento di risoluzione P Equzioni frtte: esempi svolti P Equzioni frtte: esercizi con soluzione P 7 Relzioni tr le soluzioni e i coefficienti del trinomio P Equzioni prmetriche: P Equzioni prmetriche: esempi svolti P Rpporto costnte tr le rdici e reltivi esempi P Equzioni prmetriche: esercizi con soluzione P 7 Prof I voi,