6 Equazioni di primo grado

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1 CPT, 695 Canoio 6 Equazioni di primo grado Risolvere le seguenti equazioni: 1) (x + )(6x 1) 9 = 15x (x )(x ) ) ) x x x 6 + = x + x x 4 Situazioni introduttive Le equazioni consistono in un uguaglianza tra due espressioni algeriche per la quale si cercano i valori da attriuire a una o più lettere in modo tale che la verifichino. Le equazioni daranno la possiilità di risolvere i prolemi che si incontreranno in amito professionale e nei corsi di MPT. Le equazioni possono essere classificate nel modo seguente: Rispetto al numero di incognite ai termini ai coefficienti al tipo di soluzioni all operazione indicata dall incognita Denominazione: equazione a 1 incognita a incognite a incognite intera fratta o frazionaria numerica letterale determinata indeterminata impossiile di primo grado di secondo grado di grado superiore irrazionale esponenziale logaritmica trigonometrica Esempi: x + 5 = 6 x + y = 10 x + y + z = 6 x + 5 = 6x x = 0 x x 1 4 x(x + ) = 0 ax + = 5 a x = 6 x = 0x = 0 x R x + 1 = x 4 x = 0 x = 9 4 x + x x = x x + = 4 x = 16 log( x) = cos( x) = 1 non ci sono soluzioni B.1

2 CPT, 695 Canoio Vediamo qui di seguito i principali termini utilizzati nell amito delle equazioni: Terminologia Definizione Esempi Uguaglianza Caratterizzata dal simolo: = Equazione Equazione letterale Risolvere un equazione Uguaglianza tra due espressioni (chiamate memri dell equazione) contenente una variaile detta incognita (generalmente si utilizzano le ultime lettere dell alfaeto: x, y, z, oppure, meglio ancora, le lettere corrispondenti alle grandezze in gioco). Equazione contenente, oltre all incognita, altre lettere che svolgono il ruolo di costanti (generalmente si utilizzano le prime lettere dell alfaeto: a,, c, ). Determinare tutte le soluzioni dell equazione. a + 5 = x 4 oppure 6 + = x x = x oppure s = v t ax + = 0 Per risolvere (x + 1)(x ) = 0 si uguaglia ciascun memro a 0: (x + 1) = 0 da cui x = 1 (x ) = 0 da cui x =. Soluzioni o radici dell equazione Soluzioni estranee Valori numerici che sostituiti all incognita risolvono (si dice anche: verificano o soddisfano) l equazione. Quando l incognita può assumere solo determinati valori ma che però non possono essere accettati perché rendono l equazione iniziale impossiile. Soluzioni o radici di x = 4 sono: x = e x =. Infatti: = 4 e ( ) = 4 x x + 4 = ; x x x = x + 4 C.E.: x x = soluzione estranea Equazioni equivalenti Equazioni che hanno la stessa soluzione. x = 4 e 4x = 8 Equazioni di primo grado (anche equazioni lineari) Equazione Identità Equazioni che possono essere scritte nella forma: ax + = 0. determinata: x assume solo determinati valori in un determinato insieme numerico; indeterminata: x può assumere qualsiasi valore; impossiile: x non può assumere nessun valore in un determinato insieme numerico (per esempio: x = 5 è un equazione impossiile in N e Z ma è determinata in Q e R: x =,5). Uguaglianza soddisfatta da qualsiasi sostituzione (equazione indeterminata). x 4 = 0 x + 4 = 6 x = x + 8 x + 4 = 0x = 0 x + 4 = x + 6 0x = (x + 1) = x + x + 1 x R B.

3 CPT, 695 Canoio Per risolvere un equazione è necessario isolare l incognita (isolare significa lasciare l incognita, a sinistra o a destra dell uguale, da sola). Si tratta quindi di procedere nel modo seguente: si parte dall equazione iniziale e si individuano, in successione, equazioni equivalenti in modo da giungere all equazione che presenta l incognita isolata e uguagliata ad un espressione priva dell incognita stessa. Si può trasformare un equazione in un altra ad essa equivalente considerando il principio della ilancia (due memri di un equazione sono paragonaili al contenuto di due piatti di una ilancia che rimane in equilirio se l operazione che si fa da una parte la si fa anche dall altra). Per esempio è possiile: 1) addizionare o sottrarre la stessa quantità ad amo i memri dell equazione; ) moltiplicare o dividere i memri dell equazione per la stessa quantità diversa da 0; ) semplificare uno o entrami i memri dell equazione; 4) scamiare fra di loro i due memri dell equazione; 5) elevare entrami i memri alla stessa potenza (attenzione alle potenze pari!). 6) Suggerimento: nella risoluzione di un equazione complicata, può essere utile scrivere l operazione matematica effettuata durante i diversi passaggi successivi. Lo scopo è quello di riflettere in modo più approfondito sull operazione scelta e di evitare (spesso) errori di calcolo. Ricordiamo infine la legge dell annullamento (se a. = 0 allora le soluzioni sono a = 0 e = 0). Se per esempio è necessario risolvere un equazione del tipo: x + x = 6, procederemo così: x + x = 6 x + x 6 = 0 (x )(x + ) = 0 Le due soluzioni sono quindi: x =, x =. 6.1 Equazioni intere Le equazioni numeriche intere sono le equazioni a coefficienti numerici in cui l incognita non è presente in alcun denominatore (il termine intero è riferito all incognita e non ai coefficienti, i quali possono essere frazionari). Per esempio: 1 x 1 = è un equazione intera. 5 Normalmente si moltiplica tutta l equazione per il m.c.m., togliendo così i denominatori: 1 1 x = si moltiplica per il m.c.m. di e 5, ossia x 0 = si aggiunge 0 5 x = si divide per 5 x = 5 B.

4 CPT, 695 Canoio 6. Equazioni fratte Un equazione è fratta se l incognita compare in almeno un denominatore. Esempio: 4 1 x x x 1 x + x Prima di risolvere un equazione fratta, doiamo determinare le condizioni di esistenza delle frazioni algeriche presenti, ossia i valori che l incognita non potrà assumere. Poi si può procedere alla risoluzione. La soluzioni trovata sarà accettaile se rispetta le condizioni di esistenza. Il procedimento di risoluzione può essere riassunto nel modo seguente: prima di incominciare la risoluzione determinare (e scrivere) le condizioni di esistenza; determinare il più piccolo denominatore comune; moltiplicare tutti i memri delle equazioni per il denominatore comune e semplificare; risolvere l equazione; verificare il risultato (consultare le condizioni di esistenza). Esempio: 4 1 x x x 1 x + x Riscriviamo l equazione fattorizzando i denominatori: 4 1 = (x + 1)(x 1) x(x + 1) Le due frazioni hanno significato solo se: x 0, x e x 1 0. Infatti le condizioni di esistenza sono C.E. : x 0 e x ± 1. Risolviamo l equazione: 4 1 = (x + 1)(x 1) x(x + 1) moltiplichiamo i due memri per il m.c.m.: x(x + 1)(x 1) e otteniamo: (x + 1) 4x = (x 1) distriutiva x + 4x = x 1 si sommano i termini simili x + = x 1 si aggiungono x e 1 = x si divide per x = 1 E ora necessario il controllo della soluzione: poiché la soluzione x = 1 è incompatiile con la condizione di esistenza x 1, la soluzione non può essere accettata, quindi l equazione non ha soluzioni. B.4

5 CPT, 695 Canoio Soluzioni a) (x + )(6x 1) 9 = 15x (x )(x ) Distriutiva 1x + 18x x 9 = 15x (x x 6x + 4) Associativa 1x + 18x x 9 = 15x x + x + 6x 4 Togliere le parentesi 1x + 16x 1 = 1x + 8x 4 Sottrarre 1 x 16x 1 = 8x 4 Sottrarre 8x 8x 1 = 4 Sommare 1 8 x = 8 Dividere per 8 x = 1 Soluzione: l equazione è determinata, x = 1 ) x x 1 Condizioni di esistenza: C.E.: x 0, x 1 1 x + 1 = x Sommare x = x Dividere per 1 = x Moltiplicare per il m.c.m. ossia: x(x 1) x = 1 è una soluzione estranea (vedi C.E.) Quindi si tratta di un equazione senza soluzione Condizioni di esistenza: C.E.: x ± c) 4 1 5x 6 + = x x x Moltiplicare per x (x ) + 1(x + ) = 5x 6 Distriutiva 5 x = 5x Sottrarre 5x Equazione indeterminata, ma vanno esclusi i valori non accettaili 0 x = 0 (vedi C.E.). La soluzione è: { x R x ± } B.5

6 CPT, 695 Canoio 6. Equazioni letterali Situazione introduttiva Una piazza è composta da quattro triangoli, di cui non si conoscono le dimensioni, ma unicamente le lettere che rappresentano le asi e l altezza. Sapendo che è possiile risalire ai valori numerici di superficie e altezza, si desidera determinare la formula che esprime la ase (incognita) in funzione di A tot e h: h Le formule che descrivono fenomeni naturali, sono equazioni letterali nelle quali le lettere diventano incognite a dipendenza dei dati conosciuti e sconosciuti. Per esempio se l area del trapezio è: B + A = h può darsi che, conoscendo l area A, l altezza h e la ase maggiore B è necessario dover calcolare la ase minore. In questo caso isogna saper risolvere l equazione letterale rispetto all incognita. Si tratta quindi di risolvere un equazione letterale. Le equazioni letterali contenenti un incognita possono essere risolte con i metodi esposti nel paragrafo precedente. In particolare queste tecniche permettono di isolare qualsiasi variaile contenuta nelle formule che si incontrano nel calcolo professionale. Esempio 1: il volume di una sfera è dato dalla seguente equazione: V = 4 π R. Determinare l equazione che esprime il raggio della sfera in funzione del volume: V = 4 π R si moltiplica l equazione per 4 V = π 4 R si divide l equazione per π V = π 4 R si applica la radice cuica ai due memri dell equazione π 4 V = R Esempio : la superficie di un cilindro vale: S = R π + R π h. Determinare h in funzione delle altre lettere: S = R π + R π h si sottrae: R π S R π = R π h si divide per: R π S R π = h R π h R B.6

7 CPT, 695 Canoio Soluzione In questo caso si tratta di risolvere un equazione letterale in funzione dell incognita : A tot = A tot = h A tot = A tot = h ( h) : h B.7