matematica per le quarte

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "matematica per le quarte"

Transcript

1 lorenzo pantieri matematica per le quarte degli istituti professionali

2 Questo lavoro, scrit- to per gli alunni dell Istituto Versari-Macrelli di Cesena, spiega il programma di matematica degli Istituti professionali italiani. Ringrazio i irigenti scolastici Lorenza Prati e Mauro Tosi per aver sostenuto questo progetto, e i miei colleghi Silvia Bagnoli, Francesco Cerino, Silvia Cortesi, Giulia egli Angeli, Orlando Fiumana, Maria Chiara Garaffoni, Giuseppe Guarrasi, Gilda Mautone, Emanuela Montanari, Monica Morelli, Emanuele Parini, Enrico Petroncini, Manuela Pompili ed Elisabetta Turci per l aiuto fornito nella redazione di questo lavoro, la pazienza e la precisione nei suggerimenti, la competenza e la disponibilità. Un grazie altrettanto speciale va ai miei studenti, per i consigli durante la stesura di un opera che senza il loro contributo non avrebbe mai assunto la forma attuale: questo libro è più loro che mio. Se avete idee su argomenti da aggiungere, togliere o modificare in questo documento, o se vi dovesse capitare di notare un errore, sia di battitura che di sostanza (ed è probabile che ce ne siano parecchi, soprattutto del primo tipo, ma anche del secondo), mi fareste un favore comunicandomelo, così che io possa apportare le opportune correzioni in versioni successive. Mi interessano specialmente i commenti degli studenti su quali parti di questo lavoro risultino di facile comprensione e quali invece si potrebbero spiegare meglio. In particolare, se vi sembra di notare un errore matematico è anche nel vostro interesse discuterne con me per chiarire se si tratta di un incomprensione vostra o di uno sbaglio mio. È con questo spirito che ho scritto questo lavoro: spero che possiate studiare la matematica con il mio stesso piacere. Lorenzo Pantieri Matematica per gli Istituti professionali Copyright c lorenzo.pantieri@gmail.com Il frontespizio riproduce la litografia Belvedere di Maurits Cornelis Escher e l incisione Tassellazione del piano con uccelli, dello stesso autore.

3 I N I C E 1 equazioni di grado superiore al secondo Equazioni binomie 1 1. Equazioni trinomie 1. Equazioni scomponibili Esercizi 1 disequazioni 1.1 Intervalli sulla retta reale 1. iseguaglianze e disequazioni. Principi di equivalenza 4.4 isequazioni lineari 5.5 isequazioni di secondo grado 0.6 isequazioni di grado superiore al secondo 40.7 isequazioni fratte 48.8 Sistemi di disequazioni 55.9 isequazioni in due incognite Esercizi 66 esponenziali e logaritmi 9.1 Richiami sulle potenze 9. Funzioni esponenziali 95. Logaritmi 96.4 Funzioni logaritmiche Equazioni esponenziali Equazioni logaritmiche Applicazioni Esercizi 109

4

5 1 E Q U A Z I O N I I G R A O E L E V ATO In questo capitolo ci proponiamo di risolvere equazioni algebriche di grado superiore al secondo. Prenderemo in considerazione tre casi: le equazioni binomie (della forma a n + b = 0) le equazioni trinomie (della forma a n + b n + c = 0) le equazioni riconducibili al prodotto di due o più fattori 1.1 equazioni binomie Tra le equazioni di grado superiore al secondo, le equazioni binomie sono le più semplici. Sono della forma: a n + b = 0 con a e b numeri reali e a 0. Per esempio, sono equazioni binomie: 8 = = = 0 La soluzione di un equazione binomia dipende dall esponente n cui è elevata la. Se n è dispari, la soluzione dell equazione binomia è = n b a Infatti si può estrarre la radice di indice dispari di qualunque numero reale indipendentemente dal segno della quantità b a. Se n è pari, dobbiamo distinguere due sottocasi. Se i coefficienti a e b sono discordi, cioè se hanno segno diverso, allora l equazione binomia ha due soluzioni: ( ) = ± n b a

6 equazioni di grado superiore al secondo Infatti in questo caso la quantità b a la radice. è positiva, per cui si può estrarne Se invece a e b sono concordi, cioè hanno segno uguale, l equazione binomia non ha soluzioni. Infatti la quantità b è negativa, per cui non si a può estrarne la radice. Esercizio 1. Risolvi l equazione 8 = 0. Soluzione. Scriviamo l equazione come = 8 Possiamo estrarre la radice senza preoccuparci del segno perché l esponente di è dispari, da cui L equazione ha dunque una soluzione e = 8 = = S = { } Esercizio. Risolvi l equazione + 8 = 0. Soluzione. Scriviamo l equazione come = 8 Poiché è dispari, estraiamo la radice senza preoccuparci del segno: = 8 = = L equazione ha dunque una soluzione e S = { }

7 1. equazioni trinomie Esercizio. Risolvi l equazione 4 16 = 0. Soluzione. Il coefficiente del termine in è 1, mentre il termine noto è 16. Poiché i due numeri sono discordi abbiamo due soluzioni distinte: 4 = 16 = = ± 4 16 = ± ovvero S = {, } Esercizio 4. Risolvi l equazione = 0. Soluzione. Il coefficiente del termine in è 1, e il termine noto è 16. Poiché i due numeri sono concordi, l equazione è impossibile: S = 1. equazioni trinomie Passiamo a un caso più complesso di equazioni di grado superiore al secondo: le equazioni trinomie, che si presentano nella forma con a, b e c numeri reali e a 0. Per esempio, sono equazioni trinomie: a n + b n + c = 0 (1) = = = 0 Per trovare le soluzioni di un equazione trinomia basta fare un cambiamento di variabile: ponendo n = t si ottiene at + bt + c = 0 () cioè un equazione di secondo grado nell incognita t. Sappiamo che un equazione di secondo grado ha soluzioni in base al segno del discriminante = b 4ac. Procediamo quindi per casi. Se < 0 l equazione non ha soluzioni e di conseguenza nemmeno la trinomia 1 a essa associata ne ha.

8 4 equazioni di grado superiore al secondo Se = 0 l equazione ha una sola soluzione t = b. unque, ricordando a che t = n, ci troveremo a risolvere l equazione binomia n = b a Se > 0 l equazione ha due soluzioni distinte del tipo t = b ± b 4ac a Tornando all incognita dobbiamo risolvere n = b b 4ac a n = b + b 4ac a ovvero due equazioni binomie. Le equazioni trinomie includono un caso particolare, la famiglia delle cosiddette equazioni biquadratiche, che si presentano nella forma a 4 + b + c = 0 Esercizio 5. Risolvi l equazione = 0. Soluzione. Facciamo la sostituzione = t: t 5t + 4 = 0 = (t 1)(t 4) = 0 da cui t = 1 t = 4 Ritorniamo all incognita ponendo t = : = 1 = 4 da cui Quindi: = ±1 = ± S = {, 1, 1, }

9 1. equazioni trinomie 5 Esercizio 6. Risolvi l equazione = 0. Soluzione. Facciamo la sostituzione = t: t 9t + 8 = 0 = (t 1)(t 8) = 0 da cui t = 1 t = 8 Ritorniamo all incognita ponendo t = : = 1 = 8 = = 1 = Quindi: S = { 1, } Esercizio 7. Risolvi l equazione = 0. Soluzione. Cambiamo la variabile ponendo = t: t + t + 1 = 0 = (t + 1) = 0 = t + 1 = 0 = t = 1 Tornando alla prima variabile troviamo l equazione binomia = 1 che non ha soluzione. unque l equazione data non ha soluzione: S = Esercizio 8. Risolvi l equazione = 0. Soluzione. Cambiamo la variabile ponendo = t. t t + 1 = 0 = (t 1) = 0 = t 1 = 0 = t = 1 Torniamo alla prima variabile: = 1 = = ±1 Quindi: S = { 1, 1 }

10 6 equazioni di grado superiore al secondo Esercizio 9. Risolvi l equazione = 0. Soluzione. Cambiamo la variabile ponendo = t: t + t + 1 = 0 che non ha soluzioni, perché = = < 0. i conseguenza nemmeno l equazione data ne ha: S = 1. equazioni scomponibili Tramite opportune scomposizioni si può spesso ricondurre un equazione di grado superiore al secondo a prodotti di polinomi di primo e secondo grado, o a equazioni binomie e trinomie. Si procede come segue: si portano tutti i termini al primo membro si scompone il polinomio al primo membro con uno dei metodi noti (raccoglimento totale, raccoglimento parziale, quadrato di un binomio, differenza tra due quadrati, trinomio speciale, regola di Ruffini) si applica la legge di annullamento del prodotto, uguagliando a zero ciascun fattore si mettono insieme tutte le soluzioni trovate Vediamo come funziona il procedimento attraverso qualche esempio. Esercizio 10. Risolvi l equazione 9 = 0. Soluzione. Scomponiamo in fattori il polinomio al primo membro con un raccoglimento totale e poi con la differenza di quadrati: 9 = 0 = ( 9) = 0 = ( )( + ) = 0 Uguagliamo a zero ciascun fattore: = 0 = 0 + = 0 da cui Quindi: = 0 = = S = {, 0, }

11 1. equazioni scomponibili 7 Esercizio 11. Risolvi l equazione = 0. Soluzione. Scomponiamo in fattori il polinomio al primo membro con un raccoglimento totale: = 0 = ( ) = 0 Uguagliamo a zero ciascun fattore: da cui Mettiamo insieme le soluzioni: = 0 = 0 = 0 = ± S = {, 0, } Esercizio 1. Risolvi l equazione = 0. Soluzione. Scomponiamo in fattori il polinomio al primo membro con un raccoglimento parziale e poi con la differenza di quadrati: ( + 1) 4( + 1) = 0 = ( + 1)( 4) = 0 = ( + 1)( )( + ) = 0 Uguagliamo a zero ciascun fattore: + 1 = 0 = 0 + = 0 da cui Quindi: = 1 = = S = {, 1, } Esercizio 1. Risolvi l equazione = 0. Soluzione. Scomponiamo in fattori il polinomio al primo membro: (4 + 1) (4 + 1) = 0 = (4 + 1)( 1) = 0 = (4 + 1)( 1)( + 1) = 0 Uguagliamo a zero ciascun fattore: = 0 1 = = 0

12 8 equazioni di grado superiore al secondo da cui Quindi: = 1 4 = 1 = 1 { S = 1, 14 }, 1 Esercizio 14. Risolvi l equazione = 0. Soluzione. Scomponiamo in fattori il polinomio al primo membro con un raccoglimento totale e poi con la differenza di quadrati: 4 16 ( 9 = 0 = 16 ) ( = 0 = 4 )( + 4 ) = 0 9 Uguagliamo a zero ciascun fattore: = 0 4 = = 0 da cui = 0 = 4 = 4 Quindi: S = { 4, 0, 4 } Esercizio 15. Risolvi l equazione 4 = 0. Soluzione. Scomponiamo in fattori il polinomio al primo membro 4 = 0 = ( ) = 0 Uguagliamo a zero ciascun fattore: = 0 = 0 da cui Quindi: = 0 = ± S = {, 0, }

13 1. equazioni scomponibili 9 Esercizio 16. Risolvi l equazione = 0. Soluzione. Scomponiamo in fattori il polinomio al primo membro con un raccoglimento totale e poi con la regola del trinomio speciale: = 0 = ( 5 + 4) = 0 = ( 4)( 1) = 0 Uguagliamo a zero ciascun fattore: = 0 4 = 0 1 = 0 da cui = 0 = 4 = 1 Mettiamo insieme le soluzioni: S = { 0, 1, 4 } Esercizio 17. Risolvi l equazione + 5 = 0. Soluzione. Raccogliamo nel polinomio al primo membro: = 0 = ( + 5) = 0 Uguagliamo a zero ciascun fattore: = = 0 Risolviamo l equazione di secondo grado: = ± ( ) 4 ( 5) = ± = ± 49 4 = ± 7 4 da cui = 7 4 Mettiamo insieme le soluzioni: = 10 4 = 5 { S = 5 }, 0, 1 = = 1

14 10 equazioni di grado superiore al secondo Esercizio 18. Risolvi l equazione = 0. Soluzione. Raccogliamo nel polinomio al primo membro: = 0 = ( 1) = 0 Uguagliando a zero ciascun fattore: = 0 1 = 0 Risolviamo l equazione di secondo grado: = ( 1) ± ( 1) 4 ( 1) = 1 ± = 1 ± 9 4 da cui = 1 = 4 4 = 1 = 1 + = 1 4 Mettiamo insieme le soluzioni: { S = 1 }, 0, 1 = 1 ± 4 Esercizio 19. Risolvi l equazione 6 = 0. Soluzione. Raccogliamo nel polinomio al primo membro: 6 = 0 = (6 ) = 0 Uguagliamo a zero ciascun fattore: = 0 6 = 0 Risolviamo l equazione di secondo grado: = ( 1) ± ( 1) 4 6 ( ) 6 da cui = = 6 1 = 1 Mettiamo insieme le soluzioni: S = = 1 ± = 1 ± 49 1 = = 8 1 = { 1, 0, } = 1 ± 7 1

15 1. equazioni scomponibili 11 Esercizio 0. Risolvi l equazione = 0. Soluzione. Scomponiamo il polinomio al primo membro P() con la regola di Ruffini. P(1) = = = 0 quindi P() si scompone come ( 1)Q(), con Q() polinomio di secondo grado Allora: = ( 1)( 5 + 6) Per la regola del trinomio speciale l equazione diventa: ( 1)( 5 + 6) = 0 = ( 1)( )( ) = 0 Uguagliamo a zero ciascun fattore: 1 = 0 = 0 = 0 da cui In conclusione: = 1 = = S = { 1,, } Esercizio 1. Risolvi l equazione = 0. Soluzione. Scomponiamo il polinomio al primo membro P() con la regola di Ruffini. P(1) = (1) + (1) 10 (1) + 8 = = 0 quindi P() si scompone come ( 1)Q(), con Q() polinomio di secondo grado

16 1 equazioni di grado superiore al secondo Quindi: = ( 1)( + 8) Per la regola del trinomio speciale l equazione diventa: ( 1)( + 8) = 0 = ( 1)( )( + 4) = 0 Uguagliamo a zero ciascun fattore: 1 = 0 = = 0 da cui In conclusione: = 1 = = 4 S = { 4, 1, } Esercizio. Risolvi l equazione = 0. Soluzione. Scomponiamo il polinomio al primo membro P() con la regola di Ruffini. P( 1) = ( 1) 7( 1) + 4( 1) + 1 = = 0 quindi P() si scompone come ( + 1)Q(), con Q() polinomio di secondo grado Per la regola del trinomio speciale l equazione diventa: ( + 1)( 8 + 1) = 0 = ( + 1)( 6)( ) = 0 Uguagliamo a zero ciascun fattore: + 1 = 0 6 = 0 = 0 da cui In conclusione: = 1 = 6 = S = { 1,, 6 }

17 1.4 esercizi 1 Esercizio. Risolvi l equazione 7 6 = 0. Soluzione. Scomponiamo il polinomio al primo membro P() con la regola di Ruffini. P( 1) = ( 1) 7 ( 1) 6 = = 0 quindi P() si scompone come ( + 1)Q(), con Q() polinomio di secondo grado. Quindi: = ( + 1)( 6) Per la regola del trinomio speciale l equazione diventa: 7 6 = 0 = ( + 1)( 6) = 0 = ( + 1)( )( + ) = 0 Uguagliando a zero ciascun fattore: + 1 = 0 = 0 + = 0 da cui In conclusione: = 1 = = S = {, 1, } 1.4 esercizi Chi non risolve esercizi non impara la matematica. Risolvi le seguenti equazioni binomie = 0 ± 1 ] = 0 impossibile] = 0 ± ] = 0 1, 1] = 0 ± 1 ] = 0 impossibile]

18 14 equazioni di grado superiore al secondo Risolvi le seguenti equazioni trinomie = 0 ±] = 0, 1, 1, ] = 0,,, ] = 0 5, ] = 0 impossibile] = 0 6, 1, 1, ] = 0,, ], 14 4 = 0 ± ] Risolvi le seguenti equazioni scomponibili = 0 1, 1, ] 16 4 = 0 0, 1 ] 17 + = 0, 1, 1] = 0, 0] = 0 0, 1, ] = 0 4] = 0, 1, 0] + = 0 0, 1, ] = 0 0, 1, 8] = 0, ] = 0, 1, ] = 0 1, 1] = 0 5 ], 0, = = 0 1, 0, ], ], = 0 0, ] = 0 0] 15 = 0, 0, 5] Risolvi le seguenti equazioni di grado superiore al secondo dopo aver scomposto il polinomio a primo membro con la regola di Ruffini = 0 4, 1, 1 ] = 0 1,, 1 ] = 0, 1, ] = 0 5,, ] = 0,, 1] = 0 4,, ] = 0 1,, 6] 9 + = 0, 1] = 0 1] = 0 ] = 0, ], = 0 1] = 0 1] = 0 1, 1 ], 1, Risolvi le seguenti equazioni = 0 ±1, ± ] = 0 ± ] = 0 ±, ± ] = 0 0, ± ] /

19 1.4 esercizi = 0 ±1/, 1] ] = 0 0, ± = 0 1, ± 1 ] = 0 0, 1 ] = 0 1] = 0 ±1, ±] = 0 1 ], = 0 1, ] = 0 ±1, ± ] = 0 9, 0] = 0 7, 5, 0] = 0, 1, 1] = 0,, 1] = 0 5, 4, 1] = 0 5, 1, 0] 66 + = 0 ] = 0 0, ±] = 0, ± ] = = = = = = = 0 0, ± 1 ] ] ± ±, ± ] = 0 impossibile] = 0 impossibile] = 0 ±] = 0 impossibile] 76 4 = 81 ±] = 0 impossibile] 78 5 = ] 79 5 = ] = 0 1, ] = 0 impossibile] = 0 ±] = 0 ±] = 0 impossibile] ] = = 0 ±, ± ] = 0 impossibile] = 0 impossibile], 1 ], 1, ±1, 1, ] 1, ±, ], 1 ], 9 Indica la risposta corretta. a. Le soluzioni dell equazione = 0 sono: A = ± = 5 C = ±4 = 5 B = ± = 5 nessuna delle precedenti

20 16 equazioni di grado superiore al secondo b. Le soluzioni dell equazione = 0 sono: A = 1 C = ±1 B = 1 nessuna delle precedenti c. Le soluzioni dell equazione 6 = 0 sono: A = 0 = ±1 C = 1 = 0 B = ±1 nessuna delle precedenti d. Le soluzioni dell equazione = 0 sono: A = ± C = B = nessuna delle precedenti e. L equazione = 0: A B è impossibile ha due soluzioni distinte C ha solo la soluzione = 1/ ha solo la soluzione = 1/ f. L equazione = 0: A ha per soluzioni = ±/ B ha per soluzioni = ±9/4 C è impossibile nessuna delle precedenti g. La legge di annullamento del prodotto dice che un prodotto di due o più fattori è uguale a zero se: A tutti i fattori sono uguali a zero C almeno uno dei fattori è uguale zero B un solo fattore è uguale a zero nessuna delle precedenti 94 Indica la risposta corretta. ue risposte A, due B, due C e una ] a. Un equazione di grado n ha: A sempre n soluzioni C al massimo n soluzioni B almeno una soluzione nessuna delle precedenti

21 1.4 esercizi 17 b. L equazione = 1 ha come soluzioni: A solo = 1 C sia = 1 che = 1 B solo = 1 nessuna soluzione c. L equazione = 1 ha come soluzioni: A solo = 1 C sia = 1 che = 1 B solo = 1 nessuna soluzione d. L equazione 4 = 1 ha come soluzioni: A solo = 1 C sia = 1 che = 1 B solo = 1 nessuna soluzione e. L equazione 4 = 1 ha come soluzioni: A solo = 1 C sia = 1 che = 1 B solo = 1 nessuna soluzione f. L equazione = 0 si può trasformare in un equazione di secondo grado in t ponendo: A t = B t = C t = t = 6 g. L equazione ( 4)( 9) = 0 ha come soluzioni: A = ± = ± C = 9 B = 4 è impossibile 95 Indica la risposta corretta. ue risposte A, una B, tre C e una ] a. L equazione ( 1) 10 = 0 ha come soluzioni: A nessuna soluzione C solo = 1 B sia = 1 che = 1 solo = 1 b. L equazione = 0 ha tra le sue soluzioni:

22 18 equazioni di grado superiore al secondo A = 1 B = 0 C = 1 = c. L equazione 6 8 = 0 ha: A una sola soluzione = 6 8 C due soluzioni distinte = ± B due soluzioni distinte = ± 8 nessuna delle precedenti d. Le soluzioni dell equazione = 0 sono: A = ± = ±5 C = ±1 = 1/ = B = ±1 = 1/ = nessuna delle precedenti e. L equazione k 6 1 = 0 ha: A due soluzioni k R C due soluzioni k 0 B due soluzioni k > 0 due soluzioni k < 0 f. Quale delle seguenti equazioni può essere definita trinomia? A = 0 C + = B = 0 nessuna delle precedenti g. L equazione 54 = 0 ha per soluzioni: A = B = ± C = ±7 = 7 96 Indica la risposta corretta. Una risposta A, due B, due C e due ] a. L equazione = k ha soluzioni: A solo per k > 0 B solo per k < 0 C per ogni valore di k per nessun valore di k b. L equazione = 0 ha per soluzioni: A = 1 = B = ±1 = ± C = ± = c. L equazione = 0 ha per soluzioni:

23 1.4 esercizi 19 A = ±10 B = ±0,1 C = ±100 = ±0,01 d. L equazione 6 = 0 ha per soluzioni: A = 0 = ±6 B = 0 = ±4 C = 0 = ±16 = 0 = ±1/ e. L equazione + 6 = 0 ha per soluzioni: A = = ± C = ± = B = = = ± = ± f. Quale delle seguenti equazioni ha tre soluzioni distinte? A = B = C + = 0 = 0 g. L equazione 6 18 = 0 ha per soluzioni: A = B = C = ± impossibile 97 Indica la risposta corretta. Tre risposte A, una B, due C e una ] a. L insieme soluzione dell equazione 4 4 = 0 è: A { 0, 1, 4 } B { 0, ±, 4 } C { 0, } { 0, ± } b. L insieme soluzione dell equazione = 0 è: A { ±, ± } B C { ±, ± } R c. L insieme soluzione dell equazione = 0 è: A { ±1, ± } B { ±1 } C { ± } { 1, } d. L insieme soluzione dell equazione = 0 è: A { 1, } B {, 1 } C {, 1 } { ±1, ± } e. L insieme soluzione dell equazione ( 1) ( 1) = è: A { 0, 1, } B { 0, } C { 1, 0, 1 } { 1, 0, }

24 0 equazioni di grado superiore al secondo f. L insieme soluzione dell equazione = 0 è: A { 1, 0, } B { 5, 1, } C { 5, 1, 0 } { 0, 1, 5 } g. L insieme soluzione dell equazione 5 16 = 0 è: A { 0, ± } B { 0, ±4 } C { 0, } {, 0 } Una risposta A, due B, una C e tre ]

25 I S E Q U A Z I O N I.1 intervalli sulla retta reale efinizione 1. ati due numeri reali a e b, con a < b, si chiamano intervalli i seguenti sottoinsiemi di R: (a, b) = { a < < b } intervallo aperto e limitato (a e b sono esclusi) a, b] = { a b } intervallo chiuso e limitato (a e b sono inclusi) a, b) = { a < b } intervallo chiuso a sinistra e aperto a destra, e limitato (a è incluso, b è escluso) (a, b] = { a < b } intervallo aperto a sinistra e chiuso a destra, e limitato (a è escluso, b è incluso) (a, + ) = { > a } intervallo aperto e superiormente illimitato (a è escluso) a, + ) = { a } intervallo chiuso e superiormente illimitato (a è incluso) (, a) = { < a } intervallo aperto e inferiormente illimitato (a è escluso) (, a] = { a } intervallo chiuso e inferiormente illimitato (a è escluso) I numeri a e b si chiamano estremi dell intervallo. Ciascuno degli intervalli così definiti si può rappresentare sulla retta reale: gli intervalli limitati corrispondono a segmenti e quelli illimitati a semirette. Vediamo qualche esempio. Esercizio 4. Rappresenta graficamente l intervallo (, ) = { < }. Soluzione. Segniamo sulla retta reale il punto. L intervallo è rappresentato da tutti i punti della semiretta che precedono il numero, escluso.

26 disequazioni Abbiamo disegnato con una linea più spessa la semiretta dei punti che appartengono all intervallo. Per mettere in evidenza che non appartiene alla semiretta abbiamo messo un pallino vuoto sul punto. Esercizio 5. Rappresenta graficamente l intervallo 5, + ) = { 5 }. Soluzione. Segniamo sulla retta reale il punto 5; l intervallo è rappresentato dalla semiretta di tutti i punti che seguono 5, incluso lo stesso 5. 5 Abbiamo disegnato con una linea più spessa la semiretta dei punti che appartengono all intervallo. Per indicare che il punto 5 appartiene all intervallo abbiamo messo un pallino pieno sul punto. Esercizio 6. Rappresenta graficamente l intervallo (, 6) = { < < 6 }. Soluzione. Segniamo sulla retta reale i punti e 6. L intervallo è rappresentato dal segmento che ha per estremi questi due punti. 6 Abbiamo come al solito disegnato il segmento con una linea più spessa. Poiché i due estremi del segmento sono esclusi, su ciascuno di essi abbiamo messo un pallino vuoto. Esercizio 7. Rappresenta graficamente l intervallo (, 6] = { < 6 }. Soluzione. Rispetto al caso precedente, il segmento che rappresenta l intervallo è chiuso a destra, ovvero il punto 6 è incluso nell intervallo, mentre il punto è escluso. 6 La figura precedente rappresenta l intervallo.

27 . diseguaglianze e disequazioni Esercizio 8. Rappresenta graficamente l intervallo, 6] = { 6 }. Soluzione. Il segmento che rappresenta l intervallo contiene tutti e due i suoi estremi. 6 La figura precedente rappresenta l intervallo.. diseguaglianze e disequazioni Consideriamo le seguenti proposizioni: «1 è minore di» «è un numero negativo» «il quadrato di un numero reale è maggiore o uguale a zero» «togliendo da un numero, si ottiene un numero positivo» Esse si possono tradurre in linguaggio matematico usando i simboli > (maggiore), < (minore), (maggiore o uguale) e (minore o uguale). Precisamente: 1 < < 0 0 > 0 Le formule che contengono solo numeri (come le prime due) si dicono diseguaglianze; quelle che contengono numeri e variabili (come le ultime due) si dicono disequazioni. efinizione. Chiamiamo disuguaglianza una formula contenente solo numeri e uno dei simboli < (minore), > (maggiore), (minore o uguale), (maggiore o uguale). efinizione. Chiamiamo disequazione una formula contenente numeri, variabili e uno dei simboli < (minore), > (maggiore), (minore o uguale), (maggiore o uguale). Una diseguaglianza è o vera o falsa: per esempio, la disuguaglianza 1 < è vera, mentre < 0 è falsa. Una disequazione, invece, in generale è vera per certi valori sostituiti alla variabile e falsa per altri. Per esempio, la disequazione > 0 è vera se =, ma è falsa se = 1.

28 4 disequazioni efinizione 4. L insieme dei valori che sostituiti all incognita trasformano la disequazione in una disuguaglianza vera è l insieme soluzione della disequazione (lo indicheremo con S). Risolvere una disequazione significa trovarne l insieme soluzione. efinizione 5. Chiamiamo incognite le variabili che compaiono nella disequazione, e chiamiamo primo membro e secondo membro le due espressioni che compaiono rispettivamente a sinistra e a destra del simbolo di disuguaglianza.. principi di equivalenza Vediamo come risolvere una disequazione, ovvero come trovarne l insieme soluzione. Premettiamo la seguente definizione: efinizione 6. ue disequazioni si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme soluzione. Principio 1 (Primo principio di equivalenza). Sommando o sottraendo a ciascuno dei due membri di una disequazione uno stesso numero, si ottiene una disequazione equivalente a quella data. Questo principio ci permette in pratica di spostare un addendo da un membro all altro della disequazione cambiandogli segno, o di eliminare da entrambi i membri gli addendi uguali. Principio (Secondo principio di equivalenza). Moltiplicando o dividendo ciascuno dei due membri di una disequazione per uno stesso numero positivo, si ottiene una disequazione equivalente a quella data. Principio (Terzo principio di equivalenza). Moltiplicando o dividendo ciascuno dei due membri di una disequazione per uno stesso numero negativo, si ottiene una disequazione equivalente alla data ma con il verso cambiato. Nei paragrafi successivi vedremo come risolvere una disequazione applicando i tre principi delle disequazioni.

29 .4 disequazioni lineari 5.4 disequazioni lineari efinizione 7. Una disequazione si dice intera se, eventualmente dopo aver applicato i principi di equivalenza, è riconducibile a una delle seguenti forme normali: P() 0 P() > 0 P() 0 P() < 0 dove P() è un polinomio. Si dice grado della disequazione il grado di P(). Una disequazione di primo grado si dice lineare. Per esempio: 4 > 0 è una disequazione lineare è una disequazione di secondo grado < 0 è una disequazione di terzo grado In questo paragrafo studieremo le disequazioni lineari, i cui coefficienti sono numeri razionali. Per risolvere una disequazione di questo tipo si procede come segue: si portano tutti i termini con l incognita al primo membro e tutti i termini noti al secondo membro si sommano i monomi simili si dividono entrambi i membri per il coefficiente dell incognita (cambiando il verso della disequazione se tale coefficiente è negativo) si semplificano le frazioni e si scrive l insieme soluzione Esercizio 9. Risolvi la disequazione 5 > + 4. Soluzione. Portiamo a sinistra i termini con l incognita e a destra i termini noti, cambiando il segno quando passiamo da un membro all altro: 5 > + 4 Sommiamo i monomi simili: > 6

30 6 disequazioni ividiamo entrambi i membri per il coefficiente della, applicando il secondo principio delle disequazioni. È fondamentale osservare che tale coefficiente è, che è un numero positivo: quindi il verso della disequazione non cambia. > 6 Quindi l insieme soluzione è l intervallo: = > S = { > } = (, + ) Esercizio 0. Risolvi la disequazione + 1 > Soluzione. Portiamo a sinistra i termini con l incognita e a destra i termini noti, cambiando il segno quando passiamo da un membro all altro: 5 > 5 1 = > 4 Il coefficiente dell incognita è negativo. ividiamo entrambi i membri per e cambiamo il verso della disequazione, applicando il terzo principio delle disequazioni: < 4 = < L insieme soluzione è l intervallo: S = { < } = (, ) Esercizio 1. Risolvi la disequazione 4( 1) + 4 ( 6). Soluzione. Svolgiamo i calcoli: = = 1 = 6 L insieme soluzione è l intervallo: 6 S = { 6 } = 6, + )

31 .4 disequazioni lineari 7 Esercizio. Risolvi la disequazione ( + 1) 4 + ( 1). 4 Soluzione. Sommiamo le frazioni algebriche: ( + 1) ( + ) 4 ( 1) 4 Moltiplichiamo entrambi i membri per 4, che è un numero positivo: ( + 1) ( + ) 4 ( 1) 4 = ( + 1) ( + ) ( 1) Svolgiamo i calcoli: = = 4 Il coefficiente dell incognita è negativo. ividiamo entrambi i membri per cambiando il verso della disequazione: 4 = Quindi: S = { } = (, ] Esercizio. Risolvi la disequazione 1 ( + 5) > 1 ( ). Soluzione. Sommiamo le frazioni algebriche: + 5 > Moltiplichiamo entrambi i membri per, che è un numero positivo: + 5 > = + 5 > = 0 >

32 8 disequazioni Come si vede, l incognita è scomparsa. Abbiamo ricondotto la disequazione a una disuguaglianza vera. Quindi la disequazione è indeterminata, ovvero è verificata qualunque sia il valore dell incognita : S = R Esercizio 4. Risolvi la disequazione ( + ) 4( + 1) < 1. Soluzione. Svolgiamo i calcoli: < 1 = 0 < 1 che è una disuguagolianza falsa. unque la disequazione è impossibile, ovvero non ha soluzioni: S = Esercizio 5. Risolvi la disequazione ( 1) + 5 <. Soluzione. Svolgiamo i calcoli: < = + 5 < 1 = < = < 1 Quindi: 1 S = { < 1 } = (, 1) Esercizio 6. Risolvi la disequazione Soluzione. Il mcm dei denominatori è 10. Quindi: 5( ) ( + ) 10 Moltiplichiamo entrambi i membri per 10, che è un numero positivo: 5( ) 10 ( + ) = = 11 = Quindi:

33 .4 disequazioni lineari 9 S = { } =, + ) Esercizio 7. Risolvi la disequazione > 4 7. Soluzione. Portiamo a sinistra i termini con l incognita e a destra i termini noti: Quindi: 6 4 > 7 1 = 8 > 8 = < 1 1 S = { < 1 } = (, 1) Nell esercizio precedente avremmo potuto ricavare, portando le a destra e i termini noti a sinistra: > 4 6 = 8 > 8 Leggendo la relazione da destra a sinistra: 8 < 8 = < 1 che coincide con il risultato precedente. In generale, si può isolare l incognita in modo che il suo coefficiente risulti positivo, portandola nel membro più opportuno. Esercizio 8. Risolvi la disequazione 1 ( 1 ) 1 ( 1 ) < + 6. Soluzione. Svolgiamo i calcoli: Il mcm dei denominatori è 6. Quindi: < < + 6 = < + = 0 < La disequazione si riduce dunque alla disuguaglianza 0 <, che è vera. Quindi la disequazione è indeterminata, ovvero è verificata qualunque sia il valore dell incognita :

34 0 disequazioni S = R Se nella disequazione precedente ci fosse stato > al posto di <, avremmo ottenuto la disuguaglianza 0 >, che è falsa. unque la disequazione non avrebbe avuto soluzioni, ossia S =. Esercizio 9. Risolvi ( 1 )( + 1 ) ( )( + 1 ) Soluzione. Svolgiamo i calcoli: = Il mcm dei denominatori è 10: = 10 5 = 1 0 = 0 Quindi: 0 S = { 0 } = (, 0].5 disequazioni di secondo grado efinizione 8. Una disequazione di secondo grado è detta in forma normale se si presenta in una delle seguenti forme: a + b + c 0 a + b + c > 0 a + b + c 0 a + b + c < 0 dove a, b e c sono numeri reali, con a 0. Si può sempre portare una disequazione di secondo grado in forma normale, trasportando tutti i termini al primo membro e sommando i monomi simili.

35 .5 disequazioni di secondo grado 1 Esercizio 40. Porta la disequazione + in forma normale. Soluzione. Trasportiamo a sinistra tutti i termini e sommiamo i monomi simili: + 0 = efinizione 9. ata una disequazione di secondo grado, si chiama equazione associata l equazione che si ottiene sostituendo il simbolo di disuguaglianza con l uguale. Esercizio 41. Risolvi l equazione associata alla disequazione Soluzione. Per scrivere l equazione associata basta sostituire l uguale al simbolo di maggiore: 4 + = 0 = ( 1)( ) = 0 da cui = 1 = efinizione 10. ata una disequazione di secondo grado in forma normale, si chiama parabola associata la parabola che si ottiene ponendo y uguale al primo membro della disequazione. Esercizio 4. Traccia la parabola associata alla disequazione Soluzione. La disequazione è già in forma normale. Basta allora porre y uguale al primo membro della disequazione: y = 4 + Poiché il coefficiente di è 1, che è positivo, la parabola volge la concavità verso l alto. Inoltre la parabola interseca l asse nei punti che corrispondono alle soluzioni dell equazione associata 4 + = 0 che abbiamo trovato nell esercizio precedente, ovvero 1 e.

36 disequazioni 1 La figura precedente rappresenta la parabola in questione. Esercizio 4. isegna la parabola associata alla disequazione Soluzione. La disequazione è già in forma normale. Basta allora porre y uguale al primo membro della disequazione. y = + 9 Poiché il coefficiente di è 1, che è negativo, la parabola volge la concavità verso il basso. Inoltre la parabola interseca l asse nei punti che corrispondono alle soluzioni dell equazione associata: + 9 = 0 = = 9 = = ± La figura precedente rappresenta la parabola in questione. Per risolvere una disequazione di secondo grado si procede come segue: si porta la disequazione in forma normale si risolve l equazione associata si disegna la parabola associata si individua l insieme soluzione sul grafico in base al verso della disequazione: il primo membro della disequazione ha segno positivo quando la parabola sta sopra l asse, negativo quando sta sotto l asse, e si annulla quando interseca l asse

37 .5 disequazioni di secondo grado Esercizio 44. Risolvi la disequazione Soluzione. La disequazione è già in forma normale. L equazione associata ha per soluzioni 1 e (vedi l esercizio 41). La parabola associata volge la concavità verso l alto ed è secante l asse (cioè lo tocca in due punti distinti: vedi l esercizio 4). 1 Individuiamo l insieme soluzione sul grafico in base al verso della disequazione. La disequazione è verificata quando il primo membro è positivo o nullo, ovvero quando la parabola sta sopra l asse o lo interseca. 1 Abbiamo disegnato con una linea più spessa i punti che costituiscono l insieme soluzione, evidenziando con un pallino pieno gli estremi dell intervallo 1 e per indicare che essi appartengono all insieme soluzione. In conclusione, l insieme soluzione è: S = { 1 } = (, 1], ) Esercizio 45. Risolvi la disequazione 4 + > 0. Soluzione. La parabola associata è la stessa dell esercizio precedente. La disequazione è verificata quando il primo membro è positivo, ovvero quando la parabola sta sopra l asse. 1

38 4 disequazioni Abbiamo evidenziato con un pallino vuoto gli estremi dell intervallo 1 e per indicare che essi non appartengono all insieme soluzione, che é: S = { < 1 > } = (, 1) (, ) Esercizio 46. Risolvi la disequazione Soluzione. La parabola associata è la stessa dei due esercizi precedenti. La disequazione è verificata quando il primo membro è negativo o nullo, ovvero quando la parabola sta sotto l asse o lo interseca. 1 Quindi: S = { 1 } = 1, ] Esercizio 47. Risolvi la disequazione 4 + < 0. Soluzione. La parabola associata è la stessa dei tre esercizi precedenti. La disequazione è verificata quando il primo membro è negativo, ovvero quando la parabola sta sotto l asse. 1 Quindi: S = { 1 < < } = (1, ) Esercizio 48. Risolvi la disequazione Soluzione. La disequazione è già in forma normale. Risolviamo l equazione associata: = 0 = ( ) = 0 = = 0 = =

39 .5 disequazioni di secondo grado 5 La parabola associata volge la concavità verso l alto ed è tangente all asse (cioè lo tocca in un solo punto). La disequazione è verificata quando il primo membro è positivo o nullo, ovvero quando la parabola sta sopra l asse (cosa che avviene per ogni diverso da ) o lo interseca (cosa che avviene per = ). La disequazione è sempre verificata: S = R Esercizio 49. Risolvi la disequazione > 0. Soluzione. La parabola associata è la stessa dell esercizio precedente. La disequazione è verificata quando il primo membro è positivo, ovvero quando la parabola sta sopra l asse (cosa che avviene per ogni diverso da ). Quindi la disequazione è verificata per ogni diverso da : S = R \ { }

40 6 disequazioni Esercizio 50. Risolvi la disequazione Soluzione. La parabola associata è la stessa dei due esercizi precedenti. La disequazione è verificata quando il primo membro è negativo, ovvero quando la parabola sta sotto l asse (cosa che non avviene mai) o lo interseca (cosa che avviene per = ). Quindi: S = { } Esercizio 51. Risolvi la disequazione < 0. Soluzione. La parabola associata è la stessa dei tre esercizi precedenti. La disequazione è verificata quando il primo membro è negativo o nullo, ovvero quando la parabola sta sotto l asse (cosa che non avviene mai). La disequazione è impossibile: S = Esercizio 5. Risolvi la disequazione Soluzione. La disequazione è già in forma normale. L equazione associata = 0 è impossibile, perché = = < 0.

41 .5 disequazioni di secondo grado 7 La parabola associata volge la concavità verso l alto ed è esterna all asse (cioè non lo interseca mai). La disequazione è verificata quando la parabola sta sopra l asse (cosa che avviene sempre) o lo interseca. Quindi la disequazione è sempre verificata: S = R Esercizio 5. Risolvi la disequazione > 0. Soluzione. La parabola associata è la stessa dell esercizio precedente. La disequazione è verificata quando il primo membro è positivo o nullo, ovvero quando la parabola sta sopra l asse (cosa che avviene sempre). Come nell esercizio precedente, la disequazione è sempre verificata: S = R

42 8 disequazioni Esercizio 54. Risolvi la disequazione Soluzione. La parabola associata è la stessa dei due esercizi precedenti. La disequazione è verificata quando il primo membro è negativo o nullo, ovvero quando la parabola sta sotto l asse o lo interseca (cosa che non avviene mai). La disequazione è impossibile: S = Esercizio 55. Risolvi la disequazione Soluzione. La parabola associata è la stessa dei tre esercizi precedenti. La disequazione è verificata quando il primo membro è negativo, ovvero quando la parabola sta sotto l asse (cosa che non avviene mai). Come nell esercizio precedente, la disequazione è impossibile: S = La figura 1 rappresenta tutti i casi possibili di una disequazione di secondo grado con a > 0. Esercizio 56. Risolvi la disequazione 4 0. Soluzione. La disequazione è già in forma normale. Risolviamo l equazione associata: 4 = 0 = = 4 = = ± La parabola associata volge la concavità verso il basso ed è secante l asse.

43 .5 disequazioni di secondo grado 9 a + b + c 0 > 0 a + b + c > 0 > 0 a + b + c 0 > 0 a + b + c < 0 > (a) L equazione associata ha due soluzioni distinte 1 e, e la disequazione è verificata se 1 oppure (b) L equazione associata ha due soluzioni distinte 1 e, e la disequazione è verificata se < 1 oppure > (c) L equazione associata ha due soluzioni distinte 1 e, e la disequazione è verificata se 1 (d) L equazione associata ha due soluzioni distinte 1 e, e la disequazione è verificata se 1 < < a + b + c 0 = 0 a + b + c > 0 = 0 a + b + c 0 = 0 a + b + c < 0 = (e) L equazione associata ha una sola soluzione 1, e la disequazione è sempre verificata (f) L equazione associata ha una sola soluzione 1, e la disequazione è verificata per ogni 1 (g) L equazione associata ha una sola soluzione 1, e la disequazione è verificata solo se = 1 (h) L equazione associata ha una sola soluzione 1, e la disequazione non è mai verificata a + b + c 0 < 0 a + b + c > 0 < 0 a + b + c 0 < 0 a + b + c < 0 < 0 (i) L equazione associata non ha soluzioni e la disequazione è sempre verificata (j) L equazione associata non ha soluzioni e la disequazione è sempre verificata (k) L equazione associata non ha soluzioni e la disequazione non è mai verificata (l) L equazione associata non ha soluzioni e la disequazione non è mai verificata Figura 1: Tutti i casi possibili di una disequazione di secondo grado con a > 0

44 40 disequazioni La disequazione è verificata quando la parabola sta sopra l asse o lo interseca. Quindi: S = { } =, ] In alternativa, per risolvere la disequazione dell esercizio precedente si possono moltiplicare per 1 entrambi i membri, cambiando il verso della disequazione, che diventa: 4 0 La parabola associata volge la concavità verso l alto e la disequazione è verificata quando la parabola sta sotto l asse o lo interseca. L insieme soluzione coincide con quello trovato in precedenza..6 disequazioni di grado superiore al secondo efinizione 11. Una disequazione di grado superiore al secondo è detta in forma normale se si presenta in una delle seguenti forme: P() 0 P() > 0 P() 0 P() < 0 dove P() è un polinomio nella variabile. In base al grado di P() la disequazione sarà di terzo, quarto, quinto grado, e così via. Per risolvere una disequazione di grado superiore al secondo si procede come segue:

45 .6 disequazioni di grado superiore al secondo 41 si porta la disequazione in forma normale si scompone in fattori il polinomio al primo membro si studia il segno di ciascun fattore, ponendolo maggiore o uguale a zero si costruisce la tabella dei segni, segnando con un pallino pieno gli zeri di ciascun fattore e del prodotto si determinano gli intervalli in cui il polinomio assume il segno richiesto Esercizio 57. Risolvi la disequazione 9 < 0. Soluzione. La disequazione è già in forma normale. Scomponiamo in fattori il polinomio al primo membro: ( 9) < 0 = ( )( + ) < 0 Studiamo il segno di ciascun fattore. Primo fattore: 0 0 Secondo fattore: Terzo fattore: 0 = + 0 = Costruiamo la tabella dei segni. F 1 F F P + +

46 4 disequazioni In cima alla tabella precedente c è la retta reale con i numeri in gioco (, 0 e ) in ordine crescente. Le righe della tabella indicano gli intervalli dove i fattori F 1, F e F e il prodotto P sono positivi (+) o negativi ( ). Abbiamo inoltre segnato con un pallino pieno gli zeri di ciascun fattore e del prodotto. La disequazione è verificata quando il polinomio al primo membro, ovvero il prodotto P, è negativo ( ). Quindi: F 1 F F P S + + Abbiamo disegnato l insieme soluzione con una linea spessa. Per indicare che, 0 e non sono soluzioni li abbiamo evidenziati con un pallino vuoto. L insieme soluzione è dunque: S = { < 0 < < } = (, ) (0, ) Esercizio 58. Risolvi la disequazione 9 0. Soluzione. La tabella dei segni è la stessa dell esercizio precedente. La disequazione è verificata quando il prodotto è negativo ( ) o nullo (pallino pieno). F 1 F F P S + + L insieme soluzione è dunque: S = { 0 } = (, ] 0, ]

47 .6 disequazioni di grado superiore al secondo 4 Esercizio 59. Risolvi la disequazione 9 > 0. Soluzione. La tabella dei segni è la stessa dei due esercizi precedenti. La disequazione è verificata quando il prodotto è positivo (+). F 1 F F P S + + L insieme soluzione è dunque: S = { < < 0 > } = (, 0) (, + ) Esercizio 60. Risolvi la disequazione 9 0. Soluzione. La tabella dei segni è la stessa dei tre esercizi precedenti. La disequazione è verificata quando il prodotto è positivo (+) o nullo (pallino pieno). F 1 F F P S + + L insieme soluzione è dunque: S = { 0 } =, 0], + ) Esercizio 61. Risolvi la disequazione Soluzione.

48 44 disequazioni La disequazione è già in forma normale. Scomponiamo in fattori il polinomio al primo membro: ( 4)( + 4) 0 = ( )( + )( + 4) 0 Studiamo il segno di ciascun fattore. Primo fattore: 0 = Secondo fattore: + 0 = Terzo fattore: L equazione associata = 0 è impossibile. La parabola associata volge la concavità verso l alto e sta sempre sopra l asse, per cui il terzo fattore è positivo per qualunque valore reale di. Costruiamo la tabella dei segni. F 1 F F P S + +

49 .6 disequazioni di grado superiore al secondo 45 La disequazione è verificata quando il prodotto è negativo ( ) o nullo (pallino pieno). Quindi l insieme soluzione è: S = { } =, ] Nella disequazione precedente, il fattore + 4, in quanto sempre positivo, avrebbe potuto essere trascurato perché non influenza il segno del polinomio, oppure semplificato applicando il secondo principio delle disequazioni. Esercizio 6. Risolvi la disequazione < 0. Soluzione. Basta un semplice ragionamento per capire che l equazione è impossibile. Infatti 4 è un numero maggiore o uguale a zero, e aggiungendo 16 a un numero maggiore o uguale a zero si ottiene un numero maggiore o uguale a 16, per cui non si ottiene mai un numero negativo. In conclusione: S = Se nella disequazione precedente ci fosse stato > al posto di <, la disequazione sarebbe stata sempre verificata. Infatti ripetendo il ragionamento precedente si conclude che il primo membro è sempre positivo. In definitiva: S = R. Esercizio 6. Risolvi la disequazione < 0. Soluzione. La disequazione è già in forma normale. Per scomporre in fattori il polinomio al primo membro poniamo = t. Il polinomio diventa t 5t + 4, che è un trinomio speciale e si scompone come (t 4)(t 1). Ritorniamo all incognita ponendo t = : ( 4)( 1) < 0 = ( )( + )( 1)( + 1) < 0 Studiamo il segno di ciascun fattore. Primo fattore: 0 = Secondo fattore: + 0 =

50 46 disequazioni Terzo fattore: 1 0 = 1 1 Quarto fattore: = 1 1 Costruiamo la tabella dei segni. F 1 F F F P S La disequazione è verificata quando il prodotto è negativo ( ). Quindi: S = { < < 1 1 < < } = (, 1) (1, ) Esercizio 64. Risolvi la disequazione Soluzione. La disequazione è già in forma normale. Scomponiamo il polinomio al primo membro P() con la regola di Ruffini. P(1) = = = 0 quindi P() si scompone come ( 1)Q(), con Q() polinomio di secondo grado.

51 .6 disequazioni di grado superiore al secondo Quindi: ( 1)( 5 + 6) = ( 1)( )( ) = ( 1)( )( ) 0 Studiamo il segno di ciascun fattore. Primo fattore: 1 0 = 1 1 Secondo fattore: 0 = Terzo fattore: 0 = Costruiamo la tabella dei segni. F 1 F F P S + + La disequazione è verificata quando il prodotto è negativo ( ) o nullo (pallino pieno). Quindi: S = { 1 } = (, 1], ]

52 48 disequazioni.7 disequazioni fratte efinizione 1. Una disequazione si dice fratta (o frazionaria) se, eventualmente dopo aver applicato i principi di equivalenza, è riconducibile a una delle seguenti forme normali: N() () 0 N() () > 0 N() () 0 N() () < 0 dove N() e () sono polinomi nella variabile. Per risolvere una disequazione fratta si procede come segue: si porta la disequazione in forma normale si studia il segno del numeratore e del denominatore della frazione al primo membro, ponendo ciascuno di essi maggiore o uguale a zero si costruisce la tabella dei segni, segnando con un pallino pieno gli zeri del numeratore, del denominatore e della frazione, e con un pallino vuoto i punti in cui la frazione non esiste (che corrispondono agli zeri del denominatore) si individuano gli intervalli in cui la frazione assume il segno richiesto Esercizio 65. Risolvi la disequazione 1 < 0. Soluzione. La disequazione è già in forma normale. Studiamo il segno del numeratore e del denominatore. Numeratore: 0 = enominatore: 1 0 = 1 1 Costruiamo la tabella dei segni.

53 .7 disequazioni fratte 49 N F + + In cima alla tabella c è la retta reale con i numeri in gioco (1 e ) in ordine crescente. Le righe indicano gli intervalli in cui il numeratore N, il denominatore e la frazione F sono positivi (+) o negativi ( ). Abbiamo inoltre segnato con un pallino pieno gli zeri del numeratore e del denominatore: gli zeri del numeratore corrispondono a punti in cui la frazione F si annulla (indicati anch essi con un pallino pieno), mentre gli zeri del denominatore corrispondono a punti in cui la frazione non esiste (indicati con un pallino vuoto). La disequazione è verificata quando la frazione F è negativa ( ). Quindi: N F S + + Abbiamo disegnato l insieme soluzione con una linea spessa. Per indicare che 1 e non appartengono all insieme soluzione li abbiamo evidenziati con un pallino vuoto. L insieme soluzione è dunque: S = { 1 < < } = (1, ) Esercizio 66. Risolvi la disequazione 0. 1 Soluzione. La tabella dei segni è la stessa dell esercizio precedente. La disequazione è verificata quando la frazione è negativa ( ) o nulla (pallino pieno).

54 50 disequazioni N F S + + Abbiamo disegnato l insieme soluzione con una linea spessa. Per indicare che 1 non è soluzione mentre lo è, li abbiamo evidenziati con un pallino vuoto e un pallino pieno, rispettivamente. Quindi: S = { 1 < } = (1, ] Esercizio 67. Risolvi la disequazione 1 > 0. Soluzione. La tabella dei segni è la stessa dei due esercizi precedenti. La disequazione è verificata quando la frazione è positiva (+). N F S + + Quindi: S = { < 1 > } = (, 1) (, + ) Esercizio 68. Risolvi la disequazione 0. 1 Soluzione. La tabella dei segni è la stessa dei tre esercizi precedenti. la disequazione è verificata quando la frazione è positiva (+) o nulla (pallino pieno).

55 .7 disequazioni fratte 51 N F S + + Quindi: S = { < 1 } = (, 1), + ) Esercizio 69. Risolvi la disequazione 6 4 < 0. Soluzione. La disequazione è già in forma normale. Studiamo il segno del numeratore e del denominatore. Numeratore: 6 0 = enominatore: 4 0 = 4 4 Costruiamo la tabella dei segni. N F S + La disequazione è verificata quando la frazione è negativa ( ). Quindi: S = { < > 4 } = (, ) (4, + )

56 5 disequazioni Esercizio 70. Risolvi la disequazione Soluzione. La disequazione è già in forma normale. Studiamo il segno del numeratore e del denominatore. Numeratore: Risolviamo l equazione associata: = 0 = = 4 = = ± La parabola associata volge la concavità verso l alto ed è secante l asse. La disequazione è verificata quando la parabola sta sopra l asse o lo interseca. enominatore: Risolviamo l equazione associata: = 0 = ( )( 5) = 0 da cui = = 5 La parabola associata volge la concavità verso l alto ed è secante l asse. La disequazione è verificata quando la parabola sta sopra l asse o lo interseca. 5 Costruiamo la tabella dei segni.

57 .7 disequazioni fratte 5 N F S + + Per = il numeratore e il denominatore sono entrambi nulli (li abbiamo contrassegnati entrambi con un pallino pieno), e dunque la frazione non esiste (pallino vuoto). La disequazione è verificata quando la frazione è negativa ( ) o nulla (pallino pieno). Quindi: S = { < 5, } =, 5) \ { } Esercizio 71. Risolvi la disequazione Soluzione. La disequazione è già in forma normale. Studiamo il segno del numeratore e del denominatore. Numeratore: Risolviamo l equazione associata: = 0 = ( ) = 0 = = 0 = = La parabola associata volge la concavità verso l alto ed è secante l asse. La disequazione è verificata quando la parabola sta sopra l asse (cosa che avviene per ogni ) o lo interseca (cosa che avviene per = ).

58 54 disequazioni enominatore: Risolviamo l equazione associata: + 6 = 0 = ( + )( ) = 0 da cui = = La parabola associata volge la concavità verso l alto ed è secante l asse. La disequazione è verificata quando il primo membro è positivo o nullo, ovvero quando la parabola sta sopra l asse o lo interseca. Costruiamo la tabella dei segni. N F S + + Per = il numeratore e il denominatore sono entrambi nulli (li abbiamo contrassegnati entrambi con un pallino pieno), e dunque la frazione non esiste (pallino vuoto). La disequazione è verificata quando la frazione è positiva (+) o nulla (pallino pieno). Quindi l insieme soluzione è: S = { < > } = (, ) (, + )

1 Fattorizzazione di polinomi

1 Fattorizzazione di polinomi 1 Fattorizzazione di polinomi Polinomio: un polinomio di grado n nella variabile x, è dato da p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 con a n 0, a 0 è detto termine noto, a k è detto coefficiente

Dettagli

LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO Definizione: un equazione è di secondo grado se, dopo aver applicato i principi di equivalenza, si può scrivere nella forma, detta normale: ax + bx + c 0!!!!!con!a 0 Le lettere

Dettagli

Precorso di Matematica

Precorso di Matematica UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE FACOLTA DI ARCHITETTURA Precorso di Matematica Anna Scaramuzza Anno Accademico 2005-2006 4-10 Ottobre 2005 INDICE 1. ALGEBRA................................. 3 1.1 Equazioni

Dettagli

Equazioni e disequazioni. M.Simonetta Bernabei, Horst Thaler

Equazioni e disequazioni. M.Simonetta Bernabei, Horst Thaler Equazioni e disequazioni M.Simonetta Bernabei, Horst Thaler A(x)=0 x si chiama incognita dell equazione. Se oltre all incognita non compaiono altre lettere l equazione si dice numerica, altrimenti letterale.

Dettagli

CORSO ZERO DI MATEMATICA

CORSO ZERO DI MATEMATICA UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PALERMO FACOLTÀ DI ARCHITETTURA CORSO ZERO DI MATEMATICA EQUAZIONI E DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO Dr. Erasmo Modica erasmo@galois.it EQUAZIONI DI SECONDO GRADO Definizione: Dicesi

Dettagli

Le equazioni di I grado

Le equazioni di I grado Le equazioni di I grado ITIS Feltrinelli anno scolastico 007-008 R. Folgieri 007-008 1 Le equazioni abbiamo una uguaglianza tra due quantità (espressioni algebriche, perché nei due termini ci possono essere

Dettagli

Prontuario degli argomenti di Algebra

Prontuario degli argomenti di Algebra Prontuario degli argomenti di Algebra NUMERI RELATIVI Un numero relativo è un numero preceduto da un segno + o - indicante la posizione rispetto ad un punto di riferimento a cui si associa il valore 0.

Dettagli

1. riconoscere la risolubilità di equazioni e disequazioni in casi particolari

1. riconoscere la risolubilità di equazioni e disequazioni in casi particolari Secondo modulo: Algebra Obiettivi 1. riconoscere la risolubilità di equazioni e disequazioni in casi particolari 2. risolvere equazioni intere e frazionarie di primo grado, secondo grado, grado superiore

Dettagli

Matematica per le scienze sociali Equazioni e disequazioni. Francesco Lagona

Matematica per le scienze sociali Equazioni e disequazioni. Francesco Lagona Matematica per le scienze sociali Equazioni e disequazioni Francesco Lagona University of Roma Tre F. Lagona (francesco.lagona@uniroma3.it) 1 / 19 Outline 1 Equazioni algebriche 2 Equazioni di primo grado

Dettagli

Disequazioni di secondo grado

Disequazioni di secondo grado Disequazioni di secondo grado. Disequazioni Definizione: una disequazione è una relazione di disuguaglianza tra due espressioni. Detti p() e g() due polinomi definiti in un insieme A, una disequazione

Dettagli

Disequazioni in una incognita. La rappresentazione delle soluzioni

Disequazioni in una incognita. La rappresentazione delle soluzioni Disequazioni in una incognita Una disequazione in una incognita è una disuguaglianza tra due espressioni contenenti una variabile (detta incognita) verificata solo per particolari valori attribuirti alla

Dettagli

3 Equazioni e disequazioni.

3 Equazioni e disequazioni. 3 Equazioni e disequazioni. 3. Equazioni. Una equazione algebrica è un uguaglianza tra espressioni letterali soddisfatta per alcuni valori attribuiti alle lettere che vi compaiono. Tali valori sono detti

Dettagli

Esercizi 2016/17 - Analisi I - Ing. Edile Architettura Esponenziali e logaritmi

Esercizi 2016/17 - Analisi I - Ing. Edile Architettura Esponenziali e logaritmi Esercizi 06/7 - Analisi I - Ing. Edile Architettura Esponenziali e logaritmi Esercizio. Risolvere la seguente equazione: Soluzione. ) x+ ) x 7 x = 0 7 L equazione è definita per ogni x 0, valore in cui

Dettagli

DIPARTIMENTO DI MATEMATICA A.S EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL 2

DIPARTIMENTO DI MATEMATICA A.S EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL 2 DIPARTIMENTO DI MATEMATICA A.S. 00-05 EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL 1. EQUAZIONI RISOLVIBILI MEDIANTE SCOMPOSIZIONE. EQUAZIONI BINOMIE. EQUAZIONI TRINOMIE. EQUAZIONI RECIPROCHE 1. EQUAZIONI RISOLVIBILI

Dettagli

( ) ( ) 2 + 3( a + b) = ( ) + b( x 1) = ( ) ( ) b( x + y) = ( ) x 2 ( a + b) y 2 + ( a + b) = ( ) + ( a b) = ( ) a( 4x + 7) = ( ) + 3a( 2 5y) =

( ) ( ) 2 + 3( a + b) = ( ) + b( x 1) = ( ) ( ) b( x + y) = ( ) x 2 ( a + b) y 2 + ( a + b) = ( ) + ( a b) = ( ) a( 4x + 7) = ( ) + 3a( 2 5y) = 1 Scomposizione in fattori di un polinomio Scomporre in fattori un polinomio significa trasformare il polinomio, che è una somma algebrica di monomi, nel prodotto di fattori con il grado più basso possibile.

Dettagli

LE DISEQUAZIONI LINEARI

LE DISEQUAZIONI LINEARI LE DISEQUAZIONI LINEARI Per ricordare H Una disequazione si rappresenta come una disuguaglianza fra due espressioni algebriche A e B ; essa assume dunque la forma A Per risolvere una disequazione

Dettagli

Disequazioni - ulteriori esercizi proposti 1

Disequazioni - ulteriori esercizi proposti 1 Disequazioni - ulteriori esercizi proposti Trovare le soluzioni delle seguenti disequazioni o sistemi di disequazioni:. 5 4 >. 4. < 4. 4 9 5. 9 > 6. > 7. < 8. 5 4 9. > > 4. < 4. < > 9 4 Non esitate a comunicarmi

Dettagli

Le disequazioni di primo grado

Le disequazioni di primo grado Le disequazioni di primo grado Cos è una disequazione? Una disequazione è una disuguaglianza tra due espressioni algebriche (una delle quali deve contenere un incognita) che può essere vera o falsa a seconda

Dettagli

Le disequazioni frazionarie (o fratte)

Le disequazioni frazionarie (o fratte) Le disequazioni frazionarie (o fratte) Una disequazione si dice frazionaria (o fratta) se l'incognita compare al denominatore. Esempi di disequazioni fratte sono: 0 ; ; < 0 ; ; Come per le equazioni fratte,

Dettagli

1 Disquazioni di primo grado

1 Disquazioni di primo grado 1 Disquazioni di primo grado 1 1 Disquazioni di primo grado Si assumono assodate le regole per la risoluzione delle equazioni lineari Ricordando che una disuguaglianza è una scrittura tra due espressioni

Dettagli

UNITÀ DIDATTICA 2 LE FUNZIONI

UNITÀ DIDATTICA 2 LE FUNZIONI UNITÀ DIDATTICA LE FUNZIONI. Le funzioni Definizione. Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di R. Si chiama funzione di A in B una qualsiasi legge che fa corrispondere a ogni elemento A uno ed un solo

Dettagli

EQUAZIONI, DISEQUAZIONI E SISTEMI

EQUAZIONI, DISEQUAZIONI E SISTEMI EQUAZIONI, DISEQUAZIONI E SISTEMI RICHIAMI DI TEORIA Definizione: sia f una funzione reale di variabile reale. Gli elementi del dominio di f su cui la funzione assume valore nullo costituiscono l' insieme

Dettagli

MATEMATICA EQUAZIONI FRATTE, DI SECONDO GRADO O SUPERIORE GSCATULLO

MATEMATICA EQUAZIONI FRATTE, DI SECONDO GRADO O SUPERIORE GSCATULLO MATEMATICA EQUAZIONI FRATTE, DI SECONDO GRADO O SUPERIORE GSCATULLO Equazioni fratte, di secondo grado o superiore Le equazioni di secondo grado Un equazione è di secondo grado se si può scrivere nella

Dettagli

x 2 + (x+4) 2 = 20 Alle equazioni di secondo grado si possono applicare i PRINCIPI di EQUIVALENZA utilizzati per le EQUAZIONI di PRIMO GRADO.

x 2 + (x+4) 2 = 20 Alle equazioni di secondo grado si possono applicare i PRINCIPI di EQUIVALENZA utilizzati per le EQUAZIONI di PRIMO GRADO. EQUAZIONI DI SECONDO GRADO Un'equazione del tipo x 2 + (x+4) 2 = 20 è un'equazione DI SECONDO GRADO IN UNA INCOGNITA. Alle equazioni di secondo grado si possono applicare i PRINCIPI di EQUIVALENZA utilizzati

Dettagli

DISEQUAZIONI ALGEBRICHE

DISEQUAZIONI ALGEBRICHE DISEQUAZIONI ALGEBICHE Classe II a.s. 00/0 prof.ssa ita Schettino INTEVALLI DI Impariamo cosa sono gli intervalli di numeri reali Sono sottoinsiemi continui di numeri reali e possono essere limitati o

Dettagli

Esercizi sulle Disequazioni

Esercizi sulle Disequazioni Esercizi sulle Disequazioni Esercizio Trovare le soluzioni delle seguenti disequazioni:.).).).) ).) ) ).).7) 8.8).) Esercizio Trovare le soluzioni delle seguenti disequazioni tratte dal secondo parziale

Dettagli

Elementi sulle diseguaglianze tra numeri relativi

Elementi sulle diseguaglianze tra numeri relativi Elementi sulle diseguaglianze tra numeri relativi Dati due numeri disuguali a e b risulta a>b oppure ao oppure a-b

Dettagli

matematica per le seconde

matematica per le seconde lorenzo pantieri matematica per le seconde degli istituti professionali www.ipscesena.it Questo lavoro, scrit- to per gli alunni dell Istituto Versari-Macrelli di Cesena, spiega il programma di matematica

Dettagli

Un monomio è in forma normale se è il prodotto di un solo fattore numerico e di fattori letterali con basi diverse. Tutto quanto sarà detto di

Un monomio è in forma normale se è il prodotto di un solo fattore numerico e di fattori letterali con basi diverse. Tutto quanto sarà detto di DEFINIZIONE Espressione algebrica costituita dal prodotto tra una parte numerica (coefficiente) e una o più variabili e/o costanti (parte letterale). Variabili e costanti possono comparire elevate a potenza

Dettagli

3. Segni della funzione (positività e negatività)

3. Segni della funzione (positività e negatività) . Segni della funzione (positività e negatività) Questo punto, qualora sia possibile algebricamente, ci permette di stabilire il segno che assume la variabile dipendente y (che esprime il valore della

Dettagli

Liceo Classico D. Alighieri A.S Studio di Funzione. Prof. A. Pisani. Esempio

Liceo Classico D. Alighieri A.S Studio di Funzione. Prof. A. Pisani. Esempio Liceo Classico D. Alighieri A.S. 0-3 y Data la funzione: Studio di Funzione tracciatene il grafico nel piano cartesiano. Prof. A. Pisani Esempio ) Tipo e grado della funzione La funzione è analitica, data

Dettagli

MODULO 3 TITOLO EQUAZIONI E DISEQUAZIONI ALGEBRICHE DI PRIMO GRADO FINALITA OBIETTIVI

MODULO 3 TITOLO EQUAZIONI E DISEQUAZIONI ALGEBRICHE DI PRIMO GRADO FINALITA OBIETTIVI MODULO TITOLO FINALITA EQUAZIONI E DISEQUAZIONI ALGEBRICHE DI PRIMO GRADO Risoluzione delle equazioni e delle disequazioni algebriche di primo grado con una o più incognite e loro applicazioni PREREQUISITI

Dettagli

Le eguaglianze algebriche: Identità ed Equazioni

Le eguaglianze algebriche: Identità ed Equazioni Le eguaglianze algebriche: Identità ed Equazioni Le eguaglianze algebriche possono essere di due tipi 1 - Identità - Equazioni L eguaglianza è verificata da qualsiasi valore attribuito alle lettere L eguaglianza

Dettagli

LO STUDIO DI FUNZIONE ESERCIZI CON SOLUZIONI

LO STUDIO DI FUNZIONE ESERCIZI CON SOLUZIONI Autore: Enrico Manfucci - 6/05/0 LO STUDIO DI FUNZIONE ESERCIZI CON SOLUZIONI PREMESSA Per Studio di funzione si intende disegnare il grafico di una funzione data la sua espressione analitica. Questo significa

Dettagli

Equazioni frazionarie e letterali

Equazioni frazionarie e letterali Equazioni frazionarie e letterali 17 17.1 Equazioni di grado superiore al primo riducibili al primo grado Nel capitolo 15 abbiamo affrontato le equazioni di primo grado. Adesso consideriamo le equazioni

Dettagli

Programma di Matematica. Classe 1 B odont / d anno scolastico 2009/10 Insegnante: Maria Teresa DI PRIZIO IL CALCOLO NUMERICO IL CALCOLO LETTERALE

Programma di Matematica. Classe 1 B odont / d anno scolastico 2009/10 Insegnante: Maria Teresa DI PRIZIO IL CALCOLO NUMERICO IL CALCOLO LETTERALE Programma di Matematica Classe 1 B odont / d anno scolastico 2009/10 Insegnante: Maria Teresa DI PRIZIO IL CALCOLO NUMERICO I numeri naturali e numeri razionali Definizione di numero naturale e le quattro

Dettagli

Radicali. 2.1 Radici. Il simbolo

Radicali. 2.1 Radici. Il simbolo Radicali. Radici.. Radici quadrate Ricordiamo che il quadrato di un numero reale a è il numero che si ottiene moltiplicando a per se stesso. Il quadrato di un numero è sempre un numero non negativo; numeri

Dettagli

Nozioni fondamentali sulle disequazioni

Nozioni fondamentali sulle disequazioni Capitolo 1 n n n n Nozioni fondamentali sulle disequazioni Disequazioni intere di primo e di secondo grado Sistemi. Regola dei segni Disequazioni binomie e trinomie n Nozioni fondamentali sulle disequazioni

Dettagli

Precorso CLEF-CLEI, esercizi di preparazione al test finale con soluzioni

Precorso CLEF-CLEI, esercizi di preparazione al test finale con soluzioni Precorso CLEF-CLEI, esercizi di preparazione al test finale con soluzioni ARITMETICA 1. Scomporre in fattori primi 2500 e 5600. Soluzione: Osserviamo che entrambi i numeri sono multipli di 100 = 2 2 5

Dettagli

I RADICALI QUADRATICI

I RADICALI QUADRATICI I RADICALI QUADRATICI 1. Radici quadrate Definizione di radice quadrata: Si dice radice quadrata di un numero reale positivo o nullo a, e si indica con a, il numero reale positivo o nullo (se esiste) che,

Dettagli

Equazioni di 2 grado

Equazioni di 2 grado Equazioni di grado Tipi di equazioni: Un equazione (ad una incognita) è di grado se può essere scritta nella forma generale (o forma tipica o ancora forma canonica): a b c con a, b e c numeri reali (però

Dettagli

Equazioni di grado superiore al secondo

Equazioni di grado superiore al secondo Equazioni di grado superiore al secondo 5 51 L equazione di terzo grado, un po di storia Trovare un numero il cui cubo, insieme con due suoi quadrati e dieci volte il numero stesso, dia come somma 0 Il

Dettagli

Istituto d Istruzione Superiore Francesco Algarotti

Istituto d Istruzione Superiore Francesco Algarotti Classe: 1 M Docente: Antonio M. Povelato CAPITOLO 1 - Insiemi e numeri naturali Concetti primitivi di insieme e di elemento. Relazioni di appartenenza, inclusione e eguaglianza tra insiemi. Rappresentazione

Dettagli

www.matematicamente.it Verifica classe II liceo scientifico: equazioni, disequazioni, problemi di 2 grado 1

www.matematicamente.it Verifica classe II liceo scientifico: equazioni, disequazioni, problemi di 2 grado 1 www.matematicamente.it Verifica classe II liceo scientifico: equazioni, disequazioni, problemi di grado 1 Verifica di matematica, classe II liceo scientifico Equazioni di secondo grado, equazioni frazionarie,

Dettagli

CONTENUTI. Ci proponiamo un ripasso di argomenti sicuramente svolti nelle scuole superiori e quindi noti a tutti. I grado II grado

CONTENUTI. Ci proponiamo un ripasso di argomenti sicuramente svolti nelle scuole superiori e quindi noti a tutti. I grado II grado CONTENUTI Ci proponiamo un ripasso di argomenti sicuramente svolti nelle scuole superiori e quindi noti a tutti EQUAZIONI I grado II grado intere fratte intere fratte EQUAZIONI ALGEBRICHE generalità Dicesi

Dettagli

Premessa. retta orientata diseguaglianze diverso intervallo di estremi a e b 1) a < x < b aperto N.B.: 2) a x b chiuso N.B.: 3) a x < b semichiuso

Premessa. retta orientata diseguaglianze diverso intervallo di estremi a e b 1) a < x < b aperto N.B.: 2) a x b chiuso N.B.: 3) a x < b semichiuso Premessa. Ci sono problemi, alcuni appartenenti anche alla vita quotidiana, che possono essere risolti attraverso una disequazione, ossia un espressione algebrica formata da due membri, contenenti un incognita,

Dettagli

Esercizio 1. f(x) = 4 5x2 x 2 +x 2. Esercizio 2. f(x) = x2 16. Esercizio 3. f(x) = x2 1 9 x 2

Esercizio 1. f(x) = 4 5x2 x 2 +x 2. Esercizio 2. f(x) = x2 16. Esercizio 3. f(x) = x2 1 9 x 2 Matematica ed Informatica+Fisica ESERCIZI Modulo di Matematica ed Informatica Corso di Laurea in CTF - anno acc. 2013/2014 docente: Giulia Giantesio, gntgli@unife.it Esercizi 8: Studio di funzioni Studio

Dettagli

Argomento 2 IIparte Funzioni elementari e disequazioni

Argomento 2 IIparte Funzioni elementari e disequazioni Argomento IIparte Funzioni elementari e disequazioni Applicazioni alla risoluzione di disequazioni Disequazioni di I grado Per la risoluzione delle disequazioni di primo grado per via algebrica, si veda

Dettagli

3x + x 5x = x = = 4 + 3x ; che equivale, moltiplicando entrambi i membri per 2, a risolvere. 4x + 6 x = 4 + 3x.

3x + x 5x = x = = 4 + 3x ; che equivale, moltiplicando entrambi i membri per 2, a risolvere. 4x + 6 x = 4 + 3x. 1 Soluzioni esercizi 1.1 Equazioni di 1 e grado Risolvere le seguenti equazioni di 1 grado: 1) 3x 5x = 1 x. Abbiamo: 3x + x 5x = 1 + x = 1 + 4 x = 5. ) x + 3 x = + 3x. Facciamo il m.c.m. : 4x + 6 x = 4

Dettagli

MATEMATICA PROPEDEUTICA PER LO STUDIO DELLE FUNZIONI GSCATULLO

MATEMATICA PROPEDEUTICA PER LO STUDIO DELLE FUNZIONI GSCATULLO MATEMATICA PROPEDEUTICA PER LO STUDIO DELLE FUNZIONI GSCATULLO 1 Propedeutica alle Funzioni Premessa Questo documento vuole essere una preparazione per lo studio delle funzioni, comprendendo tutte quelle

Dettagli

Definizione 1.6 (di grado di una equazione) Si dice grado di una equazione intera ridotta in forma normale il massimo esponente dell incognita.

Definizione 1.6 (di grado di una equazione) Si dice grado di una equazione intera ridotta in forma normale il massimo esponente dell incognita. 1 Le equazioni Consideriamo espressioni algebriche contenenti una sola incognita, che indicheremo con x, le quali verranno indicate con i simboli f(x), g(x), h(x),.... Il valore assunto dall espressione

Dettagli

Le equazioni. 2x 3 = x + 1. Definizione e caratteristiche

Le equazioni. 2x 3 = x + 1. Definizione e caratteristiche 1 Definizione e caratteristiche Chiamiamo equazione l uguaglianza tra due espressioni algebriche, che è verificata solo per particolari valori che vengono attribuiti alle variabili. L espressione che si

Dettagli

ANALISI MATEMATICA PER IL CdL IN INFORMATICA ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI

ANALISI MATEMATICA PER IL CdL IN INFORMATICA ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI ANALISI MATEMATICA PER IL CdL IN INFORMATICA ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI Risolvere le seguenti disequazioni: ( 1 ) x < x + 1 1) 4x + 4 x ) x + 1 > x 4x x 10 ) x 4 x 5 4x + > ; 4) ; 5) 0; ) x 1 x + 1 x

Dettagli

Sistemi di 1 grado in due incognite

Sistemi di 1 grado in due incognite Sistemi di 1 grado in due incognite Problema In un cortile ci sono polli e conigli: in totale le teste sono 7 e zampe 18. Quanti polli e quanti conigli ci sono nel cortile? Soluzione Indichiamo con e con

Dettagli

Equazioni di grado superiore al II

Equazioni di grado superiore al II Equaioni di grado superiore al II Equaioni binomie Un equaione binomia è un equaione che, ridotta a forma normale, è del tipo a n + b 0. Per risolvere una tale equaione, volendo cercare anche le soluioni

Dettagli

Equazione esponenziale a x = b con 0<a<1 oppure a>1; x R; b>0

Equazione esponenziale a x = b con 0<a<1 oppure a>1; x R; b>0 Equazione esponenziale a x = b con 00 Proprietà delle potenze: a n. b n = ( a. b ) n a n : b n = ( a : b ) n a n. a m = a n+m a n : a m = a n-m ( a n ) m = a n a n/m n a = a -n/m

Dettagli

PROGRAMMA MATEMATICA Classe 1 A AFM anno scolastico

PROGRAMMA MATEMATICA Classe 1 A AFM anno scolastico Classe 1 A AFM anno scolastico 2014-2015 I numeri naturali rappresentazione dei numeri naturali, le quattro operazioni, multipli e divisori di un numero. Criteri di divisibilità, le potenze, le espressioni

Dettagli

ESERCIZIARIO DI MATEMATICA

ESERCIZIARIO DI MATEMATICA Dipartimento di rete matematica ESERCIZIARIO DI MATEMATICA PER PREPARARSI ALLA SCUOLA SUPERIORE progetto Continuità SCUOLA SECONDARIA DI I GRADO Istituti comprensivi: Riva Riva Arco Dro Valle dei Laghi

Dettagli

Equazioni di primo grado ad un incognita

Equazioni di primo grado ad un incognita Equazioni di primo grado ad un incognita Identità Si dice IDENTITÀ un uguaglianza fra due espressioni letterali che è verificata per ogni valore attribuito alle lettere. 2 = 2 è un identità =3 2 3=2 3

Dettagli

PROGRAMMA MATEMATICA Classe 1 A AFM anno scolastico

PROGRAMMA MATEMATICA Classe 1 A AFM anno scolastico PROGRAMMA MATEMATICA Classe 1 A AFM anno scolastico 2015-2016 I numeri naturali rappresentazione dei numeri naturali, le quattro operazioni, multipli e divisori di un numero. Criteri di divisibilità, le

Dettagli

Liceo Classico e Internazionale C. Botta Ivrea LAVORI ESTIVI

Liceo Classico e Internazionale C. Botta Ivrea LAVORI ESTIVI Liceo Classico e Internazionale C. Botta Ivrea LAVORI ESTIVI Anno scolastico: 05-0 Classe: B, E, F, G, I, L,M Docente: Battuello, Bosco, Fecchio, Ferrero, Gerace, Menaldo Disciplina Matematica Ripassare

Dettagli

Calcolo letterale. 1. Quale delle seguenti affermazioni è vera?

Calcolo letterale. 1. Quale delle seguenti affermazioni è vera? Calcolo letterale 1. Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) m.c.m.(49a b 3 c, 4a 3 bc ) = 98a 3 b 3 c (b) m.c.m.(49a b 3 c, 4a 3 bc ) = 98a 3 b 3 c (XX) (c) m.c.m.(49a b 3 c, 4a 3 bc ) = 49a bc

Dettagli

Matematica per esami d idoneità o integrativi della classe 1 ITI

Matematica per esami d idoneità o integrativi della classe 1 ITI UNI EN ISO 9001:2008 I.I.S. PRIMO LEVI Torino ISTITUTO TECNICO - LICEO SCIENTIFICO - LICEO SCIENTIFICO Scienze Applicate LICEO SCIENTIFICO SPORTIVO Contenuti di Matematica per esami d idoneità o integrativi

Dettagli

EQUAZIONI DI PRIMO GRADO

EQUAZIONI DI PRIMO GRADO Cognome... Nome... Equazioni di primo grado EQUAZIONI DI PRIMO GRADO Un'equazione di primo grado e un'uguaglianza tra due espressioni algebriche di primo grado, vera solo per alcuni valori che si attribuiscono

Dettagli

ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI I

ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI I ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI I Risolvere le seguenti disequazioni: 1 1) { x < x + 1 4x + 4 x ) { x + 1 > x 4x x 10 ) x 4 x 5 4x + > ; 4) ; 5) x 1 x + 1 x + 1 0 ) x > x 0 7) x > 4x + 1; 8) 4 5 x 1 < 1 x

Dettagli

Richiami di Matematica - Esercizi 21/98

Richiami di Matematica - Esercizi 21/98 Richiami di Matematica - Esercizi 1/98 ESERCIZI. Principi di equivalenza: 1) A(x) > B(x) A(x) + C(x) > B(x) + C(x) ) Se k > 0 allora A(x) > B(x) ka(x) > kb(x) 3) Se k < 0 allora A(x) > B(x) ka(x) < kb(x)

Dettagli

Calcolo letterale. è impossibile (*) x y. per x = -25; impossibile per y= Impossibile. 15 y

Calcolo letterale. è impossibile (*) x y. per x = -25; impossibile per y= Impossibile. 15 y Calcolo letterale Calcolo letterale e operazioni - L uso delle lettere al posto dei numeri si utilizza per scrivere proprietà e regole dandone una valenza più generale rispetto ad un restrittivo esempio

Dettagli

Equazioni di secondo grado

Equazioni di secondo grado Equazioni di secondo grado Un equazione di secondo grado può sempre essere ridotta nella forma: a + bx + c 0 forma normale con a 0. Le lettere a, b, c sono rappresentano i coefficienti. Solo b e c possono

Dettagli

RICHIAMI SU RETTA, PARABOLA E DISEQUAZIONI. Angela Donatiello 1

RICHIAMI SU RETTA, PARABOLA E DISEQUAZIONI. Angela Donatiello 1 RICHIAMI SU RETTA, PARABOLA E DISEQUAZIONI Angela Donatiello 1 Una funzione del tipo f() = m + q, con m e q numeri reali, è una FUNZIONE LINEARE. Il numero q è detto INTERCETTA o ORDINATA ALL ORIGINE,

Dettagli

Δ > 0, f(x)<0 quindi valori interni 0<x<4. Δ <0 f(x)>0 quindi sempre verificata

Δ > 0, f(x)<0 quindi valori interni 0<x<4. Δ <0 f(x)>0 quindi sempre verificata Classe TERZA A inf. MATEMATICA : SOSPENSIONE DEL GIUDIZIO Devi svolgere su di un quaderno tutti gli esercizi di queste pagine, anche quelli già risolti come esempio e consegnarmelo il giorno della prova

Dettagli

B5. Equazioni di primo grado

B5. Equazioni di primo grado B5. Equazioni di primo grado Risolvere una equazione significa trovare il valore da mettere al posto dell incognita (di solito si utilizza la lettera x) in modo che l uguaglianza risulti verificata. Ciò

Dettagli

MATEMATICA LA CIRCONFERENZA GSCATULLO

MATEMATICA LA CIRCONFERENZA GSCATULLO MATEMATICA LA CIRCONFERENZA GSCATULLO La Circonferenza La circonferenza e la sua equazione Introduzione e definizione La circonferenza è una conica, ovvero quella figura ottenuta tagliando un cono con

Dettagli

Conoscenze. L operazione di divisione (la divisione di due polinomi) - La divisibilità fra polinomi (la regola di Ruffini, il teorema. del resto.

Conoscenze. L operazione di divisione (la divisione di due polinomi) - La divisibilità fra polinomi (la regola di Ruffini, il teorema. del resto. Classe: TERZA (Liceo Artistico) Pagina 1 / 2 della Matematica La scomposizione dei polinomi in fattori primi L operazione di divisione (la divisione di due polinomi) - La divisibilità fra polinomi (la

Dettagli

1. Funzioni reali di una variabile reale

1. Funzioni reali di una variabile reale Di cosa parleremo In questo capitolo introduttivo ci occuperemo di funzioni reali di una variabile reale; precisamente, daremo dei criteri per la determinazione del campo di esistenza delle varie tipologie

Dettagli

LICEO SCIENTIFICO STATALE Enrico Fermi Anno Scolastico 2008/09. Scomposizioni in fattori dei polinomi. Frazioni algebriche

LICEO SCIENTIFICO STATALE Enrico Fermi Anno Scolastico 2008/09. Scomposizioni in fattori dei polinomi. Frazioni algebriche LICEO SCIENTIFICO STATALE Enrico Fermi Anno Scolastico 2008/09 Classe II E - corso Tecnologico Scomposizioni in fattori dei polinomi Scomposizione di un polinomio in fattori Concetto di scomposizione Raccoglimento

Dettagli

Liceo Classico e Internazionale C. Botta Ivrea LAVORI ESTIVI

Liceo Classico e Internazionale C. Botta Ivrea LAVORI ESTIVI Liceo Classico e Internazionale C. Botta Ivrea LAVORI ESTIVI Anno scolastico: 0-05 Classe A clac B E F G H lisl Docenti: Gerace, Ricci, Battuello, Fecchio, Ferrero Disciplina: MATEMATICA Tutti gli studenti

Dettagli

Sallustio Bandini. Programma di Matematica Classe 1^ A Tur a.s Prof.ssa Bruna Lopraino

Sallustio Bandini. Programma di Matematica Classe 1^ A Tur a.s Prof.ssa Bruna Lopraino Classe 1^ A Tur a.s. 2015-2016 Prof.ssa Bruna Lopraino Modulo 1: Gli insiemi numerici I Numeri naturali: L insieme dei numeri naturali e le operazioni su esso definite, proprietà delle operazioni, Le potenze

Dettagli

Geometria analitica di base (seconda parte)

Geometria analitica di base (seconda parte) SAPERE Al termine di questo capitolo, avrai appreso: il concetto di luogo geometrico la definizione di funzione quadratica l interpretazione geometrica di un particolare sistema di equazioni di secondo

Dettagli

Secondo parziale di Matematica per l Economia (esempio)

Secondo parziale di Matematica per l Economia (esempio) Corso di Laurea in Economia e Management Secondo parziale di Matematica per l Economia (esempio) lettere E-Z, a.a. 206 207 prof. Gianluca Amato Regole generali Si svolga il primo esercizio e, a scelta

Dettagli

Breve formulario di matematica

Breve formulario di matematica Luciano Battaia a 2 = a ; lim sin = 1, se 0; sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β; f() = e 2 f () = 2e 2 ; sin d = cos + k; 1,2 = b± ; a m a n = 2a a n+m ; log a 2 = ; = a 2 + b + c; 2 + 2 = r 2 ; e

Dettagli

Equazioni di Primo grado

Equazioni di Primo grado Equazioni di Primo grado Definizioni Si dice equazione di primo grado un uguaglianza tra due espressioni algebriche verificata solo per un determinato valore della variabile x, detta incognita. Si chiama

Dettagli

Istituto Tecnico Nautico San Giorgio - Genova - Anno scolastico PROGRAMMA SVOLTO DI MATEMATICA

Istituto Tecnico Nautico San Giorgio - Genova - Anno scolastico PROGRAMMA SVOLTO DI MATEMATICA Classe: 1 a C Libro di testo: Bergamini Trifone Barozzi Matematica verde vol. 1 ed. Zanichelli Insiemi Definizione di insieme, rappresentazione grafica, tabulare, caratteristica di un insieme Gli insiemi

Dettagli

Diseguaglianze e disequazioni. definizioni proprietà tecniche risolutive

Diseguaglianze e disequazioni. definizioni proprietà tecniche risolutive Diseguaglianze e disequazioni definizioni proprietà tecniche risolutive Che cosa è una diseguaglianza? Una diseguaglianza è una relazione di ordine che intercorre fra numeri. Le possibili relazioni sono:

Dettagli

D) LE DISEQUAZIONI COL SIMBOLO DI VALORE ASSOLUTO

D) LE DISEQUAZIONI COL SIMBOLO DI VALORE ASSOLUTO 364 ) LE ISEQUAZIONI COL SIMBOLO I VALORE ASSOLUTO Iniziamo da alcuni casi particolari. 1) 5 < 3 Il valore assoluto di un numero è uguale (vedi pag. 354, definizione 3) alla distanza dall origine del punto

Dettagli

Esponenziali e logaritmi (M.Simonetta Bernabei & Horst Thaler)

Esponenziali e logaritmi (M.Simonetta Bernabei & Horst Thaler) Esponenziali e logaritmi (M.Simonetta Bernabei & Horst Thaler) La funzione esponenziale f con base a é definita da f(x) = a x dove a > 0, a 1, e x é un numero reale. Ad esempio, f(x) = 3 x e g(x) = 0.5

Dettagli

raggruppiamo il quadrato di binomio dividiamo per 0 effettuiamo i calcoli a secondo membro Distinguiamo i tre casi: 2 ± 2 ; 2 = 0 ; + si ottiene, =

raggruppiamo il quadrato di binomio dividiamo per 0 effettuiamo i calcoli a secondo membro Distinguiamo i tre casi: 2 ± 2 ; 2 = 0 ; + si ottiene, = Equazioni di II grado Equazione di II grado completa Un equazione di II grado è un equazione che, ridotta a forma normale, è del tipo ++=0 con 0. Per risolverla occorre calcolare il discriminante dell

Dettagli

Equazioni di primo grado

Equazioni di primo grado Equazioni di primo grado Si dicono equazioni le uguaglianze tra due espressioni algebriche che sono verificate solo per particolari valori di alcune lettere, dette incognite. In altre parole, un'uguaglianza

Dettagli

Equazioni di I e II grado

Equazioni di I e II grado Corso di Laurea: Biologia Tutor: Marta Floris, Max Artizzu PRECORSI DI MATEMATICA Equazioni di I e II grado 1 Introduzione ai polinomi Un incognita è un simbolo letterale che sta a simboleggiare un valore

Dettagli

Espressioni algebriche: espressioni razionali

Espressioni algebriche: espressioni razionali Espressioni algebriche: espressioni razionali definizione: Il rapporto fra due polinomi si dice espressione razionale. Le espressioni razionali in una sola variabile si scrivono nella forma generale esempio:

Dettagli

Esercizi svolti sugli integrali

Esercizi svolti sugli integrali Esercizio. Calcolare il seguente integrale indefinito x dx. Soluzione. Poniamo da cui x = t derivando rispetto a t abbiamo t = x x = t dx dt = quindi ( t x dx = ) poiché t = t, abbiamo t dt = = in definitiva:

Dettagli

Chi non risolve esercizi non impara la matematica.

Chi non risolve esercizi non impara la matematica. 5.5 esercizi 9 Per trovare la seconda equazione ragioniamo così: la parte espropriata del primo terreno è x/00, la parte espropriata del secondo è y/00 e in totale sono stati espropriati 000 m, quindi

Dettagli

Liceo Scientifico Statale. Leonardo Da Vinci

Liceo Scientifico Statale. Leonardo Da Vinci Liceo Scientifico Statale Leonardo Da Vinci Via Possidonea, 8-89100 Reggio Calabria - Tel: 0965-29911 / 312063 www.liceovinci.rc.it Anno Scolastico 2005-2006 Disequazioni Esponenziali e Logaritmiche Prof.

Dettagli

IIIIS VIIA SIILVESTRII 301 Pllesso «ALESSANDRO VOLTA» Programma di MATEMATICA Classe 1aL Indirizzo LICEO DELLE SCIENZE APPLICATE Anno

IIIIS VIIA SIILVESTRII 301 Pllesso «ALESSANDRO VOLTA» Programma di MATEMATICA Classe 1aL Indirizzo LICEO DELLE SCIENZE APPLICATE Anno IIIIS VIIA SIILVESTRII 301 Pllesso «ALESSANDRO VOLTA» Programma di MATEMATICA Classe 1aL Indirizzo LICEO DELLE SCIENZE APPLICATE Anno Scolastico 2014-2015 (3 pagine) ALGEBRA 1. I NUMERI NATURALI E I NUMERI

Dettagli

Potenze - Monomi - Polinomi - Operazioni tra Polinomi - Quadrato e Cubo del Binomio - Quadrato del Trinomio

Potenze - Monomi - Polinomi - Operazioni tra Polinomi - Quadrato e Cubo del Binomio - Quadrato del Trinomio Potenze - Monomi - Polinomi - Operazioni tra Polinomi - Quadrato e Cubo del Binomio - Quadrato del Trinomio Francesco Zumbo www.francescozumbo.it http://it.geocities.com/zumbof/ Questi appunti vogliono

Dettagli

Svolgimento degli esercizi del Capitolo 1

Svolgimento degli esercizi del Capitolo 1 Analisi Matematica a edizione Svolgimento degli esercizi del Capitolo a) Si ha perciò si distinguono due casi: I) se x < 7,siha x 7 se x 7 x 7 7 x se x < 7, x 7 7 x x x 5 x 5, e poiché 5 > 7 la disequazione

Dettagli

Anno Scolastico 2015/16 PROGRAMMAZIONE ANNUALE CLASSE TERZA LICEO LINGUISTICO LICEO DELLE SCIENZE UMANE LICEO ECONOMICO-SOCIALE LICEO MUSICALE

Anno Scolastico 2015/16 PROGRAMMAZIONE ANNUALE CLASSE TERZA LICEO LINGUISTICO LICEO DELLE SCIENZE UMANE LICEO ECONOMICO-SOCIALE LICEO MUSICALE LICEO LAURA BASSI - BOLOGNA Anno Scolastico 2015/16 PROGRAMMAZIONE ANNUALE CLASSE TERZA LICEO LINGUISTICO LICEO DELLE SCIENZE UMANE LICEO ECONOMICO-SOCIALE LICEO MUSICALE MATEMATICA ARGOMENTI: DIVISIONE

Dettagli

Monomi e Polinomi. Monomio Si dice monomio un espressione letterale in cui figurano solo operazioni di moltiplicazione.

Monomi e Polinomi. Monomio Si dice monomio un espressione letterale in cui figurano solo operazioni di moltiplicazione. Monomi e Polinomi Monomio Si dice monomio un espressione letterale in cui figurano solo operazioni di moltiplicazione. ) Sono monomi: 5 a 3 b 2 z; 2 3 a2 c 9 ; +7; 8a b 3 a 2. Non sono monomi: a + 2; xyz

Dettagli

Verifica di matematica, classe II liceo scientifico sistemi, problemi con sistemi, radicali, equiestensione. risolvere con il metodo di Cramer

Verifica di matematica, classe II liceo scientifico sistemi, problemi con sistemi, radicali, equiestensione. risolvere con il metodo di Cramer Verifica di matematica, classe II liceo scientifico sistemi, problemi con sistemi, radicali, equiestensione 1. 5 x y x 3y 1 risolvere con il metodo di Cramer. x 1 3 y y x 3 risolvere con il metodo di riduzione

Dettagli

Soluzioni. 1. Calcolare la parte reale e immaginaria del numero complesso. z = i i. 3 (2 + i) = i i = i.

Soluzioni. 1. Calcolare la parte reale e immaginaria del numero complesso. z = i i. 3 (2 + i) = i i = i. 20 Roberto Tauraso - Analisi 2 Soluzioni 1. Calcolare la parte reale e immaginaria del numero complesso R. z = i + 3 2 i. z = i + 3 2 i 2 i = 6 5 + ( 1 + 3 5 3 (2 + i) = i + 2 4 + 1 ) i = 6 5 + 8 5 i.

Dettagli

4. Determina le misure dei tre lati x, y, z di un triangolo sapendo che il perimetro è 53cm, inoltre

4. Determina le misure dei tre lati x, y, z di un triangolo sapendo che il perimetro è 53cm, inoltre www.matematicamente.it Verifica II liceo scientifico: Sistemi, Radicali, Equiestensione 1 Verifica di matematica, classe II liceo scientifico Sistemi, problemi con sistemi, radicali, equiestensione 1.

Dettagli