Equazioni. Una equazione è una espressione del tipo:
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- Silvia Andreoli
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1 Equazioni Una equazione è una espressione del tipo: ε = δ, dove ε e δ sono termini di un linguaggio algebrico, e possono contenere numeri, variabili, operazioni,... Equazioni Novembre / 17
2 Equazioni Una equazione è una espressione del tipo: ε = δ, dove ε e δ sono termini di un linguaggio algebrico, e possono contenere numeri, variabili, operazioni,... Le equazioni che studieremmo adesso sono le equazioni (polinomiche) di primo e secondo grado. Equazioni di grado 1: ax + b = 0. Equazioni di grado 2: ax 2 + bx + c = 0. Equazioni Novembre / 17
3 Equazioni Una equazione è una espressione del tipo: ε = δ, dove ε e δ sono termini di un linguaggio algebrico, e possono contenere numeri, variabili, operazioni,... Le equazioni che studieremmo adesso sono le equazioni (polinomiche) di primo e secondo grado. Equazioni di grado 1: ax + b = 0. Equazioni di grado 2: ax 2 + bx + c = 0. Principio fondamentale Se entrambi i due membri di una equazione vengono modificate nello stesso modo, allora l uguaglianza si preserva. Equazioni Novembre / 17
4 Regole mnemoniche Quello che sta sommando in un membro passa restando all altro. ε + A = δ ε = δ A ε = δ + A ε A = δ Equazioni Novembre / 17
5 Regole mnemoniche Quello che sta sommando in un membro passa restando all altro. ε + A = δ ε = δ A ε = δ + A ε A = δ Quello che sta restando in un membro passa sommando all altro. ε A = δ ε = δ + A ε = δ A ε + A = δ Equazioni Novembre / 17
6 Regole mnemoniche Quello che sta moltiplicando un membro passa dividendo l altro. A ε = δ ε = 1 A δ ε = A δ 1 A ε = δ Equazioni Novembre / 17
7 Regole mnemoniche Quello che sta moltiplicando un membro passa dividendo l altro. A ε = δ ε = 1 A δ ε = A δ 1 A ε = δ Quello che sta dividendo un membro passa moltiplicando l altro. 1 A ε = δ ε = A δ ε = 1 A δ A ε = δ Equazioni Novembre / 17
8 Giustificazioni ε + A = δ (1) ε + A A = δ A (2) ε + 0 = δ A (3) ε = δ A (4) Equazioni Novembre / 17
9 Giustificazioni ε + A = δ (1) ε + A A = δ A (2) ε + 0 = δ A (3) ε = δ A (4) A ε = δ (1) 1 A A ε = 1 A δ (2) A A ε = 1 A δ (3) 1 ε = 1 A δ (4) ε = 1 A δ (5) Equazioni Novembre / 17
10 Equazioni di grado 1 ax + b = 0 La soluzione di ax + b = 0 è X = b a. Equazioni Novembre / 17
11 Equazioni di grado 1 ax + b = 0 La soluzione di ax + b = 0 è X = b a. Effettivamente, ax + b = 0 ax = b X = b a. Equazioni Novembre / 17
12 Equazioni di grado 1 ax + b = 0 La soluzione di ax + b = 0 è X = b a. Effettivamente, ax + b = 0 ax = b X = b a. Esempi 2(X + 5) + 4 = 32X 3 X 5 = 10X 3(X 1) 2X = 32X 3 X 5 = 10X 3X + 3 2X 32X = X + 10X + 3X = X = 17 14X = 8 X = X = X = 8 14 X = 4 7 Equazioni Novembre / 17
13 Equazioni di grado 2 ax 2 + bx + c = 0 Le soluzioni generali della equazione ax 2 + bx + c = 0 sono date dalla formula: X = b ± b 2 4ac. 2a Equazioni Novembre / 17
14 Equazioni di grado 2 ax 2 + bx + c = 0 Le soluzioni generali della equazione ax 2 + bx + c = 0 sono date dalla formula: X = b ± b 2 4ac. 2a Esempio (2X + 1) 2 = 3X + 3 4X 2 + 4X + 1 = 3X + 3 4X 2 + 4X 3X = 0 4X 2 + X 2 = 0 X = 1 ± 1 4(4)( 2) 2 4 X = 1 ± 33 8 Equazioni Novembre / 17
15 Casi particolari dell equazione di secondo grado Caso ax 2 + bx = 0 Le soluzioni sono X = 0 e X = b a. Equazioni Novembre / 17
16 Casi particolari dell equazione di secondo grado Caso ax 2 + bx = 0 Le soluzioni sono X = 0 e X = b a. Prima giustificazione: Se ax 2 + bx = 0 allora X(aX + b) = 0. Quindi X = 0 oppure ax + b = 0, perché un prodotto è nullo soltanto se alcuno dei fattori e nullo. Equazioni Novembre / 17
17 Casi particolari dell equazione di secondo grado Caso ax 2 + bx = 0 Le soluzioni sono X = 0 e X = b a. Prima giustificazione: Se ax 2 + bx = 0 allora X(aX + b) = 0. Quindi X = 0 oppure ax + b = 0, perché un prodotto è nullo soltanto se alcuno dei fattori e nullo. Seconda giustificazione: Secondo la formula, le soluzioni di ax 2 + bx = 0 sono X = b ± b 2 4a 0 = b ± b 2 = b ± b = 2a 2a 2a b + b 2a b b 2a = 0 2a = 0, = 2b 2a = b a. Equazioni Novembre / 17
18 Casi particolari dell equazione di secondo grado Caso ax 2 + c = 0 c Le soluzioni sono X = ± a. Equazioni Novembre / 17
19 Casi particolari dell equazione di secondo grado Caso ax 2 + c = 0 c Le soluzioni sono X = ± a. Prima giustificazione: Se ax 2 + c = 0 allora ax 2 = c, e pertanto X 2 = c a. Quindi c X = ± a. Equazioni Novembre / 17
20 Casi particolari dell equazione di secondo grado Caso ax 2 + c = 0 c Le soluzioni sono X = ± a. Prima giustificazione: Se ax 2 + c = 0 allora ax 2 = c, e pertanto X 2 = c a. Quindi Seconda giustificazione: c X = ± a. Secondo la formula, le soluzioni di ax 2 + c = 0 sono X = 0 ± 0 2 4ac = ± 4ac 4ac c = ± 2a 2a 4a 2 = ± a. Equazioni Novembre / 17
21 Il discriminante Notiamo che la soluzione generale di una equazione di secondo grado della forma ax 2 + bx + c = 0 dipende del numero b 2 4ac. Questo numero si chiama il discriminate dell equazione e spesso si denota per. Equazioni Novembre / 17
22 Il discriminante Notiamo che la soluzione generale di una equazione di secondo grado della forma ax 2 + bx + c = 0 dipende del numero b 2 4ac. Questo numero si chiama il discriminate dell equazione e spesso si denota per. Esempio Il discriminante di 2X = 0 è = = 32. Equazioni Novembre / 17
23 Il discriminante Notiamo che la soluzione generale di una equazione di secondo grado della forma ax 2 + bx + c = 0 dipende del numero b 2 4ac. Questo numero si chiama il discriminate dell equazione e spesso si denota per. Esempio Il discriminante di 2X = 0 è = = 32. Il discriminante di X 2 4X + 4 = 0 è = ( 4) = 0. Equazioni Novembre / 17
24 Il discriminante Notiamo che la soluzione generale di una equazione di secondo grado della forma ax 2 + bx + c = 0 dipende del numero b 2 4ac. Questo numero si chiama il discriminate dell equazione e spesso si denota per. Esempio Il discriminante di 2X = 0 è = = 32. Il discriminante di X 2 4X + 4 = 0 è = ( 4) = 0. Il discriminante di X 2 X 1 = 0 è = ( 1) ( 1) = 5. Equazioni Novembre / 17
25 Numero di soluzioni asseconda del discriminante < 0 Se il discriminante è negativo, l equazione non ha nessuna soluzione reale, perché i numeri negativi non hanno una radice quadrata reale! Equazioni Novembre / 17
26 Numero di soluzioni asseconda del discriminante < 0 Se il discriminante è negativo, l equazione non ha nessuna soluzione reale, perché i numeri negativi non hanno una radice quadrata reale! Esempio: 2X = 0 non ha soluzioni reali perché il suo discriminante è = 32 < 0. Equazioni Novembre / 17
27 Numero di soluzioni asseconda del discriminante < 0 Se il discriminante è negativo, l equazione non ha nessuna soluzione reale, perché i numeri negativi non hanno una radice quadrata reale! Esempio: 2X = 0 non ha soluzioni reali perché il suo discriminante è = 32 < 0. = 0 Se il discriminante è nullo, allora l equazione ha una unica soluzione. Equazioni Novembre / 17
28 Numero di soluzioni asseconda del discriminante < 0 Se il discriminante è negativo, l equazione non ha nessuna soluzione reale, perché i numeri negativi non hanno una radice quadrata reale! Esempio: 2X = 0 non ha soluzioni reali perché il suo discriminante è = 32 < 0. = 0 Se il discriminante è nullo, allora l equazione ha una unica soluzione. Esempio: X 2 4X + 4 = 0 ha una unica soluzione, perché il suo discriminante è = 0. Equazioni Novembre / 17
29 Numero di soluzioni asseconda del discriminante < 0 Se il discriminante è negativo, l equazione non ha nessuna soluzione reale, perché i numeri negativi non hanno una radice quadrata reale! Esempio: 2X = 0 non ha soluzioni reali perché il suo discriminante è = 32 < 0. = 0 Se il discriminante è nullo, allora l equazione ha una unica soluzione. Esempio: X 2 4X + 4 = 0 ha una unica soluzione, perché il suo discriminante è = 0. > 0 Se il discriminante è positivo, allora l equazione ha due soluzioni diverse. Equazioni Novembre / 17
30 Numero di soluzioni asseconda del discriminante < 0 Se il discriminante è negativo, l equazione non ha nessuna soluzione reale, perché i numeri negativi non hanno una radice quadrata reale! Esempio: 2X = 0 non ha soluzioni reali perché il suo discriminante è = 32 < 0. = 0 Se il discriminante è nullo, allora l equazione ha una unica soluzione. Esempio: X 2 4X + 4 = 0 ha una unica soluzione, perché il suo discriminante è = 0. > 0 Se il discriminante è positivo, allora l equazione ha due soluzioni diverse. Esempio: X 2 X 1 = 0 ha due soluzioni diverse, perché il suo discriminante è = 5 > 0. Equazioni Novembre / 17
31 Ottenimento della formula della soluzione generale di ax 2 + bx + c = 0 ax 2 + bx + c = 0 4a(aX 2 + bx + c) = 4a 0 4a 2 X 2 + 4abX + 4ac = 0 4a 2 X 2 + 4abX = 4ac 4a 2 X 2 + 4abX + b 2 = b 2 4ac Ma il membro della sinistra è un quadrato: (2aX + b) 2 = b 2 4ac 2aX + b = ± b 2 4ac 2aX = b ± b 2 4ac X = b ± b 2 4ac 2a Equazioni Novembre / 17
32 La storia delle scoperte delle formule Equazioni Novembre / 17
33 La storia delle scoperte delle formule Niccolò Fontana Tartaglia Equazioni Novembre / 17
34 La storia delle scoperte delle formule Nato nella povertà in 1499, fu ferito di bambino durante la presa della sua città per le troppe francese, e questo li affettò la parla. Da quì li viene il soprannome di Tartaglia. Niccolò Fontana Tartaglia Equazioni Novembre / 17
35 La storia delle scoperte delle formule Nato nella povertà in 1499, fu ferito di bambino durante la presa della sua città per le troppe francese, e questo li affettò la parla. Da quì li viene il soprannome di Tartaglia. Il suo collega, Antonio Maria del Fiore, alunno di Scipione del Ferro (chi aveva trovato la soluzione della equazione ax 3 + bx = c), li propose un duello matematico. Niccolò Fontana Tartaglia Equazioni Novembre / 17
36 La storia delle scoperte delle formule Niccolò Fontana Tartaglia Nato nella povertà in 1499, fu ferito di bambino durante la presa della sua città per le troppe francese, e questo li affettò la parla. Da quì li viene il soprannome di Tartaglia. Il suo collega, Antonio Maria del Fiore, alunno di Scipione del Ferro (chi aveva trovato la soluzione della equazione ax 3 + bx = c), li propose un duello matematico. Nella sua avidità per vincere il duello, trovò la formula generale per risolvere le equazioni di terzo grado: ax 3 + bx 2 + cx + d = 0. Equazioni Novembre / 17
37 La storia delle scoperte delle formule Equazioni Novembre / 17
38 La storia delle scoperte delle formule Gerolamo Cardano Equazioni Novembre / 17
39 La storia delle scoperte delle formule Figlio illegittimo di Fazio Cardano, praticò la medicina come professione. Gerolamo Cardano Equazioni Novembre / 17
40 La storia delle scoperte delle formule Figlio illegittimo di Fazio Cardano, praticò la medicina come professione. Ludovico Ferrari arriva all età di 14 anni alla casa di Cardano come servo. Cardano si rese conto che Ferrari sapeva scrivere e lo prese come segretario e alunno di matematica. Gerolamo Cardano Equazioni Novembre / 17
41 La storia delle scoperte delle formule Figlio illegittimo di Fazio Cardano, praticò la medicina come professione. Ludovico Ferrari arriva all età di 14 anni alla casa di Cardano come servo. Cardano si rese conto che Ferrari sapeva scrivere e lo prese come segretario e alunno di matematica. Insieme, Cardano e Ferrari studiano la soluzione della cubica che ottengono di Tartaglia sotto la promessa di non svelarla a nessuno. Gerolamo Cardano Equazioni Novembre / 17
42 La storia delle scoperte delle formule Figlio illegittimo di Fazio Cardano, praticò la medicina come professione. Ludovico Ferrari arriva all età di 14 anni alla casa di Cardano come servo. Cardano si rese conto che Ferrari sapeva scrivere e lo prese come segretario e alunno di matematica. Insieme, Cardano e Ferrari studiano la soluzione della cubica che ottengono di Tartaglia sotto la promessa di non svelarla a nessuno. Ferrari ottiene la soluzione de la quartica, ma non la possono pubblicare perché dipende della soluzione della cubica di Tartaglia. Gerolamo Cardano Equazioni Novembre / 17
43 La storia delle scoperte delle formule A questo punto, Cardano e Ferrari viaggiano a Bologna per incontrare il genere di del Ferro, chi mostra a Cardano e Ferrari, secondo il racconto di Cardano, alcuni documenti di del Ferro dove si trovava la soluzione della cubica. Equazioni Novembre / 17
44 La storia delle scoperte delle formule A questo punto, Cardano e Ferrari viaggiano a Bologna per incontrare il genere di del Ferro, chi mostra a Cardano e Ferrari, secondo il racconto di Cardano, alcuni documenti di del Ferro dove si trovava la soluzione della cubica. Cardano si sente libero della promessa fatta a Tartaglia e pubblica in 1545 la soluzione della cubica e della quartica del suo alunno Ferrari. Equazioni Novembre / 17
45 La storia delle scoperte delle formule A questo punto, Cardano e Ferrari viaggiano a Bologna per incontrare il genere di del Ferro, chi mostra a Cardano e Ferrari, secondo il racconto di Cardano, alcuni documenti di del Ferro dove si trovava la soluzione della cubica. Cardano si sente libero della promessa fatta a Tartaglia e pubblica in 1545 la soluzione della cubica e della quartica del suo alunno Ferrari. Tartaglia, colpito per la notizia, accusa e insulta Cardano in successive lettere che mai non ricevono risposta, sino di Ferrari. Ma Tartaglia pensa che Ferrari è secondario nella storia, e non vuole parlare con Ferrari. Equazioni Novembre / 17
46 La storia delle scoperte delle formule A questo punto, Cardano e Ferrari viaggiano a Bologna per incontrare il genere di del Ferro, chi mostra a Cardano e Ferrari, secondo il racconto di Cardano, alcuni documenti di del Ferro dove si trovava la soluzione della cubica. Cardano si sente libero della promessa fatta a Tartaglia e pubblica in 1545 la soluzione della cubica e della quartica del suo alunno Ferrari. Tartaglia, colpito per la notizia, accusa e insulta Cardano in successive lettere che mai non ricevono risposta, sino di Ferrari. Ma Tartaglia pensa che Ferrari è secondario nella storia, e non vuole parlare con Ferrari. Ferrari sfida a duello matematico (che era pubblico e si faceva ante notaio), ma Tartaglia rifiuta. Equazioni Novembre / 17
47 La storia delle scoperte delle formule A questo punto, Cardano e Ferrari viaggiano a Bologna per incontrare il genere di del Ferro, chi mostra a Cardano e Ferrari, secondo il racconto di Cardano, alcuni documenti di del Ferro dove si trovava la soluzione della cubica. Cardano si sente libero della promessa fatta a Tartaglia e pubblica in 1545 la soluzione della cubica e della quartica del suo alunno Ferrari. Tartaglia, colpito per la notizia, accusa e insulta Cardano in successive lettere che mai non ricevono risposta, sino di Ferrari. Ma Tartaglia pensa che Ferrari è secondario nella storia, e non vuole parlare con Ferrari. Ferrari sfida a duello matematico (che era pubblico e si faceva ante notaio), ma Tartaglia rifiuta. Dopo di un anno, Tartaglia, la cui situazione economica è stata sempre delicata, riceve una offerta di lavoro, ma come condizione deve accettare il duello di Ferrari. Equazioni Novembre / 17
48 La storia delle scoperte delle formule A questo punto, Cardano e Ferrari viaggiano a Bologna per incontrare il genere di del Ferro, chi mostra a Cardano e Ferrari, secondo il racconto di Cardano, alcuni documenti di del Ferro dove si trovava la soluzione della cubica. Cardano si sente libero della promessa fatta a Tartaglia e pubblica in 1545 la soluzione della cubica e della quartica del suo alunno Ferrari. Tartaglia, colpito per la notizia, accusa e insulta Cardano in successive lettere che mai non ricevono risposta, sino di Ferrari. Ma Tartaglia pensa che Ferrari è secondario nella storia, e non vuole parlare con Ferrari. Ferrari sfida a duello matematico (che era pubblico e si faceva ante notaio), ma Tartaglia rifiuta. Dopo di un anno, Tartaglia, la cui situazione economica è stata sempre delicata, riceve una offerta di lavoro, ma come condizione deve accettare il duello di Ferrari. Il mondo (1536) Equazioni Novembre / 17
49 La storia delle scoperte delle formule In 1548 si sviluppa il dibattito in Milano. Tartaglia è incapace di risolvere alcuni problemi che Ferrari pone, mentre lui risolve tutti i problemi di Tartaglia. Equazioni Novembre / 17
50 La storia delle scoperte delle formule In 1548 si sviluppa il dibattito in Milano. Tartaglia è incapace di risolvere alcuni problemi che Ferrari pone, mentre lui risolve tutti i problemi di Tartaglia. Di notte e prima della conclusione del duello, Tartaglia abbandona la città, e dichiarano vincitore a Ferrari. Equazioni Novembre / 17
51 La storia delle scoperte delle formule In 1548 si sviluppa il dibattito in Milano. Tartaglia è incapace di risolvere alcuni problemi che Ferrari pone, mentre lui risolve tutti i problemi di Tartaglia. Di notte e prima della conclusione del duello, Tartaglia abbandona la città, e dichiarano vincitore a Ferrari. Tartaglia muore in 1557 sempre povero. Equazioni Novembre / 17
52 La storia delle scoperte delle formule In 1548 si sviluppa il dibattito in Milano. Tartaglia è incapace di risolvere alcuni problemi che Ferrari pone, mentre lui risolve tutti i problemi di Tartaglia. Di notte e prima della conclusione del duello, Tartaglia abbandona la città, e dichiarano vincitore a Ferrari. Tartaglia muore in 1557 sempre povero. Ferrari lascia la matematica e va in pensione molto giovane e ricco. Puoi, muore in 1565 avvelenato per arsenico, sicuramente da sua sorella, chi eredita la fortuna di suo fratello. Equazioni Novembre / 17
53 La storia delle scoperte delle formule In 1548 si sviluppa il dibattito in Milano. Tartaglia è incapace di risolvere alcuni problemi che Ferrari pone, mentre lui risolve tutti i problemi di Tartaglia. Di notte e prima della conclusione del duello, Tartaglia abbandona la città, e dichiarano vincitore a Ferrari. Tartaglia muore in 1557 sempre povero. Ferrari lascia la matematica e va in pensione molto giovane e ricco. Puoi, muore in 1565 avvelenato per arsenico, sicuramente da sua sorella, chi eredita la fortuna di suo fratello. Cardano è accusato di eresia per i suoi libri e per aver fatto l oroscopo di Gesù, ed è imprigionato in 1570 per qualche mesi. Gregorio XIII Equazioni Novembre / 17
54 La storia delle scoperte delle formule In 1548 si sviluppa il dibattito in Milano. Tartaglia è incapace di risolvere alcuni problemi che Ferrari pone, mentre lui risolve tutti i problemi di Tartaglia. Di notte e prima della conclusione del duello, Tartaglia abbandona la città, e dichiarano vincitore a Ferrari. Tartaglia muore in 1557 sempre povero. Ferrari lascia la matematica e va in pensione molto giovane e ricco. Puoi, muore in 1565 avvelenato per arsenico, sicuramente da sua sorella, chi eredita la fortuna di suo fratello. Cardano è accusato di eresia per i suoi libri e per aver fatto l oroscopo di Gesù, ed è imprigionato in 1570 per qualche mesi. Gregorio XIII Dopo di essere liberato, viaggia a Roma e ottiene una pensione del Papa Gregorio XIII (il riformatore del calendario). Equazioni Novembre / 17
55 La storia delle scoperte delle formule In 1548 si sviluppa il dibattito in Milano. Tartaglia è incapace di risolvere alcuni problemi che Ferrari pone, mentre lui risolve tutti i problemi di Tartaglia. Di notte e prima della conclusione del duello, Tartaglia abbandona la città, e dichiarano vincitore a Ferrari. Tartaglia muore in 1557 sempre povero. Ferrari lascia la matematica e va in pensione molto giovane e ricco. Puoi, muore in 1565 avvelenato per arsenico, sicuramente da sua sorella, chi eredita la fortuna di suo fratello. Cardano è accusato di eresia per i suoi libri e per aver fatto l oroscopo di Gesù, ed è imprigionato in 1570 per qualche mesi. Gregorio XIII Dopo di essere liberato, viaggia a Roma e ottiene una pensione del Papa Gregorio XIII (il riformatore del calendario). Cardano muore in Roma in Equazioni Novembre / 17
56 E l impossible si dimostra! Equazioni Novembre / 17
57 E l impossible si dimostra! Niels Henrik Abel Equazioni Novembre / 17
58 E l impossible si dimostra! Nasce in Norvegia in Niels Henrik Abel Equazioni Novembre / 17
59 E l impossible si dimostra! Nasce in Norvegia in Suo padre muore quando lui era molto giovane, e la sua famiglia ha dei problemi economici. Niels Henrik Abel Equazioni Novembre / 17
60 E l impossible si dimostra! Nasce in Norvegia in Suo padre muore quando lui era molto giovane, e la sua famiglia ha dei problemi economici. In 1821 ottiene una borsa di studio ed entra all università di Christiania (Oslo). Niels Henrik Abel Equazioni Novembre / 17
61 E l impossible si dimostra! Nasce in Norvegia in Suo padre muore quando lui era molto giovane, e la sua famiglia ha dei problemi economici. In 1821 ottiene una borsa di studio ed entra all università di Christiania (Oslo). In 1824 pubblica il suo primo lavoro di rilevanza: dimostra che non esiste nessuna formula per risolvere la equazione generale di grado 5 o più grande. Ma la dimostrazione era difficile e astrusa. Niels Henrik Abel Equazioni Novembre / 17
62 E l impossible si dimostra! Nasce in Norvegia in Suo padre muore quando lui era molto giovane, e la sua famiglia ha dei problemi economici. In 1821 ottiene una borsa di studio ed entra all università di Christiania (Oslo). In 1824 pubblica il suo primo lavoro di rilevanza: dimostra che non esiste nessuna formula per risolvere la equazione generale di grado 5 o più grande. Ma la dimostrazione era difficile e astrusa. Sempre per motivi economici, deve interrompere il suo viaggio di lavoro per Germania e Francia e rientrare alla sua città, laddove lavorerà come maestro. Niels Henrik Abel Equazioni Novembre / 17
63 E l impossible si dimostra! Nasce in Norvegia in Suo padre muore quando lui era molto giovane, e la sua famiglia ha dei problemi economici. In 1821 ottiene una borsa di studio ed entra all università di Christiania (Oslo). In 1824 pubblica il suo primo lavoro di rilevanza: dimostra che non esiste nessuna formula per risolvere la equazione generale di grado 5 o più grande. Ma la dimostrazione era difficile e astrusa. Sempre per motivi economici, deve interrompere il suo viaggio di lavoro per Germania e Francia e rientrare alla sua città, laddove lavorerà come maestro. Abel muore di tubercolosi ai 26 anni. Niels Henrik Abel Equazioni Novembre / 17
64 E l impossible si dimostra! Nasce in Norvegia in Suo padre muore quando lui era molto giovane, e la sua famiglia ha dei problemi economici. In 1821 ottiene una borsa di studio ed entra all università di Christiania (Oslo). In 1824 pubblica il suo primo lavoro di rilevanza: dimostra che non esiste nessuna formula per risolvere la equazione generale di grado 5 o più grande. Ma la dimostrazione era difficile e astrusa. Sempre per motivi economici, deve interrompere il suo viaggio di lavoro per Germania e Francia e rientrare alla sua città, laddove lavorerà come maestro. Abel muore di tubercolosi ai 26 anni. Oggi, uno dei premi più prestigiosi concesso ai matematici più eccezionali porta il suo nome. Niels Henrik Abel Equazioni Novembre / 17
65 E l impossibile si dimostra! Equazioni Novembre / 17
66 E l impossibile si dimostra! Évariste Galois Equazioni Novembre / 17
67 E l impossibile si dimostra! Nasce in 1811, in una città vicina a Pariggi. Évariste Galois Equazioni Novembre / 17
68 E l impossibile si dimostra! Nasce in 1811, in una città vicina a Pariggi. Fa l esame di ingresso nella prestigiosa École polytechnique, ma è rifiutato per due volte (molto probabilmente per la sua attitudine ribelle). Évariste Galois Equazioni Novembre / 17
69 E l impossibile si dimostra! Nasce in 1811, in una città vicina a Pariggi. Fa l esame di ingresso nella prestigiosa École polytechnique, ma è rifiutato per due volte (molto probabilmente per la sua attitudine ribelle). In 1831, ai 19 anni, è fatto prigioniere per partecipare nelle manifestazioni e società repubblicane in due occasioni, rimanendo 1 e 8 mesi in carcere, rispettivamente. Évariste Galois Equazioni Novembre / 17
70 E l impossibile si dimostra! Évariste Galois Nasce in 1811, in una città vicina a Pariggi. Fa l esame di ingresso nella prestigiosa École polytechnique, ma è rifiutato per due volte (molto probabilmente per la sua attitudine ribelle). In 1831, ai 19 anni, è fatto prigioniere per partecipare nelle manifestazioni e società repubblicane in due occasioni, rimanendo 1 e 8 mesi in carcere, rispettivamente. Un mese dopo la sua liberazione perde la vita, ai 20 anni, in un duello (no matematico, ma a spade), forse per motivi amorosi. Equazioni Novembre / 17
71 E l impossibile si dimostra! Évariste Galois Nasce in 1811, in una città vicina a Pariggi. Fa l esame di ingresso nella prestigiosa École polytechnique, ma è rifiutato per due volte (molto probabilmente per la sua attitudine ribelle). In 1831, ai 19 anni, è fatto prigioniere per partecipare nelle manifestazioni e società repubblicane in due occasioni, rimanendo 1 e 8 mesi in carcere, rispettivamente. Un mese dopo la sua liberazione perde la vita, ai 20 anni, in un duello (no matematico, ma a spade), forse per motivi amorosi. Il suo lavoro come matematico non fu capito per i grandi matematici coetanei. Fu il creatore di una nuova forma di guardare l algebra, più moderna i molto avanzata alla sua epoca. Equazioni Novembre / 17
72 E l impossibile si dimostra! Évariste Galois Nasce in 1811, in una città vicina a Pariggi. Fa l esame di ingresso nella prestigiosa École polytechnique, ma è rifiutato per due volte (molto probabilmente per la sua attitudine ribelle). In 1831, ai 19 anni, è fatto prigioniere per partecipare nelle manifestazioni e società repubblicane in due occasioni, rimanendo 1 e 8 mesi in carcere, rispettivamente. Un mese dopo la sua liberazione perde la vita, ai 20 anni, in un duello (no matematico, ma a spade), forse per motivi amorosi. Il suo lavoro come matematico non fu capito per i grandi matematici coetanei. Fu il creatore di una nuova forma di guardare l algebra, più moderna i molto avanzata alla sua epoca. Lui dimostrò, in maniera indipendente e con le tecniche che lui stesso inventò, che non esiste nessuna formula per risolvere le equazioni generali di grado 5 o più grande. Equazioni Novembre / 17
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