Due equazioni si dicono equivalenti quando hanno lo stesso insieme soluzione.

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1 EQU EQUAZIONI Le equzioni costituiscono uno dei contenuti fondmentli dell mtemtic Il concetto di equzione è stto d noi introdotto nel prgrfo dell'ud «Le ppliczioni» Successivmente ci simo occupti delle equzioni in un gruppo Criteri di equivlenz Come sppimo risolvere un'equzione: f() g() () dove f e g sono entrme funzioni di dominio A e codominio B ( in simoli: f g B A ) signific determinr ne l'insiemesoluzione S Assi spesso si perviene d S pplicndo lcune regole di clcolo che consentono di trsformre l'equzione dt in equzioni vi vi più semplici fino d ottenere l cosiddett form cnoni c D quest l'insiemesoluzione si ricv " vist" oppure pplicndo un formul senz effetture ulte riori pssggi Due equzioni si dicono equivlenti qundo hnno lo stesso insiemesoluzione Cercheremo dunque di trsformre l'equzione ssegnt nell form cnonic d ess equivlente Ciò è reso possiile dl seguente: CFE Criterio fondmentle di equivlenz per le equzioni Sino f g B A e ϕ C B Se ϕ è iniettiv l'equzione () è equivlente : ϕ(f()) ϕ(g()) () Dim Indichimo con S e T rispettivmente gli insiemisoluzione delle equzioni () e () Se 0 S risult f( 0 ) g( 0 ) Allor ϕ(f( 0 )) ϕ(g( 0 )) essendo ϕ(f( 0 )) e ϕ(g( 0 )) le immgini in ϕ di uno stesso elemento di B Ne segue che 0 T S T ( ) Vicevers se T risult ϕ(f( )) ϕ(g( )) D quest essendo ϕ per ipotesi un funzione iniettiv si ottiene f( ) g( ) Ne segue che S T S ( ) Dlle ( ) e ( ) congiuntmente si deduce S T Il CFE ssume un rilievo prticolre qulor si pensi un'equzione nell'insieme sostegno di un struttur lgeric In quest unità ci occuperemo esclusivmente di equzioni nel cmpo IR dei numeri reli cioè supporremo sempre che gli insiemi A B C che figurno nell'enuncito del CFE sino sottoinsiemi di IR Tuttvi quello che diremo si pplicherà perfettmente lle equzioni in un qulsisi cmpo IK di infiniti elementi come il cmpo dei numeri rzionli e il cmpo dei numeri complessi che studieremo in seguito P Dim P Dim Per ogni IR l funzione rele di vriile rele definit d () è iniettiv Poiché è un funzione ffine di pendenz e > 0 è str crescente quindi iniettiv Per ogni IR{0} l funzione rele di vriile rele definit d () è iniettiv Poiché è un funzione ffine di pendenz 0 è str monotòn quindi iniettiv

2 Le proposizioni P e P consentono di dimostrre i seguenti criteri di equivlenz per le equzioni in IR Sino f g h B A con A IR e B IR Criterio di ddizione L'equzione () è equivlente : f() h() g() h() () Criterio di moltipliczione Se { / h() 0 } llor l'equzione () è equivlente : f() h() g() h() () Dim Sino S T U rispettivmente gli insiemi soluzione delle equzioni () () () Se 0 S risult f( 0 ) g( 0 ) ( ) Componendo mo i memri dell ( ) con l funzione C B definit d () h( 0 ) si ottiene f( 0 ) h( 0 ) g( 0 ) h( 0 ) È llor 0 T Quindi S T M è un funzione iniettiv Quindi nche T S Componendo mo i memri dell ( ) con l funzione C B definit d () h( 0 ) si ottiene f( 0 ) h( 0 ) g( 0 ) h( 0 ) È llor 0 U Quindi S U M essendo per ipotesi h( 0 ) 0 è un funzione iniettiv Quindi nche U S È dell mssim importnz nlizzre dettglitmente i criteri di equivlenz ppen introdotti In prticolre nell () h può essere un funzione costnte: h() per ogni A L'equzione divent: f() g() () Se si ggiunge d mo i memri di un equzione uno stesso numero rele l'equzione che si ottiene è equivlente quell dt Prendendo h() g() l'equzione () divent: Le equzioni () e () sono fr loro equivlenti f() g() 0 () c d Se h è un funzione rele ogni soluzione dell'equzione h() 0 si dice uno zero di h L'espressione { / h() 0 } rppresent dunque l'insieme degli zeri dell funzione h Il criterio di moltipliczione richiede che questo insieme si vuoto cioè che l funzione h si priv di zeri Or se fccimo cdere quest ipotesi srà sempre S U m non necessrimente U S In ltre prole: se l funzione h possiede degli zeri il pssg gio dll () ll () può comportre l'introduzione di soluzioni estrnee Esse ovvi mente devono essere scrtte per fr sì che l nuov equzione si equivlente quell dt In prticolre nell () h può essere un funzione costnte non null: h() per ogni A con 0 L'equzione divent: f() g() (7) Se si moltiplicno mo i memri di un equzione per uno stesso numero rele diverso d zero l'equzione che si ottiene è equivlente quell dt

3 e A volte le funzioni f e g hnno domini diversi fr loro In questo cso il dominio dell equzione () è: A def Dom(f) Dom(g) (8) I criteri di equivlenz introdotti continuno vlere purché il dominio dell funzione h includ l'insieme A; in simoli: Dom(h) A Se quest relzione non sussiste è possiile che l nuov equzione mmett qul che soluzione in meno rispetto ll'equzione inizile Equzioni polinomili Nell'UD «Anello dei polinomi» imo introdotto l'nello dei polinomi su nelle vriili n Or se in tutti gli enunciti di dett unità sostituimo con IR imo l'nello dei polinomi su IR I polinomi su IR nell (sol) vriile consentono di definire un clsse importnte di funzioni reli Un funzione rele f si dice un funzione polinomile rele o funzione rzionle inter nell vriile se f () è un polinomio su IR nell vriile Il grdo del polinomio che definisce f si dice grdo di f; i coefficienti si dicono coefficienti di f In prticolre il coefficiente del termine di grdo mssimo si dice coefficiente direttivo mentre il coefficien te di 0 si dice termine noto ESEMPI L funzione ffine f() m q qundo m 0 è un funzione polinomile di primo grdo nell vri ile m l pendenz e q l'ordint ll'origine sono i coefficienti di f m è il coefficiente direttivo; q è il termine noto L funzione potenz f() n qundo n è un funzione polinomile di grdo n nell vriile 0 Per n imo l funzione qudrto: f() un cso prticolre di funzione qudrtic: f() c IR {0} c IR È quest un funzione polinomile di secondo grdo nell vriile I coef ficienti di f sono c Il coefficiente direttivo è ; il termine noto è c L funzione rele f definit d f() 8 è un funzione polinomile di quinto gr do nell vriile I coefficienti di f sono 0 8 Il coefficiente direttivo è ; il termine noto è 8 Dte due funzioni polinomili f e g l'uguglinz pert: f() g() () si dice un'equzione polinomile nell'incognit Come sppimo l () è equivlente : Il grdo n del polinomio f() g() si chim grdo dell'equzione () f() g() 0 ()

4 Se n l () si dice un'equzione linere nell'incognit Un'equzione di questo tipo si può sempre ridurre ll form cnonic: m IR {0} q IR L'equzione () h l'unic soluzione m q 0 () q m Dim Aggiungendo q d mo i memri dell () si ottiene l'equzione equivlente m q Moltiplicndo mo i memri di quest per m si ricv m q q m Se n l () si dice un'equzione qudrtic nell'incognit Un'equzione di questo tipo si può sempre ridurre ll form cnonic: IR {0} c IR c 0 () Dicimo suito che le soluzioni dell'equzione () e per estensione le soluzioni di un qulsisi equzione polinomile prendono nche il nome di rdici di ess Quest specile denominzione deriv dll circo stnz che nel risolvere l () doimo estrrre l rdice qudrt di un numero rele precismente di c chimto discriminnte dell'equzione e indicto con (delt) Posto c vle inftti l seguente proposizione L'equzione (): h l'unic rdice h due rdici se 0; è impossiile se < 0 se > 0; Dim Ponendo l primo memro dell (): si ottiene: y c (y ) ( y L'equzione divent y ( 0 ) 0 equivlente : y ) c y ( ) Or essendo > 0 per ogni 0 il segno del secondo memro dell ( ) dipende soltnto dl segno di Sono dunque possiili tre csi second che si 0 > 0 < 0 Se 0 llor y 0 Ne segue L'equzione () h l'unic rdice Se > 0 llor y y Ne segue L'equzione () h due rdici Se < 0 y non esiste Ne segue che non esiste L'equzione () è impossiile

5 Se c 0 le soluzioni dell'equzione () si sogliono rppresentre medinte l formul: ± c chimt formul risolutiv generle dell'equzione qudrtic Spesso è utile porre: c c Qundo c 0 è ovvimente In questo cso si us dire che l'equzione (): «h due rdici coincidenti» oppure «h un rdice doppi» Se è un intero pri posto l'equzione () si scrive: Applicndo quest equzione l formul () è llor: d cui segue: β ± β c chimt formul risolutiv ridott In prticolre per l (7) divent: () c 0 () β ± ( β c) chimt formul risolutiv ridottissim β ± β c Un'equzione qudrtic si dice incomplet qundo 0 c 0 β ± β c β ± β c (7) β ± β c (8) Se 0 e c 0 l'equzione si dice pur L'equzione qudrtic pur h l form cnonic: equivlente : c 0 (9) c (0) Or se e c hnno segni concordi ossi sono entrmi positivi o entrmi negtivi il secondo memro dell (0) è negtivo Quindi l'equzione è impossiile Se invece e c hnno segni discordi il secondo memro è positivo Quindi l'equzione (9) h le rdici: ± c Se 0 e c 0 l'equzione si dice spuri In questo cso l form cnonic è: che si può nche scrivere: d cui per l legge d'nnullmento del prodotto si deduce: Quindi l'equzione () h due rdici: 0 () ( ) 0 () 0 0 () 0 Se c 0 l'equzione si dice monomi L su form cnonic è: Quest equzione h l'unic rdice 0 0 ()

6 ESERCIZI SVOLTI Per rendere il commento più essenzile ci serviremo dei connettivi Precismente dte due equzioni f() g() f () g () e indicti rispettivmente con S S i loro in siemisoluzione scriveremo: f() g() f () g () qundo S S ; f() g() f () g () qundo S S L presenz del connettivo rende necessri l «verific» Quest consiste nel sostituire ll'incogni t dell'equzione inizile ogni soluzione dell su form cnonic l fine di scrtre le eventuli «soluzioni estrnee» Ci serviremo inoltre delle seguenti revizioni: CFE per Criterio fondmentle di equivlenz per le equzioni; CA per Criterio di ddizione per le equzioni nel cmpo IR; CM per Criterio di moltipliczione per le equzioni nel cmpo IR Risolvimo l'equzione linere: 8 8 CA per h() (*) 0 Somm di monomi simili CM per h() S { } Insieme soluzione dell'equzione (*) Se confrontimo l'equzione inizile con l nuov equzione 8 osservimo che il termine situto l primo memro dell'equzione figur invece l secondo memro del l nuov equzione e con il segno cmito Il termine che nell'equzione è situto l secon do memro figur l primo memro dell nuov equzione nch'esso con il segno cmito Quest consttzione ci port d enuncire l seguente regol del trsporto come immedit con seguenz del criterio di ddizione: «In un equzione è consentito il trsporto di un termine d un memro ll'ltro purché lo si cmi di segno L'equzione così ottenut è equivlente quell dt» Risolvimo l'equzione qudrtic: 0 CA per h() 7 0 Somm di monomi simili S { Risolvimo l'equzione qudrtic: 7 ± 9 Formul () } Insieme soluzione dell'equzione 0 IR ± 9 Formul (7) L rdice qudrt di un numero negtivo non è un numero rele S Insieme soluzione dell'equzione

7 7 Risolvimo l'equzione cuic (equzione polinomile di terzo grdo): 0 ( ) 0 Rccoglimento di fttor comune 0 0 Legge d'nnullmento del prodotto 0 Formul (0) S { Risolvimo l'equzione polinomile di qurto grdo: ± 0 } Insieme soluzione dell'equzione 0 (*) Riducimo l un'equzione qudrtic ponendo: Così l'equzione divent: Si h poi: ( ) y y ( 0 ) y y 0 ( ) ± y y Sostituendo questi vlori nell ( 0 ) si ottiene: Formul () S { ± ± } Insieme soluzione dell'equzione (*) Osservimo che l è un'equzione di qurto grdo mncnte dei termini di grdo dispri Un'equzione polinomile di questo tipo prende il nome di equzione iqudrtic nell'incognit L'equ ( ) ottenut sostituendo l'incognit usiliri y si dice equzione risolvente dell Il metodo delineto nell'esercizio precedente per ricondurre un'equzione iqudrtic ll risoluzio ne di un'equzione qudrtic può essere utilizzto per risolvere ogni equzione del tipo: n n c 0 IR {0} c IR n IN tle che n > chimt equzione trinomi di grdo n Risolvimo l'equzione trinomi di sesto grdo: Introducimo l'incognit usiliri: 0 ottenendo così l'equzione risolvente dell : y ( 0 ) Si h poi: y y 0 ( ) ( ) y ± Formul (8) y y Sostituendo questi vlori nell ( 0 ) risult: S { } Insieme soluzione dell'equzione

8 8 7 Un clsse di equzioni riduciili equzioni polinomili è quell delle equzioni irrzionli Dicimo che un'equzione è irrzionle qundo l'incognit compre sotto il segno di rdice Risolvimo l'equzione irrzionle: 8 Risolvimo l'equzione irrzionle: CFE per () 0 CA per h() ( ) 0 Rccoglimento di fttor comune 0 0 Legge d'nnullmento del prodotto ± 0 Formul (8) S { 0 } Insieme soluzione dell'equzione 0 CA per h() 0 CM per h() ( ) 0 Rccoglimento di fttor comune 0 Legge d'nnullmento del prodotto VERIFICA: S 0 S Composizione del e memro con l funzione qudrto (*) (*) S { } Insieme soluzione dell'equzione (*) L funzione qudrto non è iniettiv Quindi il pssggio effettuto può ver introdotto un soluzio ne estrne D qui deriv l necessità di fre l verific EP EQU / Risolvi le seguenti equzioni lineri: () 8 0 () 0 () (8) () ( ) () ( ) ( ) 7 () ( ) ( ) (7) ( )( ) ( ) 0 (9) (0) () ( ) Risolvi le seguenti equzioni qudrtiche: 0 () 0 () 0 () 9 0 () 0 () 0 () 0 () 0 (7) 0 (8) 0 (9) 0 (0) () () ( ) ( ) () 9 () 0 () ( ) ( ) () ( )( ) ( )( ) () ( ) ( )( ) 7

9 9 (7) ( )( ) ( ) (8) ( ) 0 (9) ( ) ( ) 0 (0) ( ) ( ) 0 () ( ) ( ) 0 () ( ) ( ) () 0 () 0 () 0 () 9 0 (7) 9 0 (8) 0 Un prte delle equzioni cuiche che seguono possono essere risolte fttorizzndo il polinomio f() che figur l primo memro e ricorrendo poi ll legge d'nnullmento del prodotto Alcune equzioni sono «soluzioni reciproche» Un'equzione polinomile f() 0 si dice solu zioni reciproche qundo si verific un e un soltnto delle seguenti condizioni: () i coefficienti dei termini estremi e i coefficienti dei termini equidistn ti dgli estremi sono uguli; () i coefficien ti suddetti sono opposti Per risolvere un'equzione cuic di questo tipo st fttorizzre f() medinte rccoglimento przile fttor comune tenendo presenti gli sviluppi dell somm e dif ferenz di due cui () () 7 0 () 0 () 0 () 0 () 0 (7) 9 0 (8) 0 (9) (0) 0 Risolvi le seguenti equzioni iqudrtiche: () 0 () 0 () 0 () 8 0 Risolvi le seguenti equzioni trinomie: () () () 8 0 () 8 0 Risolvi le seguenti equzioni irrzionli: () () () 0 () () () (7) (8) ( ) 0 (9) (0) () () INSIEMISOLUZIONE 7 () { } () { } () { } () {} () {} () {0} (7) { } (8) { } (9) {} (0) { 9 } () { 7 } () { } () { } () { } () () { 7} () { } () {} (7) { } (8) { ± } (9) (0) {0 } () {±} () () {0 } () {0} () {± } () {0 } (7) { } (8) { } (9) { } (0) () { } () { } () { } () () { } () { } (7) { } (8) { } () { } () { } () {0 (8) { } (9) { } (0) {± } } () {± } () {} () { 8 ± } (7) {± 9} () {±} () {± ± } () () { ± } () { } () { 9 } () {±} () () {09} () {} () () {} () { (9) { } (0) {0 } () {} () { } } () { } (7) {± ±} (8) {0 }

10 0 Relzioni di Viète Considerimo l'equzione qudrtic: c 0 () Se c 0 ess h due rdici reli distinte o coincidenti dte d: Allor: c c () c c c c ( ) ( c ) c c c () A prole: se 0 l somm e il prodotto delle rdici dell'equzione qudrtic sono rispettivmente uguli ll'opposto del secondo coefficiente diviso per il coefficiente direttivo e l termine noto diviso per il coefficien te direttivo Le () chimte relzioni di Viète consentono di fttorizzre l funzione qudrtic: f() c () Inftti se e sono gli zeri (distinti o coincidenti) di f rccogliendo il coefficiente direttivo fttor comune si h: f() c ( c ) [ ( ) ] ( )( ) f() c ( )( ) () Voglimo ridire che l () vle nche qundo 0; in questo cso risult Posto llor per como dità 0 l () divent: f() ( 0 ) ( ) () Un'ultim osservzione: se f() può essere fttorizzt secondo l () llor f( ) 0 e f( ) 0 Quindi se l funzione f non possiede zeri cioè se < 0 è impossiile fttorizzre f() secondo l () EP EQU / Stilisci se le seguenti equzioni qudrtiche sono determinte in IR In cso ffermtivo senz risolvere le equzioni clcol l somm e il prodotto delle loro rdici () 7 0 () 0 () 0; () 9 0 Scrivi un'equzione qudrtic che i come rdici le seguenti coppie di numeri reli () ; () 7 ; () ; () ; () Sino e le rdici dell'equzione c 0 Senz risolvere l'equzione clcol il vlo re delle seguenti espressioni () () ( ) () () ( ) () Fttorizz ove possiile le seguenti funzioni qudrtiche () f() () f() 0 () f() ; () f() 0 8

11 SOLUZIONE DI ALCUNI ESERCIZI 7 () ; () impossiile in IR ; () ; () () 0; () 0; () 8 0 () 0; () 0 () () () c () ( )( ); () ( ) Il teorem del resto Si f un funzione polinomile rele di grdo n e si g l funzione ffine definit d g() 0 con 0 IR Or eseguendo l divisione di f() per g() si ottiene: f() ( 0 ) q() r() () dove q() è il quoziente e r() il resto dell divisione (UD Anello dei polinomi prgrfo pg8) Sppimo che grdo q grdo f grdo g È llor grdo q n Inoltre d grdo r < grdo g segue grdo r < Quindi r è un funzione costnte eventulmente null È fondmentle il seguente: Teorem del resto Il resto dell divisione di f() per 0 è ugule f( 0 ) Dim L () è ver per ogni IR In prticolre per 0 si ottiene: f( 0 ) ( 0 0 ) q( 0 ) r( 0 ) 0 q( 0 ) r( 0 ) r( 0 ) r( 0 ) f( 0 ) D questo risultto segue suito: Se 0 è uno zero di f llor f() ( 0 ) q() Quindi dovendo risolvere l'equzione f() 0 se uno zero di f è noto è sempre possiile determinre q() (con l regol di Ruffini) e risolvere l'equzione ( 0 ) q() 0 equivlente ll dt Chirmente l conoscenz priori di uno zero di f è in generle impossiile Esiste tuttvi un importn te eccezione: le funzioni polinomili reli con tutti i coefficienti interi e lmeno uno zero rzionle Vle inftti l seguente proposizione che ci limitimo d enuncire Si f un funzione polinomile di grdo n con tutti i coefficienti in e si 0 Se 0 rppresentto dll frzione irriduciile r è uno zero di f llor r e s sono rispettivmente un divisore del termine noto e un divisore del coefficiente direttivo di f s ESEMPIO Considerimo l funzione cuic: f() Per l proposizione ppen enuncit se f possiede uno zero rzionle s r llor r è un divisore di (termine noto) e s un divisore di (coefficiente direttivo): r { ± ± } s { ± ± ± ± } Ne segue r s { ± ± ± ± ± ± } Si trov f() 0 f() 0 f() 0 e finlmente f() 0 Allor f() è divisiile per Applicndo l regol di Ruffini si h: f() ( )( ) 0

12 Risolvimo l'equzione cuic: 0 ( )( ) Regol di Ruffini Legge d'nnullmento del prodotto S { ± Formul () del prgrfo } Insieme soluzione dell'equzione EP EQU / Determin gli zeri delle seguenti funzioni polinomili reli () f() () f() () f() 7 () f() 9 () f() 0 () f() (7) f() 0 (8) f() (9) f() (0) f() 7 7 Risolvi le seguenti equzioni irrzionli () 9 ; () ( ) ; () ( ) 0; () ; () 0 SOLUZIONI () ; () ; () ; () ± 7 (7) ± ; (8) ± ; (9) ±; (0) 0 ± ± ; () ; () ± ; () {± }; () { }; () { 7 }; () { }; () {0 ± } Equzioni rzionli frtte Sino p q due funzioni polinomili reli Allor l funzione f definit d: si dice un funzione rzionle frtt f() Per l convenzione del mssimo dominio si h suito: p() q() () Dom(f) IR { / q() 0} IR { / q() 0} () A prole: il dominio dell funzione f è costituito di numeri reli che non sono zeri di q ESEMPI Per l funzione rzionle frtt f() definisce il denomintore h gli zeri e Per l funzione rzionle frtt f() denomintore non possiede zeri risult Dom(f) IR { } perché l funzione che si h Dom(f) IR perché l funzione che definisce il

13 Dte due funzioni rzionli frtte f e g l'uguglinz pert: f() g() () si dice un'equzione rzionle frtt nell'incognit Un'equzione di questo tipo può sempre essere ridott un'equzione polinomile ESERCIZI SVOLTI Risolvimo l'equzione rzionle frtt: 0 CA per h() ± VERIFICA: S S Formul () del prgrfo S { } Insieme soluzione dell'equzione (*) L funzione h() possiede uno zero Quindi il pssggio effettuto può ver introdotto un soluzione estrne D qui deriv l necessità di fre l verific Risolvimo l'equzione rzionle frtt: ( ) 0 CA per h() ± Formul (8) del prgrfo VERIFICA: S S S { } Insieme soluzione dell'equzione (*) L sigl mcd st per «minimo comune denomintore»: polinomio costituito di fttori comuni e non comuni dei denomintori presi con il mssimo esponente Nel nostro cso imo: h() mcd ( ) ( )( ) Moltipliczione del e memro per h() (*) Moltipliczione del e memro per il mcd h() ( ) ( ) (*) EP EQU / E PROBLEMI DI RIEPILOGO Determin il dominio delle seguenti funzioni rzionli frtte () f() () f() () f() () f() () f() (7) f() () f() (8) f() 8 7 Per ciscun delle seguenti coppie di funzioni reli stilisci se f g motivndo l rispost () f() g() ; () f() g() () f() g() ( )( )( ); () f() ; g()

14 Risolvi le seguenti equzioni rzionli frtte () () (0) () (8) ( ) 9 () () 9 (9) () Risolvi le seguenti equzioni irrzionli () (7) 8 () 8 8 () () () () () () (7) (8) Dto un insieme (non vuoto) di equzioni sino elementi qulsisi di e sino S S S i loro insiemi soluzione L relzione R {( i j ) / S i S j i j} è come fcilmen te si verific un relzione di equivlenz D quest deriv l'espressione equzioni equivlenti che design due (o più) equzioni con lo stesso insiemesoluzione Il grfo in fig rppresent l relzione di equivlenz R nell'in sieme { i / i 8} dove: ) ) () 0 ) 9 0 ) 0 ) ) Verific che: Quindi / 7 ) 8 ) S {} S S {} S {} S {} S S 7 {0} S 8 {} R { { } { 7 } { 8 } { } } (insieme quoziente di rispetto R) Nell'insieme { i / i 8} dove: ) 0 ) ) ( ) 0 ) ) 7 ) 7 (fig) 8 7 ) ) si R l relzione di equivlenz definit nell'esercizio Descrivi il grfo di R e l'insieme / R SOLUZIONE DI ALCUNI ESERCIZI () IR { } () IR { } () IR {0} () IR { ± } () IR {} () IR (7) IR {} (8) IR { } () f g () f g () f g () f g Insiemi soluzione: () {} () () {} () {} () IR () (7) {} (8) {± } (9) {} (0) {± } () () {± } Insiemi soluzione: () {} () { } () {} () () {0} () { } (7) { } (8) {}

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