Unità Didattica N 11 Le equazioni di secondo grado ad una incognita

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1 Unità Didtti N Le equzioni di seondo grdo d un inognit Unità Didtti N Le equzioni di seondo grdo d un inognit 0) L definizione di equzione di seondo grdo d un inognit 0) L risoluzione delle equzioni di seondo grdo inomplete 0) L risoluzione dell equzione di seondo grdo omplet 0) Equzioni frzionrie rionduiili d equzioni di seondo grdo 05) Relzioni fr le rdii ed i oeffiienti di un equzione di seondo grdo 0) Somposizione in fttori di un trinomio di seondo grdo 07) L regol dei segni di Crtesio

2 Unità Didtti N Le equzioni di seondo grdo d un inognit Equzioni di seondo grdo d un inognit Diesi equzione di seondo grdo d un inognit ogni equzione rionduiile ll seguente form: 0 [*] L [*] è dett nhe form tipi, o normle o noni dell equzione di seondo grdo. termine qudrtio, termine linere, termine noto o terzo oeffiiente primo oeffiiente o oeffiiente del termine qudrtio seondo oeffiiente o oeffiiente del termine linere Risult sempre: 0. Inftti se fosse 0, l equzione [*] sree di primo grdo. Se risult: 0, 0, 0 l equzione [*] diesi equzione omplet. In so ontrrio diesi inomplet. OSSERVAZIONE N Diesi soluzione o rdie di un equzione d un inognit, ogni numero he, sostituito l posto dell inognit, rende il primo memro numerimente ugule l seondo memro. OSSERVAZIONE N Un equzione di seondo grdo d un inognit mmette due soluzioni he vengono indite oi simoli ed. Nel so di soluzioni reli si pone per onvenzione: <, ioè rppresent l rdie minore, mentre rppresent l rdie mggiore. Risoluzione delle equzioni di seondo grdo inomplete 0 L equzione [*] divent: 0 [] e si die equzione di seondo grdo pur. Ess si risolve nell seguente mnier:,, ±,, ESEMPI 9 0, 9, 9, ± ± 9,, 8 0, 8, ± 8 ± 9 i, i, i 9 9

3 Unità Didtti N Le equzioni di seondo grdo d un inognit 7 7 0, 7,, ± 7 ±,, 0 L equzione [*] divent: 0 [] Ess prende il nome di equzione di seondo grdo spuri. Si risolve nell seguente mnier: ( ) 0 Applindo l legge di nnullmento di un prodotto di fttori srivimo: 0, 0,, Le rdii dell equzione [] sono: 0, ESEMPI 0, ( ) 0, 0, 0,, 0, 5 0, ( ) 5 0, 0, 5 0, 5, 5, 0 Osservzione: L legge di nnullmento di un prodotto di fttori die he <<se un prodotto di fttori è nullo, llor lmeno uno dei fttori è nullo>>. ALTRI ESEMPI ( )( ) ( )( ) ( )( ) 7 ( ) ( ) ( ) , 00, 00 ± 00 ± 0, 0, 0 ( ) ( ) ( ) 9,,, ± ±, ( )( 5) ( )( ) ( ) 5 5, 0 0 0, 0 0, 0, 0, ( )( ) Si trtt di un equzione frzionri in qunto l inognit figur l denomintore.

4 Unità Didtti N Le equzioni di seondo grdo d un inognit ( ) ( )( ) ; ( ) ( )( ) m.. m. ±, , 0, 0, 0, Risoluzione dell equzione di seondo grdo omplet Voglimo risolvere l equzione di seondo grdo omplet 0 Si trsport il termine noto l seondo memro: Moltiplihimo mo i memri per : Aggiungimo d mo i memri il numero : ( ), ±, ± ± [] L [] prende il nome di formul risolutiv dell equzione di seondo grdo. Il numero diesi delt o disriminnte dell equzione di seondo grdo. In un equzione di seondo grdo omplet possimo supporre > 0. In questo so l rdie più piol è: mentre l rdie più grnde è: Il disriminnte dell equzione 0 può essere < 0. Disutimo seprtmente i tre si: ) > 0 : se il delt è mggiore di zero l equzione mmette due rdii reli e distinte, ) 0: se il delt è ugule zero l equzione mmette due rdii reli e oinidenti, ) > 0 : se il delt è minore di zero l equzione mmette due rdii omplesse e oniugte

5 Unità Didtti N Le equzioni di seondo grdo d un inognit 5 ESEMPI ± ± ,, ± 8 ± 8 ± 7 ( ) 7 7 ( ) , 5, 5 ± ± 5 ± i 5 i 5 i Formul risolutiv ridott e ridottissim L formul risolutiv di un equzione di seondo grdo è: Ess può sriversi nell seguente mnier: ± [] ± ± ± ± Dividendo numertore e denomintore per ottenimo: [] L [] è dett formul ridott e si ppli qundo il oeffiiente è un numero pri, ioè qundo è divisiile per. L espressione diesi disriminnte ridotto. Se poi risult nhe l [] divent: ± []

6 Unità Didtti N Le equzioni di seondo grdo d un inognit RIEPILOGO ) L formul ridott si ppli qundo è un numero pri ) L formul ridottissim si ppli qundo è un numero pri ed risult ugule d 8 0 ± ± ± 0 ± ±,, Relzioni fr le rdii ed i oeffiienti di un equzione di seondo grdo Tr le rdii ed dell equzione di seondo grdo 0 ed i oeffiienti,, interorrono le seguenti relzioni: Applizioni Srivere l equzione di seondo grdo he i ome rdii due numeri ssegnti 0 Divido mo i memri per, 0 Pongo : S, P, ( ) S P S P 0 REGOLA L equzione di seondo grdo vente ome rdii due numeri dti h il primo oeffiiente ugule ll unità, il seondo oeffiiente è l somm

7 Unità Didtti N Le equzioni di seondo grdo d un inognit 7 dei due numeri mit di segno, il terzo oeffiiente oinide ol prodotto dei due numeri. Srivere l equzione di seondo grdo vente ome rdii i numeri: 5 5, S 5 5, P 5 5 0, 8 0 Somposizione in fttori di un trinomio di seondo grdo Se risult 0 llor è possiile dimostrre he il trinomio di seondo grdo T() può essere deomposto nel prodotto di due fttori di primo grdo seondo l seguente formul: T ( ) ( )( ) dove i numeri ed sono gli zeri del trinomio, ossi le rdii dell equzione ssoit 0. Se il trinomio h due zeri reli e oinidenti, ioè se 0 llor l preedente formul ssume l seguente form: ( ) Deomporre in fttori il seguente trinomio di seondo grdo 5 8. Gli zeri di questo trinomio oinidono on le rdii dell equzione ssoit ± 0 ± ± ( )(5 ) 5

8 8 Unità Didtti N Le equzioni di seondo grdo d un inognit L regol dei segni di Crtesio Considerimo un equzione di seondo grdo rdii reli: [ ] 0 0 Definizione: Diremo he i tre oeffiienti,, dell equzione [ ] (onsiderti nell ordine sritto) presentno un permnenz ogni volt he due oeffiienti onseutivi hnno lo stesso segno, presentno un vrizione ogni volt he due oeffiienti onseutivi hnno segni ontrri. Si possono presentre i seguenti si : Teorem di Crtesio In ogni equzione di seondo grdo ridott form noni, omplet ed disriminnte positivo o nullo, d ogni vrizione orrisponde un rdie positiv, d ogni permnenz un rdie negtiv.

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