Appunti sulle equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti del secondo ordine

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1 Appunti sulle equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti del secondo ordine A. Figà-Talamanca 22 maggio 2005 L equazione differenziale y + ay + by = 0, (1) dove a e b sono costanti, si chiama equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine, a coefficienti costanti. Vogliamo trovare tutte le soluzioni della (1), cioè il cosiddetto integrale generale della (1), e vogliamo anche trovare la soluzione (che sappiamo unica) del problema di Cauchy y + ay + by = 0 y(x 0 ) = c 0,y (x 0 ) = c 1. Esattamente come succede per le equazioni algebriche e, come vedremo, per le stesse ragioni, nello studio delle equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti, entrano in gioco, in modo naturale i numeri complessi, anche quando i coefficienti a e b sono reali e si cercano solo soluzioni reali. Richiami sui numeri complessi. Premettiamo quindi alcuni richiami sui numeri complessi e sulle funzioni a valori nei numeri complessi. Ricordiamo che un numero complesso z = x + iy può essere identificato con un punto del piano di coordinate (x,y). Somme e prodotti di due numeri complessi z 1 = x 1 + iy 1 e z 2 = x 2 + iy 2 sono definiti, come z 1 + z 2 = (x 1 + x 2 ) + i(y 1 + y 2 ), e z 1 z 2 = (x 1 x 2 y 1 y 2 ) + i(x 2 y 1 + x 1 y 2 ). Rispetto a queste operazioni i numeri complessi formano un campo. L elemento neutro per la somma è il numero 0 + i0, generalmente indicato con 0 e l elemento neutro per il prodotto è il numero 1 + i0, generalmente indicato con 1. 1

2 L inverso del numero complesso z = x + iy è z 1 = x iy x 2 + y 2. Questo fatto segue immediatamente dalla identità (x + iy)(x iy) = x 2 + y 2. Osserviamo che la formula per l inverso ha senso solo se x 2 + y 2 0, cioè solo se (x,y) (0,0). Il campo dei numeri complessi viene indicato in generale con C. Il coniugato di un numero complesso z = x + iy è il numero complesso z = x iy. Abbiamo già visto che zz = x 2 + y 2. I numeri complessi del tipo x + i0 formano un sottocampo isomorfo ai numeri reali con i quali sono identificati. Pertanto un numero è reale se e solo se coincide con il suo coniugato. I numeri del tipo 0 + iy = iy si chiamano numeri immaginari. Osserviamo che i 2 = 1. Pertanto i numeri immaginari non risultano chiusi rispetto al prodotto e non formano un campo. Se z 1 = x 1 + iy 1 e z 2 = x 2 + iy 2 sono due numeri complessi la loro distanza è definita come z 1 z 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2. In particolare la distanza dall origine di un numero complesso z si chiama modulo del numero complesso: z = x 2 + y 2. Ne segue che z 2 = z z. Valgono la seguenti importanti disuguaglianze che complessivamente prendono il nome di disuguaglianza triangolare: z w z + w z + w. Un altra importante proprietà del modulo di un numero complesso è la proprietà moltiplicativa. zw = z w. La nozione di distanza ci consente di definire quella di successione convergente di numeri complessi. Per definizione una successione z n di numeri complessi converge ad un numero complesso z se per ogni ε > 0 esiste un intero positivo ν, tale che, se n > ν allora z n z < ε. Analogamente si dice che la successione z n è una successione di Cauchy, se dato ε > 0 esiste ν tale che se n,m > ν, allora z n z m < ε. Teorema 1 Una successione di numeri complessi è convergente se e soltanto se è una successione di Cauchy. 2

3 DIMOSTRAZIONE. Se z n è convergente a z, allora dato ε > 0 esiste ν tale che, se n > ν, allora z z n < 2 ε. Pertanto se n,m > ν si ha z n z m < z n z + z z m < ε 2 + ε 2 = ε. Questo dimostra che ogni successione convergente è una successione di Cauchy. Supponiamo ora che z n = x n + iy n sia una successione di Cauchy. Allora le disuguglianze x n x m z n z m, e y n y m z n z m, mostrano che x n e y n sono successioni di Cauchy di numeri reali. Pertanto esistono numeri reali x ed y tali che lim n x n = x e lim n y n = y. Sia z = x + iy, allora lim z z n = (x x n ) 2 + (y y n ) 2 = 0. n In altre parole la successione z n converge a z. Supponiamo ora di avere una funzione f (z) definita in un insieme di numeri complessi e a valore nei numeri complessi. Possiamo dire che la funzione f è continua nel punto z 0 se per ogni successione z n convergente a z 0, si verifica che la successione f (z n ) converge a f (z 0 ). Questa definizione è equivalente alla seguente: Definizione 1 La funzione f (z) è continua nel punto z 0 se per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che se z z 0 < δ allora f (z) f (z 0 ) < ε Siamo anche interessati a funzioni definite in un intervallo I della retta reale e a valori nei numeri complessi. Una tale funzione può essere scritta come f (t) = u(t) + iv(t), (2) dove t I varia in un intervallo e le funzioni u(t) e v(t) sono funzioni a valori reali che si chiamano rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria della funzione f. La funzione f risulterà continua se e solo se sono ambedue continue le funzioni u e v. Se le funzioni u e v risultano derivabili allora la derivata di f sarà definita come f (t) = u (t) + iv (t). (3) Ogni numero complesso di modulo uno (che corrisponde quindi ad un punto del cerchio di raggio uno e centro l origine degli assi) ha la forma cosθ + isinθ, dove 3

4 0 θ < 2π. Se z = cosθ + isinθ e w = cosφ + isinφ sono due numeri complessi di modulo uno così sarà anche il loro prodotto che si scrive: zw = cos(θ + φ) + isin(θ + φ), come si verifica facilmente applicando le formule di addizione per le funzioni trigonometriche. Ogni numero complesso diverso da zero può essere scritto come il prodotto di un numero positivo, che ne è il modulo, e di un numero di modulo uno. Infatti z = z z z, e z z è un numero di modulo uno. Posto ρ = z, possiamo scrivere z = ρ(cosθ + isinθ). Poniamo, per definizione, e iθ = cosθ + isinθ. Questa posizione è giustificata dal fatto che e i(θ+φ) = e iθ e iφ. Ne daremo però un altra giustificazione in termini di serie. Fissato θ la serie (iθ) k, k! converge, ovvero converge la successione delle somme parziali secondo la definizione di convergenza di una successione di numeri complessi che abbiamo dato prima. La dimostrazione di questo fatto passa per l osservazione che la convergenza assoluta, ovvero la convergenza della serie dei moduli dei termini della serie data, implica la convergenza semplice. Questa osservazione si dimostra utilizzando la condizione di Cauchy, esattamente come nel caso reale. Osserviamo ora che i 2 = 1, i 3 = i, i 4 = 1. Questo significa che le potenze i k del numero i assumono solo i quattro valori i, 1, i, 1. Precisamente 1 se k = 0 mod 4 i k i se k = 1 mod 4 =. 1 se k = 2 mod 4 i se k = 3 mod 4 Sfruttando la convergenza assoluta di tutte le serie considerate, possiamo quindi scrivere: (iθ) k = k! ( 1) k θ2k 2k! + i ( 1) k θ 2k+1 (2k + 1)!. 4

5 Ricordando l espressione di cosθ e sinθ come serie di potenze, possiamo concludere che e iθ = cosθ + isinθ. Ne segue che (e iθ ) n = (cosθ + isinθ) n = cosnθ + isinnθ. E naturale a questo punto definire, per z = x + iy, e z = e x e iy = e x (cosy + isiny). Con questa definizione si ha automaticamente, per z = x + iy e w = u + iv, e z e w = e x e u e iy e iv = e x+u e i(y+v) = e z+w. Osserviamo che e z può anche essere direttamente definito attraverso una serie di potenze che converge assolutamente per ogni z complesso e cioè la serie e z = z n n=0 n! Anche qui, come nel caso reale, la condizione di Cauchy ci consente di dedurre la convergenza della serie (4) dalla convergenza della serie dei valori assoluti Non è difficile dimostrare la proprietà z n n=0 n!. e w e z = e w+z, a partire dall prodotto delle due serie che definiscono e z e e w. Accenniamo solo alla dimostrazione che dovrebbe essere completata passando alle somme parziali delle serie ed utilizzando la convergenza totale di tutte le serie considerate: e z e w = z k k! w j j=0 j! = z k w j j=0 k! j!. Raccogliendo i monomi di grado n nelle due variabili z e w cioè i termini per cui si verifica n = j + k, al variare di n, si ottiene: n ( n=0 z n k w k (n k)! k! ) = n=0 1 n! n (z + w) n = e z+w. n=0 n! 5 n! k!(n k)! zn k w k = (4)

6 Possiamo, a questo punto, introdurre le funzioni definite su R ed a valori in C, del tipo f λ (x) = e λx, (5) dove λ è una costante complessa e la variabile x assume valori reali. Evidentemente, se λ = σ + iτ, f λ (x) = e σx e iτx = e σx (cosτx + isinτx). Dimostriamo ora che la derivata è quella che ci si aspetta: Infatti: f λ (x) = λ f λ(x). f λ (x) = σeσx cosτx τe σx sinτx + iσe σx sinτx + iτe σx cosτx = (σ + iτ)e σx (cosτx + isinτx). Le soluzioni dell equazione. Vediamo allora per quali λ, la funzione f λ soddisfa alla (1). Sostituendo si trova: λ 2 f λ + aλ f λ + b f λ = 0. Cioè: f λ (λ 2 + aλ + b) = 0. Poiché f λ (x) non è mai zero, la funzione f λ soddisfa l equazione se e solo se: λ 2 + aλ + b = 0. (6) Siamo così condotti a considerare le soluzioni dell equazione algebrica (6). Il polinomio λ 2 + aλ + b si chiama polinomio caratteristico dell equazione (1) e le sue radici, come vedremo derminano la natura delle soluzioni della (1). Poiché i coefficienti a e b dell equazione sono reali si presentano tre diversi casi: l equazione (6) ha due radici reali e distinte λ 1 e λ 2. l equazione (6) ha un unica radice reale λ l equazione (6) ha due radici complesse coniugate λ 1 = σ + iτ e λ 2 = σ iτ. Nel primo caso abbiamo trovato due soluzioni reali e distinte, e cioè le funzioni e λ 1x e e λ 2x. Nel secondo caso abbiamo certamente trovato una soluzione che corrisponde alla radice λ dell equazione (6) e cioè la funzione e λx. Possiamo però osservare 6

7 che se la (6) ha un unica soluzione λ, allora la formula risolutiva ci fornisce λ = a/2. Pertanto anche la funzione xe λx è una soluzione della (1). Infatti [(xe λx ] + a[xe λx ] + bxe λx = λ 2 xe λx + 2λe λx + a(e λx + λxe λx ) + bxe λx = xe λx (λ 2 + aλ + b) + (2λ + a)e λx = 0. Abbiamo così anche in questo caso due soluzioni reali e distinte. Nel terzo caso ci sono due soluzioni complesse: e e σx (cosτx + isinτx) e σx (cosτx isinτx) Ma anche le parti reali (che sono identiche) e le parti immaginarie (che sono una l opposto dell altra) soddisfano evidentemente la (1). Pertanto due soluzioni reali e distinte sono fornite da: e σx cosτx, e e σx sinτx. Per trovare tutte le altre soluzioni reali basterà considerare le combinazioni lineari delle due soluzioni distinte nei tre diversi casi. Enunciamo questo fatto sotto forma di teorema. Teorema 2 Se l equazione (6) ha due radici reali e distinte, λ 1 e λ 2 allora tutte le soluzioni (ovvero l integrale generale) della (1) sono date, al variare dei coefficienti reali c 1 e c 2 da: c 1 e λ 1x + c 2 e λ 2x. (7) Se l equazione (6) ha una sola radice reale λ, allora tutte le soluzioni (ovvero l integrale generale) della (1) sono date, al variare dei coefficienti reali c 1 e c 2 da: c 1 e λx + c 2 xe λx. (8) Se l equazione (6) ha due radici complesse coniugate σ + iτ e σ iτ, allora tutte le soluzioni (ovvero l integrale generale) della (1) sono date, al variare dei coefficienti reali c 1 e c 2 da: c 1 e σx cosτx + c 2 e σx sinτx. (9) 7

8 DIMOSTRAZIONE. E del tutto evidente che combinazioni lineari di soluzioni della (1) sono ancora soluzioni della (1). Pertanto per ogni scelta dei coefficienti c 1 e c 2 le espressioni indicate in (7), (8) e (9) sono soluzioni della (1) nelle ipotesi indicate nel teorema. Dobbiamo dimostrare che in queste ipotesi ogni soluzione può essere scritta, a seconda dei casi come (7), (8) o (9). Facciamo l ipotesi che la (6) abbia due soluzioni reali e distinte e sia y una soluzione della (1). Sia y(0) = α e y (0) = β. Per il teorema di esistenza ed unicità y è l unica soluzione che soddisfa a queste ultime condizioni. Pertanto se troviamo una soluzione del tipo (7) che soddisfa alle stesse condizioni iniziali essa dovrà coincidere con y. Cerchiamo allora c 1 e c 2 che soddisfano alle condizioni: c 1 + c 2 = α (10) c 1 λ 1 + c 2 λ 2 = β. Considerando c 1 e c 2 come le incognite del sistema (10), risulta che il determinante dello stesso sistema è uguale a λ 2 λ 1. Per ipotesi λ 1 λ 2, pertanto il determinante è diverso da zero. Questo significa che c è un unica coppia di numeri reali (c 1,c 2 ) che soddisfa (10). Sia u(x) = c 1 e λ1x + c 2 e λ2x allora u è una soluzione della (1). Inoltre u(0) = c 1 + c 2 = α e u (0) = c 1 λ 1 + c 2 λ 2 = β. Ma allora per il teorema di unicità u(x) = y(x), per tutti gli x reali, e quindi y può essere espressa come combinazione lineare delle due soluzioni e λ1x e e λ2x. Supponiamo ora che la (6) abbia un unica soluzione reale e supponiamo che y sia una soluzione della (1). Poniamo y(0) = α e y (0) = β. Cerchiamo allora c 1 e c 2 che soddisfano il seguente sistema: c 1 = α (11) λc 1 + c 2 = β. Il sistema (11), nelle incognite c 1 e c 2 ha determinante uguale ad uno. Pertanto anche in questo caso c è un unica coppia di numeri reali (c 1,c 2 ) che soddisfa il sistema (11). Se si pone u(x) = c 1 e λx + c 2 xe λx, risulta, u(0) = c 1 = α e u (0) = λc 1 + c 2 = β. Pertanto per il teorema di unicità u(x) = y(x) e quindi y è una combinazione lineare delle due soluzioni e λ e xe λx. Infine se l equazione (6) ha due radici complesse coniugate σ ± iτ, ed y è una soluzione di (1), poniamo al solito y(0) = α e y (0) = β. Cerchiamo allora c 1 e c 2 che soddisfano il seguente sistema: c 1 = α (12) c 1 σ c 2 τ = β. Il determinante del sistema è τ 0, poiché per ipotesi le soluzioni di (6) sono complesse coniugate e distinte. Pertanto possiamo trovare una ed una sola coppia 8

9 (c 1,c 2 ), che soddisfa al sistema (12). Con questi numeri reali definiamo u(x) = c 1 e σx cosτx + c 2 e σx sinτx. Allora u(0) = α e u (0) = β. Pertanto per il teorema di unicità deve essere y(x) = u(x), Concludiamo che y è una combinazione lineare delle soluzioni e σx cosτx e e σx sinτx. Dipendenza ed indipendenza lineare. La morale del precedente teorema è che a seconda della natura delle radici del polinomio caratteristico dell equazione differenziale, a primo membro della equazione (6) sono determinate due soluzioni y 1 ed y 2 che, attraverso le loro combinazioni lineari danno luogo a tutte le possibili soluzioni. Questo significa che, in ognuno dei tre casi, le soluzioni indicate costituiscono una base per lo spazio delle soluzioni di (1) che risulta quindi uno spazio a due dimensioni reali. In altre parole le soluzioni y 1 e y 2 sono linearmente indipendenti, e cioè la condizione c 1 y 1 + c 2 y 2 = 0 può verificarsi solo quando c 1 = c 2 = 0 (indipendenza lineare) ed inoltre tutte le soluzioni sono ottenibili come combinazioni lineari di queste due soluzioni. Abbiamo dimostrato questi fatti utilizzando il teorema di unicità per il problema di Cauchy, ma può risultare (ed in effetti è) sorprendente constatare che per verificare la indipendenza lineare ci è bastato verificarla considerando i valori delle funzioni y 1 ed y 2 e delle loro derivate in un solo punto (che per comodità abbiamo scelto come il punto 0). Questo non è vero in generale. Ad esempio le funzioni x 2 e x x, considerate nell intervallo [ 1, 1] sono linearmente indipendenti, e tuttavia assumono assieme alle loro derivate gli stessi valori su tutti i numeri positivi e quindi nell intero sottointervallo [0,1]. Ma x 2 e x x non sono soluzioni della stessa equazione differenziale del tipo (1) nell intervallo [ 1,1]. E infatti vale il seguente teorema. Teorema 3 Supponiamo che y 1 e y 2 siano soluzioni dell equazione differenziale (1). Allora y 1 e y 2 sono linearmente indipendenti se e solo se, esiste x 0 R tale che y 1 (x 0 )y 2(x 0 ) y 2 (x 0 )y 1(x 0 ) 0. DIMOSTRAZIONE. Consideriamo la funzione W(x) = y 1 (x)y 2 (x) y 2(x)y 1 (x) e supponiamo che questa funzione sia non nulla per tutti gli x. Dimostriamo che in questo caso le soluzioni y 1 e y 2 sono linearmente indipendenti. Infatti se esistessero costanti c 1 e c 2 tali che c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x) = 0 per tutti gli x, derivando questa identità si ottiene, per ogni x, un sistema: c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x) = 0 c 1 y 1 (x) + c 2y 2 (x) = 0. (13) Il determinante di questo sistema (nelle incognite c 1 e c 2 ) è W(x) = y 1 (x)y 2(x) y 2 (x)y 1(x), 9

10 che per ipotesi è non nullo, pertanto l unica soluzione (c 1,c 2 ) del sistema è la soluzione (0,0). Osserviamo ora che la funzione W(x) soddisfa l equazione W (x) + aw(x) = 0, come è immediato verificare. Pertanto, assegnato un punto qualsiasi x 0, risulta, dalla formula risolutiva per le equazioni differenziali del primo ordine, W(x) = e a(x x 0) W(x 0 ). Questo significa che W(x) è identicamente nulla se e solo se è nulla in un punto x 0. Pertanto W(x 0 ) 0 in un solo punto x 0 implica W(x) 0 per ogni x, che implica l indipendenza lineare delle y 1 ed y 2. Ci rimane da dimostrare che se le soluzioni y 1 e y 2 sono linearmente indipendenti, allora W(x) 0. Se per qualche x 0 fosse W(x 0 ) = 0, allora il sistema c 1 y 1 (x 0 ) + c 2 y 2 (x 0 ) = 0 c 1 y 1 (x 0) + c 2 y 2 (x (14) 0) = 0, ammetterebbe una soluzione (c 1,c 2 ) con uno almeno dei c i diverso da zero. La funzione y(x) = c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x) sarebbe allora una soluzione dell equazione differenziale (1) con condizioni iniziali y(x 0 ) = 0 e y (x 0 ) = 0. Per il teorema di unicità y dovrebbe essere allora identicamente nulla, cioè una combinazione lineare con coefficienti non ambedue nulli di y 1 e y 2 sarebbe identicamente nulla. In altre parole y 1 e y 2 sarebbero linearmente dipendenti, il che contraddice l ipotesi. 10

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