Breve formulario di matematica

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1 Luciano Battaia a 2 = a ; lim sin = 1, se 0; sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β; f() = e 2 f () = 2e 2 ; sin d = cos + k; 1,2 = b± ; a m a n = 2a a n+m ; log a 2 = ; = a 2 + b + c; = r 2 ; e d = e + k; cos 2 + sin 2 = 1; = m + q; lim ln = 0, se 0; tan = sin / cos ; f() = f () =

2 1 Qualche prodotto e scomposizione notevole (a b)(a + b) = a 2 b 2 (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 ab + b 2 ) a 3 b 3 = (a b)(a 2 + ab + b 2 ) 2 Formula risolutiva delle equazioni di secondo grado a 2 + b + c = 0: 1,2 = b± b 2 4ac. La quantità = b 2 4ac si chiama 2a anche discriminante: se è negativo l equazione non ha soluzioni, se è zero ha una soluzione (o, come si usa dire, due soluzioni coincidenti), se è maggiore di zero ha due soluzioni distinte. 3 Qualche equazione di grado superiore Equazione di terzo grado elementare. a 3 + b = 0 : = 3 b a. Nello stesso modo si risolvono tutte quelle di grado dispari elementari. Equazione di quarto grado elementare. a 4 + b = 0 : = ± 4 b purché b 0, altrimenti non ci sono soluzioni. Nello stesso modo si a risolvono tutte quelle di grado pari elementari. Equazioni scomposte in fattori. f() g() = 0. Si applica la legge dell annullamento del prodotto: basta trovare le soluzioni di f() = 0 o di g() = 0 (attenzione tutte le soluzioni dell una oppure dell altra!). a, 1

3 4 Disequazioni di primo e secondo grado Primo grado. a + b 0. Conviene mettersi sempre nella condizione con a > 0, dopodichè si ha b a. Secondo grado con il >. a 2 + b + c > 0. Conviene mettersi sempre nella condizione a > 0, dopodichè si distinguono i seguenti casi: < 0 Verificata per tutti gli R. = 0 Verificata per tutti gli R, tranne = 1 = 2. > 0 Verificata per valori esterni alle radici: < 1 oppure > 2 Secondo grado con il <. a 2 + b + c < 0. Conviene mettersi sempre nella condizione a > 0, dopodichè si distinguono i seguenti casi: < 0 Mai verificata. = 0 Mai verificata. > 0 Verificata per valori interni alle radici: 1 < < 2. Secondo grado con anche = : o. Se è presente anche l uguale, basta aggiungere ai risultati della disequazione (se ci sono) quelli dell equazione. 5 Qualche altra disequazione Terzo grado elementari a 3 + b 0. Conviene mettersi nel caso a > 0, dopodichè si ha: 3 b a { f() 0 Sistemi Si risolvono separatamente le disequazioni e poi si g() 0 prendono le soluzioni comuni (mediante un grafico). Prodotti o fratte f() g() 0 oppure f() 0. Si discute separatamente la positività e negatività dei due fattori (oppure di numeratore g() e denominatore) e poi si traggono le conclusioni mediante un grafico di segno. Esempio ccorre prestare la massima attenzione { a distinguere tra i sistemi 1 0 e il caso di prodotti o fratte. Per esempio ha come soluzione 1, mentre ( 1)( + 1) 0 ha come soluzione 1 o

4 6 Geometria analitica Distanza tra due punti. Dati A ( A, A ) e B ( B, B ), per la distanza si ha AB = ( A B ) 2 + ( A B ) 2. Punto medio di un segmento. Dati A ( A, A ) e B ( B, B ), le coordinate del punto medio M del segmento AB sono la media delle coordinate di A e B: M = ( A + B, A+ B ) 2 2. Equazione generica di una retta. a + b + c = 0. Equazione di una retta non verticale. = m + q. Il coefficiente di, m, si chiama coefficiente angolare e caratterizza la pendenza della retta; il termine noto, q, si chiama ordinata all origine. Equazione di una retta verticale (parallela all asse ). = k. Equazione di una retta parallela all asse. = k. Equazione di una retta passante per due punti. Se sono dati due punti A ( A, A ) e B ( B, B ), la retta passante per entrambi ha equazione ( A )( B A ) = ( A )( B A ). Parabola con asse verticale Ha equazione = a 2 + b + c. Se a > 0 la parabola volge la concavità verso l alto, se a < 0 verso il basso. L ascissa del vertice è: b, l ordinata del vertice si trova per sostituzione 2a nell equazione. Parabola con asse orizzontale. Ha equazione = a 2 + b + c. Se a > 0 la parabola volge la concavità verso destra, se a < 0 verso sinistra. L ordinata del vertice è: b, l ascissa del vertice si trova per sostituzione 2a nell equazione. Circonferenza. Ha equazione a+b +c = 0. Perchè sia effettivamente una circonferenza deve verificare la condizione a2 +b 2 4c 0 (se 4 vale l uguale a zero si tratta di una circonferenza ridotta ad un punto). Il centro ha coordinate C = ( a, ) b 2 2, il raggio è r = a 2 +b 2 4c. Attenzione: queste formule si applicano se l equazione della circonferenza 4 è scritta nella forma riportata sopra, cioè con i coefficienti di 2 e 2 uguali a 1. L equazione di una circonferenza con centro C ( C, C ) e raggio r si scrive semplicemente ( C ) 2 + ( C ) 2 = r 2. Ellisse ed iperbole. L equazione 2 ± 2 a 2 b 2 = ±1, rappresenta: 3

5 1. un ellisse se è del tipo: = +1; a 2 b 2 2. un iperbole se è del tipo: 2 2 a 2 b 2 3. non ha alcuna soluzione se è del tipo: a 2 b 2 = +1 oppure 2 2 = 1; a 2 b 2 = 1 Nei primi due casi per la rappresentazione grafica si comincia col tracciare un rettangolo di centro l origine e lati 2a (sull asse orizzontale) e 2b (sull asse verticale). Se si tratta di un ellisse il suo grafico è immediato. Se si tratta di un iperbole bisogna ancora tracciare le rette diagonali del rettangolo e poi procedere come nei grafici riportati oltre. b 2 a b 2 = +1 a b 2 a 2 2 b 2 = +1 a b 2 a 2 2 b 2 = 1 a 4

6 7 Potenze e logaritmi a m a n = a m+n am a n = a m n, a 0 (a m ) n = a mn Il log a b è definito solo se a > 0, a 1, b > 0, ed è l esponente da dare ad a per ottenere b. Se la base è il numero di Nepero e, il logaritmo si indica semplicemente con ln (ln = log e ). log a a = 1 (ln e = 1) log a 1 = 0 (ln 1 = 0) log a (bc) = log a b + log a c, con b e c entrambi maggiori di zero. log a ( b c) = loga b log a c, con b e c entrambi maggiori di zero. sservazione: ln e 2 = 2, ln e 3 = 3, ln e 4 = 4, Grafici elementari f() = 1 f() = 5

7 f() = 3 f() = e f() = ln f() = sin 6

8 f() = cos 9 Grafici derivati Alcune tecniche elementari per ottenere nuovi grafici di funzioni, a partire da grafici noti. Da f() a f(): simmetria rispetto all asse. Da f() a f( ): simmetria rispetto all asse. Da f() a f( + k), k > 0: traslazione di k unità verso sinistra. Da f() a f( k), k > 0: traslazione di k unità verso destra. Da f() a f() + k, k > 0: traslazione di k unità verso l alto. Da f() a f() k, k > 0: traslazione di k unità verso il basso. Da f() a f( ),: la parte di grafico a destra dell asse rimane identica, a sinistra dell asse il grafico si ottiene per semplice simmetria, rispetto all asse, della parte di destra. Da f() a f(),: la parte di grafico sopra l asse rimane identica, la parte sotto l asse si ribalta rispetto all asse stessa. Esempi: f() 7

9 f() f( ) f( + 1) f( 1) f() + 1 8

10 f() 1 f( ) f() 10 Calcoli sulla retta reale estesa Se a è un numero reale qualunque si ha: a + (+ ) = + a (+ ) = a + ( ) = a ( ) = + (+ ) + (+ ) = + ( ) + ( ) = (+ ) ( ) = + ( ) (+ ) = Se a è un numero reale diverso da zero si ha: 9

11 a ( ) = ( ) ( ) = a = ; 0 = a 0 = a = 0; 0 = 0 In tutti i casi elencati, quando il segno di non è precisato, si applica la usuale regola dei segni, con qualche attenzione per il segno di zero. 11 Formule per le derivate 1. Somme, prodotti, quozienti = f() + g(), = f () + g () = f() g(), = f () g() + f() g () = k f(), = k f () = f() g(), = f () g() f() g () (g()) 2 2. Funzioni elementari = k, = 0 = n, = n n 1 = e, = e ; = a, = a ln a = ln, = 1 ; = log a, = 1 log a e = sin, = cos = cos, = sin = tg, = 1 + tg 2 3. Funzioni composte = (f()) n, = n (f()) n 1 f () = e f(), = e f() f () ; = a f(), = a f() ln a f () 10

12 = ln (f()), = 1 f() f () ; = log a (f()), = 1 f() log a e f () = sin (f()), = cos (f()) f () = cos (f()), = sin (f()) f () = tg (f()), = (1 + tg 2 (f())) f () 12 Integrali indefiniti 1. Linearità k f() d = k f() d (f() + g()) d = f() d + g() d 2. Funzioni elementari k d = k + c 1 d = 1 d = ln + c α d = α+1 + c, α 1 α+1 e d = e + c sin d = cos + c cos d = sin + c ln d = ln + c (1 + tg 2 ) d = 1 d = tg + c cos 2 3. Funzioni composte f ()f 1 () d = f () f() d = ln f() + c f ()f α () d = f α+1 () α+1 + c, α 1 f ()e f() d = e f() + c f () sin f() d = cos f() + c f () cos f() d = sin f() + c 11

13 4. Integrazione per parti La formula di integrazione per parti sui può scrivere in due modi equivalenti: f ()g() d = f()g() f()g () d f()g() d = F ()g() F ()g () d, ove F () = f() d 5. Due integrali famosi non calcolabili elementarmente e 2 d sin d 13 Massimi e minimi relativi per le funzioni di due variabili Sia f(, ) una funzione di due variabili, derivabile quanto serve, e indichiamo con f (, ) e f (, ) le sue derivate parziali prime, e con f (, ), f = f (, ) e f (, ) le sue derivate parziali seconde. Un punto ( 0, 0 ) interno al dominio può essere di massimo o di minimo solo se { f ( 0, 0 ) = 0 f ( 0, 0 ) = 0. Se poi poniamo H( 0, 0 ) = f ( 0, 0 ) f ( 0, 0 ) ( f ( 0, 0 ) ) 2, si ha che: se f ( 0, 0 ) > 0 e H( 0, 0 ) > 0, il punto è di minimo; se f ( 0, 0 ) < 0 e H( 0, 0 ) > 0, il punto è di massimo; se H( 0, 0 ) < 0, il punto non è né di massimo né di minimo (punto di sella); se H( 0, 0 ) = 0, occorre un indagine locale per stabilire la natura del punto. 12

14 14 Massimi e minimi vincolati per le funzioni di due variabili Sia f(, ) una funzione di due variabili e g(, ) = 0 un vincolo, con tutte le ipotesi di regolarità che servono per le funzioni f e g. Per la ricerca dei massimi e minimi vincolati si può procedere come segue: se da g(, ) = 0 si può esplicitare o la o la, la si sostituisce nella funzione f, ottenendo una funzione di una variabile i cui massimi e minimi si trovano come al solito; se la cosa non è possibile i punti di massimo e minimo vanno ricercati fra le soluzioni del sistema f (, ) + λg (, ) = 0 f (, ) + λg (, ) = 0 g(, ) = 0 Se il vincolo rappresenta un insieme chiuso e limitato e sono verificate tutte le ipotesi di regolarità che servono, tra le soluzioni del sistema indicato ci sono sicuramente sia il punto di massimo assoluto che quello di minimo assoluto. 13

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