CAPITOLO 16 LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO. caffè. succo di frutta. arancia. cappuccino. cornetto. R il numero da determinare in ciascuna proposizione.

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1 CAPITOLO 6 LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO 6. Equzioni di secondo grdo e loro clssificzione Luc e Mrt sono l r dell città di Mttown per l solit colzione. Osservndo il listino prezzi, si ccorgono che i prezzi delle consumzioni sono espressi con proposizioni mtemtiche: cffè l metà di un numero positivo tle che il suo qudrto si ugule l doppio del numero stesso succo di frutt numero positivo tle che il qudruplo del suo qudrto si ugule l qudrto del più piccolo numero primo dispri succo rnci cppuccino cornetto di l metà di un numero positivo tle che l differenz fr il suo qudrto ed il suo triplo si ugule l qudrto di un numero primo pri l qurt prte di un numero positivo tle che il qudrto dell differenz del numero stesso con un numero primo pri si ugule l numero dei giorni dell settimn (pprossim il numero meno di ) il doppio di un numero positivo tle che l somm fr il suo qudrto ed il suo triplo si ugule l più piccolo numero dispri che non si primo (pprossim il numero meno di ) Luc: Che ftic per un colzione! Non ne ho più vogli! E poi, imo, in tutto, solo ; chissà cos possimo prendere! Mrt: Di Luc, che ci vuole? Vedri non srà poi così difficile stilire i prezzi delle consumzioni. Aspett, fmmi fre un po di conti! Aiutimo Mrt stilire i prezzi delle consumzioni. Formlizzimo le proposizioni del listino prezzi con i simoli dell Mtemtic e indichimo con k + R il numero d determinre in ciscun proposizione.

2 L formlizzzione è riportt nell seguente tell: Consumzione Formlizzzione Prezzo Cffè k k Succo di frutt k 9 k Succo di rnci k k Cppuccino ( k ) 7 Cornetto k + k k Osservimo che ciscun proposizione è formlizzt d un equzione di secondo grdo; riducimole form normle: ) ) c) k k k k ; k 9 k 9 ; k k k k ; d) ( ) ( ) k k k k 7 k 7 k k+ 7 k k ; e) k + k k + k. Possimo, llor, generlizzre: un equzione di secondo grdo, in un vriile (in genere, indict con l letter ), ridott form normle è del tipo c + + con R {}, c R. Perché?.. (Complet) Osservimo l form del polinomio l primo memro di ciscun delle equzioni ottenute: nelle equzioni ) e ) il polinomio di secondo grdo non è completo;precismente: nell equzione ) mnc il termine di grdo ; nell equzione ) mnc il termine di primo grdo; nelle equzioni c), d), e) il polinomio di secondo grdo è completo. Clssifichimo, llor, le equzioni di secondo grdo in se ll form del polinomio: Vlori di e di c ( ) Nome dell equzione Form normle dell equzione c monomi c pur + c c spuri + c complet + + c

3 6. Risoluzione di un equzione di secondo grdo Mrt si rende suito conto che è in grdo di risolvere le equzioni ), ) e c) perché è possiile ricondurle d equzioni di grdo; inftti: ) k k k (......) k... k... (Mrt pplic l legge di ); ) c) k ( k )( k ) 9 k + k ±... ;... k ( k + )(......) k... k.... Luc: Brv Mrt; mi semr, però, che le ltre equzioni sino un po diverse d queste. Mrt, dopo verci pensto un po, chim Luc: Mrt: Luc, mi è venut un ide. Riusciremo trovre le soluzioni dell equzione d). Gurd, se ponimo A k, l equzione d) divent: A 7; e, quindi: A 7 A ±... Sostituendo d A l espressione precedente, ottenimo: k ± 7 k... ± 7 k... 7 k Luc: Bell ide, Mrt! M, l ultim equzione? Mrt: Di Luc, non dimoci per vinti! E dopo qulche minuto: Mrt: Eurek! Luc, ho trovto il modo di risolvere l ultim equzione. Sti ttento: se l inomio k + k ggiungimo 9 esso divent il qudrto di (k +.) Allor, pplicndo il.. principio di equivlenz delle equzioni, trsformimo l equzione: ( ) k + k k + k k+ Ponendo A k +, ottenimo: ( ) k+ A A ±... k+ ±... k... ± Le soluzioni dell equzione sono k... k Luc e Mrt, desso, sono riusciti stilire i prezzi delle consumzioni.

4 Complet, desso, il listino prezzi: Consumzione Formlizzzione Prezzo Prezzo in Cffè k k Succo di frutt k 9 k Succo di rnci k k Cppuccino ( k ) 7 k k k Cornetto k + k k Mrt e Luc che cos potrnno ordinre per l loro colzione? Osservndo il procedimento seguito d Mrt per risolvere le precedenti equzioni, possimo generlizzre e descrivere come si procede per risolvere i diversi tipi di equzioni di secondo grdo. Equzioni incomplete Equzione pur: + c. Si risolve pplicndo il seguente procedimento: si port il termine noto c l secondo memro: si ricv : c c si determin : c S c ± ± Osservzione Ricordimo che un rdicle di indice pri è un numero rele soltnto se il rdicndo è non negtivo; quindi, poiché c, si h:

5 e c discordi c > l equzione h due soluzioni opposte: c c, + S c ± e c concordi c < l equzione non h soluzioni in R; quindi S. Le soluzioni di un equzione pur, se esistono, sono opposte. Esempio Risolvimo le seguenti equzioni pure: ) ; ) y + ) portimo l secondo memro il numero : ricvimo : ; determinimo : ±. ; ) Le soluzioni sono, + L insieme soluzione è, quindi, S ±. y + Risolvimo quest equzione in due modi: ) osservimo che:, y R y >,, S y R y + > y R y + ) i coefficienti e c dell equzione sono concordi, quindi c < S. Equzione spuri: + Si risolve pplicndo il seguente procedimento: Poiché è comune d entrmi i termini del primo memro dell equzione, possimo fre il rccoglimento fttor comune; si ottiene: ( ) + +

6 Applicndo l legge di nnullmento del prodotto si h: ( + ) + Le due soluzioni cercte sono:, L insieme soluzione è S {, } Osservzione L equzione spuri mmette sempre due soluzioni reli e distinte di cui un è. Esempio Risolvimo l equzione spuri Pertnto le soluzioni sono: ( ) S {, }. Equzione monomi: Per risolvere questo tipo di equzione è sufficiente ricordre l legge di nnullmento del prodotto: PROVA TU Risolvi le seguenti equzioni incomplete: ( ) { } poichè S ) 9 ; + ; 7 ; ) ; + ; ; 7 Equzione complet: c + + Ripetimo, nel cso generle, il procedimento seguito d Mrt per risolvere le equzioni complete di secondo grdo. Osserv i seguenti pssggi:. considerimo l equzione: c + +. Applichimo il secondo principio di equivlenz e moltiplichimo per primo e secondo memro dell equzione: ²² + + c () 6

7 . trsportimo il termine noto c l secondo memro: ²² + c (). Applichimo il primo principio di equivlenz e sommimo il termine ² d entrmi i memri dell equzione () : ²² + +² ² c (). il primo memro dell equzione () è il qudrto di un inomio: ( + )² ² c () 6. d cui : + ± c (6) 7. ricvimo l vriile dll equzione (6); si ottiene: ± c o nche, come si è soliti scrivere, ± c L formul così ottenut prende il nome di formul risolutiv delle equzioni di secondo grdo. L formul risolutiv permette di determinre le soluzioni, dette nche rdici, di un equzione di secondo grdo. In prticolre, poiché per convenzione, <, si h: l soluzione minore l soluzione mggiore c + c Osservimo che, nell formul risolutiv delle equzioni di secondo grdo, è presente un rdicle di indice pri ( c ) ; esso è un numero rele soltnto se il rdicndo non è negtivo. Dl discriminnte l numero delle soluzioni L espressione c, che compre sotto il segno di rdice, prende il nome di discriminnte e viene indict con l letter Δ (delt) dell lfeto greco. 7

8 In relzione l vlore di Δ c si possono presentre tre csi: Δ > : l equzione mmette due soluzioni reli e distinte ( ) c ; + S, + c c c Δ : si ottiene ± L equzione, dunque, h un sol soluzione. S { } In questo cso è consuetudine dire che l equzione h due soluzioni reli coincidenti oppure che è un soluzione doppi. Δ < : in R non esiste l rdice con indice pri di un numero negtivo, quindi l equzione non h soluzioni reli; l equzione, perciò, è impossiile. Quindi, S. Per stilire il numero di soluzioni di un equzione di secondo grdo, è sufficiente determinre il vlore del discriminnte e stilirne il segno, come riportto nell seguente tell: Δ > Δ Δ < sol. sol. sol. Esempi Stilimo il numero delle soluzioni delle seguenti equzioni: ) t t + ; ) + + ; c) u + u+ ) I coefficienti di quest equzione sono: ; ; c. Determinimo il vlore del discriminnte: ( ) Δ c Δ > 6 L equzione h, dunque, due soluzioni distinte. ) I coefficienti di quest equzione sono: ; ; c. Determinimo il vlore del discriminnte: ( ) Δ c Δ 8

9 L equzione, dunque, h un sol soluzione rele (o due soluzioni reli e coincidenti). c) I coefficienti di quest equzione sono: ; ; c. Determinimo il vlore del discriminnte: () Δ c Δ < L equzione, dunque, non h soluzioni in R. PROVA TU Complet l seguente tell: 9 Equzione c Δ ² c n delle soluzioni reli 6 9 Δ ()() Δ () ( ) ( ) + Δ ( ) ()(9) Esempi Determinimo l insieme soluzione delle seguenti equzioni: ) d) s + 6s+ ; ) + ; e) 7 m + ; c) m f) z z + ; + ; ) I coefficienti di quest equzione sono: ; 6; c. Determinimo il vlore del discriminnte: Δ ² c Δ > L equzione h due soluzioni distinte; pplichimo l formul risolutiv trovt in precedenz: s ± Δ s ± ± Quindi, l insieme soluzione è S {,}. s 6 s 6 + ) I coefficienti di quest equzione sono: ; 7; c. Determinimo il vlore del discriminnte: Δ ² c ( 7) 9 9 Δ > 9

10 L equzione h due soluzioni reli distinte; pplichimo l formul risolutiv: ± Δ ± ± Quindi, l insieme soluzione è S {, } c) I coefficienti di quest equzione sono: ; ; c. Determinimo il vlore del discriminnte: Δ ² c ( ) 6 6 Δ L equzione h un soluzione rele (o due soluzioni reli coincidenti); in questo cso: Quindi, l insieme soluzione è S { }. z z d) I coefficienti di quest equzione sono: ; ; c. Determinimo il vlore del discriminnte: Δ ² c ( ) Δ > L equzione h due soluzioni reli distinte; pplichimo l formul risolutiv: ± Δ 7 7 ± ± Quindi, l insieme soluzione è S ± 7. e) I coefficienti di quest equzione sono: ; ; c. Determinimo il vlore del discriminnte: Δ ² c ( ) ( ) 6+ 8 Δ > L equzione h due soluzioni distinte; pplichimo l formul risolutiv trovt in precedenz: m ± Δ ( ± ) 6 m 6 ± ± ± ± 6 m 6 m 6 + L insieme soluzione, quindi, è S ± 6.

11 f) I coefficienti di quest equzione sono: ; ; c. Determinimo il vlore del discriminnte: Δ ² c ( ) 7 Δ <. L equzione, quindi, non h soluzioni in R; l insieme soluzione è S. Osservzione Se, nell equzione c + +, è negtivo, prim di pplicre l formul risolutiv, è opportuno cmire di segno tutti i termini dell equzione moltiplicndo primo e secondo memro per. PROVA TU Determin l insieme soluzione delle seguenti equzioni: + + ; h + h+ ; t t y + y+ 8 Complet l seguente tell: + + c Δ, c +. ;. +. ; ;. +. ;. Osserv l tell e complet le seguenti proposizioni scegliendo il termine opportuno fr quelli indicti in prentesi: in ciscun delle equzioni il coefficiente è un numero (pri, dispri); il vlore del discriminte è un multiplo di.. (,, ); le soluzioni delle equzioni sono espresse d frzioni nelle quli si il numertore che il denomintore sono numeri reli contenenti il fttore (,, ). Generlizzimo e considerimo l equzione pri β β c + + in cui il coefficiente è pri.

12 L equzione divent: β c + + Clcolimo il discriminnte: ( β) β ( β ) Δ c c c c Se Δ, pplichimo l formul risolutiv: ( c) β ± β β ± β β ± Δ c ( β ± β c ) β ± β c ( ) ± c In definitiv, se è pri e Δ, l formul che permette di determinre le soluzioni dell equzione è l seguente: ( ) ± c c c c Δ Osservimo che ( ) Quest formul viene chimt formul risolutiv ridott. Ovvimente, il numero delle soluzioni dell equzione dipende dl segno di Δ : Δ > l equzione h due soluzioni reli e distinte; Δ l equzione h un soluzione rele (o due soluzioni reli e coincidenti); Δ < l equzione non h soluzioni in R. Se è pri e, l formul ridott divent.... Esempio Risolvimo l equzione 8+. I coefficienti di quest equzione sono:, 8, c. Poiché è pri, si h 8 ; determinimo Δ : ( ) c ( ) Δ 6 Δ >

13 L equzione h due soluzioni reli e distinte; pplichimo l formul risolutiv ridott: ± Δ ± ± Quindi, l insieme soluzione è S {, }. + Osservzione Non sempre le equzioni di secondo grdo sono scritte in form normle, ovvero sono del tipo c + + ; prim di pplicre l formul risolutiv, llor, è necessrio ridurre l equzione form normle. Esempio Risolvimo l equzione ( ) +. Prim di tutto riducimo l equzione form normle: innnzitutto clcolimo il qudrto del inomio l primo termine: + + trsportimo i termini del secondo memro l primo memro: sommimo i termini simili ed ordinimo secondo le potenze decrescenti dell vriile: Adesso, possimo risolvere l equzione: clcolimo il discriminnte: Δ > ; Δ ² c ( ) l equzione h due soluzioni reli e distinte; pplichimo l formul risolutiv: ± Δ 69 ± ± Quindi, l insieme soluzione è S { 8, }

14 PROVA TU Dopo verle ridotte form normle, risolvi le seguenti equzioni: ) + ; ) ( ) 8 9; Relzione tr i coefficienti di un equzione di secondo grdo e le sue soluzioni Complet l seguente tell: s Equzione c Soluzioni Somm soluzioni Prodotto soluzioni s 6 6 s ; s 6 6 h h+ + 9t c Osserv l colonn Somm soluzioni e quell in cui hi riportto il vlore : l somm delle soluzioni dell equzione è ll opposto di.. Osserv l colonn Prodotto soluzioni e quell in cui hi riportto il vlore di c : il prodotto delle soluzioni dell equzione è. Vedimo, desso, se queste relzioni vlgono in generle. Considerimo un equzione c + + con Δ ; le sue soluzioni sono: c e Eseguimo l loro somm che indichimo con s: + c s + c c c c (i due rdicli si nnullno perchè opposti). In definitiv, si h +

15 Eseguimo il prodotto che indichimo con p: ( ) c + c c c ( ) ( c) p c c +. In definitiv, si h che c In sintesi: dt l equzione + + c (Δ ), si hnno le seguenti relzioni: somm delle soluzioni: + Appliczioni prodotto delle soluzioni: c Vedimo, desso, come possono essere pplicte queste relzioni. ) Considerimo, ncor un volt, l equzione c + + (Δ ) e indichimo con s l somm delle sue soluzioni e con p il prodotto delle stesse soluzioni; quindi: s + e p Applichimo il secondo principio di equivlenz e dividimo entrmi i memri per (, perché..); ottenimo: Per le relzioni precedenti si h ( ) ottenimo: + c + (*) + e c, sostituendo nell equzione (*) ( ) + + (**) Poiché s + e p, l (**) divent: s p + (***) Possimo, llor, ffermre che in un equzione di secondo grdo con discriminnte non negtivo e coefficiente, il coefficiente del termine di primo grdo è ugule ll opposto dell somm delle sue soluzioni, mentre il termine noto è ugule l prodotto delle soluzioni stesse.

16 ) Dto un trinomio di secondo grdo + + c, l equzione che si ottiene uguglindo zero il trinomio stesso. Allor, se imo il trinomio Considerimo, desso, il trinomio esso ssocit. Operndo il rccoglimento fttor comune, imo: Ricordndo che ( ) si chim equzione d esso ssocit + + c, l equzione d esso ssocit è c c e sino e le soluzioni dell equzione d ( ) + + c + + c + e c, si ottiene: c ( ) ( ) ( + ) ( ) Operndo il rccoglimento przile, scomponimo il polinomio in fttori; si ottiene: In definitiv, si h che: ( + ) ( ( ) ( ) ) ( )( ) ( )( ) c + + ( ) In sintesi, per scomporre in fttori un trinomio di secondo grdo doimo: scrivere l equzione d esso ssocit; clcolre il suo discriminnte: se Δ, determinre le sue soluzioni; scrivere il trinomio come prodotto di tre fttori pplicndo l relzione ( ); se Δ <, il trinomio è irriduciile. Queste osservzioni ci permettono di dre un rispost quesiti di vro tipo; d esempio: scrivere un equzione, ridott form normle, dell qule sono note le sue soluzioni; determinre due numeri conoscendo l loro somm ed il loro prodotto; scomporre in fttori, nell insieme dei numeri reli, un trinomio di secondo grdo; semplificre lcune frzioni lgeriche. Esempi ) Determinimo l equzione, ridott form normle, che h come soluzioni i numeri e. Clcolimo l somm s ed il prodotto p delle soluzioni: s + ; p 6 Sostituendo nell equzione (***), ottenimo: 6 che è l equzione cerct. 6

17 ) Determinimo l equzione, ridott form normle, che h come soluzioni i numeri Poiché le soluzioni sono opposte, l equzione è pur. L somm s + +, il prodotto p 9. Sostituendo nell equzione (***), ottenimo: e. 9 che è l equzione cerct. 9 c) Determinimo l equzione, ridott form normle, che h come soluzioni i numeri e. L somm s 7 + +, il prodotto p. Sostituendo nell equzione (***), ottenimo: 7 + che è l equzione cerct d) L somm di due numeri è ed il loro prodotto è. Quli sono i due numeri? Sppimo che s e p ; sostituendo nell equzione (***), ottenimo: che, ridott ll form normle, divent Risolvimo l equzione: ( ) +. clcolimo il discriminnte: c ( ) ( ) determinimo le soluzioni: Δ + Δ > ± Δ ± ± I numeri richiesti, quindi, sono e. 7

18 e) Scomponimo in fttori il trinomio Scrivimo l equzione ssocit: ; clcolimo il discriminnte: Δ ( ) c ( ) 7 ( ) Δ > ; determinimo le sue soluzioni: ± Δ 6 ± ± Si h 7; ; ; sostituendo nell relzione ( ), ottenimo: 7 f) Scomponimo in fttori il trinomio Scrivimo l equzione ssocit: ( )( ) ( )( ) ; clcolimo il discriminnte: c ( ) ( ) determinimo le sue soluzioni: Δ Δ > ; ± Δ 8 ± ± ± + Si h ; ; ; sostituendo nell relzione ( ), ottenimo: ( ) ( )( ) + + g) Scomponimo in fttori il trinomio +. Scrivimo l equzione ssocit: + ; clcolimo il discriminnte: ( ) c ( ) Il trinomio è irriduciile. Δ Δ <. h) Semplifichimo l frzione lgeric Scomponimo in fttori il numertore + 6. Scrivimo l equzione ssocit + 6 ; 8

19 clcolimo il discriminnte: c ( ) ( ) Δ Δ > ; determinimo le soluzioni dell equzione ssocit: ± Δ ± 7 ± ± + Si h ; ; ; pplicndo l relzione ( ) si ottiene: ( )( ) Scomponimo in fttori il denomintore Scrivimo l equzione ssocit ; clcolimo il discriminnte: c ( ) ( ) determinimo le soluzioni dell equzione ssocit: Δ Δ > ; ± Δ ± ± + Si h ; ; ; pplicndo l relzione ( ) si ottiene: ( )( ) Riscrivimo l frzione sostituendo l numertore e l denomintore l loro scomposizione in fttori; si ottiene: PROVA TU ( )( + ) ( )( + ) + 6 ( + )( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) ) Scrivi l equzione di secondo grdo, ridott form normle, che h come soluzioni: ) i numeri e ; ) il numero ; c) i numeri e ; d) i numeri e. ) Determin due numeri conoscendo l loro somm s ed il loro prodotto p: ) s, p 6; ) s, p ; c) 6 s +, p 9

20 ) Scomponi i seguenti trinomi di secondo grdo: ) 7+ ; ) ) Semplific le seguenti frzioni lgeriche: + ; c) + 6; d) 6 + ) ; ) Equzioni prmetriche di secondo grdo Si chimno equzioni prmetriche quelle equzioni in cui, oltre ll incognit, compre un ltr letter chimt prmetro ; per tli equzioni non si richiede di determinre l insieme soluzione, m di stilire per qule vlore del prmetro esse soddisfno determinte condizioni. Esempi k k + ) Determin per quli vlori del prmetro k le soluzioni dell equzione ( ) sono reli e coincidenti. Un equzione di secondo grdo h due soluzioni reli e coincidenti soltnto se Δ. In quest equzione si h k ; ( k ) ; c Clcolimo il discriminnte: Δ ( ) Dovendo essere Δ, si ottiene ( ) Risolvimo l equzione ottenut: ( k ) k c k k. k k. k k k k k+ 9 S {, 9 } I vlori di k che soddisfno l condizione richiest sono: k e k 9 + h + ) Determin per quli vlori del prmetro h le soluzioni dell equzione ( ) sono reli. Un equzione di secondo grdo h due soluzioni reli soltnto se Δ. In quest equzione si h ; ( h ) ; c Clcolimo il discriminnte: Δ ( ) c h 6. Dovendo essere Δ, si ottiene ( h ) 6. Eseguendo le operzioni indicte, si ottiene: ( h ) 6 h h+ 6 L insieme soluzione di quest disequzione è S ], [ ] 6, + [. h h ( h 6)( h+ ) L condizione richiest è verifict d tutti i numeri h tli che h ], ] [ 6, + [.

21 c) Determin per qule vlore del prmetro m l equzione h un soluzione null. ( ) m + m + + m Un equzione di secondo grdo h un soluzione null se è un equzione spuri; il suo termine noto, llor, deve essere nullo. Imponimo, perciò, c ; si ottiene: + m m Il vlore di m che soddisf l condizione richiest è: m. d) Determinre il vlore del prmetro l ffinché il numero si soluzione dell equzione ( ) l l Un numero è soluzione di un equzione se, sostituito ll vriile, rende ver l uguglinz. Sostituendo il numero ll vriile, si ottiene: ( l ) l. Doimo, llor, determinre il vlore di l per il qule è ver quest ultim uguglinz: ( l ) l 9l + 9l 6l + 6 l Il vlore di l che soddisf l condizione richiest è: l. e) Determin per qule vlore del prmetro p, l somm delle soluzioni dell equzione è ugule. Poichè ( p + ) + p +, deve essere. In quest equzione ; ( p ) +. Sostituendo i vlori dei coefficienti ottenimo : Risolvimo l equzione: ( p ) + p + p + p + 6 p Il vlore di p che soddisf l condizione richiest è p.

22 f) Determin per qule vlore del prmetro h il prodotto delle soluzioni dell equzione: è ugule 8. ( h + ) ( h ) + c Poichè, deve essere c 8. In quest equzione h + ; c. Sostituendo i vlori dei coefficienti ottenimo : Risolvimo l equzione: 8 se h + c 8 h+ h+ h, 8( h ) + h 6 h 9 h 9 Il vlore di h che soddisf l condizione richiest è h 9. g) Determin per qule vlore del prmetro k le soluzioni dell equzione ( 7k ) + k sono reciproche fr loro e scrivi l equzione corrispondente. Affermre che le soluzioni sono reciproche vuol dire che c In quest equzione ; c k. Sostituendo i vlori dei coefficienti ottenimo : Risolvimo l equzione: c k k k k k 6 k Il vlore di k che soddisf l condizione richiest è k. Per scrivere l equzione corrispondente, sostituimo l prmetro k il vlore : ( ) h) Determin per qule vlore del prmetro t l equzione : ( ) ( ) t + t h due soluzioni opposte. Un equzione di secondo grdo h due soluzioni opposte se è un equzione pur con coefficienti e c discordi; dovrà, llor essere e c <.

23 In quest equzione ( t ) ; t ; c. Deve essere, llor, t t. Osservimo, inoltre, che c ( t ) ( ) < per qulsisi vlore di t (perché?). Il vlore di t che soddisf l condizione richiest è PROVA TU t. Dt l equzione k k + 6 k, determin k in modo che: ) un soluzione si ugule ; ) un soluzione si null; c) le soluzioni sino reli; d) le soluzioni sino opposte. 6. Equzioni e prolemi Come già visto nel prgrfo 9., esistono nel cmpo mtemtico, in quello delle scienze pplicte e nell reltà prolemi il cui modello mtemtico è rppresentto d un equzione. In questo prgrfo ffrontimo prolemi che hnno come modello mtemtico un equzione di secondo grdo. Per l costruzione del modello mtemtico del prolem riprendimo lo schem del prgrfo 9.. Cos mi chiede il prolem? Qule quntità posso indicre con?. Individure l richiest del prolem. Scegliere l incognit (richiest) Quli vlori può ssumere?. Porre condizioni ccettilità o dominio del prolem Quli elementi dipendono d? Qule relzione mi consente di trovre? Determino il vlore di Posso ccettre il vlore che ho trovto? Scrivo l rispost l prolem. Scrivere ltri elementi in funzione di. Impostre equzione risolvente 6. Risolvere l equzione 7. Controllre ccettilità dell soluzione 8. Scrivere insieme soluzione o rispost

24 Applichimo lo schem precedente per individure l soluzione di lcuni prolemi. ) Determin un numero positivo tle che il suo qudrto umentto del suo doppio si ugule 8.. Individure l richiest del prolem numero positivo. Assegnre incognit (richiest) numero positivo. Porre condizioni ccettilità R +. Scrivere ltri elementi in funzione di qudrto di doppio di. Impostre equzione risolvente Risolvere l equzione ( ) c ( ) Δ > ± Δ 9 ± ± 7. Controllre ccettilità dell soluzione R + soluzione non ccettile; R + soluzione ccettile. 8. Scrivere insieme soluzione o rispost S {} oppure (Rispost) Il numero richiesto è. ) In un rettngolo l misur di un dimensione super il triplo dell misur dell ltr di 8 cm. Spendo che l re del rettngolo misur cm², determin le misure dei lti del rettngolo. Osservzione In un prolem di crttere geometrico, è opportuno costruire, oltre l modello mtemtico, nche il modello grfico del prolem; quindi, è necessrio disegnre l figur che soddisf le condizioni poste dl prolem. AB AD + 8

25 . Individure l richiest del prolem misur dei lti. Assegnre incognit (richiest) misur di AD. Porre condizioni ccettilità R +. Scrivere ltri elementi in funzione di triplo di AD + 8 misur di AB ( + 8) re di ABCD. Impostre equzione risolvente ( + 8) 6. Risolvere l equzione 7. Controllre ccettilità dell soluzione ( + 8) + 8 ( ) c ( ) Δ > ± Δ ± ±, R + soluzione non ccettile; R+ soluzione ccettile. 8. Scrivere l rispost AD cm; AB cm. 6.6 Equzioni di grdo superiore l secondo Qul è il grdo delle seguenti equzioni? + + (riduci form normle), ) ( )( ) ) ( h )( h ) grdo. + grdo. y y + y + (riduci form normle), c) ( )( ) d) ( )( y )( ) grdo. + + (riduci form normle), grdo. Come sicurmente hi già notto, tutte le precedenti equzioni hnno grdo mggiore di.

26 In questo e nei prossimi prgrfi ci occuperemo di prticolri equzioni di grdo superiore l secondo in un sol vriile. Possimo dre, llor, l seguente definizione: Un equzione lgeric coefficienti reli in un vriile si dice di grdo superiore l secondo se, ridott form normle, è del tipo P( ), con P( ) polinomio di grdo n. Ad esempio sono di grdo superiore l secondo le seguenti equzioni: 6 + ; ; + 6 Risolvere, nell insieme dei numeri reli, un equzione di questo tipo vuol dire determinre tutte le sue soluzioni o rdici reli e, quindi, determinre tutti gli zeri reli del polinomio P( ). Ricordimo che si chim zero di un polinomio il numero rele α per il qule risult P(α). Prim di illustrre i vri procedimenti per l risoluzione di equzioni di grdo superiore l secondo, premettimo il Teorem fondmentle dell Alger ed lcune sue conseguenze: Il numero delle soluzioni di un equzione lgeric in un vriile è ugule l grdo dell equzione stess. Conseguenz: Un equzione lgeric di grdo n coefficienti reli mmette l mssimo n soluzioni reli. È possiile dimostrre che le soluzioni non reli di un equzione lgeric sono sempre in numero pri (,,,6,.), quindi: un equzione lgeric coefficienti reli di grdo dispri h sempre un soluzione rele. L risoluzione di equzioni di grdo superiore l secondo, ed in prticolre l ricerc di formule risolutive per esse, h rppresentto per molti secoli un vero prolem per i mtemtici. Due mtemtici itlini del Cinquecento, G. Crdno e Scipione del Ferro, riuscirono determinre formule risolutive per le equzioni di terzo e di qurto grdo, nche se l loro ppliczione non è semplice. All inizio del 8, precismente nel 8, il mtemtico norvegese N. Ael dimostrò che non esistono formule risolutive per le equzioni di grdo superiore l qurto. E importnte, comunque, sottolinere che questo non signific che non si possiile risolvere equzioni di grdo superiore l qurto, m soltnto che non esiste un formul generle, come d esempio per le equzioni di secondo grdo e terzo grdo, che mette in relzione le sue soluzioni dell equzione con i suoi coefficienti reli. Esminimo, comunque, lcune procedimenti che permettono di risolvere prticolri equzioni di grdo superiore l secondo. 6

27 6.7 Equzioni inomie Osserv il polinomio l primo memro delle seguenti equzioni e complet: ) + 7 ; ) 6 ; c) 6 ; d) 8 + ciscuno dei polinomi in esme è formto d termini e, quindi, esso è un.. ; in ciscuno dei polinomi in esme è presente il termine di grdo. ; il grdo di ciscuno dei polinomi in esme è mggiore di.. ; il grdo delle equzioni ) e c) è espresso d un numero ; il grdo delle equzioni ) e d) è espresso d un numero. Poiché il polinomio primo memro è un inomio, queste equzioni sono chimte equzioni inomie. Risolvimo le equzioni precedenti. ) Poiché l esponente dell potenz è un numero dispri, esiste un solo numero rele che rende ver l uguglinz, quindi: S { }. ). Poiché l esponente dell potenz è un numero pri esistono due numeri reli che, rendono ver l uguglinz, quindi: c) d) ± S { ± }. ± ± Poiché l esponente dell potenz è un numero dispri, esiste un solo numero rele che rende ver l uguglinz, quindi: rzionlizzndo 8 { } S 8 ( ) 6 Il inomio 8 + esprime l somm fr un termine non negtivo ed uno positivo; tle somm, pertnto, non potrà mi essere zero. L equzione, quindi, non h soluzioni. In simoli: S

28 Anlizzndo i risultti ottenuti, notimo che: l'insieme soluzione di entrme le equzioni di grdo dispri è diverso dll insieme vuoto ed è formto d un solo numero rele; solo l insieme soluzione di un delle due equzioni di grdo pri è diverso dll insieme vuoto ed esso è formto d due numeri reli opposti. In prticolre, h soluzioni l equzione in cui i due termini sono discordi. Le osservzioni ppen ftte sono di crttere generle. Si h, quindi, l seguente definizione: n Si chim inomi un equzione del tipo + con n N e. Csi prticolri: se n, l equzione inomi è un equzione di primo grdo; se n, l equzione inomi è un equzione pur di secondo grdo; Osservzione n se, l equzione si riduce ll equzione monomi ed il suo insieme soluzione è S {}. Considerimo l equzione monomi. Per definizione di potenz, possimo scrivere. Or, per l legge di nnullmento del prodotto, sppimo che il prodotto di più fttori è zero se lmeno uno di essi è zero. Si ottiene, llor: L soluzione è stt ottenut cinque volte; si dice, pertnto, che ess è un soluzione rele con molteplicità oppure che ess h cinque soluzioni reli coincidenti con l soluzione. n Considerimo, quindi, l equzione inomi + con. n Per determinrne l insieme soluzione, ricvimo ; ottenimo: n. A questo punto, è necessrio distinguere due csi: n pri e discordi: l equzione mmette due rdici reli opposte ± n, quindi S ± n ; e concordi: l equzione non h soluzioni reli, quindi S ; 8

29 n dispri l equzione mmette un sol rdice rele n ±, quindi S n Esempi Risolvimo le seguenti equzioni inomie: ) ; ) + ; c) ; d) ) Il grdo dell equzione inomi è espresso d un numero pri (). Osservimo che e sono discordi, pertnto l equzione h due soluzioni reli opposte. Applicndo il procedimento descritto in precedenz, si ottiene: 6 6 ± ± S { } 9 ±. Osservimo che sremmo rrivti llo stesso risultto scomponendo in fttori il polinomio l primo memro ed pplicndo l legge di nnullmento del prodotto. Inftti: ( )( ) + ± S { ± } ) Il grdo dell equzione inomi è espresso d un numero pri () e cui e sono concordi. L equzione non h soluzione reli, quindi S. c) Il grdo dell equzione inomi è espresso d un numero dispri (); pertnto l equzione h un soluzione rele. Si ottiene: 7 7 S {}. Osservimo che sremmo rrivti llo stesso risultto scomponendo in fttori il polinomio l primo memro ed pplicndo l legge di nnullmento del prodotto. Inftti: 7 (differenz di due cui) ( )( + + 9) L equzione di secondo grdo soluzioni reli , vendo discriminnte minore di zero non h d) Il grdo dell equzione inomi è espresso d un numero dispri (); pertnto l equzione h un soluzione rele. Inftti: S { }

30 PROVA TU ) Senz risolverle, riconosci quli delle seguenti equzioni inomie sono impossiili e quli mmettono un sol rdice rele: ) ) + c) 6 d) e) 6 ) Risolvi le seguenti equzioni inomie : ) + 8 ) + 8 c) 6 d) + 6 ESERCIZIO SVOLTO : Risolvimo e discutimo, l vrire del prmetro rele, l equzione inomi +. Distinguimo due csi: PROVA TU l equzione divent. Ovvimente è impossiile, quindi S ; esplicitndo si ottiene se <, l espressione se > l espressione ; è positiv; l equzione h due rdici reli: ± ± S. ) Dt l equzione inomi ( + ) S ; risult negtiv; l equzione non h soluzioni reli: complet in modo deguto lo schem seguente : se +..., l equzione divent e risult.. ; se... si ottiene... d cui : se + > >... l equzione h.. soluzioni reli: ± ; se + < <... l equzione risult.... ) Risolvi e discuti l equzione inomi + l vrire del prmetro R. 6.8 Equzioni trinomie Osserv il polinomio l primo memro delle seguenti equzioni e complet: ) ; ) 6 y + y ; c) v v.

31 ciscuno dei polinomi in esme è formto d termini; esso è un.. ; in ciscuno dei polinomi in esme è presente il termine di grdo. ; in ciscuno dei polinomi in esme l esponente mggiore è il dell esponente minore. Equzioni di questo tipo sono chimte equzioni trinomie. Si h, llor, l seguente definizione: Un equzione si dice trinomi se è del tipo n n + + c, con n N e,, c numeri reli non nulli. Csi prticolri n : l equzione è un equzione di secondo grdo complet, già studit precedentemente; n : l equzione è un equzione di qurto grdo + + c, dett iqudrtic. Determinre l insieme soluzione di equzioni di questo tipo non è molto difficile. Risolvimo l equzione ) : Ponimo t ( ) t ; sostituendo nell equzione, si ottiene t 9t+ 8. Risolvimo l equzione di secondo grdo ottenut: Δ. > ; t.. Sostituimo t i vlori così determinti; si ottengono le equzioni: S {} 8 8 S {} L insieme soluzione dell equzione ) è, dunque, S S S {,} Risolvimo l equzione ): y y +.. Quest equzione è un equzione trinomi di qurto grdo, quindi è un equzione iqudrtic. Ponimo ( ) y y y ; sostituendo nell equzione, si ottiene Risolvimo l equzione di secondo grdo ottenut: Δ. > ;.. Sostituimo t i vlori così ottenuti; si ottengono le equzioni: y y± S { ± } y S L insieme soluzione dell equzione ) è, dunque, S S S { } ±. +.

32 Risolvimo l equzione c): v v. Ripetendo il procedimento seguito per le equzioni degli esempi ) e ), ponimo ( )... v... v... ; sostituendo nell equzione, si ottiene.... Risolvimo l equzione di secondo grdo ottenut: Δ. > ;.. Sostituimo t i vlori così ottenuti; si ottengono le equzioni: v... v... v... S {...} v... v... v... S {...} L insieme soluzione dell equzione c) è, dunque, S S S {...,...}. Sintetizzimo il procedimento che, in generle, permette di determinre le soluzioni reli n n dell equzione trinomi + + c : si oper un cmimento di vriile ponendo n y e, quindi, n y ; l equzione trinomi si riduce d un equzione di secondo grdo: y + y + c, dett equzione risolvente dell equzione trinomi (*); si determinno le soluzioni y e y dell equzione risolvente; si risolvono le equzioni inomie n y e n y ; detti S e S gli insiemi soluzioni delle equzioni inomie, l insieme soluzione S Esempi : dell equzione trinomi è S S S. Risolvimo le seguenti equzioni trinomie: ) ; ) ) Seguimo lo schem illustrto in precedenz: operimo il cmimento di vriile: l equzione si trsform nell equzione di secondo grdo y 7 y + 6 ; determinimo le soluzioni dell equzione risolvente: y e y 6; risolvimo le equzioni inomie che si ottengono sostituendo d y i vlori ottenuti: ± 6 S { } ±, ± S { } ± ; y ; L insieme soluzione dell equzione è S S S S {, } ± ±.

33 ) Seguimo lo schem illustrto in precedenz: operimo il cmimento di vriile: y ; l equzione si trsform nell equzione di secondo grdo 8 y + 7 y + 6 ; determinimo le soluzioni dell equzione risolvente: y e y 6; risolvimo le equzioni inomie che si ottengono sostituendo d y i vlori ottenuti: S, 6 S ; L insieme soluzione dell equzione è S S S S. 8 ATTENZIONE L equzione non è un equzione trinomi perché 6 non è il doppio di. PROVA TU ) Risolvi le seguenti equzioni trinomie : 6 ) + S ; ) 8 6 ) Dt l equzione + + c qule condizione deve essere verifict ffinchè ess mmett rdici reli? In tl cso qunte sono le sue soluzioni reli? S { ± } OSSERVAZIONE Un equzione iqudrtic + + c è un prticolre equzione trinomi che si riduce d un equzione di secondo grdo con l sostituzione di vriile Le sue soluzioni reli, se esistono, sono dte dlle soluzioni delle due equzioni inomie di secondo grdo y e y, dove y e y sono le soluzioni reli dell equzione risolvente di secondo grdo. Un equzione iqudrtic, essendo di qurto grdo, può vere, l mssimo, quttro soluzioni reli. Fcendo un semplice rgionmento si può osservre che le soluzioni reli dell iqudrtic srnno effettivmente quttro se l equzione risolvente vrà discriminnte mggiore di zero e se entrme le sue rdici sono positive. y.

34 Quli condizioni devono verificre i coefficienti di un equzione iqudrtic ffinchè ess i due sole soluzioni reli?.. E quli condizioni devono essere verificte ffinchè ess non i lcun soluzione rele?. PROVA TU ) Risolvi le seguenti equzioni iqudrtiche : ) + ; ) c) ; d) S { ±, ± }; S { ± } [ S ; S ] ) Senz risolverle, stilisci il numero di soluzioni reli delle seguenti equzioni iqudrtiche : ) 7 + ; ) + 9 ; c) + + ) Scrivi un equzione iqudrtic vente per soluzioni i numeri 6.9 Equzioni risoluili con prticolri sostituzioni Ci proponimo di risolvere l equzione ( ) ( ) + 6. ± ; ±. Proilmente, l prim cos che ci viene in mente è quell di svolgere i clcoli indicti e ridurl form normle. Così fcendo, ottenimo un equzione che present l primo memro un polinomio di qurto grdo. Ricord, però, è sempre opportuno riflettere prim di gire! L form dell equzione ( ) ( ) + 6 è simile quell di un equzione trinomi, il primo memro, inftti, è formto d tre termini e sono presenti due potenze i cui esponenti sono uno il doppio dell ltro. L differenz è che l se delle potenze non è l vriile dell equzione (), m un espressione che dipende d ess, cioè un funzione. Per risolvere quest equzione, possimo seguire lo schem indicto per l risoluzione delle equzioni trinomie: operimo il cmimento di vriile: y ; l equzione ( ) ( ) + 6 y y+ 6 ; si trsform nell equzione di secondo grdo determinimo le soluzioni dell equzione risolvente: y e y ; risolvimo le equzioni che si ottengono sostituendo d y i vlori ottenuti:

35 ± ± S { ± } S { ± } L insieme soluzione dell equzione ( ) ( ) + 6 Adesso generlizzimo. Equzioni dell form { } S S S S ±, ±. n ( ) ( ) f() + f() + c, è: n dove f() è un espressione lgeric nell vriile, come le equzioni trinomie, possono essere n ( ) ricondotte d equzioni di secondo grdo operndo il cmimento di vriile ( ) Esempio + + Risolvimo l equzione + 8. n Osservimo che quest equzione è del tipo ( ) ( ) f() + f() + c ; inftti: n f y. f ( + ) ; n Operimo il cmimento di vriile: + ( ) y ; + + l equzione + 8 divent y + y 8 ; determinimo le soluzioni dell equzione di secondo grdo ottenut: y 7, y ; risolvimo le equzioni che si ottengono sostituendo d y i vlori ottenuti: ±, S + + S {,}, + + L insieme soluzione dell equzione + 8 è: { } S S S S,.

36 PROVA TU Medinte opportune sostituzioni, riconduci le seguenti equzioni d equzioni di secondo grdo e risolvile in R: S { ± } ) ( ) ( ) S { ± ; ± } ) ( ) ( ) + 6. Equzioni reciproche Considerimo le seguenti equzioni: ) c) ; ) t t t ; + ; d) p + 8p p p + 8p+. Osservimo che: tutte le equzioni sono ridotte form normle; il polinomio è ordinto secondo le potenze decrescenti dell vriile. Spostimo, desso, l nostr ttenzione sui coefficienti dei termini del polinomio; notimo che: nelle equzioni ) e c) i coefficienti del primo ed ultimo termine sono opposti; i coefficienti del secondo e penultimo termine sono opposti. nelle equzioni ) e d) i coefficienti del primo ed ultimo termine sono uguli; i coefficienti del secondo e penultimo termine sono uguli; i coefficienti del terzo e terzultimo termine sono uguli (equzione g)). Possimo, llor, dire che in queste equzioni i termini equidistnti dgli estremi sono uguli oppure opposti. Risolvimo l equzione ): Osservimo che l somm dei coefficienti del polinomio è zero, quindi esso è divisiile per ( ) ; scomponendo in fttori, llor, ottenimo: + ( )( ) ; pplichimo l legge di nnullmento del prodotto: S {} + +, S {, } L insieme soluzione del equzione è S S S {,,}.

37 Risolvimo l equzione ): Applicndo due volte il teorem del resto, ottenimo: + ( )( ) pplichimo l legge di nnullmento del prodotto: + S { } S {} ( )( )( ) ; 6 +, S {, }. L insieme soluzione dell equzione è l insieme S S S S {,,,}. L stess equzione può essere risolt senz scomporre il polinomio in fttori. Dividimo, inftti, il polinomio per (divisione lecit, perché?); si ottiene: ; 6 8 osservimo che il primo e l ultimo termine del polinomio hnno in comune il fttore 6, il secondo ed il penultimo termine hnno in comune il fttore ; operimo dunque il rccoglimento przile: + ( ) Osservimo che ( ) ; sostituendo nell equzione precedente si h: ( ) Ponendo + h, l equzione divent: ( h ) 6 8 h ( ) ( ) L ultim equzione è un equzione di secondo grdo; dopo verl ridott form normle, determinimone l insieme soluzione: 6h 8 h Poiché ( ) h, h 6h h h +, ottenimo le seguenti equzioni: 7

38 , S {, } + +, S {, } L insieme soluzione dell equzione è S S S {,,,} ; Risolvimo l equzione c): t + t t. Osservimo che l somm dei coefficienti dei termini del polinomio è zero, quindi il polinomio è divisiile per t ; inoltre è fcile verificre che è un rdice del polinomio, quindi esso è divisiile nche per t +. Scomponendo in fttori l equzione dt, si ottiene: t t t + ( t )( t )( t t ) pplichimo l legge di nnullmento del prodotto: t t S {} ; t t S { } + ; ; t + t+ t, t S {, }. L insieme soluzione dell equzione è S S S S {,,,} Risolvimo l equzione g): p 8p p p 8p Verific che, pplicndo più volte il teorem del resto e successivmente l legge di nnullmento del prodotto, l insieme soluzione dell equzione è S {,,,, } Possimo riepilogre i risultti ottenuti nell seguente tell: Equzione 7 7 Coefficienti dei termini equidistnti dgli estremi. Insieme soluzione + opposti S {,, } + uguli S {,,, } + opposti S {,,, } uguli S {,,,, } t t t p 8p p p 8p 8

39 Osservimo l colonn Insieme soluzione : gli insiemi soluzione di ciscun delle precedenti equzioni hnno qulcos in comune? l equzione h, fr le soluzioni, i numeri e ; questi due numeri sono uno il reciproco dell ltro; l equzione h, fr le soluzioni, i numeri e che sono uno il reciproco dell ltro, così come e che sono uno il reciproco dell ltro; l equzione t t t uno il dell ltro; + h, fr le soluzioni, i numeri e... che sono... l equzione p 8p p p 8p h, fr le soluzioni, i numeri e che sono uno il dell ltro, così come dell ltro. Possimo, llor, generlizzre (ed è possiile nche dimostrre): e che sono uno il... Equzioni (ridotte form normle e ordinte secondo le potenze decrescenti dell vriile di grdo n ) nelle quli i coefficienti dei termini estremi e di quelli equidistnti dgli estremi sono uguli o opposti, se hnno come soluzione un numero rele, llor hnno come soluzione nche il suo reciproco. Per questo motivo, equzioni di questo tipo prendono il nome di equzioni reciproche. Possimo dre, llor, l seguente definizione. Si dice reciproc un equzione del tipo P ( ) dove P() è un polinomio ordinto secondo le potenze decrescenti o crescenti dell vriile nel qule i coefficienti dei termini estremi e di quelli equidistnti dgli estremi sono uguli o opposti. Inoltre: se i coefficienti dei termini estremi e di quelli equidistnti dgli estremi sono uguli l equzione si dice di prim specie; se i coefficienti dei termini estremi e di quelli equidistnti dgli estremi sono opposti l equzione si dice di second specie. 9

40 Osservndo ncor l tell precedente, possimo dedurre che: equzioni reciproche di grdo dispri hnno, fr le soluzioni, il numero se i coefficienti dei termini equidistnti dgli estremi sono opposti (equzioni reciproche di prim specie); hnno, fr le soluzioni, il numero se i coefficienti dei termini equidistnti dgli estremi sono uguli (equzioni reciproche di second specie); equzioni reciproche di grdo pri hnno, fr le soluzioni, i numeri e solo se i coefficienti dei termini equidistnti dgli estremi sono opposti (equzioni reciproche di second specie). Le proprietà dedotte con le precedenti osservzioni sono generli. Inftti, è possiile dimostrre, pplicndo il teorem del resto, l polinomio P (), che un equzione reciproc: di grdo dispri di prim specie mmette sempre come soluzione ; di grdo dispri di second specie mmette sempre come soluzione ; di grdo pri di second specie mmette sempre come soluzioni e. Osservzione Le equzioni reciproche di terzo grdo, oltre che con l ppliczione del Teorem del resto, possono essere sste di grdo nche ttrverso il rccoglimento przile, come illustrto nell esempio seguente. Puoi scegliere, quindi, in qule modo ssrle di grdo; forse, in presenz di coefficienti irrzionli o letterli è preferiile pplicre il Teorem del resto. Esempio Risolvimo l equzione reciproc di terzo grdo di prim specie, +. Applicndo l proprietà commuttiv e ssocitiv, possimo scrivere: + ( + ) ( + ) ; Scomponendo in fttori ( + ) (somm di due cui) e ( ) ( ) ( + + ) ( + )( + ) ( + ) ; +, si ottiene: Possimo, desso, operre il rccoglimento fttor comune, perché i due termini dell somm lgeric hnno un fttore ugule ( + ); si h, quindi: ( + )( + ) ( + ) ( )( + + ) ( + )( + )

41 Applicndo l legge di nnullmento del prodotto, si ottengono le due equzioni: { } + S ; + ± S ± L insieme soluzione dell equzione dt è S S S S, ±. Osservimo che le soluzioni e + sono effettivmente un l reciproc dell ltr in qunto il loro prodotto è +. PROVA TU ) Stilisci se le seguenti equzioni reciproche sono di prim o second specie : ) I II ) c) d) e) c c c + I II z z z z + I II t t t + I II m m m m m + + I II ) Complet le seguenti equzioni in modo che risultino reciproche di prim specie: ) ) y + 7 y... ; ) Complet le seguenti equzioni in modo che risultino reciproche di second specie: ) ) s s... s... + ; ) Osservndo che un equzione reciproc di qurto grdo second specie si può scrivere nell form +, dimostr che ess h, sempre, ± come soluzioni. Rissumimo, negli esempi seguenti, i procedimenti che consentono di risolvere equzioni reciproche di prim e second specie. Esempi Risolvimo l equzione +. Prim di tutto clssifichimo l equzione.

42 Osservndo i suoi coefficienti possimo dire che è un equzione reciproc di terzo grdo di prim specie. Quindi: ess mmette l soluzione ; il polinomio primo memro è divisiile per il inomio + ed il quoziente è 7 + ; l equzione divent ( + )( 7 + ) ; pplicndo l legge di nnullmento del prodotto si ottiene: + 7 S { } +, ; S {,} ; L insieme soluzione dell equzione + è S S S {,,}. Risolvimo l equzione +. Clssifichimo l equzione. Complet Osservndo i suoi coefficienti possimo dire che è un equzione reciproc di terzo grdo di. specie. Quindi: mmette l soluzione ; il polinomio primo memro è divisiile per il inomio... ed il quoziente è...; l equzione divent ( )(...) ; pplicndo l legge di nnullmento del prodotto, si ottiene: S {} ;..,. S {...,} L insieme soluzione dell equzione + Risolvimo l equzione +. ; è S S...S {,...,}. Clssifichimo l equzione. Osservndo i suoi coefficienti possimo dire che è un equzione reciproc di qurto grdo di second specie. Quindi: mmette le due soluzioni, ; il polinomio primo memro è divisiile si per il inomio + che per il inomio ; scomponendo il fttori il polinomio primo memro, l equzione divent ( )( + )( + ) ;

43 pplicndo l legge di nnullmento del prodotto, si ottiene: + S {} ; S { } ; +, S, L insieme soluzione dell equzione è l insieme S S S S,,,. Risolvimo l equzione Osservndo i suoi coefficienti possimo dire che ess è un equzione reciproc di qurto grdo di prim specie. È possiile determinrne le soluzioni scomponendo in fttori il polinomio l primo memro e pplicndo, successivmente, l legge di nnullmento del prodotto. Seguiremo, invece, un'ltr strd: dividimo tutti i termini per dell equzione; si ottiene: + + +, operzione lecit in qunto non è soluzione operimo un rccoglimento przile: fr il primo ed ultimo termine rccoglimo fttor comune il fttore, fr il secondo e il penultimo termine il fttore ; si h: ( ) operimo un cmimento di vriile: l equzione precedente divent: ( t ) t + t risolvendo l equzione di secondo grdo, si ottiene t, + t ; t t 6 t ; 6 sostituendo i vlori di t così ottenuti, ottenimo le due equzioni: + + 6,, S {, } S {, } + ; L insieme soluzione dell equzione è l insieme S S S {,,, }.

44 PROVA TU ) Risolvi le seguenti equzioni reciproche: S {, 7, 7} s s + s S {,, } S {,,, } ) ) c) 8 d) + S,,, ) Risolvi l seguente equzione reciproc di qurto grdo di prim specie senz pplicre l legge di nnullmento del prodotto: S {,, } 6. Equzioni riconduciili d equzioni di primo e secondo grdo medinte l scomposizione in fttori Nei prgrfi precedenti imo imprto risolvere prticolri equzioni di grdo superiore l secondo. In ltri csi, l legge di nnullmento del prodotto rppresent uno strumento molto utile per l risoluzione di questo tipo di equzioni. Inftti, equzioni che si presentno nell form P () P ().. P n (), (dove P (), P (),.., P n () sono polinomi di primo o secondo grdo) si risolvono pplicndo l legge di nnullmento del prodotto e, quindi, trovndo i vlori di che nnullno ogni singolo fttore. Ad esempio, considerimo l equzione ( )( )( + ). Per determinre le sue soluzioni è sufficiente pplicre l legge di nnullmento del prodotto ottenendo, così, equzioni di primo e secondo grdo: S {} ;, + S. S {,} ; L insieme soluzione dell equzione ( )( )( + ) è S S S {,,}.

45 Risolvimo l equzione ( ) ( + ). Ancor un volt pplichimo l legge di nnullmento del prodotto: ( ) (ripetuto volte) (soluzione con molteplicità ) S {} + S. L insieme soluzione dell equzione ( ) ( + ) è S S {}. ; Osservimo che, per determinre l insieme soluzione di queste equzioni, imo risolto equzioni di primo e secondo grdo; si dice, llor, che le equzioni sono stte sste di grdo. Tlvolt, (secondo esempio), le soluzioni di un equzione possono non essere distinte; se un soluzione è presente, d esempio, s volte si dice che ess compre con molteplicità s. In generle, llor, ssre di grdo un equzione lgeric vuol dire scriverl come prodotto di due o più fttori, ciscuno di essi di grdo inferiore quello dell equzione dt. Esempi Risolvimo l equzione + 6 Il polinomio + 6 è scomponiile in fttori: operndo il rccoglimento przile si ottiene: + 6 ( ) ( ) ( ) ( ), è possiile, llor, ssre di grdo l equzione; si h: 6 + ( ) ( ) ; pplicndo l legge di nnullmento del prodotto, si ottengono le seguenti equzioni: S {} ;, S { ± } L insieme soluzione dell equzione + 6 Risolvimo l equzione + 6. Per scomporre in fttori il polinomio ( ) Osservimo che P (), quindi ( ) Applicndo l regol di Ruffini, si ottiene ssimo di grdo l equzione: 6 + ( )( 6) è S S S {, } ±. P + 6 pplichimo il teorem del resto. P è divisiile per il inomio ( ). + 6 ( )( 6) ;

46 Applicndo l legge di nnullmento del prodotto, risolvimo le equzioni: {} S { } 6, S, L insieme soluzione dell equzione + 6 è S S S {,,} 6. PROVA TU Dopo verle sste di grdo, risolvi le seguenti equzioni: ) ) + 8 c) + 6 Osservzione Ricordimo due teoremi che forniscono un criterio per l individuzione di eventuli rdici intere rzionli di un equzione coefficienti interi o rzionli. Essi sono molto utili qundo è necessrio ssre di grdo un equzione. Teorem n n Le eventuli soluzioni intere di un equzione lgeric del tipo m + p, coefficienti in Z, sono d ricercre tr i divisori del termine noto p dell equzione. Teorem n n Le eventuli soluzioni rzionli di un equzione lgeric del tipo m + p, r coefficienti in Z, sono d ricercre tr le frzioni irriduciili con r divisore del termine noto p e s s divisore del primo coefficiente. Esempio Considerimo l equzione di terzo grdo + 8. r Se ess mmette come soluzione un frzione ridott i minimi termini del tipo, r srà uno s dei divisori del termine noto () e s srà uno dei divisori del coefficiente del termine di grdo mssimo (). I divisori di sono: ±, ±, ± ; i divisori di sono: ±, ± : i numeri rzionli che possono essere soluzioni dell equzione sono d ricercrsi fr i seguenti: ±, ±, ±, ±. Poichè ( ) P, possimo dire che il numero rzionle è soluzione dell equzione.