CONTROLLI AUTOMATICI

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1 CONTROLLI AUTOMATICI A.A. 2/2 Iroduzoe al Corso Due problem d oevole eresse gegersco soo quell dell aals d u geerco ssema reale, aurale o arfcale, per acqusre formazo sul suo comporameo, e della ses d u adao dsposvo, deomao corollore, da coeere a ale ssema grado d forzare l ero ssema a comporars el modo desderao. U ssema reale può essere defo come quell' ee che evolve el empo a seguo d azo esercae su d esso dall'esero. I geerale, esso è cosuo da u seme d compoe che eragscoo fra loro al fe d cosegure obev prefssa. Alcu esemp d ssem real soo segue. U seme massa-molla-smorzaore che cosusce, ad esempo, u modello fsco d ua sospesoe passva d u auovecolo; se s sersce ache u dsposvo grado d geerare forze meccache, deomao auaore, s oee ua sospesoe ava. U moore che è u ssema l cu scopo è quello d mporre u movmeo a u dao carco accordo a ua legge be precsa che mpoe u cero adameo emporale, ad esempo, per la poszoe leare o agolare o per la velocà. U mapolaore roboco è u ssema cu scop soo quell d mapolare ogge o d forzare la pare ermale, l ed effecor, a segure parcolar raeore, ad esempo, per operazo d vercaura d par d auovecol, per operazo ello spazo o ambe che l uomo o può frequeare come l occolo d u reaore ucleare. U aeromoble l cu obevo è be oo. Uo scaldabago l cu obevo è quello d porare la emperaura dell acqua a u prefssao valore. Ua avcella spazale. Ua cerale elerca l cu obevo è quello d produrre eerga elerca co valor della esoe e della frequeza be def. Ua raffera d perolo. U pedolo verso, cosuo da u asa cereraa all esremà ferore e la cu esremà superore è lbera, ha come obevo prefssao quello d maeere vercale l asa del pedolo. U ssema reale che può essere assmlao a u pedolo verso è cosuo da ua baera lacarazz ssemaa sopra u vecolo moble. Aals L'aals gegersca d u ssema reale ha come obevo quello d mglorare e, se possble, omzzare l comporameo del ssema sesso dal puo d vsa dell'affdablà e dell effceza. Per effeuare l aals d u ssema occorre, azuo, dvduare le gradezze medae le qual è possble smolare l evoluzoe del ssema, deomae gradezze d gresso, e le gradezze l cu adameo emporale è d parcolare eresse per gudcare le presazo del ssema, deomae gradezze d usca.

2 2 Per valuare le presazo del ssema è, allora, possble sollecarlo co opporu adame emporal delle gradezze d gresso e rlevare corrspode adame emporal delle gradezze d usca. Tale valuazoe può essere codoa e segue due mod: a) ulzzado u approcco eorco; b) ulzzado u approcco spermeale. L'approcco eorco s basa sulla coosceza d u modello maemaco suffceemee accurao del ssema reale, cosuo da u seme d gradezze e dalle relazo maemache far al gradezze. Tale approcco cosse ell effeuare lo sudo del ssema reale ulzzado l modello maemaco del ssema sesso. Lo sudo quesoe presea due aspe. U aspeo rguarda la dvduazoe d propreà del modello che s rfleoo presazo che l ssema reale è grado d forre. L alro aspeo cosse ella deermazoe degl adame emporal delle gradezze d usca corrspode a cer adame emporal delle gradezze d gresso, rsolvedo le equazo che cosuscoo l succao modello maemaco. Tale aspeo vee svluppao medae esperme d smulazoe dgale. Ifa, poché mol cas rsula mpossble o oeroso, dal puo d vsa compuazoale, rsolvere aalcamee le equazo del ssema, covee deermare u soluzoe umerca delle equazo sesse avvaledos dell auslo d u compuer. A al fe occorre mplemeare l modello sul compuer sesso. Pochè, d solo, l modello maemaco che vee assocao ad u ssema reale è cosuo da equazo dfferezal mere compuer soo grado d esegure solamee operazo logche e armeche, l'mplemeazoe del modello rchede l'mpego d opporu meod che dpedoo dalla sua sruura. La cosruzoe d u adeguao modello maemaco può essere effeuaa:. ulzzado ecche d defcazoe che permeoo d cosrure u modello del ssema a parre da da spermeal relav alle succae gradezze; 2. ulzzado le legg della fsca, chmca, ecooma, ec. che descrvoo l comporameo de compoe del ssema. I eramb cas rsula opporuo valdare spermealmee l modello maemaco cosruo soopoedo, ad esempo, l modello sesso e l ssema reale agl sess gress e rlevado e cofroado le corrspode rspose. I vaagg dell'approcco eorco soo coess al fao che o è ecessaro dsporre del ssema reale per la sua aals che, perao, rsula relavamee poco cososa e prva d rsch. Iolre, è possble deermare ache l adameo delle gradezze che o soo accessbl per la msura. Gl svaagg soo coess al fao che l modello maemaco che può essere assocao al ssema cosusce ua descrzoe approssmaa del ssema sesso; olre, l mplemeazoe del modello rchede sempre l rcorso a cere approssmazo. L'approcco spermeale cosse ell'effeuare alcue prove spermeal sul ssema reale, sollecadolo co opporu adame emporal delle gradezze d gresso e rlevado medae apposa srumeazoe gl adame emporal delle gradezze d usca. I vaagg d ale approcco soo coess al fao che rsula oeu soo relav al ssema reale e o a ua sua rappreseazoe maemaca approssmaa. Gl svaagg soo coess al fao che è ecessaro dsporre d u proopo del ssema su cu esegure gl esperme, l che rsula oevolmee cososo e rschoso per l'egrà del proopo sesso. Iolre, parcolare cura deve essere posa ella scela della srumeazoe mpegaa e

3 3 ell'erpreazoe de rsula oeu, pochè da rleva spermealmee soo, geerale, corro da segal d rumore, coè segal aleaor sovrappos a quell real rodo dalla modalà co cu opera la srumeazoe o da feome d vara aura. Ses I geerale, ssem real soo solo poezalmee grado d cosegure gl obev prefssa (ovvero d comporars ella maera desderaa), el seso che l cosegumeo d al obev è possble solamee se su al ssem vegoo esercae adae azo dall esero deomae azo d corollo. Il corollo può esercars co o seza l erveo dreo dell uomo; l corollo che s eserca seza l ervao dreo dell uomo vee deomao corollo auomaco. Le succae azo d corollo vegoo geerae dal u secodo ssema, deomao ssema corollae o corollore, che vee opporuamee ercoesso co l ssema al quale s desdera mporre l comporameo desderao, deomao ssema corollao. Per llusrare gl aspe fodameal d u problema d corollo s cosder l seguee problema aalogo a quello del corollo d u pedolo verso. Il ssema corollao è u asa poggaa sul palmo della mao d u uomo e l comporameo desderao è maeere vercale l asa sessa muovedo solamee la mao (modalà d corollo ); alre modalà che porebbero essere ulzzae soo quelle d maeere ferma la mao (modalà d corollo 2) e sposars ello spazo crcosae, oppure muovere el coempo la mao e sposars ello spazo crcosae (modalà d corollo 3). Ovvamee, l corollo avvee co l erveo dell uomo ed è qud mauale, coè o auomaco. E facle verfcare che quale che sa la modalà d corollo s resce sempre a cosegure l obevo prefssao. Nauralmee, è pù facle cosegure l succao obevo ulzzado la erza modalà d corollo poché o essoo vcol sulle azo d corollo che possoo essere esercae sull asa dall uomo. E ache abbasaza semplce meere evdeza meccasm che porao a cosegure l obevo prefssao. L uomo sposados vare drezo o sposado l palmo della mao eserca delle azo sul ssema corollao; gl orga moor dell uomo agscoo come auaor. La decsoe delle azo pù doee vegoo prese dal cervello dell uomo che agsce da corollore. Le decso vegoo prese sulla base delle osservazo della poszoe auale dell asa e della sua edeza che esprmoo l comporameo effevo del ssema e sulla poszoe desderaa dell asa che esprme l comporameo desderao o sepo. Pù precsamee, le decso vegoo elaborae a parre dal cofroo fra sepo e comporameo effevo. Il dsposvo d cofroo vee deomao comparaore. Le osservazo della poszoe auale dell asa e della sua edeza fuura vegoo caurae dagl occh che agscoo da sesor d msura e vegoo rasmesse al cervello medae l ssema ervoso. Il rsulao delle elaborazo del corollore (l cervello), cosusce la legge d corollo che vee rasmessa agl orga moor dal ssema ervoso cerale. Tale legge vee elaboraa a parre da rsula del cofroo fra comporameo effevo e desderao. L seme cosuo dal comparaore e dal compesaore vee deomao corollore. Uo schema a blocch sruurale che evdeza meccasm succa è llusrao ella Fg.. Lo schema a blocch d Fg. ha valdà del uo geerale.

4 4 Gl obev cosdera ell esempo llusrao soo aalogh a quell che è chamao a persegure u pedolo verso l cu schema è rporao ella Fg. 2. Il pedolo è cererao alla sommà d u carrello che è azoao da moor elerc; l movmeo del carrello che raspora l pedolo può avvere solamee ua drezoe e l obevo che s poe è quello d maeere l pedolo poszoe vercale. Co rfermeo allo schema d Fg., valgoo le segue cosderazo. Se-po dsurbo Comparaor e Compesao re Auaore ssema corollao Sesor d msura Fg. Schema a blocch sruurale del ssema d corollo esame. Fg. 2 Pedolo verso. Le formazo sul comporameo effevo vegoo acquse msurado l agolo formao dal pedolo co la drezoe vercale auale. Il sesore d msura porebbe essere u ecoder assoluo che forsce la msura dell agolo dreamee formao dgale. Il comparaore e l compesaore possoo essere realzza, rspevamee, medae u amplfcaore eleroco dfferezale e u dsposvo eleroco d po aalogco. L auaore è cosuo dall seme de moor elerc che soo calea sulle ruoe e forzao l carrello a muovers ua delle due drezo ammssbl. Esempo.. S desdera maeere cosae la emperaura all ero della caba d u aeromoble a erra e volo. Il ssema reale è cosuo da dsposv d rscaldameo-codzoameo, dalla caba dell aeromoble e dall ambee esero. E ovvo che ale ssema o è grado d cosegure l obevo prefssao. Ifa, se l dsposvo d rscaldameo-codzoameo

5 5 fosse maeuo sempre fuzoe ello sao d rscaldameo la emperaura all ero della caba aumeerebbe fo a u cero valore massmo, mere se l succao dsposvo fosse maeuo sempre fuzoe ello sao d codzoameo la emperaura della caba ederebbe a u cero valore mmo. Per cosegure l obevo prefssao occorre ercoeere l succao ssema co u corollore che decda lo sao del dsposvo d rscaldameo-codzoameo fuzoe della emperaura desderaa e d quella auale ella caba. Per quao cocere la deermazoe della legge d corollo, o cò che è lo sesso, la progeazoe o la ses del corollore, essoo due approcc fodameal, l approcco basao su modello e quello basao su regole. Eramb gl approcc rchedoo ua descrzoe del comporameo del ssema. L approcco basao su modello rchede la coosceza d ua descrzoe maemaca del comporameo del ssema corollao cosua, geerale, da u seme d relazo fra le gradezze d gresso e le gradezze d usca. Le relazo quesoe vegoo deomae relazo gresso-usca. Ache l corollore vee maemacamee descro da relazo gresso-usca. L approcco basao su regole rchede la coosceza d ua descrzoe lgusca del comporameo del ssema. U esempo pco d corollor basa su regole che covolgoo varabl lgusche è cosuo da corollor fuzzy. Covee, adesso, llusrare alcue oazo sulle fuzo del empo e ua classfcazoe delle gradezze che è possble assocare a u ssema reale.

6 6 Noazo sulle fuzo del empo Sa T l seme de valor del empo, che può cocdere, o meo, co (, + ). Ua fuzoe del empo v defa su T verrà dcaa co v( ). Il valore che essa assume all sae geerco sarà vece dcao co v( ). S cosder ora u ervallo d osservazoe coeuo T, defo come segue: [, ] = { τ : τ ;, T} v ell ervallo [, ] v, l seme delle coppe ordae ( τ, v( τ )) co τ [ ] e ua fuzoe del empo v( ). Dces resrzoe d ( ) della fuzoe ( ) v = v = τ v τ τ T v τ v. [, ] {(, ( )) : ;,, ( ) ( )} La fg. charsce le defzo precede el caso cu v( ) sa scalare.,, o segmeo. I smbol: v () v ( ) v [, ] τ Fg. τ Ua classe d fuzo scalar del empo s dca co R[ v( )]. Co R[ v( )] vece s dca l seme de valor che le fuzo v( ) assumoo e var sa d empo (codomo) e, geere, è u seme dpedee dal empo. La classe delle resrzo delle fuzo v( ), s dca fe co R [, ]. Quao deo può faclmee essere eseso al caso d fuzo veoral, defe come pla d fuzo scalar del empo. Ua geerca fuzoe veorale s dca co v ( ) e può essere rappreseaa medae oazoe marcale, come segue: ell ervallo [ ] v( ) v2( ) v ( ) = v( ) Il valore che la fuzoe v ( ) assume all sae geerco è dao da:

7 7 Iolre, s ha: v( ) v2( ) v ( ) =. v( ) v = v = τ v τ τ v τ v. [, ] {(, ( )) : ;, T, ( ) ( )} Classfcazoe maemaca delle gradezze Le gradezze soo maemacamee caraerzzae da loro valor umerc varabl, geere, el empo. Essoo sosazalmee due crer per classfcare le gradezze: quello basao sulla aura de valor del empo cu soo defe e quello basao sulla aura de valor che esse assumoo el empo. I base all seme T de valor del empo, le gradezze s dsguoo : gradezze a empo couo, se T cocde co l seme, o u sooseme, de umer real (cfr. fg. 2); le gradezze a empo dscreo, se T cocde o è corrspodeza buvoca co l seme Z de umer er T T Fg. 2 Fg. 3 Ua gradezza a empo dscreo è cosua da ua sequeza d valor assu dalla gradezza corrspodeza a valor dscou del empo, dca usualmee co, co Z. Esse s possoo rappreseare grafcamee rame dagramm cosu da sequeze d pu (cfr. fg. 3). Per gl scop d queso corso, è mporae cosderare gradezze a empo couo, alla cu classe apparegoo le gradezze coue a ra (cfr. fg. 4). I breve, s cosderao coue quelle gradezze che, u dao ervallo emporale d defzoe, soo fuzo uvoche del empo, salvo u seme umerable d sa, cu la gradezza medesma rsula dscoua.

8 8 2 Fg. 4 Gradezza coua a ra. I base a valor umerc, vece, le gradezze soo classfcabl : gradezze a valor cou, se esse possoo assumere valor qualsas u dao ervallo d valor ammssbl; gradezze quazzae, se possoo assumere solo valor apparee a u seme fo d valor. Le gradezze quazzae possoo essere sa a empo couo che a empo dscreo, come llusrao ella fg. 6. Ua gradezza a empo couo e a valor cou vee deomaa gradezza aalogca; ua gradezza a empo dscreo e quazzaa vee deomaa gradezza dgale. a) gradezza quazzaa b) gradezza quazzaa a empo couo a empo dscreo Fg. 6 Esempo d gradezza quazzaa. Co l avveo de dsposv dgal d elaborazoe dell formazoe, al fe d ulzzare al dsposv per l raameo delle gradezze aalogche s è reso ecessaro rasformare al gradezze formao dgale. I proposo, s o, azuo, che le formazo vegoo codfcae segal elerc, usualmee segal d esoe. Ne cosegue che le gradezze d eresse u geerco ssema vegoo codfcae segal elerc e qud possoo essere mapola da dsposv eleroc. L obevo d rasformazoe d u segale aalogco formao dgale vee coseguo due pass successv. Nel prmo passo l segale vee sooposo alla operazoe d campoameo. Nel caso deale, ale operazoe cosse el prelevare valor del segale (campo) corrspodeza a sa dscre del empo geeralmee ugualmee spaza d T (perodo d campoameo) (cf. Fg. 7). s Nel secodo passo al campo vegoo cover formao dgale (sequeza d b) da u coverore aalogco dgale (ADC, Aalog-o-Dgal Coverer). Poché u ADC forsce usca ua cofgurazoe precsa d b (2, 4, 6 b), la gradezza dgale d usca appare ache quazzaa.

9 9 a) gradezza aalogca b) gradezza campoaa Fg. 7 Campoameo d u segale aalogco

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11 CAP. APPROCCIO BASATO SU MODELLO PER LO STUDIO DEI SISTEMI REALI. Iroduzoe Come gà deo ell roduzoe al corso, lo sudo d u ssema reale verrà effeuao a parre dalla cosruzoe d u modello maemaco del ssema sesso, valdao spermealmee, ed effeuado lo sudo del modello sesso. Lo sudo de modell memac s è evoluo come segue: soo sae dvduae class geeral d modell maemac; soo sa mess a puo meod d sudo per ogua delle class dvduae. Tale approcco cosee d effeuare lo sudo de ssem real prescdedo dalla loro aura fsca, chmca, ec.. Ifa, se soo o meod d sudo per ua cera classe d modell maemac s è grado d effeuare lo sudo d u que ssem real che possoo essere rappresea da modell apparee a ale classe..2 Modello maemaco Il modello maemaco d u ssema reale cosusce ua rappreseazoe maemaca del ssema sesso. Tale rappreseazoe è u ee asrao, o ssema asrao, cosuo da u seme d gradezze e dalle relazo maemache fra al gradezze. Ad u ssema reale possoo essere assoca dvers modell maemac dpedeemee dalla scela delle gradezze che ess fgurao. U puo d vsa che s assume per assocare u modello maemaco ad u ssema reale è quello gresso-usca che cosse ella scela, fra ue le gradezze assocae al ssema, d quelle medae le qual è possble smolare l evoluzoe del ssema, deomae come deo gradezze d gresso, e d quelle gudcae d parcolare eresse per lo sudo del ssema, deomae gradezze d usca. Le gradezze d gresso e quelle d usca vegoo deomae gradezze ermal. Le gradezze d gresso gocao l ruolo d gradezze dpede e vegoo suddvse gradezze mapolabl e gradezze o mapolabl. Le gradezze mapolabl soo quelle gradezze l cu adameo emporale può essere mposo dallo spermeaore e, qud, coseoo d gudare l evoluzoe del ssema. Le gradezze o mapolabl soo quelle l cu adameo emporale o è oo a pror; al gradezze smolao l evoluzoe del ssema maera desderaa e, perao, vegoo deomae gradezze d dsurbo o dsurb. Le gradezze d usca gocao l ruolo d gradezze dpede e soo quelle gradezze d parcolare eresse per lo sudo del ssema. L seme delle gradezze d gresso e d usca e le relazo maemache fra al gradezze cosuscoo u ee asrao che appare oreao dall gresso verso l usca. Lo sudo de ssem asra orea è oggeo della Teora de Ssem, ell ambo della quale l ssema asrao oreao vee defo maera rgorosa. Al fe d geeralzzare l coceo d modello maemaco, s assuma che l ssema reale sa caraerzzao da p gradezze d gresso e q gradezze d usca e s dcho co u ( ) e y ( ) valor assu all'sae dalle fuzo che esprmoo l'adameo emporale, j rspevamee dell'gresso j-esmo e dell'usca -esma. La p-pla d umer u ( ),, u ( ) p

12 2 può essere rappreseaa medae la marce coloa o veore T = p u( ) u ( ) u ( ) appareee ad u seme U che cocde co R o co u suo sooseme. I maera aaloga la q-pla d umer y ( ),, y ( ) può essere rappreseaa medae la marce coloa o veore T = q q p y ( ) y ( ) y ( ) appareee a u seme Y che cocde co q R o co u suo sooseme. S assuma l'seme de valor del empo T = (, + ) e sao u [, ] e y [, ], rspevamee, u segmeo d gresso e u segmeo d usca ell'ervallo d osservazoe [, ], così def: { τ τ τ τ } { τ τ τ τ } u[, ] = (, u( )) : [, ], u( ) u( ),, T y[, ] = (, y( )) : [, ], y( ) y( ),, T Il modello maemaco è cosuo da u meccasmo, dcao secamee come segue: R ( u[, ], y [, ] ) =, (.2.) che permee d geerare u seme cosuo da fe coppe gresso usca u geerco ervallo d osservazoe [, ]. E ovvo che al coppe corrspodoo maera approssmaa a quelle geerae dal ssema reale poché ella cosruzoe d ale meccasmo occorre rodurre opporue poes semplfcave. R u( ) e R y ( ) d ue le possbl fuzo d gresso e d usca def Gl sem [ ] [ ] sull seme de valor del empo T, co le qual è possble sollecare l ssema asrao e che ale ssema è grado d geerare, vegoo deoma, rspevamee, spazo delle fuzo d gresso e spazo delle fuzo d usca. Gl sem d u segme d gresso u [ ] [ ], e y,, apparee, rspevamee, agl sem R[ u] e R[ y ] vegoo deoma spazo de segme d gresso e spazo de segme d usca. Gl sem U e Y de valor che ue le fuzo u ( ) e y ( ) assumoo all sae soo, per poes, dpede da e vegoo deoma spazo d gresso e spazo d usca. Nel seguo s p q supporrà che U = R e Y = R. Il modello (.2.) s dce saco se l usca all sae dpede solamee dall gresso allo sesso sae. Il modello s dce damco se l usca all sae dpede da valor passa dell gresso ed, eveualmee, ache dall gresso all sae. Nel seguo s supporrà che l modello maemaco assocao a u geerco ssema reale sa sempre d po damco. U modello maemaco damco può essere rappreseao due mod: l modello maemaco gresso-usca (-u) e l modello maemaco gresso-sao-usca (-s-u)..2. Modello gresso-usca Il modello -u è cosuo, geerale, da u ssema d equazo dfferezal che legao varabl d gresso e loro dervae e varabl d usca e loro dervae. U modello -u s dce leare se le equazo dfferezal soo lear, alrme vee deo oleare. U

13 3 modello -u s dce sazoaro o empo-varae se coeffce che fgurao elle equazo dfferezal soo cosa, alrme vee deo o sazoaro o empo-varae. Ua caraersca del modello damco -u è che la corrspodeza gresso-usca o è uvoca el seso che a ua geerca fuzoe d gresso applcaa a parre dall sae cluso possoo corrspodere fe fuzo d usca dpedeemee dalla sora passaa del ssema fo all sae escluso, prodoa da valor passa dell gresso. S o che vee escluso pochè s è ammesso che l'ervallo d osservazoe compreda ale sae. Esempo.2. S desdera maeere cosae l lvello d u lqudo u serbaoo. q q l q u q Fg... Serbaoo. Il ssema reale è llusrao schemacamee Fg.. Se q > qu l serbaoo s rempe oalmee; se q < qu l serbaoo s svuoa compleamee. La gradezza d eresse è l lvello l d lqudo el serbaoo e vee assua come gradezza d usca. La gradezza q u s qualfca come dsurbo poché dpede dalle rchese dell ueza e, qud, o può essere mapolaa; uava, essa smola ua evoluzoe desderaa del ssema. La gradezza q rappresea la gradezza che cosee d gudare l evoluzoe del ssema e, perao, s qualfca come gradezza d gresso mapolable. Ua relazoe maemaca approssmaa che descrve l ssema reale è daa da: ( q q ) d = Adl da cu s oee l modello maemaco gresso-usca: u dl d = ( q qu ), A che geera, maera approssmaa, le coppe gresso-usca ( q, l ) del ssema reale u geerco ervallo d osservazoe [, ]. Esempo.2.3 Pedolo semplce S cosder l pedolo semplce llusrao ella Fg. 2, dove m, l, f e α soo, rspevamee, la massa coceraa alla esremà, la lughezza del bracco, la forza applcaa e la poszoe agolare saaea valuaa rspeo alla vercale e posvamee verso aoraro.

14 4 L'equazoe che descrve l comporameo del ssema d Fg. 2 s oee dal blaco delle coppe all'asse d roazoe ed è daa da: 2 ml α + b α + mgl s( α) = fl, dove l erme bα rappresea la coppa d aro vscoso. Tale equazoe cosusce l modello maemaco gresso-usca del ssema meccaco d Fg.. Essa geera ue le possbl coppe gresso-usca ( f, α ) del ssema sesso u geerco ervallo d osservazoe [ ],. Il modello quesoe è o leare per la preseza del erzo erme al prmo membro che dpede da s( α ). α l f m Fg...2 Pedolo semplce.3 Modello maemaco -s-u Ua ulerore forma cu può essere rappreseao l meccasmo R ( u[, ], y [, ] ) = ell ervallo d osservazoe [, ] è l modello maemaco greso-sao-usca. Tale modello rae orge dalla osservazoe che per ssem damc è possble, mol cas, defre ua uova varable auslara veorale, deoaa co x ( ), che evolve el empo uamee alle varabl d gresso e d usca, l cu valore all'sae, x ( ) X C, uamee a quello dell'gresso ello sesso sae, u ( ), cosee d deermare uvocamee l'usca all'sae, y ( ), accordo alla relazoe: y( ) = g( x( ), u ( ), ), (.3.) dove g (,, ) è u fuzoe veorale d orde q. Tale varable dpede dal valore della varable x( ) x e dal segmeo d gresso u [, ), accordo alla equazoe: x( ) = ϕ (,, x, u [, ) ), (.3.2) dove ϕ (,,, ) è u fuzoe veorale d orde. S osserv che x ( ), se esse, rassume ua la sora passaa del ssema fo all sae escluso prodoa da valor dell gresso fo all sae escluso. Se la varable x( ) esse, x e x ( ) vegoo deoma, rspevamee, sao zale e sao all'sae, X vee deomao spazo d sao. Le fuzo ϕ (,,, ) e g (,, ) vegoo

15 5 deomae, rspevamee, fuzoe d raszoe d sao e rasformazoe d usca. Il modello (.3.2) e (.3.) vee deomao modello -s-u forma esplca. Nella maggoraza de cas, la fuzoe ϕ (,, x, u [, ) ) è la soluzoe uca d ua equazoe dfferezale veorale del po: x ( ) = f ( x( ), u( ), ), (.3.3) x( ) x X e u( ) R[ u( )]. La fuzoe f (,, ) vee deomaa fuzoe geerarce e le equazo (.3.3) e (.3.) vegoo deomae equazo d sao forma ormale. Tal equazo cosuscoo u modello a empo couo, dfferezale e propro. Il modello (.3.3) e (.3.) vee deomao modello -s-u forma mplca. Nel seguo verrà cosderao l caso cu X = C. I modell (.3.3) e (.3.) per qual p p U = R, Y = R e X = C vegoo deoma ssem a sao veore o a dmesoe fa. Osservazoe.3. S o che x ( ) o dpede dall'gresso all'sae poché rassume l'evoluzoe passaa del ssema fo all'sae escluso. Iolre, x ( ) o dpede dall gresso per < pochè l evoluzoe del ssema per < è rassua dallo sao zale x. Ife, x ( ) o dpede dall'gresso egl sa d empo fuur rspeo all'sae poché modell che descrvoo ssem real soddsfao la propreà d causalà, llusraa ella fg..3., accordo alla quale l'usca all'sae o può dpedere da valor dell'gresso fuur a. E' ule, però, cosderare, per cere applcazo, modell o causal per qual la succaa propreà o è valda, ma al ssem o soo fscamee realzzabl. Osservazoe.3.2 Com è oo, codzoe suffcee affché la succaa equazoe dfferezale ammea soluzoe uca è che la f (,, ) soddsf la codzoe d Lpschz accordo alla quale: M ( u) : x( ) X, z( ) X f ( x( ), u( ), ) f ( z( ), u( ), ) M x( ) z ( ),. u y a) u y

16 6 Fg..3. Prcpo d causalà: a) ssema causale; b) ssema o causale. Osservazoe.3.3 Covee osservare che o è sempre possble rassumere la sora passaa d u ssema co ua -pla d umer. I alcu cas occorre defre lo sao come ua fuzoe d ua o pù varabl puoso che ua -pla d umer. I al cas la deermazoe d u modello - s-u può rsulare molo complessa. U esempo è cosuo da u elemeo d puro rardo descro dal modello -u: y( ) = u( τ ). U modello d ale po s ha ella descrzoe maemaca d u asro rasporaore d lughezza L che s muove a velocà cosae V ( τ = L V ) o d ua lea d rasmssoe d segal. Nel caso quesoe, l usca ell ervallo [ τ,( + ) τ ) rchede lacoosceza dell era fuzoe d gresso ell ervallo [( ) τ, τ ), puoso che ua semplce eupla d umer. L'esame delle (.3.) e (.3.3) mee luce l'esseza d ua fuzoe ρ(,,, ) ale che: y ( ) = g ( ϕ (,, x, u[, ) ), u ( ), ) = ρ (,, x, u [, ] ). (.3.3) Se le fuzo f e g o dpedoo esplcamee dal empo l modello (.3.2) e (.3.) s dce sazoaro o empo-varae. Se le fuzo f e g soo lear rspeo a x( ) e u ( ) coè del po: f = A( ) x( ) + B( ) u ( ), g = C( ) x( ) + D( ) u ( ), dove A( ), B( ), C( ) e D ( ) soo marc dpede dal empo, rspevamee d orde, p, q e q p, l modello rsulae dao da: x ( ) = A( ) x( ) + B( ) u( ), (.3.4) y( ) = C( ) x( ) + D( ) u ( ), (.3.5) s dce leare e o sazoaro (o empo-varae). Se le succae marc A( ), B( ), C( ) e D ( ) soo dpede dal empo, l modello (.3.4)-(.3.5) s dce sazoaro (o empo-varae). Esempo 2.4 Rappreseazoe co lo sao per u ssema reale cosuo da u seme massa-molla-smorzaore.

17 7 molla, smorzaore, b carrello, m f Fg..3.2 Ssema massa-molla-smorzaore Idcado co s lo sposameo del carrello, valuao posvamee verso desra, l modello del ssema d Fg..3.2 è dao da: Assumedo: s ha: I forma marcale, l modello dvee: dove u( ) = f ( ). Poedo: m s + b s + s = f. x = s, x = s, 2 x = x, 2 b x 2 = x x2 + f. m m m x x b u x = + 2 x, 2 m m m x x =, b, x A = b =, 2 m m m s oee l modello -s-u leare e sazoaro dao da: Osservazoe.3.4 x = A x + b u. La sazoareà d u modello compora che le rspose ello sao e ell usca ad u gresso raslao d h secod lugo l asse de emp e a u arbraro sao zale, soo par alle rspose corrspode allo sesso gresso o raslao e allo sesso sao zale raslae ach esse d h secod lugo l asse de emp, come llusrao ella fg..3.2, dove T h è l operaore d raslazoe che applcao a ua fuzoe f ( ) : T F produce ua fuzoe T f ( ) : T F ale che: h

18 8 T f ( ) = f ( h). h Perao, per lo sudo de ssem sazoar è possble porre =, seza ledere la geeralà. Osservazoe.3.5 La learà mplca l seguee prcpo geeralzzao d sovrapposzoe degl effe: Sao x( ) e y ( ) ( x2( ) e y 2( ) ) le rspose corrspode all gresso u( ) ( u 2( )) e allo sao zale x ( x 2). Allora, le rspose all gresso u ( ) + 2u 2( ) e allo sao zale x + 2x 2 soo dae, rspevamee, da x( ) + 2x 2( ) e y( ) + 2 y 2( ). Tale prcpo verrà dmosrao successvamee co rfermeo a modell lear e sazoar. u y Thu Th y + h Fg..3.2 Implcazoe della propreà d sazoareà de modell. Osservazoe.3.6 No essoo ssem real che possao essere rappresea da modell rgorosamee sazoar. Ifa, u ssem real modfcao l loro comporameo el corso del loro fuzoameo. A olo d esempo, u ssem realzza medae dsposv eleroc modfcao le propre caraersche e presazo co l empo a causa dell vecchameo de compoe, o delle modfche d codzo ambeal; u mssle che vagga ello spazo modfca l suo comporameo a causa del cosumo d carburae che produce varazo d pes, mome d erza, ecc.. Tuava, dal puo d vsa gegersco e per assegao ervallo d osservazoe, se le caraersche del ssema varao leamee rspeo all ervallo d osservazoe, al ssema sesso è possble assocare u modello sazoaro. Osservazoe.3.7

19 Aalogamee alla propreà d sazoareà, o essoo ssem real che possao essere rappresea da modell rgorosamee lear. Se le escurso delle gradezze goco o superao deerma lvell è possble assocare al ssema reale u modello leare. 9

20 2 Cap. 2 Sudo el domo del empo d rappreseazo lear, sazoare, dfferezal, propre, a dmeso fe e a empo couo. 2. Rspose ello sao e ell usca. I modell lear, sazoar, dfferezal, propr, a dmeso fe e a empo couo, come gà deo, hao la seguee sruura: Dove le marc A, B, C e D hao dmeso: x ( ) = Ax( ) + Bu( ), (2..) y( ) = Cx( ) + Du ( ), (2..2) A :, B : p, C : q, D : q p. S rcorda che se rsula D =, coè se maca l legame dreo gresso usca, la rappreseazoe s dce puramee damca o sreamee propra. C s poe, adesso, l seguee problema: deermare la rsposa ello sao e ell usca all sae corrspodee allo sao zale x all sae e all gresso u [, ]. La soluzoe d ale problema è daa dalla seguee asserzoe. Asserzoe 2.. Le rspose ello sao e ell usca all sae corrspodee allo sao zale x all sae e all gresso u [, ] soo dae da: x( ) = ϕ (,, x, u ) = Φ ( ) x + H( τ ) u ( τ ) dτ, (2..3) [, ) [, ] y( ) = ρ (,, x, u ) = Ψ ( ) x + W ( τ ) u ( τ ) dτ, (2..4) dove: A A A A Φ ( ) = e, H( ) = e B, Ψ ( ) = Ce, W ( ) = Ce B + D δ ( ). (2..5) Prova. Dalla (2..), premolplcado per e A s oee: A A e [ x ( ) Ax( )] = e Bu( ). (2..6) A x Il prmo membro della (2..6) è la dervaa rspeo al empo d e ( ). Ifa, s ha (cfr. Appedce 2..): d e A ( ) e A ( ) e A x = x Ax( ). d Ne cosegue che la (2..6) può essere scra come segue:

21 2 Iegrado la (2..7) fra e, s ha: d e A ( ) e A x = Bu ( ). (2..7) d la cu soluzoe è: d e Aτ ( ) d e Aτ x τ τ = ( τ ) d τ dτ Bu, A A Aτ ( ) ( ) = ( τ ) e x e x e Bu dτ. Premolplcado per e A s oee: A( ) A( τ ) x( ) e x( ) e Bu ( τ ) dτ, (2..8) = + che, eedo coo delle (2..5) assume la forma (2..3). Sosuedo ella (2..2) la (2..8), s oee: ( ) ( ) ( ) ( ) A A τ y = C e x + e ( τ) dτ + ( ) Bu Du. (2..9) Osservado che, per la propreà campoarce dell mpulso, Du ( ) può essere scro come segue: Du ( ) = Du ( τ ) δ ( τ ) dτ, la (2..9) dvee: A( ) A( τ ) y( ) = Ce x( ) + Ce B + Dδ ( τ ) u ( τ ) dτ, che, eedo coo delle (2..5), cocde co la (2..4). S o che la coosceza della marce espoezale permee l calcolo d ue le marc del modello esplco. Iolre, al fe d eere coo d eveual dscouà e della preseza d mpuls all sae ella fuzoe d gresso, l lme ferore d eramb gl egral è eseso a, coè a ε co ε pccolo a pacere. La marce Φ ( ) vee deomaa marce d raszoe d sao, mere le marc H ( ) e W ( ) vegoo deomae, rspevamee, marce delle rspose mpulsve ello sao e marce delle rspose mpulsve ell usca o, pù semplcemee, marce delle rspose mpulsve.

22 22 Poedo u ( ) = elle (2..3) e (2..4), s oegoo le rspose evoluzoe lbera ello sao e ell usca dae, rspevamee da: x ( ) = ϕ (,, x, ) = Φ ( ) x, (2..) l [, ) y ( ) = ρ (,, x, ) = Ψ ( ) x. (2..) l [, ] Poedo x = elle (2..3) e (2..4) s oegoo le rspose evoluzoe forzaa ello sao e ell usca dae, rspevamee, da: x ( ) = ϕ (,,, u ) = H( τ ) u ( τ ) d τ, (2..2) f [, ) f [, ] y ( ) = ρ (,,, u ) = W ( τ ) u ( τ ) d τ, (2..3) Osservazoe (2..). Le relazo (2..3) e (2..4) mosrao che la learà del modello maemaco mplca che le due cause d evoluzoe del ssema, coè lo sao zale x e l gresso u [, ] dao luogo a due evoluzo dpede fra loro, le rspose lbera e forzaa, la cu somma deerma l evoluzoe complea del ssema. Osservazoe (2..2). Dalle relazo (2..3) e (2..4) s evce che la sazoareà del modello maemaco mplca che la rsposa corrspodee allo sao zale x all sae e all gresso u [, ] s oee raslado d la rsposa corrspodee allo sao x all sae e all gresso T u [, ]. Ifa, co rfermeo alla rsposa ello sao, s ha: o [, ) = Φ + + ϕ (,, x, T u ) ( ) x H( τ ) u( τ ) dτ, (2..4) ϕ x u [, ) = Φ x + H u + T (,,, T ) ( ) ( τ ) ( τ ) dτ, Poedo ξ = τ + la (2..5) dvee: (2..5) ϕ [, ) = Φ + ξ ξ ξ = ϕ [, ) T (,, x, T u ) ( ) x H( ) u( ) d (,, x, u ). (2..6) Osservazoe (2..3). La sruura delle (2..3) e (2..4) rede mmedaa la verfca del prcpo geeralzzao d sovrapposzoe degl effe. 2.2 Ierpreazoe dell marc Φ ( ), H( ), Ψ ( ) e W ( ). Per quao cocere la marce Φ ( ), assumedo = e x = ε, dove: T ε = [ ], (2.2.7) -esmo

23 23 la rsposa lbera ello sao, x l dvee: x ( ) = Φ ( ) ε = φ ( ), (2.2.8) l dove φ ( ) è la -esma coloa della marce Φ ( ). Ne cosegue che la -esma coloa della marce Φ ( ) è la rsposa lbera ello sao corrspodee allo sao zale ε avee compoe ue ulle ecceo la -esma che è par a. Co rfermeo alla marce H ( ), assumedo =, x = e: u ( ) = ε δ ( ), (2.2.9) la rsposa forzaa ello sao, x ( ), per la propreà campoarce dell mpulso, è daa da: f δ f δ = ε = ε = x ( ) H ( τ ) δ ( τ ) dτ H( ) h ( ), (2.2.2) dove h ( ) è la coloa -esma della marce H ( ). Ne cosegue che la coloa -esma della marce H ( ) è la rsposa forzaa ello sao corrspodee a u gresso avee compoe ue ulle ecceo la -esma che è par a u mpulso d Drac localzzao ell orge. Tale erpreazoe gusfca la deomazoe della marce H ( ) e mee evdeza l seguee vcolo su H ( ) : H( ) =, <, (2.2.2) che è ua cosegueza della propreà d causalà del modello co lo sao. Ifa, ale propreà mplca che l effeo debba segure sempre la causa e d cosegueza, la geerca coloa -esma d H ( ) deve rsulare ulla per emp egav, che precedoo l applcazoe dell gresso. I maera del uo aaloga, la rsposa lbera ell usca corrspodee allo sao zale (2.2.7), y ( ), e la rsposa forzaa ell usca corrspodee all gresso (2.2.9), y ( ), l soo dae da: f δ y ( ) = Ψ ( ) ε = ψ ( ), (2.2.2) l f δ = ε = ε = y ( ) W ( τ ) δ ( τ ) dτ W ( ) w ( ). (2.2.22) Tale erpreazoe mee evdeza l vcolo su W ( ) : W ( ) =, <. 2.3 Trasformazo d coordae e forme caoche Trasformazoe d coordae.

24 24 Com è oo, uo spazo veorale B = C è possble rappreseare geomercamee suo eleme scegledo ua base = { } cu veor, =,,, learmee dpede, soo eleme dello spazo veorale sesso. La rappreseazoe geomerca d u geerco elemeo x ( ) C ella base B è uca ed è daa da: x( ) = xˆ ( ), = la quale, forma marcale, può essere scra come segue: x( ) = Tx ˆ( ), (2.3.) dove T è ua marce o sgolare le cu coloe soo cosue da veor della base. Gl eleme xˆ ( ) d x ˆ( ) soo le compoe d ( ) x ella base { } = r possoo essere deermae cooscedo la base recproca B { } = defa dalle relazo:. Tal compoe = r della base daa,, T ( r j, j = ) = r j =, j, (2.3.2) dove smbol (*) e ( T ) dcao, rspevamee, le operazo d cougazoe d veor ad eleme compless e d rasposzoe. Ifa, s ha: ( r, x( )) = ( r, xˆ ( )) = ( r, xˆ ( )) = ( r, xˆ ( )) = xˆ ( )( r, ) = xˆ ( ). j j j j j j j j j j = = Sussse la seguee Asserzoe Asserzoe 2.3. Sa dao l modello (2..) e (2..2) e s cosder la rasformazoe d coordae ello spazo d sao (2.3.), dove T è ua marce, o sgolare e a eleme cosa la cu j-esma coloa è l veore j-esmo della base scela. I ale base, l modello maemaco è cosuo dalle equazo: dove: x ˆ ( ) = Ax ˆ ˆ( ) + Bu ˆ ( ), (2.3.3) y( ) = Cx ˆ ˆ( ) + Du ( ), (2.3.4) ˆ ˆ A = T AT, B = T B, Cˆ = CT, Dˆ = D. (2.3.5) Iolre, modell (2..) - (2..2) e (2.3.3) - (2.3.4) soo equvale. Prova. Sosuedo la (2.3.5) elle (2..) e (2..2), s oee: Txˆ ( ) = ATxˆ ( ) + Bu( ). (2.3.6)

25 25 Premolplcado per T la (2.3.6), s oee: y( ) = CTxˆ ( ) + Du ( ) (2.3.7) ˆ( ) x = T ATxˆ ( ) + T Bu( ). (2.3.8) Le (2.3.8) e (2.3.7) hao la sruura (2.3.3) e (2.3.4) co le poszo (2.3.5). Per mosrare che due modell soo equvale, basa osservare che l modello forma esplca corrspodee alle (2.3.3) e (2.3.4) è dao da: dove: xˆ ( ) = ˆ ϕ (,, xˆ, u ) = Φ ˆ ( ) xˆ + Hˆ ( τ ) u ( τ ) d τ, (2.3.9) [, ) [, ] y( ) = ˆ ρ (,, xˆ, u ) = Ψ ˆ ( ) xˆ + Wˆ ( τ ) u ( τ ) d τ, (2.3.) ˆ ˆ 2 2 ( ) A ˆ ˆ 2 Φ = e = I + A + A + = T T + T AT + T ATT AT + = 2! 2! 2 2 A = T ( I + A + A + ) T = T e T, 2! (2.3.) ˆ ˆ A ˆ A A H( ) = e B = T e TT B = T e B, (2.3.2) ˆ ˆ ˆ A A A Ψ ( ) = Ce = CTT e T = Ce T, (2.3.3) ˆ ˆ ˆ A ˆ ˆ ( ) A ( ) A W = Ce B + Dδ = CTT e TT B + Dδ ( ) = Ce B + Dδ ( ) = W ( ). (2.3.4) La (2.3.) mosra che x ˆ x = T x ale che l usca del modello (2..) e (2..2) cocde co quella del modello (2.3.3) e (2.3.4) per ue le fuzo d gresso. Ovvamee, vale ache l vceversa, coè xˆ x = Tx ale che l usca del modello (2..) e (2..2) cocde co quella del modello (2.3.3) e (2.3.4) per ue le fuzo d gresso. Cò mplca che la due rappreseazo soo equvale Forme caoche Nel paragrafo precedee è sao mosrao che ua rasformazoe d coordae ello spazo d sao pora a u uovo modello co lo sao equvalee a quello d pareza ma co marc Aˆ, Bˆ e C ˆ dverse dalle marc A, B e C del modello d pareza. Scegledo opporuamee la base ello spazo d sao è possble, cere codzo, pervere a u modello le cu marc A ˆ, B ˆ e C ˆ ave sruura coveee per rsolvere alcu problem d aals e ses. Tal modell vegoo deoma forme caoche. Nel caso d modell co gresso e usca udmesoal, le forme caoche d eresse soo la forma caoca d corollo, la forma caoca d osservazoe e la forma caoca dagoale. Forma caoca d corollo.

26 26 Le marc A e b soo dae da: A =, b =, (2.3.5) a a a2 a 2 a T mere la marce c è arbrara. Gl eleme dell ulma rga della marce A soo coeffce del polomo caraersco ( λ) della marce A, dao da: Forma caoca d osservazoe. Le marc A e c soo dae da: ( λ ) = λ + a λ + a λ + a (2.3.6) a a 2 A =, c =, (2.3.7) a a mere la marce b è arbrara. Gl eleme della prma coloa soo coeffce del polomo caraersco ( λ) dao dalla (2.3.6). Forma caoca dagoale. La marce A è daa da: λ λ2 A =, (2.3.8) λ T mere le marc b e c soo arbrare. Gl eleme della dagoale prcpale della marce (2.3.8) soo gl zer del polomo caraersco (2.3.6), ovvero gl auovalor della marce A. Osservazoe 2.3. Come verrà llusrao el seguo, l esseza d ua rasformazoe d coordae ello spazo d sao, che permea d passare dal modello assegao a ua delle forme caoche mosrae precedeza, è codzoaa dal soddsfacmeo d be precse codzo sul modello d pareza.

27 Aals modale Le espresso (2..3) e (2..4) coseoo d deermare le rspose ello sao e ell usca ma o meoo evdeza l modo cu evolve l ssema. Verrà adesso mosrao che scegledo maera opporua la base ello spazo d sao è possble dvduare mod elemear d evoluzoe del ssema che dpedoo dalla sruura del modello e qud dalle marc A, B, C e D. Tal mod godoo delle propreà: a) le rspose lbere ello sao e ell usca possoo essere espresse medae combazoe leare de mod; b) le rspose forzae ello sao e ell usca possoo essere oeue a parre da mod elemear sess. Nel seguo verrà svluppaa l aals modale el caso d auovalor ds, rmadado quella corrspodee ad auovalor mulpl che verrà svluppaa ell ambo dello sudo el domo d s Rsposa ello sao S ammea che la marce A abba auovalor ds. Ne cosegue che l suo polomo caraersco ( λ ), ossa l deermae della marce λ I A, è dao da: ( λ) = ( λ λ ), = dove le cosa λ ( =,, ), coè gl zer del polomo caraersco, soo gl auovalor. I al codzo, gl auoveor v assoca agl auovalor λ, def come que veor o ull al che: Av = λ v, (2.4.) rsulao learmee dpede e possoo qud essere scel come base per lo spazo d sao X. Ne cosegue che l geerco elemeo x ( ) dello spazo d sao può essere rappreseao geomercamee come combazoe leare degl auoveor, come segue: = x( ) xˆ ( ) v, (2.4.2) = dove xˆ ( ) rappresea la compoee d x ( ) lugo l auoveore v. La (2.4.2) può essere scra come segue: dove la marce T daa da: xˆ xˆ 2 x( ) = [ v v2 v ] ˆ = Tx( ), (2.4.3) xˆ

28 28 [ ] T = v v v, (2.4.4) 2 è ua marce o sgolare essedo gl auoveor learmee dpede e: [ ] T xˆ ( ) = xˆ xˆ xˆ. 2 La (2.4.3) sablsce ua rasformaoe d coordae dalla base arbrara d pareza alla base cosua dagl auoveor. La marce T vee deomaa marce modale. Dal par. (2.3.2) è oo che l modello maemaco del ssema ella uova base è dao dalle (2.3.6) e (2.3.7) dove le marc A ˆ, B ˆ e C ˆ assumoo le espresso segue. Marce  ˆ A T AT T A[ v v2 v ] T [ Av Av2 Av ] T [ λ v λ v λ v ] = T [ v v v ] Λ = Λ = = = = Λ Λ (2.4.5) dove Λ = dag( λ, λ,, λ). Marce ˆB Poedo: T T q =, T q e eedo presee la (2.4.4), s ha: da cu derva: T T T q q v q v T T = [ v v2 v ] = = I, T T T q q v q v q T, v = j j =, j. Ne cosegue che veor q cocdoo co veor couga della base recproca della base cosua dagl auoveor. Pù pecsamee, deoado co r veor della base recproca, s ha:

29 29 Adesso, parzoado la marce B come segue: * r = q =,,. (2.4.6) B b b, = p s ha: ( r, b) ( r, bp) ˆ B = T B =. (2.4.7) (, ) (, p) r b r b Le (2.4.5) e (2.4.7) mosrao che la damca delle compoe d x ( ) lugo gl auoveor v è espressa dalla relazoe: x ˆ ( ) = λ xˆ ( ) + ( r, b ) u ( ), (2.4.8) j j j= la quale mosra che le compoe del veore d sao lugo gl auoveor evolvoo dpedeemee l ua dall alra rsulado, qud, dsaccoppae. Tale evoluzoe, corrspodee allo sao zale xˆ = T x, è descra dalla relazoe: p p λ λ ( ) ˆ τ = + r b j j j= xˆ ( ) e x (, ) e u ( τ ) dτ, dove x ˆ, compoee d x lugo v, è daa da x ˆ = ( r, x ). Ne cosegue che: Ife, dalla (2.4.2), s oee: p ( ) = λ r x + r b j λ τ j j= xˆ ( ) e (, ) (, ) e u ( τ ) dτ. (2.4.9) p λ λ ( τ ) j j = = j= x( ) = e ( r, x ) v + ( r, b ) v e u ( τ ) dτ. (2.4.) Poedo ella (2.4.) u( ) =, s oee la seguee espressoe della rsposa lbera ello sao: λ l ( ) = e (, ) = x r x v. (2.4.) La (2.4.) mee evdeza che la rsposa lbera ello sao corrspodee a u geerco sao zale x è ua combazoe leare d mod elemear d evoluzoe del ssema da

30 3 da e λ v. I coeffce d ale combazoe soo le compoe d x lugo gl auoveor ( r, x ) vee deomao eccazoe del modo dovua allo sao v. Il geerco coeffcee zale. Osservazoe 2.4. I mod elemear d evoluzoe del ssema dpedoo esclusvamee dalla marce damca A. Iolre, l eccazoe del modo è dpedee da quella degl alr mod e dpede solo dallo sao zale. sao: Poedo ella (2.4.) x = s oee la seguee espressoe della rsposa forzaa ello p p λ ( τ ) λ λτ f = j j = j j = j= = j= x ( ) ( r, b ) v e u ( τ ) dτ e v ( r, b ) e u ( τ ) dτ, (2.4.2) che mee evdeza che mod elemear del ssema fluscoo ache sulla rsposa forzaa ma modo o leare. Sollecado, adesso, l ssema co u gresso u() avee compoe ue ulle ecceo la compoee -esma par a u mpulso localzzao ell orge, s ha: λ ( τ ) λ f δ ( ) = ( ) = (, ) e δ ( τ ) dτ = (, ) e = = x h r b v r b v, (2.4.3) dove h ( ) è la -esma coloa della marce H ( ). La (2.4.3) mosra che la coloa - esma della marce delle rspose mpulsve ello sao è daa da ua combazoe leare d que mod elemear del ssema per qual rsula ( r, b ), che soo ecca da u mpulso applcao all gresso -esmo quado u gl alr gress soo ull. Susssoo, proposo, la seguee defzoe e l seguee eorema. Defzoe 2.4. U modo s dce eccable medae mpuls gresso se compare almeo ua coloa della marce H ( ). Teorema 2.4. Codzoe ecessara e suffcee affché l modo esmo sa eccable medae mpuls gresso è che essa almeo ua coloa della marce B ale che rsul *T ( r, b ), ovvero s abba r B. Osservazoe I veor della base recproca dpedoo dalla marce A e, perao, la codzoe d eccablà de mod è ua propreà d po sruurale che dpede, coè, dalla sruura del modello Rsposa ell usca Sosuedo la (2.4.) ella (2..2), s oee: p p λ λ ( τ ) y( ) = e ( r, x) + ( r, b j ) e u ( ) ( ) j τ dτ Cv + d ju j. (2.4.4) = = j= j=

31 3 Poedo ella (2.4.4) u( ) =, s oee la seguee espressoe della rsposa lbera ell usca: λ l ( ) = e (, ) = y r x Cv. (2.4.5) La (2.4.5) mosra che assumedo che l modo -esmo sa eccao dallo sao zale x, esso fgurerà ella rsposa lbera ell usca se Cv. Tale modo evolve lugo l veore Cv che può essere cosderao come la proezoe d v ello spazo d usca. Susssoo, proposo, la seguee defzoe e l seguee eorema. Defzoe U modo s dce osservable araverso l usca se compare ella espressoe della rsposa lbera ell usca. Teorema Codzoe ecessara e suffcee affché l modo esmo sa osservable araverso l usca è che rsul Cv. Osservazoe I veor della base dpedoo dalla marce A e, perao, la codzoe d osservablà araverso l usca è ua propreà d po sruurale che dpede, coè, dalla sruura del modello. Poedo x = ell usca: ella (2.4.4), s ha la seguee espressoe della rsposa forzaa p p λ ( τ ) f j j τ τ j j = j= j= y ( ) = ( r, b ) Cv e u ( ) d + d u ( ) = p p λ λτ Cv r b j j d j j = j= j= = e (, ) e u ( τ ) dτ + u ( ), (2.4.6) da cu emerge che la rsposa forzaa ell usca dpede da mod elemear del ssema maera o leare. Assumedo che l gresso abba la forma u( ) = ε δ ( ), la (2.4.6) s parcolarzza come segue: λ f = = + = y δ ( ) w ( ) ( r, b ) e Cv d δ ( ), (2.4.7) La quale mosra che la -esma coloa della marce delle rspose mpulsve, per >, è ua combazoe lere d que mod che rsulao el coempo eccabl medae mpuls gresso e osservabl araverso l usca. Iolre, per =, al coloa coee u mpulso ell orge se d Ierpreazoe geomerca de mod Se la marce damca ha eleme real, coeffce del suo polomo caraersco soo real e gl auovalor possoo essere real o, a coppe, compless e couga. S ammea,

32 32 olre, che ache lo sao zale sa reale. I quese codzo è possble dvduare mod aural d evoluzoe corrspode ad auovalor real, deoma mod aperodc, e combare mod elemear relav alle coppe d auovalor compless e couga oeedo fuzo pseudoperodche, deomae mod pseudoperodc. Per calcolare al mod s o che: a) gl auoveor assoca ad auovalor real, σ, soo real; b) gl auoveor assoca ad auovalor compless soo compless. I parcolare, l auoveore assocao al geerco auovalore λ = σ + jω verrà deoao co v = va + jv b, dove va e v b soo veor real; c) se λ + = σ j ω l auoveore ad esso assocao è dao da v + = v = v a j v b ; d) veor della base recproca corrspode a v e v +, r e r +, soo da da r = ra + jr b e + = = a j b r r r r, rspevamee, dove r e r soo veor real. Cò premesso, s cosder la rsposa lbera ello sao daa da: I mod aperodc soo da da: l( ) = (, ) e λ = x r x v. (2.4.8) ( r, x ) e σ v. Per deermare l geerco modo pseudoperodco, dca co λ e λ + due auovalor compless e couga, l loro corbuo al calcolo della rsposa lbera è dao da: a b λ λ + λ λ ( ) = (, ) e + ( +, ) e + a r x v r x v, dove: co: j ( r, x ) = ( r + jr, x ) = ( r, x ) j( r, x ) = M e φ, a b a b 2 2 ( ra, x) ( rb, x ) M = + ( r b, x) φ = arcg ( r a, ) x Ne cosegue che: σ j( ω+ φ ) j( ω+ φ ) M e e a j b e a j b a ( ) = [ ( v + v ) + ( v v )] = σ a b = C e [cos( ω + φ ) v s( ω + φ ) v ]

33 33 avedo poso C = 2M. Se s ammee allora che, degl auovalor della marce A, µ sao real e ν sao a coppe compless e couga, s oee: µ ν σ σ l = Re + Ce ω + φ a ω + φ b = = x ( ) v [cos( ) v s( ) v ], (2.4.9) È ule, a queso puo, erpreare geomercamee mod appea presea. Il modo aperodco ( r, ) x e σ v evolve lugo ua raeora relea, adagaa sull auoveore v, co legge orara defa dalla fuzoe aperodca R e σ, co R = ( r, x ). Tale raeora coverge all orge dello spazo d sao, degeera u puo o dverge, a secoda che rsul σ <, σ = e σ >, rspevamee. La raeora e la legge orara soo llusrae ella Fg x = σ < v σ = σ > R σ > σ = σ < a) raeora b) legge orara Fg Traeora e legge orara relave al modo aperodco. Sovee, l modo aperodco vee espresso fuzoe della cosae d empo T = σ. Il caso d maggore eresse è quello cu σ <, corrspodeza al quale T > e l modo aperodco coverge a zero; esso coverge a zero ao pù rapdamee quao more rsula T. Dopo u empo par a 4-5 vole T, l modo s rduce a.8% e.67% del valore zale, rspevamee e s cosdera eso. Il modo pseudoperodco: σ a ( )= C e [cos( ω + φ ) v s( ω + φ ) v ], a b evolve el pao dvduao da veor real va e v b ; le compoe del modo lugo al veor evolvoo co legg orare dae dalle fuzo pseudoperodche: σ σ C e cos( ω + φ ), C e s( ω + φ ) che assumoo l adameo llusrao ella Fg S osserva che l modo coverge a zero, dverge o osclla maera perssee a secoda che σ rsul more d zero, maggore d

34 34 zero o zero, rspevamee. Iolre, è facle verfcare che l modo coverge a zero o dverge ao pù rapdamee quao pù rsula elevao l modulo d σ [s] σ = [s] σ = [s] σ =.8 σ Fg Legg orare relave al modo aperodco 2e cos( ω ). Le raeore del modo corrspode soo llusrae ella Fg v b σ < σ = σ > Fg Traeore relave al modo pseudoperodco Aalogamee al modo aperodco, l modo pseudoperodco vee d solo espresso erm della pulsazoe aurale o smorzaa ω e del coeffcee d smorzameo ζ, da da: ζ ω = σ + ω = λ, (2.4.2) 2 2 σ =. (2.4.2) ω I erm ques ulm paramer, l modo pseudoperodco s esprme come segue: ζ ω 2 2 Ce ω ζ + φ a ω ζ + φ b a ( )= [cos( ) v s( ) v ] (2.4.22) I Fg so llusra paramer σ, ω, ζ e ω assumedo che σ < e ζ (,). A parà d ω e al crescere d ζ s oa ua rduzoe d ω e u cremeo d σ cu corrspode ua maggore rapdà co cu l modo ede a zero e ua

35 35 more frequeza dell oscllazoe smorzaa. I Fg soo llusra gl adame della compoee del modo lugo v b per ζ par a. e.7. ω σ α jω ζ = s( α ) σ Fg ampezza [s] Fg Adameo della fuzoe e ζ ω 2 s( ω ζ ) per ζ par a. e.7.

36 Auovalor d A mulpl Com è oo, per l Teorema d Caley-Hamlo, og marce A soddsfa la propra equazoe caraersca el seso che, dao l polomo caraersco d A: a ( λ) = λ + a λ +, (2.4.23) l polomo marcale ( A), oeuo sosuedo ella (2.4.23) la marce A al poso d λ, soddsfa la relazoe: a ( A) = A + a A + + I =. Esempo 2.4. S cosder la seguee marce: 2 A =. Il polomo caraersco è dao da: λ 2 2 ( λ) = d e ( λi A) = d e = 3 + λ λ λ Sosuedo a λ la marce A, s ha: =. Nel caso d auovalor mulpl essoo polom d grado ferore a, ( λ), al che ( A) = ; l polomo d grado mmo ψ ( λ ) ale che ψ ( A) =, s chama polomo mmo della marce A. Esso s calcola valuado l massmo comue dvsore della marce a ( λ I A), m( λ ), e dvdedo l polomo caraersco d A per m( λ ). U propreà del polomo mmo è quella d avere gl sess auovalor del polomo caraersco, co moleplcà more o, al pù, uguale. Assumedo che ( λ ) abba r radc dse cascua d moleplcà M e, qud, sa dao da: l polomo mmo è par a: r M ( λ) = ( λ λ ), = r m ψ ( λ) = ( λ λ ) =

37 37 dove m [,M ] s chama moleplcà geomerca dell auovalore Nel defre mod elemear d evoluzoe d u ssema occorre rferrs al polomo mmo d A. S dmosra fa che la rsposa lbera ello sao può essere decomposa r mod elemear d evoluzoe (a qua soo gl auovalor ds d A), e l geerco modo, assocao al geerco auovalore λ, d moleplcà geomerca m, è dao da: λ. m ( ) = j γ C j e j= λ, dove erm C j dpedoo dallo sao zale; e cosegue che ache la forma emporale del modo dpede dallo sao zale. Ache el caso d auovalor mulpl, codzoe ecessara e suffcee affché u modo coverga a zero per è che la pare reale dell auovalore cu esso è legao sa egava.

38 Rspose caoche Le rsposa mpulsva soo parcolar rspose forzae ell usca corrspode a parcolar gress, de gress caoc, la cu coosceza, uamee a quella d u geerco gresso, cosee d deermare la rsposa forzaa ell usca corrspodee all gresso sesso. Cosderado per semplcà ssem udmesoal, ossa a u solo gresso e ua sola usca, l espressoe della rsposa forzaa ell usca è daa da (cfr. (2..4)): y f ( ) = w( τ ) u( τ ) dτ, (2.5.) dove w( ) deoa la rsposa mpulsva che, come deo, è la rsposa forzaa ell usca corrspodee a u gresso cosuo da u mpulso d Drac. La (2.5.) mosra che la rsposa mpulsva è ua rsposa caoca poché permee d calcolare la rsposa forzaa ell usca corrspodee all gresso u( ). S può dmosrare che segal oeu egrado rpeuamee l mpulso d Drac, da da: δ ( + ) ( ) = δ ( ), (2.5.2)! soo segal caoc. Ques segal, a dffereza dell mpulso, soo realzzabl fscamee o approssmabl co segal real. A olo d esempo verrà cosderaa la rsposa dcale Rsposa dcale La rsposa dcale è la rsposa forzaa ell usca corrspodee a u grado uaro l cu adameo è llusrao fg Tale rsposa, deoaa co w ( ), è daa da (cfr. (2.5.)): δ τ per (, ] poché ( ) = w ( τ ) d τ. = w ( ) = w( τ ) δ ( τ ) dτ w( τ ) dτ, (2.5.3) + τ e w( τ ) δ ( τ ) dτ è u fesmo rspeo a δ ( ) Fg Segale a grado uaro localzzao ell orge.