Statistica Metodologica Avanzato Test 1: Concetti base di inferenza

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1 Test 1: Concetti base di inferenza 1. Se uno stimatore T n è non distorto per il parametro θ, allora A T n è anche consistente B lim Var[T n] = 0 n C E[T n ] = θ, per ogni θ 2. Se T n è uno stimatore con errore quadratico medio pari a 10 e distorsione uguale a 2, allora la sua varianza è A 6 B 8 C Se Y 1,..., Y n sono variabili casuali indipendenti, tutte di media µ e varianza σ 2 e n è sufficientemente grande, allora A i Y i ha distribuzione N (nµ, σ 2 ) B Y ha distribuzione N (µ, σ 2 /n) C Y ha distribuzione approssimata N (µ, σ 2 /n) 4. In un problema di verifica di ipotesi sulla media di una popolazione normale con varianza nota, la regione di rifiuto con livello di significatività α = 0.05 è, a parità di ampiezza campionaria, A meno ampia della regione di rifiuto con livello α = 0.01 B il livello α non incide sull ampiezza della regione di rifiuto perché la varianza è nota C meno ampia della regione di rifiuto con livello α = In un problema di verifica di ipotesi, il livello di significatività osservato è A una quantità fissata a priori B una misura di compatibilità fra i dati e H 0 C una misura di compatibilità fra i dati e il modello statistico 6. L ampiezza di un intervallo di confidenza per la media di una popolazione non dipende dalle osservazioni se A la popolazione è binomiale B la popolazione è normale con varianza ignota C la popolazione è normale con varianza nota 7. Si definisca la funzione di ripartizione empirica. Si enunci e si dimostri una sua proprietà a scelta.

2 Test 2: Simulazione e metodi computazionali 1. Vogliamo approssimare 1 0 3x2 dx utilizzando il metodo Monte Carlo. Quali sono i passi dell algoritmo da implementare? 2. Descrivere come si possono ottenere tramite il metodo dell inversione valori simulati dalla distribuzione Bin(4, 0.6). 3. Come si calcola un intervallo di confidenza bootstrap per θ utilizzando l approssimazione normale? 4. Cos è una successione di numeri pseudocasuali e quali sono le sue caratteristiche principali? 5. Enunciare la legge forte dei grandi numeri.

3 Test 3: Inferenza Bayesiana 1. Secondo l approccio Bayesiano all inferenza, il parametro di interesse è A una quantità non nota ma fissata B una variabile aleatoria osservabile C una quantità aleatoria non osservabile 2. Il teorema di Bayes A aggiorna l informazione a priori su θ alla luce dei dati osservati B calcola la distribuzione predittiva per una variabile futura di interesse C calcola la distribuzione a posteriori a meno di un fattore di proporzionalità 3. Se Y 1,..., Y n sono variabili casuali indipendenti, tutte con la stessa distribuzione esponenziale di media λ, allora A la a priori coniugata per λ è una distribuzione impropria B la a priori di Jeffreys per λ è p(λ) 1, λ > 0 C la a priori di Jeffreys per λ è una distribuzione impropria 4. Sia Y θ Bi(10, θ), θ Beta(1, 1) e Z Bi(12, θ) indipendente da Y, condizionatamente a θ. Supponendo di aver osservato y = 8, la probabilità predittiva di osservare per Z il valore z = 3 è A non calcolabile per ragioni computazionali B pari a P (Z = 3 Y = 8) C pari alla probabilità che una Beta(8 + 1, 2 + 1) sia uguale a 3 5. L intervallo di credibilità HPD con probabilità di copertura 0.95, per un parametro θ con distribuzione a posteriori t n A è pari a ( 1.96, 1.96) B è più corto del corrispondente intervallo equi-tailed C contiene l intervallo ( 1.96, 1.96) 6. Si dimostri che, in un problema di stima puntuale, il rischio di Bayes associato alla perdita assoluta L(θ, d) = θ d è minimo se d è la mediana a posteriori.

4 Test 4: Teoria ottima 1. Siano Y 1,..., Y n i.i.d. Exp(λ). Allora i Y i è una statistica completa A perché è sufficiente e minimale B perché è la statistica naturale di una famiglia esponenziale piena C per il criterio di fattorizzazione 2. Un test UMPU (uniformemente più potente fra i non distorti) è tale che A la sua funzione di potenza sotto H 1 è non inferiore alla stessa sotto H 0 B la sua funzione di potenza è sempre monotona C la sua funzione di potenza è sempre non inferiore a quella di ogni altro test 3. Un test UMP (uniformemente più potente) per ipotesi unilaterali e parametro unidimensionale esiste A solo per famiglie esponenziali piene B sempre, per il teorema Neyman-Pearson C per famiglie con rapporto di verosimiglianza monotono 4. Una statistica sufficiente T = t(y ) è tale che A è funzione di ogni altra statistica sufficiente e minimale B la distribuzione dei dati condizionata a T = t non dipende dal parametro C la sua distribuzione non dipende dal parametro 5. Scrivere la densità di un generico elemento della famiglia di scala e posizione generata dalla densità p 0 (y) = e y /2, y R. Se Y 0 p 0 (y), scrivere la densità di A Y 0 /3 B Y C 3 2Y 0 6. Dimostrare che la distribuzione geometrica (p(y; θ) = θ(1 θ) y 1, y = 1, 2,... ) è una famiglia esponenziale e descriverne ordine, statistica naturale e parametro naturale.

5 Test 5: Inferenza basata sulla verosimiglianza 1. La funzione di verosimiglianza L(θ; y) è A la probabilità di osservare y se θ è il vero valore del parametro B la probabilità che θ sia il vero valore del parametro dato che si è osservato y C una misura della corrispondenza fra i dati osservati y e i diversi valori del parametro θ 2. In un modello parametrico regolare con osservazioni i.i.d., lo stimatore di massima verosimiglianza ˆθ è tale che A n(ˆθ θ) L N (0, [i 1 (θ)] 1 ) B ˆθ N (θ, [i 1 (θ)] 1 ) C ˆθ L N (θ, [ni 1 (θ)] 1 ) 3. Se Y 1,..., Y n sono variabili casuali indipendenti, tutte con la stessa distribuzione esponenziale di media θ, allora l informazione attesa A coincide con l inverso della varianza di ˆθ B è l inversa dell informazione attesa nella parametrizzazione λ = 1/θ C coincide con l informazione osservata 4. La verosimiglianza diretta r(θ) = sgn(ˆθ θ) 2(l(ˆθ) l(θ)) A è una statistica utile per l inferenza su un parametro multidimensionale B ha distribuzione asintotica nulla normale standard C ha distribuzione asintotica nulla χ 2 5. La log-verosimiglianza profilo l P (ψ) = l(ψ, ˆλ ψ ) A è una log-verosimiglianza propria B ha distribuzione asintotica χ 2 d con d = dim(ψ) C è tale che E[ l P (ψ)/ ψ] 0 6. Si dimostri che, in un problema regolare di stima, vale il limite inferiore di Cramer-Rao per la varianza di uno stimatore.