ESPONENZIALI E LOGARITMI

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1 Esponenzili e logritmi ESPONENZIALI E LOGARITMI Potenze Fino d or si sono definite le potenze d esponenete intero e rzionle (si positivi che negtivi). Ripssimo le definizioni e i concetti che li rigurdno: Potenze d esponente intero n = n volte se esponente R, n N vlgono le proprietà: 1 = 0 =1 Per esponente negtivo si toglie il segno e si sostituisce l se con il suo reciproco: = n n 1 Potenze d esponente rzionle m n = n m m n = 1 n m Potenz d esponente rele Per definire l potenz con esponente rele ripssimo come viene definito un numero di infinite cifre decimli: R è individuto d due clssi seprte m vicinissime, che rppresentno rispettivmente le successive pprossimzioni per eccesso e per difetto del numero stesso. es: 2=1, per difetto: 1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; 1,414213; per eccesso: 2; 1,5; 1,42; 1,415; 1,4143; 1,414214: 1/8

2 Esponenzili e logritmi Questi numeri, essendo decimli finiti, si possono scrivere come frzione: 1,4= ; 1,41= ; 1,414= ; 1,4142= ,5= ; 1,42= ; 1,415= ; 1,4143= per definire 2 si considerno quindi le successioni di potenze che si ottengono ssegnndo d, come esponenti, i numeri rzionli che imoppen visto; srà il vlore che sepr le due successioni: per difetto: 1 ; ; ; ; per eccesso 2 ; 10 ; 100 ; 1000 ; Poiche non vi sree chirezz nell decisione del segno, le potenze d esponente rele si definiscono solmente per se positiv (>0) Funzione esponenzile Se R, 0, 1 vri l vrire di. y= è un funzione (cioè un relzione nell qule per ogni posso ricvre un y) dett funzione esponenzile Gli ndmenti dell curv sono due, second del vlore di : per >1: 2 =2 y 8 8 y = 1 2 y 7 7 y -3 '1/ '1/ '1/ '1/ '1/ '1/ /8

3 Esponenzili e logritmi Osservzioni Tutte le curve esponenzili pssno per il punto (0,1) y non ssume mi vlori negtivi Inoltre lcune crtteristiche dipendono dl vlore di : Per > 1: E' sempre crescente Al crescere di i vlori di y crescono sempre più velocemente Per negtivo, ll'umentre del vlore ssoluto di, l curv si vvicin sempre più zero senz toccrlo Per 0 < < 1 E' sempre decrescente Al crescere di l curv si vvicin sempre più zero senz toccrlo Per negtivo, ll'umentre del vlore ssoluto di, i vlori di y crescono sempre più velocemente Equzioni esponenzili Un'equzione è un'uguglinz in un o più vriili. Risolvere un'equzione signific trovre i vlori delle incognite che soddisfno l'uguglinz. Fin'or imo visto solo equzioni dove compre come se di potenz o denomintore di un frzione. Un'equzione esponenzile è un'equzione nell qule le vriili compiono come esponenti. Risolveremo or equzioni esponenzili nelle quli le si delle potenze sono un unico vlore, o possono esserevi ricondotte: esempio: ) 2 =2 4 3 ) =3 2 Per risolverle è sufficiente uguglire gli esponenti dopo vere,se necessrio, reso uguli le si: ) 2 =2 4 3 =4 3 3=3 = 1 ) = =3 2 3=2 = 2 3 3/8

4 Esponenzili e logritmi Logritmo Di grfici si not che per 0, 1, 0 l'equzione = mmette un ed un sol soluzione, cioè esiste un ed un sol che, ttriuito come esponente d, dà. Questo numero viene detto logritmo in se di rgomento esponente = logritmo = log se Definizione: Il logritmo è l'esponente d dre ll se per ottenere l'rgomento esempi: log 2 32 = 5 log 3 81 = 4 Funzione logritmic Se R, 0, 1 nche ( log ), come l'esponenzile, vri l vrire di. Anche y= log è un funzione e viene dett funzione esponenzile Gli ndmenti dell curv sono due, second del vlore di : per >1: =2 y 3 y 2 '1/8-3 '1/4-2 1 '1/ /8

5 Esponenzili e logritmi per 0 < < 1 y 3 = 1 2 y '1/2 1 '1/4 2-1 '1/ Osservzioni Tutte le curve esponenzili pssno per il punto (1,0) non ssume mi vlori negtivi l curv y=log è simmetric rispetto ll isettrice del 1 e 3 qudrnte rispetto ll curv y= y= >1 0<<1 y= y= y= y=log y=log Inoltre lcune crtteristiche dipendono dl vlore di : Per > 1: E' sempre crescente Al crescere di i vlori di y crescono m sempre più lentmente Per che si vvicin zero l curv si vvicin sempre più ll'sse y senz 5/8

6 Esponenzili e logritmi toccrlo, ndndo verso vlori negtivi sempre più grndi Per 0 < < 1 E' sempre decrescente Al crescere di i vlori di y decrescono m sempre più lentmente Per che si vvicin zero l curv si vvicin sempre più ll'sse y senz toccrlo, ndndo verso vlori positivi sempre più grndi Proprietà dei logritmi I logritmi godono di lcune proprietà, che si ricvno fcilmente dlle proprietà delle potenze. ) Il logritmo di un prodotto di fttori positivi è ugule l logritmo dell somm dei logritmi dei singoli fttori, cioè: log c d = log log c log d Gurdimo l propietà delle potenze dll qule deriv, dimostrndolo per 2 fttori: log c =log log c ponimo log = e log c=y per l definizione di logritmo = e y =c llor c = y = y per l proprietà del prodotto di potenze di ugul se c= y per l definizione di logritmo log c = y fcendo l sostituzione invers quell inizile log c =log log c ) Il logritmo di un quoziente di due numeri positivi è ugule ll differenz tr il logritmo del dividendo el il logritmo del divisore, cioè log c =log log c Gurdimo l propietà delle potenze dll qule deriv, dimostrndolo per 2 fttori: log c =log log c ponimo log = e log c=y per l definizione di logritmo = e y =c llor c = y = y per l proprietà dell divisione di potenze di ugul se 6/8

7 Esponenzili e logritmi c = y per l definizione di logritmo log c = y fcendo l sostituzione invers quell inizile log c =log log c c) Il logritmo dell potenz di un numero positivo, d esponente rele qulunque, è ugule l prodotto dell'esponente per il logritmo dell se dell potenz, cioè log c =c log d) Il logritmo in se di un numero diverso d 1, è ugule l reciproco del logritmo in se del numero, cioè: log = 1 log e) Il logritmo in se di un numero N è ugule l rpporto tr il logritmo dello stesso numero N in un ltr se e il logritmo di in se, cioè: log N= log N log Quest'ultim proprietà si utilizz nche per il clcolo numerico dei logritmi in un se qulunque. Inftti esistono tvole per il clcolo dei logritmi in se 10 (detti logritmi decimli o di Briggs) e in se e (numero di Nepero =2, detti logritmi nturli o neperini), che sono nche clcolili con l mggior prte delle clcoltrici scientifiche, m risult estremmente complicto il clcolo di un logritmo in un se qulunque, prte per quelli in cui l'rgomento è un potenz dell se. Solitmente i logritmi in se 10 si scrivono trlscindo l se e scrivendo Log con l miuscol (in lcuni lori si trlsci semplicemente l se), mentre i logritmi neperini si indicno con ln invece che con log e : esempio: log 10 si scrive Log, mentre log e si scrive ln Sfruttndo l proprietà e, d esempio, per clcolre il logritmo di 5 in se 4 si clcol: log 4 5= log5 log4 oppure log 4 5= ln 5 ln 4 7/8

8 Esponenzili e logritmi Equzioni logritmiche Un'equzione nell qule compre il logritmo dell'incognit o di espressioni contenenti l'incognit viene dett equzione logritmic. In genere, per risolverl, si cerc di portrl nell form: log A =log B (1) dove A() e B() sono due espressioni contenenti l'incognit. Per risolvere le equzioni, dopo verle riportte nell form suddett ttrverso le proprietà ppen viste, è necessrio uguglire i due rgomenti, cioè porre A =B (2) In generle, però, non è detto che tutte le soluzioni dell (2) sino soluzioni nche dell (1), perchè in un logritmo l'rgomento dve per forz essere positivo, mentre quest condizione non è necessri per l (2) esempio: log 2 =log 4 2 = 4 2=6 =3 m per =3 divent log 2 3 =log 3 4 log 1 =log 1 : non può esistere il logritmo di un numero negtivo E' necessrio quindi, prim di uguglire gli rgomenti dei logritmi, fissre le condizioni di esistenz, ponendo tutti gli rgomenti dei logritmi che compiono mggiori di zero. Questo v ftto prim di pplicre le proprietà per ottenere un unico logritmo per prte. esempio: log 1 log =log 4 h soluzioni diverse di quelle dell'equzione che si ottiene pplicndo il primo pricipio studito: log [ 1 ]=log 4 inftti le condizioni di esistenz dell prim sono: mentre quelle dell second sono Uguglindo gli rgomenti ottengo 1 =4 2 =4 2 =4 =±2 m =-2 è ccettile per l second m non per l'equzione inizile 8/8

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