Unità Didattica N 12. I logaritmi e le equazioni esponenziali

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1 Uità Didttic N I riti e le equzioi espoezili Uità Didttic N I riti e le equzioi espoezili ) Potez co espoete itero di u uero rele. ) Potez co espoete rziole. ) Potez co espoete rele di u uero rele positivo. ) Fuzioe espoezile e curv espoezile. ) Equzioe espoezile orle 6) Risoluzioe di lcue equzioi espoezili. 7) Defiizioe di rito. 8) Fuzioe rito..e curv ritic. 9) Teorei fodetli sui riti 0) Equzioi espoezili ed equzioi ritiche ) Iequzioi ritiche. ) Iequzioi espoezili.

2 Uità Didttic N I riti e le equzioi espoezili Potez co espoete itero di u uero rele Se è u uero rele ed u uero itero positivo, sppio che il sibolo prodotto di fttori tutti uguli d, cioè : rppreset il Le poteze d espoete egtivo vegoo defiite edite l seguete idetità : Per le poteze d espoete itero ( positivo o egtivo ) vlgoo le cique segueti proprietà : : ( ) b Ioltre si poe per covezioe : 0 b : b ( ) b Poteze co espoete rziole Abbio defiito l potez di u uero rele vete coe espoete u uero itero reltivo Voglio plire il cocetto di potez lizzdo il cso i cui l bse dell potez è u uero rele positivo ( o ullo ) e l espoete è u uero rziole ( cioè u uero frziorio ) Se è u uero rele o egtivo ed ed soo due ueri iteri positivi, le poteze d espoete rziole vegoo defiite dlle due segueti idetità : dove il rdicle è cosiderto i seso ritetico. No si defiiscoo le poteze co espoete rziole dei ueri egtivi. << Ogi potez vete bse positiv ed espoete rziole è equivlete d u rdicle, e vicevers, ogi rdicle è equivlete d u potez vete bse positiv ed espoete rziole >>. Le poteze d espoete rziole coservo tutte le proprietà forli delle poteze d espoete itero, cioè se b, R,,, p, q N bbio : p q p q p q : p q p p q q ( b) b b b U.D. N Potez di u uero rele Pgi di 7

3 Uità Didttic N I riti e le equzioi espoezili Potez co espoete rele di u uero rele positivo Il sibolo r rppreset l potez erresi del uero solo se è u uero rele positivo ed r u uero rele qulsisi. Per le poteze co espoete rele vlgoo tutte le proprietà forli vlide per le poteze d espoete rziole. r s r s r r r r s r s : ( b ) b r r r b b r r Nel cpo dei ueri reli o h seso defiire l potez di u uero rele egtivo vete espoete rele. Quidi qudo prlio di potez co espoete rele è sottiteso che l bse di tle potez si u uero rele positivo. Fuzioe espoezile e curv espoezile L potez h sigificto solo se > 0. Sotto quest ipotesi rest defiit l seguete fuzioe espoezile ƒ : : : ( ) f R R R f R co > 0. Dopo vere riferito il pio d u siste ortoorle di ssi crtesii, cosiderio l fuzioe espoezile ( R ). Qudo l vribile idipedete vri ssuedo tutti vlori del doiio di il puto P (, ) descrive u curv pi γ [ grfico dell fuzioe idicto col sibolo G ( ) ] dett curv espoezile. Dicio pure che l curv espoezile γ h equzioe crtesi. Elechio le pricipli proprietà dell fuzioe espoezile. > ) è strettete crescete R ) do R cod o R ) > 0 R ) Li ) Li 0 0 sitoto orizzotle siistro 6) > >, < < 0 < < ) è strettete decrescete R ) do R cod o R U.D. N Fuzioe espoezile e curv espoezile Pgi di 7

4 Uità Didttic N I riti e le equzioi espoezili ) > 0 R ) Li ) Li 0 0 sitoto orizzotle destro 6) > <, < > 0 < < > Grfico dell fuzioe espoezile o OSSERVAZIONE Bisog distiguere tr fuzioe espoezile ( ƒ ), igie dell fuzioe espoezile [ f ( ) ], grfico dell fuzioe espoezile [ G ( ) ] e curv espoezile γ ssocit ll fuzioe espoezile. Spesso tli cocetti o vegoo usti co l dovut precisioe. Si dice, d esepio, fuzioe l posto di curv pi di equzioe. Tuttvi tle uso iproprio è geerlete tollerto i quto i cocetti di fuzioe, grfico di u fuzioe, curv pi soo fr loro collegti el seso che dt l fuzioe ƒ d ess possio ssocire l igie ( ) f cui corrispode il grfico ( ) G f che, su volt, può essere cosiderto coe u curv pi γ di equzioe f ( ). Questo sigific che dll fuzioe ƒ possio pssre ll su igie f ( ) ed che l grfico G( f ) dell fuzioe ƒ. Iftti, dt l fuzioe ƒ risulto uivocete idividuti l su igie ( ) f ed il suo grfico G( f ) che, su volt, può essere cosiderto coe u curv pi vete equzioe crtesi f ( ). Quidi il grfico dell fuzioe ƒ è u curv pi vete equzioe crtesi f ( ). Ftte queste preesse risult giustifict l seguete terioi iperfett : << Cosiderio l fuzioe espoezile >> U.D. N Fuzioe espoezile e curv espoezile Pgi di 7

5 Uità Didttic N I riti e le equzioi espoezili Equzioe espoezile orle Chiio equzioe espoezile ogi equzioe i cui l icogit figur coe espoete di uo o più terii. Dicesi equzioe espoezile orle ( o tipic o coic ) ogi equzioe che può essere ricodott ll seguete for : b [] L equzioe [] è : ) ideterit se b i quto ogi vlore di R è u su soluzioe ) ipossibile se e b i quto si vrebbe per ogi R b ) deterit ed ette coe uic soluzioe il uero zero se e b, i quto l equzioe b ssue l for : 0 Teore Se e b soo ueri reli positivi diversi d uo, l equzioe espoezile b ette u ed u sol soluzioe, precisete u rdice positiv ( egtiv ) se > e b > oppure 0 < < e 0 < b < [ > e 0 < b < oppure 0 < < e b > ]. 8, 8,, 7,, Risoluzioe di lcue equzioi espoezili L equzioe espoezile Risult pure : ( ) f ( ) ( ) f g f ( ) è equivlete ll equzioe lgebric : f ( ) g( ) 0 f ( ) 0 6 ( ) ( ) ( ) ( ) 9 9 8, 7, 7, 8 U.D. N Equzioe espoezile Pgi di 7

6 6 Uità Didttic N I riti e le equzioi espoezili Le equzioi espoezili si risolvoo poedo : lgebriche : ( ) f( ) f k p 0 f( ) k p f ( ) 0 ( ) f. Otteio rispettivete le due segueti equzioi p 0 p 0 cioè : p 0 Se ed soo le rdici reli delle equzioi lgebriche trovte, bbio : f ( ), Se poi risult : t, s bbio : f ( ) 7 7 f ( ) t f ( ) pogo : Ottego : 7 0,,,,,,, Quest equzioe o ette rdici reli s 7 Defiizioe di rito Se b, R, defiio rito del uero b ell bse e lo idichio col sibolo b l rdice dell equzioe b, cioè rito del uero b ell bse è l espoete che bisog dre d per vere b. I siboli bbio : b b Sussistoo pertto le due segueti idetità : b b A volte il uero b è detto rgoeto del rito. ESEMPI, 00, 0 0 0, b 0 b U.D. N Defiizioe di rito Pgi 6 di 7

7 Uità Didttic N I riti e le equzioi espoezili 7 L isiee dei riti di tutti i ueri reli ssoluti rispetto d u dt bse costituisce u siste di riti ell bse. Qudo sceglio coe bse il uero 0 bbio il cosiddetto siste di riti decili o volgri o di Briggs : sibolo usto : b Abbio il siste di riti turli o eperii o iperbolici qudo ssuio coe bse il uero : e Li Sibolo usto : lb Il uero e, le cui proprietà verro studite i lisi tetic, è u uero irrziole trscedete copreso tr due e tre. U suo vlore pprossito è : e, Logrito sigific uero dell rgioe. Vedio desso coe è possibile pssre d u siste di riti i bse d u ltro i bse. α b b α Si può diostrre che : α cioè : α α α Fuzioe rito e curv ritic Noi sppio che h sigificto se > 0, ed > 0. sotto queste ipotesi rest defiit l seguete fuzioe rito : ( ) f : R R: R f R co > 0, ed > 0 Dicio pure che : rppreset l fuzioe rito rppreset l igie dell fuzioe rito reltiv l puto R rppreset l equzioe crtesi del grfico dell fuzioe rito di i bse. Per questo otivo soo tollerte le fferzioi : G << cosidero l fuzioe >>, << cosidero l fuzioe >>. ( ) luogo geoetrico dei puti P ( ), del pio crtesio qudo l descrive il doiio dell fuzioe rito di i bse grfico dell fuzioe rito U.D. N Fuzioe rito e curv ritic Pgi 7 di 7

8 8 Uità Didttic N I riti e le equzioi espoezili O 0 Grfico dell fuzioe rito 0 Cosiderio l fuzioe rito dopo vere riferito il pio d u siste ortoorle di ssi crtesii. Qudo l vribile idipedete vri ssuedo tutti i vlori del doiio di, il puto P ( ) ( ), descrive u curv pi γ ( grfico di idicto col sibolo G ) dett curv ritic. Si dice che che l curv ritic h equzioe. L curv ritic di equzioe e l curv espoezile di equzioe soo u sietric dell ltr rispetto ll bisettrice fodetle degli ssi crtesii, cioè rispetto ll rett di equzioe Elechio le pricipli proprietà dell fuzioe rito :. > ) è strettete crescete R ) do ] 0, [ ) cod o R ) > 0 ], [ ) < 0 ] 0, [ 6) 0 7) Li 0 sitoto verticle destro i bsso 0 8) Li 9) > > < < U.D. N Fuzioe rito e curv ritic Pgi 8 di 7

9 Uità Didttic N I riti e le equzioi espoezili 9 0 < < ) è strettete decrescete R ) do ] 0, [ ) codo R ) > 0 ] 0, [ ) < 0 ], [ 6) 0 7) Li 0 sitoto verticle destro i lto 0 7) Li 9) > < < > Teorei fodetli sui riti Il rito di u prodotto di fttori è ugule ll so dei riti dei sigoli fttori bc b c Il rito di u quoziete è ugule ll differez fr il rito del dividedo e quello del b divisore. b c Il rito di u potez è ugule l prodotto dell espoete dell potez per il rito dell bse dell potez b b Il rito di u rdicle è ugule l quoziete tr il rito del rdicdo e l idice del c rdicle. b b b b b b ESEMPI ( ) ( ) ( ) Altre proprietà dei riti I riti ell stess bse di ueri reciproci soo ueri reli opposti Logriti i bsi reciproche di ueri reciproci soo uguli b b b b U.D. N Teorei fodetli sui riti Pgi 9 di 7

10 0 Uità Didttic N I riti e le equzioi espoezili Equzioi ritiche U equzioe dicesi ritic qudo l icogit o u su fuzioe figur leo u volt coe rgoeto di u rito. L equzioe ritic f ( ) g( ) [A] co > 0 ed è f ( ) g( ) equivlete l seguete siste isto : f ( ) > 0 g ( ) > 0 L equzioe ( ) f ( ) ( ) g( ) equivle l siste isto : [B] f ( ) g( ) f ( ) > 0 g ( ) > 0 ( ) > 0, ( ) L equzioe : ( ) ( ) k f h f 0 si risolve poedo f ( ) Otteio il seguete siste isto : f ( ) > 0 k h 0, ( ) f, f ( ) L equzioe : ( ) h k f 0 f si risolve poedo : ( ) f Otteio il seguete siste isto : f ( ) > 0 h k 0 ( ) f ( ) > 0 k h 0,, ( ) f, f ( ) ( ) ( ) 7 7 > 0 7 > 0 0 ( R. A.), ( R. N. A.) 9 9 > 0 per <,, >, 7 7 > 0 per < U.D. N Equzioi ritiche Pgi 0 di 7

11 Uità Didttic N I riti e le equzioi espoezili Iequzioi ritiche Soo iequzioi i cui l icogit figur leo u volt coe rgoeto di u 8 > rito.esepio di iequzioe ritic : ( ) ( ) Per risolvere le iequzioi ritiche bisog teere presete : ) le proprietà fodetli delle iequzioi lgebriche ) le proprietà dei riti ed che che : ) che l fuzioe rito è strettete crescete se >, strettete decrescete se 0 < < ) che l rgoeto di ogi rito presete ell iequzioe si positivo ( codizioe di reltà ) 7 ( ) ( ) ( ) < per > Per l reltà dei riti deve essere : > 0 per > > 0 per > ( ) > 0 per Ifie, ricorddo che il siste è verificto per > per > l espressioe risult positiv, per le ote proprietà dei riti, l iequzioe dt può essere scritt coe segue : ( ) ( ) ( ) <, ( ) < ; > ( ) < ( )( ) ( ) > > 0 per < ed > ( ) < Il siste ( e quidi che l iequzioe dt ) è verificto per > ; 8 0 < 0 U.D. N Iequzioi ritiche Pgi di 7

12 Uità Didttic N I riti e le equzioi espoezili Iequzioi espoezili U iequzioe si dice espoezile qudo l icogit figur coe espoete di uo o più terii > 8 7 è u esepio di iequzioe espoezile. L risoluzioe delle iequzioi espoezili preset, i geerle, otevoli difficoltà. Per l risoluzioe delle iequzioi espoezili soo prticolrete utili le segueti cosiderzioi : ) bisog teere presete le proprietà delle iequzioi lgebriche ) l fuzioe espoezile, sepre positiv, è strettete crescete se >, strettete decrescete se 0 < <. ( >, > ) > ) e quidi l iequzioe espoezile si trut ell iequzioe lgebric f ( ) g( ) >. ( ) g( ) f >, > ( >, < ) < ) e quidi l iequzioe espoezile si trut ell iequzioe lgebric f ( ) g( ) <. ( ) g( ) f >, < (0 < <, > ) < ) e quidi l iequzioe espoezile f ( ) g( ) < < > si trut ell iequzioe lgebric f ( ) g( ) 0, <. (0 < <, < ) > ) e quidi l iequzioe espoezile f ( ) g( ) < < < si trut ell iequzioe lgebric f ( ) g( ) 0, >. 8 0 > per > >, >, > < per < < Pogo : ( ) < 0 per 7 < < 8, 7 < < 8, < <, < < U.D. N Iequzioi espoezili Pgi di 7

13 Uità Didttic N I riti e le equzioi espoezili 9 0 < per < < 0 9, > 0, - 0 <, 9 _ O O O _ O O <, 9 < > 0 per > 0 0 >, ( ) > 0, >, > 0 > 0 > 0 > 0 R e quidi > 7 per <, > Pogo : > 0 R Ottego : > 0 per <, > 8, < e > e quidi : <, > U.D. N Iequzioi espoezili Pgi di 7

14 Uità Didttic N I riti e le equzioi espoezili Risolvere le segueti equzioi espoezili : 0) [ 0 ] 0) 6 [ ] 0) 0 [ ; - ] 0) 8 0 [ ] 0) [ 0, ] 06) 6 [, ] 07) 6 [ ] 08) [ 0, ] 09) 6 [] 0) [ ] ) 0 0 [ ] ) [ ] ) 6 6 [ ] ) 6 [] ) 8 [ ] 6) [ ] 7) 7 0 9) [ ] 8) ( ) ( ) 8 [, () ] 0) 60 ) ( 7) ( ) 0 [0,] ) ( ) ) 8 [ ] ) ) 0 0 [ 8 ] 6) [ 0, ½ ] [ ] 7 8 [ ] 6 7 [ 7 6, ] [ 7) [ 0, ] 8) [] 9) ) [ 0 ] 0) [ ] ) 9 7 [] [ ] ) 0 [ 0, ] ) 0 [0, ] U.D. N Esercizi sulle equzioi espoezili Pgi di 7

15 Uità Didttic N I riti e le equzioi espoezili ) 0 0 ( 0, ) 6) ( )( ) ( ) 7) ( ) ( ) 7 ( ) 8) ( ) ( ) ( - ) ( ) ( )( ) ( ; - ) 0) 8 ( ; -) 9) [ ] ) 8 ( ) ) ( - ) ) 9 (, ) ) ( - ) ) ( ; - ) 6) ( ) 7) 0 ( ) 8) 6 0 ( ; ) 9) ( ) 0) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( 0 ) ) 0 ( ) ) 9 ( ) 6) (± ) 7) ( ) 9) ) ( ) ( ; ) 60) ( ) (, ) ( - ; ) 6) ( ; ) 6) 7 0 6) ( )( )( ) ( - ; ) 6) 7 7 ( 7 ) 7 6) (, ) 66) 7 ( ) ( ) 67) 0 ( 0 ) 6( 0 ) (, ) 9 U.D. N Esercizi sulle equzioi espoezili Pgi di 7

16 Uità Didttic N I riti e le equzioi espoezili 7 Risolvere le segueti iequzioi espoezili 0 ) 0) > 0 8 > [ < > ] 9 [ < > ] 0) < 0 [ 0 < < ] 6 > 0 [ < < ] 0 ) ( ) 0) > [ 0 < < ] 06 ) 8 > [ < > ] 07) > [ < < > ] 08) > 0 [ > 0 ] 09) > 0 [ > 0 ] 0) 8 > 7 [ < > ] 9 ) < 0 [ < < 0 > ] ) < 0 [ < < ] ) 8 > 0 [ > ] ) > ) > 0 [ > ] [ > ] ) e > 0 [ < l > l ] e 6) 7 < [ < < ] 8 7) < 7) 8 [ ] 8) < [ < 0 > ] 9) > [ < < [ 0) ( ) < [ ] ) < 0 [ < ] ) > [ < ] U.D. N Esercizi sulle equzioi espoezili Pgi 6 di 7

17 8 Uità Didttic N I riti e le equzioi espoezili ) < [ R ] ) 9 < [ < < < 0 > ] ) < [ < 0 < < ] 6 ) 7 0 < [ < < 0 ] 7) 0 > [ < 0 > ] 8) > 8 [ < 0 > ] 7 9) > [ > ] 0*) 6 < [ < 0 ] 7 7 [ 7 *) ( ) ] ) 0 ) > ) > ) 8 6) 7 < 0 7) ( ) > 8 ) < 9) 9 > 9 ( ) ( ) 0) 8 > ) 6 < 0 ] < 0 < < ] ) 6 > [ 0 < < ] ) > 0 ) < 0 U.D. N Esercizi sulle equzioi espoezili Pgi 7 di 7

18 Uità Didttic N I riti e le equzioi espoezili 9 Clcolre il vlore dei segueti riti U.D. N Esercizi sui riti Pgi 8 di 7

19 0 Uità Didttic N I riti e le equzioi espoezili Clcolre il vlore dell spedo che : U.D. N Esercizi sui riti Pgi 9 di 7

20 Uità Didttic N I riti e le equzioi espoezili U.D. N Esercizi sui riti Pgi 0 di 7

21 Uità Didttic N I riti e le equzioi espoezili Seplificre le segueti espressioi U.D. N Esercizi sui riti Pgi di 7

22 Uità Didttic N I riti e le equzioi espoezili 0) ( ) Risolvere le segueti equzioi ritiche : [ ] ( ) [, 7 ] 0) ( ) ( ) ( ) 6 0) ( ) ( ) [ -, ] B p. 9 0 [, ( - ) ] B p. 0 0) ( ) ( ) N.S. B p. 0) ( ) ( ) ( ) [, ], p. 06) ( ) ( ) ( ) 7 [ 7, 7 ], B p. co7 colg 07) ( ) ( ) ( ) colg colg 6 0 co 0 08) ( ) ( ) ( ) [, ], B p. [ 7, ], B p. [ 0, 6 09) ( ) ( ) ], B p. 7 0) ( ) ( ) [, ], B p. 8 [ ] ( ) ) ( ) [, 7 ], B p. 9 ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ 8 ], B p. 0 ) ( ) ( ) 8 6 [ 6 ) ( ) [, ] B p.,, ] B p. ) ( ) ( ), B p. U.D. N Esercizi sui riti Pgi di 7

23 Uità Didttic N I riti e le equzioi espoezili 6) [ 00, 000 ] B p. 0 7) 9), 0 B p. 9 ( ) ( ) [, ] B p. 7 0) 8) [ ] B p. 8 ( 8) ( ) [ 0, ] B p. ), ( ) [, (-) ] B p. ) ( 6) ( ) ( ) B pg. ) 8 ( 0 ) B pg. [ (-), ] ) 9 06, B pg. [ ( - ), 0 ] ) 8 co 06, B pg. [ ( - ), ] ( ) B pg. 6 [ ] 6) ( ) ( ) ( ) 6 7) ( ) [ ] ( ) B pg. 7 [, ] 8) ( ) ( ) ( ) B pg. 8 [ 9, 0 ] 9) B pg. 9 [ 0, 0 0) B pg. 60 [ 0, 0 ] ) ( ) 0, B p. 6 [ (-), ] ) ( ) ( ) ( ) ) B pg. 6 [ ] 0 B pg. 6 [ 0 ] ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 6 B pg. 66 [(9), 8 ] 6) B p.67 [00, 000 ] 7) B p.6 [ ] 8) 7 B pg. 67 [,, ] U.D. N Esercizi sui riti Pgi di 7

24 Uità Didttic N I riti e le equzioi espoezili 9) 0 6 B pg. 68 [ -,, 0) ( ) 9( ) B pg. 87 [ ] ) ( ) 0, B pg. 88 [ (-), ] ) ( ) 0 ) ( ) ( ) 00, 000 ] 8 00, U.D. N Esercizi sui riti Pgi di 7

25 6 Uità Didttic N I riti e le equzioi espoezili 0 0) Risolvere le segueti iequzioi ritiche > [ < < 0 > 00 ] 0 0) > 0 [ < < > ] 0) 7 7 > [ 7 < < 9 7 < < 7 ] 0) 6 > [ < 9 < < 9 > 7 ] 0) < 06) > ) < 08) > 6 U.D. N Esercizi sui riti Pgi di 7

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