ESPONENZIALI. Prima di introdurre il concetto di funzione esponenziale è necessario ripassare le potenze.

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1 Autore: Enrico Mnfucci - /0/0 ESPONENZIALI Prim di introdurre il concetto di funzione esponenzile è necessrio ripssre le potenze Potenze con esponente nturle Definizione: l espressione n, con R e n N, si chim potenz ennesim di e si definisce come il prodotto dell bse per se stess n volte, ovvero n n volte Proprietà delle potenze Per le proprietà delle potenze si rimnd più vnti (pg7) nell trttzione qundo verrnno trttte le proprietà dei ritmi Potenze con esponente intero Definizione: n n, con R e n Z Esempi:, , 0 0 Potenze con esponente rzionle Definizione: n m m n, con n R0 e Q m 7 Esempio: 7 Potenze con esponente rele L definizione di potenz con esponente rele non verrà fornit in modo rigoroso perché presuppone di ver definito rigorosmente il concetto di numero rele Possimo però drne un descrizione seguendo un esempio Pensimo di voler clcolre l potenz L esponente può essere considerto come un vlore di confine tr un successione di numeri rzionli che gli si vvicinno per difetto, ed un successione di numeri rzionli che gli si vvicinno per eccesso:,4<,4<,44<< <<,4<,4<, - -

2 Autore: Enrico Mnfucci - /0/0 Quindi il numero rele può essere ssocito d un coppi di successioni di numeri rzionli che pprossimno vi vi sempre meglio il suo vlore (questo pproccio si deve l mtemtico Georg Cntor nell second metà dell 800) L esponente dell potenz si riduce quindi lle potenze con esponente rzionle viste in precedenz Inoltre, poiché non sempre è possibile eseguire potenze rzionli con bse negtiv o ugule zero, ssumimo che l bse, che indichimo ncor con, si mggiore di zero Non considerimo neppure l bse ugule d uno perché l funzione si riduce bnlmente d un rett Sotto queste condizioni il vlore che può ssumere l potenz è solo positivo L funzione esponenzile Definizione: si chim funzione esponenzile l funzione: y, con R { }, R, y R (con l simboi delle funzioni: f : R R ) D un punto di vist grfico le funzioni sono diverse second dell bse: si distinguono i due csi in cui l bse è mggiore di e compres tr 0 ed : y con 0 < < y con > - -

3 Autore: Enrico Mnfucci - /0/0 Osservzioni: L funzione esponenzile è crescente per > e decrescente per 0 < < Entrmbe hnno come dominio R e come codominio R Entrmbe intersecno l sse delle y nel punto (0,) mentre non intersecno l sse delle Andmento: > : per che tende l funzione tende 0, per che tende l funzione tende 0 < < : per che tende l funzione tende, per che tende l funzione tende 0 L funzione esponenzile cresce (decresce) molto rpidmente Questo termine è entrto nche nell uso quotidino del linguggio Dire d esempio l economi dell Cin h vuto un crescit esponenzile signific che è cresciut molto rpidmente in poco tempo Fccimo un esempio numerico: si dt l funzione y, per 0 si h y 0 04 Inoltre mggiore è l bse e più rpidmente l funzione cresce l crescere dell (vedi figur) - -

4 Autore: Enrico Mnfucci - /0/0 LOGARITMI Mentre gli esponenzili si bsno su conoscenze già cquisite (le potenze) i ritmi costituiscono oggetti nuovi, nche se, come vedremo, sono fortemente legti i primi Cenni storici I ritmi sono uno strumento mtemtico che nsce ufficilmente nel 64 in un oper dl titolo Mirifici rithmorum cnonis descriptio (Descrizione dell regol merviglios dei ritmi) di John Npier (Nepero) (0-67) Questi er un ricco proprietrio terriero scozzese che, oltre d mministrre i suoi possedimenti, scrivev di vri rgomenti, tr cui quelli di mtemtic Probbilmente l ide gli venne qulche nno prim qundo, cus di un nufrgio, fu costretto sbrcre nell isol dnese dove vev l osservtorio il grnde stronomo Tycho Brhe che gli spiegò le tecniche mtemtiche per eseguire i clcoli stronomici Lo stimolo fu dunque quello di pprontre uno strumento mtemtico che rendesse i clcoli stronomici più semplici Il termine ritmo fu ssegnto dllo stesso Nepero, unendo le due prole greche os (rgione o rpporto) e rithmos (numero) Nepero non fu l unico cui venne l ide dei ritmi Qulche nno prim nche un mtemtico svizzero Jobst Bürgi (-6) vev vuto indipendentemente l stess ide, m, vendo pubblicto i risultti solmente nel 60, l priorità dell scopert fu ttribuit Nepero E infine d ricordre il mtemtico inglese Henry Briggs (6-69) che discusse i risultti con Nepero e ne continuò l oper, crendo le prime tvole di vlori Pssimo or dre l definizione rigoros di ritmo Definizione: si dice che un numero c è il ritmo in bse di b se e solo se elevto c è ugule b In simboli: c b b c, con R { }, b R, c R L scrittur b si legge ritmo in bse di b b c si chim bse si chim rgomento si chim ritmo si chim simbolo di ritmo - 4 -

5 Autore: Enrico Mnfucci - /0/0 Osservzioni: L bse è un numero rele positivo escluso uno L rgomento è un numero rele positivo (zero escluso) Il risultto di un ritmo può essere un qulsisi numero rele Come si not dll definizione il ritmo di un numero si definisce trmite l operzione di potenz, espost sopr, quindi si inizi d evidenzire il legme tr le due operzioni L definizione può essere riformult dicendo: il ritmo è l esponente d dre ll bse per ottenere l rgomento Tle definizione non è tuttvi rigoros, in qunto non vi è trcci degli insiemi di pprtenenz dei vri numeri coinvolti Rimne però vlid perché è intuitiv e pone l ccento sul ftto che il ritmo è un esponente Logritmi in bse e (o nturli o neperini) e ritmi in bse 0 Poiché per clcolre il ritmo di un numero rele è necessrio conoscere nche l bse, che è su volt un numero rele come specificto nell definizione, bbimo il problem di trttre con infinite bsi Di queste infinite bsi, due sono quelle più uste: e (numero di nepero) e 0 l bse 0 non h bisogno di commenti, mentre v spiegto il numero e Il numero di nepero e è un numero irrzionle trscendente (ovvero non ottenibile come soluzione di un equzione lgebric coefficienti interi) che vle circ,78(h infinite cifre decimli non periodiche) In prtic è dell stess ntur di π I numeri irrzionli trscendenti si differenzino d quelli lgebrici (come d esempio ) che invece possono essere ottenuti come soluzioni d un equzione lgebric coefficienti interi ( si può ottenere d esempio dll equzione 0 ) L trscendenz di e fu dimostrt nel 87 dl mtemtico frncese Chrles Hermite (mentre quell di π nel 88 d Lindemnn) Il ritmo in bse e h un scrittur semplifict: non si scrive l bse e l posto di si scrive ln (d esempio ln ) Anche il ritmo in bse 0 h un scrittur semplifict: non si scrive l bse (d esempio 7) Quest è l convenzione più utilizzt, nche se lcuni testi riportno convenzioni leggermente diverse In tutti gli ltri csi l bse v specifict (esempi:, 4, 8 ) - -

6 Autore: Enrico Mnfucci - /0/0 Queste due bsi sono le uniche presenti sulle clcoltrici scientifiche Poiché il clcolo di un ritmo non è in generle semplice, ci vvlimo ppunto di clcoltrici o pc, m come si f clcolre il ritmo in un bse qulunque? Per fortun esiste un proprietà che permette di fre le conversioni nelle vrie bsi (descritt nell tbell delle proprietà), quindi se dobbimo clcolre un ritmo in bse, d esempio, lo convertimo in un delle due bsi e o 0 e lo clcolimo con gli strumenti di clcolo Qundo non esistevno le clcoltrici e i pc i clcoli venivno effettuti trmite le tvole dei ritmi (di cui bbimo prlto proposito di Briggs) che venivno compilte trmite un interminbile e tedioso lvoro d prte di mtemtici volonterosi Pssimo desso fre lcuni esempi di clcolo di ritmi, sfruttndo l definizione Voglimo d esempio clcolre il ritmo in bse di 8 Ci dobbimo domndre qul è l esponente d dre per ottenere 8? E rpido dire che è In simboli: 8 perché 0 perché 0 4 perché perché perché ln e n 4 perché e e in generle: n Non sono invece ritmi vlidi, poiché i numeri non sono negli insiemi di pprtenenz, i seguenti: 0,, 9 8 (bsi non vlide) 0, ( 6) (rgomenti non vlidi) I ritmi godono di lcune proprietà (teoremi che non dimostreremo), molte delle quli speculri quelle delle potenze Di seguito riportimo un qudro sinottico: - 6 -

7 Proprietà degli esponenzili (potenze) Esempio Proprietà dei ritmi Esempio 0 (con 0 ) : y y y y b c ( b c) 4 : 4 b c ( b : c) 4 8 ( 4 8) 8 9 ( 8: 9) y y ( ) ( ) y b b y ( b) b ( 8 ) 8 ( : b) : b ( 9 : 4) 9 : 4 b b (trsform un numero nell potenz di un ltro numero qulsisi) 7 7 (Attenzione! Le suddette proprietà vlgono nei rispettivi domini, così come indicto nell definizione) c c b b (formul del cmbi- mento di bse) b b (trsform un numero nel ritmo in un ltr bse qulsisi) 4 9 ln ln

8 L funzione ritmo (o ritmic) Definizione: si chim funzione ritmo l funzione: y, con R { }, R, y R (con l simboi delle funzioni: f : R R ) D un punto di vist grfico le funzioni sono diverse second dell bse: si distinguono i due csi in cui l bse è mggiore di e compres tr 0 ed : y con > y con 0 < < Osservzioni: L funzione ritmo è crescente per > e decrescente per 0 < < Entrmbe hnno come dominio R e come codominio R Entrmbe intersecno l sse delle nel punto (,0) mentre non intersecno l sse delle y Andmento: > : per che tende 0 (d destr) l funzione tende tende l funzione tende, per che - 8 -

9 0 < < : per che tende 0 (d destr) l funzione tende, per che tende l funzione tende L funzione esponenzile cresce (decresce) molto lentmente Se prendimo il ritmo in bse 0 bbimo, d esempio, , ovvero per lzrci di 6 unità sull sse delle y, dobbimo spostrci di un milione di unità sull sse delle Nonostnte questo l funzione cresce (qundo l bse è mggiore di ) sempre! Si il ritmo in bse e che quello in bse 0 pprtengono l cso > (line ross) A prità di bse l funzione esponenzile e quell ritmic sono un l funzione invers dell ltr e quindi simmetriche rispetto ll bisettrice del I e III qudrnte In figur sono riportte le funzioni e e ln - 9 -

10 EQUAZIONI/DISEQUAZIONI ESPONENZIALI/LOGARITMICHE Si definiscono equzioni/disequzioni esponenzili le equzioni/disequzioni nelle quli compre l incognit lmeno un volt ll esponente Esempi: 9, 8 Si definiscono equzioni/disequzioni ritmiche le equzioni/disequzioni nelle quli compre l incognit lmeno un volt ll rgomento del ritmo Esempi: 000, ( ) ( 7) L loro risoluzione viene effettut pssndo ttrverso gli esponenti, nel cso degli esponenzili e ttrverso gli rgomenti nel cso dei ritmi Questo pssggio f sì che quelle ottenute sino equzioni/disequzioni lgebriche che si snno risolvere Dt un equzione/disequzione esponenzile/ritmic i pssggi d fre sono i seguenti: ) ridurre l espressione ll form normle con le proprietà delle potenze/ritmi e con le regole lgebriche conosciute Per form normle si intende vere un unic stess bse i due membri Esempi:, ( ) (4 7), <, ( ) > (4 7) ) pssre gli esponenti/rgomenti tenendo conto che: nelle equzioni non c è bisogno di nessun ccorgimento b nelle disequzioni se l bse è compres tr 0 ed bisogn cmbire il verso dell disequzione (dipende dl ftto che in questo cso le funzioni sono decrescenti) ) nelle equzioni/disequzioni ritmiche vnno imposte le condizioni di esistenz degli rgomenti, che devono essere messi mggiori strettmente di 0 (quest condizione non è necessri per le esponenzili in qunto l esponente può essere qulsisi numero rele) 4) Risolvere le equzioni/disequzioni/sistemi così ottenuti con le usuli regole lgebriche Osservzione sull notzione: per indicre l potenz di un ritmo si possono usre due formlismi Esempio per l potenz second: oppure ( ) Nell sezione esercizi verrnno forniti esempi completi con risoluzione Di seguito è riportto un qudro rissuntivo dei pssi d eseguire nei quttro csi - 0 -

11 Equzioni e Disequzioni Esponenzili e Logritmiche EQUAZIONE ESPONENZIALE X X DISEQUAZIONE ESPONENZIALE > EQUAZIONE LOGARITMICA ( ) ( ) DISEQUAZIONE LOGARITMICA 6 ( ) < 6( 0) Si pss gli esponenti Si pss gli esponenti Poiché è mggiore di, il verso dell disequzione non cmbi > 4 7 > 4 Si pss gli esponenti Poiché 4 è compreso tr 0 e, il ver- Si pss gli rgomenti e si mette sistem con gli rgomenti, contenenti l incognit, mggiori di 0 > 0 > 0 Si pss gli rgomenti e si mette sistem con gli rgomenti, contenenti l incognit, mggiori di 0 Poiché 6 è mggiore di, il verso dell disequzione non cmbi < 0 > 0 0 > 0 ( ) < 8 8 () so dell disequzione cmbi 7 < Si pss gli rgomenti e si mette sistem con gli rgomenti, contenenti l incognit, mggiori di 0 Poiché 8 è compreso tr 0 e, il verso dell disequzione cmbi Ricpitolimo! Per risolvere un equzione/disequzione esponenzile/ritmic dobbimo: ridurre ciscun membro dell equzione/disequzione in un unic potenz/ritmo nell stess bse pssre gli esponenti/rgomenti tenedo conto che: nelle equzioni/disequzioni ritmiche bisogn mettere sistem gli rgomenti, contenenti l incognit, mggiori di 0 nelle disequzioni esponenzili/ritmiche, qundo si pss gli esponenti/rgomenti: o se l bse è mggiore di, non cmbire il verso dell disequzione o se l bse è compres tr 0 e cmbire il verso dell disequzione - - > > > 0 0

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