LIMITI - ESERCIZI SVOLTI

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1 LIMITI - ESERCIZI SVOLTI ) Verificare mediante la definizione di ite che a) 3 5) = b) = + ) c) 3n n + n+ = + d) 3+ = 3. ) Calcolare utilizzando i teoremi sull algebra dei iti a) 3 + ) b) + c) 0 + d) ± + e) π ± cos f) 5 + ). + 3) Calcolare i seguenti iti di forme indeterminate a) 3 ) b) 5+6 ± 4+4 c) 3 0 ± 5 + d) + 5/ + 5/ e) f) ) Calcolare i seguenti iti mediante razionalizzazione a) + ) + b) ) + c) + 0 d) ).

2 LIMITI - ESERCIZI SVOLTI 5) Calcolare mediante cambiamenti di variabili e 3 + a) ± e + 3 b) 4 + log c) log 6) Studiando il segno della funzione calcolare [t] = parte intera di t). ] ±[3 7) Limiti di successioni ) a) n + sinnπ) b) sinn!π) n + c) n + n n 3 n + )! n! ) d) n + n + )!n + ) 8) Calcolare i seguenti iti utilizzando i teoremi del confronto a) + + cos ) b) cos + c) cos + d) sin + 3+cos e) [] + f) log3+sin ) + 3 g) e esin ) h) e sin ) i) 0 sin sin l) 8 + sin ). 9) Calcolare usando iti notevoli a) c) cos 0 sin tan 0 b) d) log+4) 0 ) 0 tan sin e) 0 f) 3/ ) g) log ) h) i) ) + l) 0 3.

3 LIMITI - ESERCIZI SVOLTI 3 0) Calcolare usando iti notevoli a) c) sin ) + π π + tan b) d) ) π cos sinπ e) tan 0 tansin ) f) e + e 0 g) log cos ) 0 sin h) log+cos ) 0 i) log + ) log + )) + l) cos + π cos3)+. ) Calcolare i iti delle seguenti forme indeterminate di tipo esponenziale a) c) e) g) + + ) ) + ) sin log ) sin b) d) f) h) ) ) sin 0 +log e/3) ) sin. ) Calcolare usando iti notevoli a) c) e) ) sin log 0 + log b) d) f) 0 log + log + loglog + 3) 3 ) ).

4 4 LIMITI - ESERCIZI SVOLTI SOLUZIONI ) In questo esercizio utilizzeremo la definizione di ite. a) Per verificare che fissiamo ε > 0 e consideriamo la differenza 3 5) = f) l = 3 5) = 3 6 = 3. Affinché si abbia f) l < ε è sufficiente scegliere tale che 3 < ε ovvero < δ = ε 3. b) Per verificare che fissiamo R > 0 e consideriamo la condizione f) = ) = + ) > R. Essa equivale a ovvero ) < R < δ = R. c) Per verificare che n + fissato R > 0 consideriamo la disuguaglianza 3n n + = + 3n n + > R. Per n si ha sempre n + n + n = n e quindi 3n n + 3n n = 3 n. Se 3 n > R ovvero n > K = 3R segue a maggior ragione che 3n n + > R.

5 LIMITI - ESERCIZI SVOLTI 5 d) Per verificare che fissiamo ε > 0 e consideriamo f) l = 3 + = = 3. Affinché si abbia f) l < ε è sufficiente scegliere tale che 7 3 < ε ovvero > 7 3 con < 0 cioè < 7 3ε = R. ε ) In questo esercizio utilizzeremo i Teoremi sul ite di somma prodotto quoziente. a) Poiché 3 e tendono a per per il Teorema sul ite di una somma nel caso di iti infiniti e con lo stesso segno si ha 3 + ) =. b) Tenendo conto che tende a + per + applicando il Teorema sul ite del prodotto e tenendo conto del segno dei fattori segue che + = +. c) Per il Teorema sul ite del quoziente di funzioni a ite finito e denominatore non infinitesimo si ha 0 + =. d) Utilizzando lo stesso Teorema ma nel caso di denominatore a ite infinito si ha e) Per calcolare ± + = 0. π ± cos ricordiamo che il ite del reciproco di una funzione infinitesima non necessariamente esiste. In questo caso poiché cos > 0 in un intorno sinistro di π π cos = +. Al contrario poiché cos < 0 in un intorno destro di π π + cos =. si ha si ha

6 6 LIMITI - ESERCIZI SVOLTI f) Per calcolare basta osservare che ) 5 = + + = 0 ed applicare il Teorema sul ite della somma: il ite assegnato vale +. 3) I iti di questo esercizio sono forme indeterminate del tipo a) Il ite 3 ) è una forma indeterminata del tipo 0 0. Semplificando i fattori comuni a numeratore e denominatore si ha 3b) Analogamente 3 ) = ) + ) ) + + ) = = + ) + + ) = 3. b) ± = ± ) 3) ) = = ± 3) ) = dove si è tenuto conto del segno della funzione nell intorno sinistro e destro di 0 =. 3c) Con lo stesso metodo 0 ± Il primo fattore non ha ite ma Il secondo fattore ha ite finito = 0 ± 3 ) 3 + ) = = 0 ± 3 0 ± ± = ±. 3 0 ± 3 + =. Pertanto applicando il Teorema sul ite del prodotto si ha 0 ± =.

7 LIMITI - ESERCIZI SVOLTI 7 3d) Per calcolare 5/ + + 5/ conviene raccogliere a fattore comune la potenza di con esponente più alto che appare in numeratore e denominatore ovvero 5. Quindi si ha 5/ + 5/ + 5 ) + 5/ = = + 5/ 5 ) + 5 ) = = + 5 ) 3e) 3f) ) + = = ) = = ) + 3 ) = ) ) = = + 6 = ) Calcoliamo i seguenti iti mediante razionalizzazione. 4a) Applicando il prodotto notevole a b = a b)a b) abbiamo + + ) + + ) ) = = ) = ) = ) = 0 4b) Applicando il prodotto notevole a 3 b 3 = a b)a + ab + b ) abbiamo ) = ) ) + 3 ) = 0 4c) Operando come in 4a) abbiamo + 0 = ) = = ) =

8 8 LIMITI - ESERCIZI SVOLTI 4d) ) = + ) 4 + ) = 4 + ) = = = 0. 5) Calcoliamo i seguenti iti mediante cambiamenti di variabili. 5a) e 3 + ± e + Posto y = f) = e si ha che y = e + per + : il Teorema di cambiamento di variabili è quindi applicabile. Si ha quindi e e + = y 3 + y + y + = +. Se invece allora y = e 0: il Teorema di cambiamento di variabili è ancora applicabile perchè la funzione è continua per y = 0. Si ha pertanto gy) = y3 + y + e 3 + e + = y 3 + y 0 y + =. 5b) Posto y = si ha che y = + per e quindi = y + = y + 3y 4 + y = 9y 4 + y = 3 5c) 0 + log + log Posto y = f) = log si ha che y = log per 0 + ; pertanto 0 + log + log = y y + y =

9 LIMITI - ESERCIZI SVOLTI 9 = y dove si è tenuto conto che per y < 0 vale y = y. y + y = 6) Per calcolare ] ±[3 dove [t] = indica la parte intera di t conviene studiare il segno della funzione f) = 3 = ) + ) nell intorno di =. Si ha f) < 0 per in un intorno sinistro di = e f) > 0 in un intorno destro di =. Inoltre f è continua in =. Segue che { se δ < < [f)] = 0 se < < + δ per δ > 0 sufficientemente piccolo. Quindi ] = [3 ] = 0 +[3 7) Limiti di successioni 7a) Tenendo conto che sinnπ) = 0 per ogni n N si ha sinnπ) = 0 = 0. n + n + 7b) Analogamente al caso precedente poichè sinn!π) = 0 per ogni n N si ha sinn!π) = 0 = 0. n + n + 7c) Ricordando che si ha n + n n 3 n k ) ) = n! k!n k)! nk N ) = 3!n 3)! n +!n )! = 3 n + n = 0. 7d) n + n + )! n! n + )!n + ) = n + )n + )n! n! = n + n + )!n + ) n![n + )n + ) ] n + 3n + = = n + n!n + )n + ) n + n + 3n + =.

10 0 LIMITI - ESERCIZI SVOLTI 8) Per calcolare i seguenti iti utilizzeremo i teoremi del confronto. 8a) Per calcolare + cos ) + osserviamo che cos per ogni R. Poichè + ) = + applicando il Teorema del confronto otteniamo + cos ) = b) Per calcolare cos + osserviamo che cos per ogni R da cui segue cos 0. Poichè si ha che anche + = 0 cos = c) Il ite cos + non esiste. Infatti posto f) = cos n = π + nπ e n = nπ si ha f n ) = 0 0 f n ) = nπ +. 8d) Vogliamo calcolare sin cos. Sapendo che sin cos deduciamo che per ogni > /3. Poichè sin cos = 3 = dal Teorema del confronto deduciamo che anche sin cos = 3.

11 LIMITI - ESERCIZI SVOLTI 8e) Per calcolare [] + ricordiamo che < [] per ogni R. Pertanto < [] 0. Applicando il Teorema del confronto segue subito che [] + =. 8f) Per calcolare ln3 + sin) + 3 osserviamo che essendo sin per ogni R vale 3 + sin) 4 R. Essendo ft) = log t una funzione monotona crescente si ha inoltre log log3 + sin ) log 4 R. Pertanto log ln3 + sin ) 3 3 log 4 3 > 0 da cui per il Teorema del confronto segue che ln3 + sin ) + 3 = 0. 8g) Il ite non esiste. Infatti posto e esin ) f) = 5 + e esin ) e scelte le successioni n = π + nπ n = nπ si ha f n ) 0 mentre n + f n ) = = y 5y e ) = +. y + y +

12 LIMITI - ESERCIZI SVOLTI 8h) Per calcolare osserviamo che e sin ) e sin e R da cui Poichè 5 + e sin ) 5 e ) > applicando il Teorema del confronto si ha 5 e ) = e sin ) = +. 8i) Per calcolare si può osservare che da cui Poichè anche 8l) Per calcolare osserviamo che da cui 0 sinsin sin 0 sin sin sin 0. sin = sinsin = sin ) sin sin ) 8 < 0. Applicando il Teorema del confronto si ha quindi che 8 + sin ) =.

13 LIMITI - ESERCIZI SVOLTI 3 9) Calcoliamo i iti seguenti utilizzando i iti notevoli. 9a) 9b) 9c) 9d) 9e) cos cos = 0 0 / = 0 = 0. ln + 4) ln + 4) = 4 = ln + y) = 4 = 4 y 0 y dove abbiamo operato il cambiamento di variabile 4 = y. sin tan sin 0 = 0 ) = cos sin = 0 cos cos = 0. 0 tan ) sin tan = sin 0 sintan = sin tan = 0 sin cos = 0 dove si è tenuto conto del risultato del ite 9c). e log = log = 0 0 log e y = log = log y 0 y dove si è operato il cambiamento di variabile log = y. 9f) dove si è posto / = y. 3y 3/ ) = = log 3 y 0 y 9g) Per calcolare si può porre = y ed ottenere log ) y = y 0 log y+ ) = y/ y 0 log + y ) =.

14 4 LIMITI - ESERCIZI SVOLTI 9h) Per calcolare 9i) poniamo = y. Abbiamo pertanto Ponendo / = y si ha = y 0 y + y = y y + ) / ) = = y 0 y = ) = ) = = y y y y y = y 0 y 4/5 y y y = 0. 9l) 3 0 = ) 3 = )) = 0 = log 3. 0) Calcoliamo i seguenti iti usando i iti notevoli. 0a) Per calcolare poniamo / = y ed abbiamo 0b) Per calcolare poniamo = y ed abbiamo ) cos π sin sin = sin y =. y 0 y = y 0 sin = y 0 ) cos π ) cos π y + ) y + ) π y y = y 0 y y + = π = π. ) sin π y = y +

15 LIMITI - ESERCIZI SVOLTI 5 0c) Per calcolare poniamo + π/ = y e abbiamo 0d) Per calcolare + π ) tan π + + π ) tan = π + y tan y + π ) = y 0+ y y 0+ tan y = +. poniamo = y e abbiamo sin π sin π = sinπy + π) sin πy = y 0 y y 0 y = π. 0e) 0f) 0 tan tansin ) = tan 0 sin Ma ponendo sin = y per il secondo ite si ha Complessivamente si ottiene che 0 sin tansin ) = 0 sin tansin ) = y 0 0 tan tansin ) = 0. y tan y =. sin cos 0 e + e ee + ) e + ) = = e sin tansin ). +. Per calcolare il ite del primo fattore possiamo porre + = y e abbiamo e + ) e y = =. 0 + y 0 y Per calcolare il ite del secondo razionalizzando otteniamo + = = Complessivamente applicando il Teorema sul ite del prodotto abbiamo quindi che Pertanto e + + e 0 + e + e = e 0. = e.

16 6 LIMITI - ESERCIZI SVOLTI 0g) ln cos ) ln + cos )) 0 sin = 0 cos ) cos ) sin. Osserviamo che il primo fattore ha ite in quanto con la sostituzione y = cos ci si riconduce ad un ite notevole: Calcoliamo il ite del secondo fattore ln + cos )) ln + y) = =. 0 cos ) y 0 y Pertanto cos ) cos ) 0 sin = 0 sin =. ln cos ) 0 sin =. 0h) ln + cos ) ln = 0 0 cos cos + ) ) = 0 ) log cos + log + ) cos. Possiamo calcolare separatamente il ite di ciascun addendo. Per il primo si ha log cos log + cos ) = 0 0 cos cos. Il primo fattore ha ite perché ponendo y = cos si riconduce il calcolo ad un ite notevole: Per il secondo fattore si ha Pertanto Calcoliamo ora log + cos ) log + y) = =. 0 cos y 0 y cos = 0. 0 log cos = 0. 0 ) log + cos = 0 log 0 + cos /cos ) cos. Il primo fattore ha ite potendosi ricondurre ancora al ite notevole log + y) = y 0 y ponendo y = /cos. Il secondo fattore tende a. Pertanto ) log + cos =. 0

17 LIMITI - ESERCIZI SVOLTI 7 Complessivamente concludiamo che ln + cos ) =. 0 0i) ln + ) ln + )) = ln + )) ln + ))) + + Tenendo conto che logab) = log a + log b se ab > 0 si ha = ln + log + ) ln + )) = + log + ) log + )). + Operando la sostituzione / = y si ha log + ) log + )) log + y) = + y 0 y log + y) ) = =. y 0l) Per calcolare poniamo π = y ed abbiamo π cos + cos3) + y 0 cosy + π) + cos3y + 3π) + = y 0 cos y cos3y) = cos y y 0 y y cos3y) Il primo fattore ha ite. Per calcolare il ite del secondo fattore possiamo porre 3y = z ed abbiamo y 0 y cos3y) = z 0 Complessivamente si ha dunque π z /9 cos z = 9 z 0 cos + cos3) + = 9. z cos z = 9. ) Forme indeterminate esponenziali a) + [ = + + ) ] = y + ) = e y e. dove si è posto y = + )

18 8 LIMITI - ESERCIZI SVOLTI b) Calcoliamo Poichè + ) [ = + ) ] = e + ) segue che esiste R > 0 tale che per > R. Pertanto si ha anche + ) > [ + ) ] > per > R. Applicando ora il Teorema del confronto si ottiene che + ) = +. + c) Calcoliamo Poichè + ) [ = + ) ] + = e ) segue che per ogni ε > 0 in particolare per 0 < ε < e) esiste R > 0 tale che e ε < + ) < e + ε per ogni < R. Pertanto si ha anche e ε) < [ + ) ] < e + ε) per < R. Applicando ora il Teorema del confronto si ottiene che + ) = 0. d) 0 = + 0 e log = + perché log =

19 LIMITI - ESERCIZI SVOLTI 9 e) perché ) sin = esin log ) = + 0 e sinlog = + sin sin log = log = 0 = f) Calcoliamo il ite dell esponente ) sin = 0 +ln 0 esin loglog ). + sin sin 0 loglog ) = loglog ) log log = 0 + sin loglog ) 0 + log 0 + log. Il primo ite vale ed il terzo vale 0 iti notevoli). Per il calcolo del secondo ponendo y = log si ha Pertanto e quindi loglog ) log y 0 + log = y + y sin 0 loglog ) = 0 + = 0. ) sin = 0 +ln 0 esin loglog ) =. + g) Con un procedimento analogo a quello dell esercizio precedente si trova ln ) sin = 0 esin log+log ) = + h) Riscriviamo e 3 ) sin = 3 log+e/ ) esin. 0 + log + e /3 ) = loge /3 + e /3 )) = 3 log e + log + e /3 ) Calcoliamo ora il ite dell esponente I iti dei due addendi sono sin ) sin log e/3 ) = sin log + e /3 ). sin sin = 0 + = + sin log e /3 ) = 0.

20 0 LIMITI - ESERCIZI SVOLTI Pertanto e sin log e/3 ) = e 3 ) sin = +. ) Calcoliamo i seguenti iti. a) b) c) ) sin ln 0 + sin = sinlog = log = 0 = ln = log ) = 0. ln 3 log ) 3 + = = 0. + /3 d) dove si è posto log = y. + log log log = y + y log y = + e) f) + = + e log e log = + elog log) = ) 3 ) ) = ) ) = +.