1.3. Logaritmi ed esponenziali

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1 1.3. Logaritmi ed esponenziali 1. Rappresentazione sugli assi cartesiani 2. Relazione 3. Definizione di funzione 4. La funzione esponenziale 5. Il logaritmo 6. La funzione logaritma 1-3 1

2 Rappresentazione sugli assi Sia data una retta r, si fissi: 1) Un verso positivo di percorrenza 2) Un punto O detto Origine 3) Un segmento u detto unità di misura O u R R + r 1-3 2

3 ASSE DELLE ASCISSE Preso un punto P sull asse delle ascisse, a P si può sempre associare x P R, ovvero la misura del segmento OP, presa col segno + (-) se P appartiene al semiasse positivo (negativo) x P è chiamata ascissa di P Viceversa, x R! P r : x= x P (per ogni x esiste un solo P appartenente alla retta r tale che x è uguale ad x P ) Esiste una corrispondenza biunivoca tra numeri reali e punti della retta

4 COORDINATE CARTESIANE NEL PIANO Date 2 rette r 1 e r 2 non parallele ed incidenti nel punto O, si fissi su ciascuna: 1) Un verso positivo di percorrenza 2) Una unità di misura Si ottiene così un sistema di riferimento cartesiano Ortogonale / obliquo Monometrico / dimetrico 1-3 4

5 COORDINATE CARTESIANE NEL PIANO Si dimostra che ad ogni punto P del piano si può associare una coppia ordinata P=(x 1,y 1 ) II. P I III x 1 IV 1-3 5

6 ESEMPIO P=(-2,3) P=(2,1) P=(-2,-1) P=(2,-2) 1-3 6

7 RELAZIONE Siano X e Y due insiemi non vuoti si chiama relazione tra X ed Y un qualunque sottoinsieme del prodotto cartesiano: R X x Y = {(x,y): x X, y Y} L insieme costituito dai primi (secondi) elementi delle coppie viene chiamato dominio (codomino) 1-3 7

8 FUNZIONE Una relazione è una funzione se comunque si prenda un elemento x di X ad esso viene associato uno e un solo elemento y di Y. Noi consideriamo X, Y R, cioè funzioni reali di una variabile reale

9 FUNZIONE ESPONENZIALE Si chiama funzione esponenziale in base a, a R + \ {1}, la funzione f : R R + : y=f(x)=a x N.B. per a = 1 avremmo il caso banale f(x)=1 x y 1 x 1-3 9

10 CASO a > 1 f(x)=e x e=2.7 (numero di Nepero) y x y e 2 e /e -2 1/e /e 1/e x 1 e 2 e

11 CASO a > 1: confronto tra basi diverse y y = e x y = 2 x x y y = / x -2 1/

12 CASO a > 1 Dominio R Codominio R + Passa per il punto (0,1) Monotona crescente Se la base aumenta è più ripida

13 CASO a < 1 f(x)=(1/e) x y x y 0 1 e 2-1 e -2 1/e 1/e e x -2 e 2 1 1/e 2 1/e

14 CASO a < 1 confronto tra basi diverse y y = (1/2) x x y y = (1/2) x y = (1/e) x x /2 2 1/

15 CASO a < 1 Dominio R Codominio R + Passa per (0,1) Monotona decrescente Se la base aumenta è meno ripida

16 LOGARITMI Siano a un numero reale positivo, con a 1, e b un numero reale positivo, allora esiste un numero reale c tale che: a c = b Tale numero c si dice logaritmo in base a di b e si indica con il simbolo: c=log a b NB loga b b loga a = b a = b

17 ESEMPI log 2 8 = 3 log 2 2 = 1 log 5 1 = 0 log (1/3) 3 = -1 log 3 81 = 4 log = 4 log 2 (1/4) =

18 Esercizi Determinare la base: log x 7 = -1 x = 1/7 log x 49 = 2 x = 7 log x (1/1000) = -3 x = 10 log x (4 1/3 ) = -2/3 x = ½

19 BASI DEL LOGARITMO Le due basi più usate sono la base 10 e la base e (dove e è il numero di Nepero, e = 2,7182.) Per indicare il logaritmo in base 10 si usa il simbolo Log Per indicare il logaritmo in base e si usa il simbolo ln

20 FORMULA PER IL CAMBIAMENTO DI BASE Supponiamo di voler passare dalla base a alla base d, log ( c) a = log d ( c) log ( a) d a,d R + \ {1} c R

21 ESEMPI l og (5) 3 = Log(5) Log(3) [1] 2 ln( e ) 2 l og 4( e ) = = ln(4) ln(4) 2 [2] l og (10) 3 Log(10) 1 = = Log(3) Log(3) [3]

22 PROPRIETA DEI LOGARITMI PROPRIETA DEL PRODOTTO PROPRIETA DEL QUOZIENTE PROPRIETA DELLA POTENZA

23 PROPRIETA DEL PRODOTTO Il logaritmo del prodotto è uguale alla somma dei logaritmi: log a (x 1 x 2 )= log a x 1 + log a x 2 a R + \ {1} x 1, x 2 R + Esempio: log a (3 4 )= log a 3 + log a

24 PROPRIETA DEL QUOZIENTE Il logaritmo del quoziente è uguale alla differenza dei logaritmi del dividendo e del divisore: log a (x 1 : x 2 )= log a x 1 - log a x 2 a R + \ {1} x 1, x 2 R + Esempio: log a (8 : 3 )= log a 8 - log a

25 PROPRIETA DELLA POTENZA Il logaritmo di una potenza è uguale al prodotto dell esponente per il logaritmo della base: log a (x α )= αlog a x a R + \ {1} x R + α R Esempio: log a (2 3 )= 3 log a

26 ESERCIZIO 1+3 Log (a) + ½ [Log (a+b) - Log (b)] + 1/9 [Log (a) - Log (a+b)] = Log (10) +Log (a 3 ) + [Log (a+b) ½ - Log (b) ½ ] + [Log (a) 1/9 - Log (a+b) 1/9 ] = Log{10 a 3 [(a+b) ½ : (b) ½ ] [(a) 1/9 : (a+b) 1/9 ]}

27 FUNZIONE LOGARITMICA Si chiama funzione logaritmica in base a, a R + \ {1}, la funzione f : R + R: f(x)=log a x x > 0 E la funzione inversa della funzione esponenziale: x = a y y = log a x Il log a x è l esponente che dobbiamo dare ad a per ottenere x

28 Caso a > 1 y=ln(x) y x y /e /e 1 e e 2 x e 1 e

29 Caso a > 1 confronto tra basi diverse y = log 2 x 2 1 1/e y = lnx -1 e e

30 Caso a > 1 Dominio R + Codominio R Passa per (1,0) Monotona crescente Se la base aumenta è meno ripida

31 Caso a < 1 y=log (1/e) x y x y e 1/e 1 e /e 1 x

32 Caso a < 1 confronto tra basi diverse y y = log (1/2) (x) 1 e -1 1/e x y = log (1/e) (x)

33 Caso a < 1 Dominio R + Codominio R Passa per (1,0) Monotona decrescente Se la base aumenta è più ripida

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