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- Luciano Pellegrini
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1 Unverstà del Pemonte Orentale Corso d Laurea n Botecnologa Corso d Statstca Medca Correlazone Regressone Lneare Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce Campo d applcazone Anals della relazone tra due varabl contnue Es: relazone tra altezza e peso Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce
2 Campo d applcazone Le varabl sono assocate? -> correlazone Come vara l valore d una varable n conseguenza del varare d un altra varable? -> regressone Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce 3 Correlazone Dato un nseme d osservazon defnte da due varabl contnue, valutamo la forza dell assocazone tra le due varabl dsegnando l dagramma d dspersone e calcolando l coeffcente d correlazone Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce 4
3 Il dagramma d dspersone s dsegna rportando valor delle osservazon su un sstema d ass cartesan, n cu l asse x rappresenta una delle due varabl e l asse y l altra varable Il dagramma consente d collocare ogn osservazone nello spazo defnto da valor possbl delle due varabl Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce Relazone alla nascta tra crconferenza cranca e lunghezza 36, 34, 3, crconferenza cranca 3, 8, 6, 4,,, lunghezza Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce 6
4 La forma della nuvola d punt così ottenuta consente una valutazone vsva del grado d assocazone tra le due varabl Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce 36, Relazone tra crconferenza cranca alla nascta ed età materna 34, 3, crconferenza cranca 3, 8, 6, 4,,, età materna Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce 8
5 Relazone alla nascta tra crconferenza cranca e lunghezza 36, 34, 3, crconferenza cranca 3, 8, 6, 4,,, lunghezza Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce 9 Il coeffcente d correlazone d Pearson (r) consente la valutazone formale del grado d assocazone L ntervallo de valor possbl d r è: - <= r <= Se r= o r=- tutt punt gaccono su una retta Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce
6 36, 34, Relazone tra crconferenza cranca alla nascta ed età materna r =, 3, crconferenza cranca 3, 8, 6, 4,,, età materna Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce Relazone alla nascta tra crconferenza cranca e lunghezza 36, 34, r =, 3, crconferenza cranca 3, 8, 6, 4,,, lunghezza Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce
7 La formula del coeffcente d correlazone d Pearson (r) r = n n = ( x x)( y y) n ( x x) ( y y) = = Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce 3 Relazone tra concentrazone plasmatca colesterolo e trglcerd Colesterolo Trglcerd (x) (y) 3,4 6,4 3, 6,8 3,9, 4 3, 6, 3,6 6,36 6,3,6,,48 8,8,6 9 8,9 9,4,3 8,4 mede:,669 6,4 Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce 4
8 Relazone tra concentrazone plasmatca d colesterolo e trglcerd trglcerd colesterolo Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce Relazone tra concentrazone plasmatca colesterolo e trglcerd Colesterolo Trglcerd (x) x y y 3,4 6,4 -,49 -,493 3, 6,8 -,49 -,3 3,9, -,99 -,33 4 3, 6, -,39 -,63 3,6 6,36 -,39 -,33 6,3,6 -,99 -,63,,48 -,89 -,3 8,8,6,94 -,63 9 8,9 9,4,88,66,3 8,4 6,39,66 mede:,669 6,4 ( ) (y) ( ) x Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce 6
9 Relazone tra concentrazone plasmatca d colesterolo e trglcerd ( ) (y) ( ) x y ( x ) ( y ) Colesterolo Trglcerd x (x) x y x x y y 3,4 6,4 -,49 -,493,8 6,4668,4349 3, 6,8 -,49 -,3,33,838,389,9, -,99 -,33 4,364 8,68,389 3, 6, -,39 -,63,339 4,3,3889 3,6 6,36 -,39 -,33,834,3,399,3,6 -,99 -,63,6363,388,9969,,48 -,89 -,3,36,6448,9,8,6,94 -,63 -,6383 3,648,9969 8,9 9,4,88,66,6836 8,36,889,3 8,4 6,39,66,639 4,84488,8889 * ( ) ( ) Sommatore: 6,44 83,4389 6,4649 r=,44 Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce Esercz Correlazone Pag 34 n Pag 34 n Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce 8
10 Regressone Stma della varazone meda d una varable n conseguenza della varazone untara d un altra varable Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce 9 Varable ndpendente -> causa -> (sulle ascsse) Varable dpendente -> effetto -> (sulle ordnate) Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce
11 effetto y V d p e n d e n t e Var ndpendente x causa Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce Obettvo dell anals d regressone: Indvduare la retta che meglo predce l valore d y (varable dpendente), noto l valore d x (varable ndpendente) y=a+bx Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce
12 y=a+bx a -> ntercetta b -> pendenza Come stmamo valor de due coeffcent? Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce 3 Il valore atteso d x è la sua meda y Meda d x x Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce 4
13 Il valore atteso d y è la sua meda Meda d y x Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce La retta che meglo predce y x passa per la meda d x e d y y Meda d x e meda d y x Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce 6
14 Per un punto passano nfnte rette! Quale retta sceglamo? Con quale crtero? y x Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce y x Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce 8
15 Resduo (o scarto) = valore y_osservato valore y_predetto La retta mglore mnmzza la somma de quadrat de resdu Metodo detto de mnm quadrat y valore y_osservato x valore y_predetto Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce 9 = ( x x)( y y) ( ) x b x Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce 3
16 a = y b x Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce 3 Relazone tra concentrazone plasmatca d colesterolo e trglcerd Colesterolo Trglcerd (x) ( x) (y) ( y) x y ( x x) ( y y) * ( x x ) 3,4 6,4 -,9 -,3,89 4,9396 3, 6,8 -,69 -,9,639 4,46 3,9, -,9 -, 3,4849, , 6, -,899 -,36,6839 3,66 3,6 6,36 -,999 -,,889 3,996 6,3,6 -,39 -,8,89,888,,48 -,69 -,99,6389,336 8,8,6,8 -,8 -,4698 4,66 9 8,9 9,4 3,,99 9,449 9,464,3 8,4 6,63,99,999 43,96 mede:,669 6,4 6,44 83,4389 b=,363 a= 4, Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce 3
17 varazone del lvello d trglcerd con l lvello d colesterolo t rg lcerd (y ) colesterolo (x) Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce 33 varazone del lvello d trglcerd con l lvello d colesterolo t rg lcerd (y ) b =, colesterolo (x) Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce 34
18 varazone del lvello d trglcerd con l lvello d colesterolo t rg lcerd (y ) a=4, colesterolo (x) Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce 3 varazone del lvello d trglcerd con l lvello d colesterolo trglcerd=4,6 +,3* colesterolo t rg lcerd (y ) colesterolo (x) Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce 36
19 a= n b= Formule abbrevate ( y)( ) ( y)( x y) x n( ) ( ) x x ( x y) ( )( y) x n( ) ( ) x x Queste formule sono pù convenent per l calcolo a mano S basano sulle formule abbrevate per l calcolo della varanza Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce 3 D qu Requst dell anals d regressone Y è una varable casuale Omoscedastctà (omogenetà della varanza d y x) Dstrbuzone normale d y x Lneartà della relazone tra x ed y Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce 38
20 In questo esempo abbamo dat camponat da una popolazone n cu le tre assunzon sono soddsfatte Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce 39 Varabltà della retta d regressone y è una varable casuale samo nteressat a valutare la varabltà d y, non quella d x x d solto non è una varable casuale Il rcercatore può sceglere soggett con valor della x pù adatt per lo studo Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce 4
21 Varanza ntorno alla retta d regressone (stma camponara) s ( ) y yˆ = n Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce 4 Varanza ntorno alla retta d regressone (stma camponara) s ( ) y yˆ = n Valor predett (o attes) dall applcazone de coeffcent a e b Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce 4
22 Varanza ntorno alla retta d regressone (stma camponara) s ( ) y yˆ = n Valor osservat Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce 43 Varanza ntorno alla retta d regressone (stma camponara) y y ˆ = resdu Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce 44
23 Resduo (o scarto) = valore y_osservato valore y_predetto Varanza = scart ^ / gl y valore y_osservato resduo o scarto valore y_predetto x Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce 4 s ( ) y yˆ = n y ˆ = a + bx Sosttusco: s ( y a bx ) = n Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce 46
24 Relazone tra concentrazone plasmatca d colesterolo e trglcerd Colesterolo Trglcerd att(y) y-att(y) (y-att(y))^ (x) (y) 3,4 6,4,696,443,49 3, 6,8,88,39849,8 3,9,,6 -,4,63 4 3, 6,,8663,4363,84 3,6 6,36,8386,43,48 6,3,6 6, ,68694,488,,48 6,94 -,8, ,8,6,6396 -,49396,39 9 8,9 9,4,4664,9336 3,344,3 8,4 8,84 -,84,369 somma degl scart^ 8, b=,363 s(b)^=,346 a= 4, Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce 4 Omoscedastctà: la varanza d y è costante per tutto l ntervallo x E un requsto per la corretta applcazone della regressone lneare (voltre) Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce 48
25 Intervallo d Confdenza del coeffcente d regressone L ntervallo d confdenza s calcola nel modo consueto (v lezone precedente) t ha (n-) grad d lbertà ed l valore è scelto n modo corrspondente all errore d I tpo, con test a code CI = b ± t SE(b) crt Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce 49 Intervallo d confdenza d b IC9% = b ± tgl,, * ES( b) ES( b) = s ( x x) Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce
26 Colesterolo (x) Trglcerd (y) ( x) x att(y) y-att(y) (y-att(y))^ 3,4 6,4 4,9396,696,443,49 3, 6,8 4,46,88,39849,8 3,9,,3996,6 -,4,63 4 3, 6, 3,66,8663,4363,84 3,6 6,36 3,996,8386,43,48 6,3,6,888 6, ,68694,488,,48,336 6,94 -,8, ,8,6 4,66,6396 -,49396,39 9 8,9 9,4 9,464,4664,9336 3,344,3 8,4 43,96 8,84 -,84,369 83,4389 somma degl scart^ 8, b=,363 s(b)^=,346 a= 4, ES(b)=,996 Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce Errore standard d b ES( b) = s ( x x) L errore standard d b s rduce, a partà d s, quando la varabltà d x è maggore! Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce
27 Tests t per l coeffcente d regressone t = dstanza tra l valore d b stmato (b) e quello prevsto dall potes nulla (ß, d solto H: ß =), n untà d errore standard d b (SE(b)) t = b β SE(b) Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce 3 Colesterolo (x) Trglcerd (y) ( x) x att(y) y-att(y) (y-att(y))^ 3,4 6,4 4,9396,696,443,49 3, 6,8 4,46,88,39849,8 3,9,,3996,6 -,4,63 4 3, 6, 3,66,8663,4363,84 3,6 6,36 3,996,8386,43,48 6,3,6,888 6, ,68694,488,,48,336 6,94 -,8, ,8,6 4,66,6396 -,49396,39 9 8,9 9,4 9,464,4664,9336 3,344,3 8,4 43,96 8,84 -,84,369 83,4389 somma degl scart^ 8, b=,363 s(b)^=,346 a= 4, ES(b)=,996 IC(9%)_b=, ,4 Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce 4
28 varazone del lvello d trglcerd con l lvello d colesterolo trg lcerd (y) colesterolo (x) trglcerd=4,6 +,3* colesterolo IC(9%)_b=,6 -, Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce Relazone alla nascta tra crconferenza cranca e lunghezza crconferenza cranca 36, 34, 3, 3, 8, 6, 4, a=8, b=, ES(b)=, (IC 9%_b:,4 -,6) y= 8, +,x,, 8, lunghezza Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce 6
29 Valore d y predetto dalla retta d regressone data y=a+bx, dopo aver rcavato a e b possamo predre l valore atteso d y, corrspondente ad un dato valore d x Il calcolo s effettua sosttuendo l valore d x nella formula, not a e b e rsolvendo l equazone Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce Valore d y predetto dalla retta d regressone Es l valore d crconferenza cranca predetto per un bambno d lunghezza 4 cm è ŷ =8,+,3 * x ŷ =8,+,3 * 4 ŷ =9, Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce 8
30 Intervallo d confdenza de valor predett PI ( x x) ( x x) = yˆ ± t s + + gl, α n Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce 9 Relazone alla nascta tra crconferenza cranca e lunghezza Es l valore d crconferenza cranca predetto per un bambno d lunghezza 4 cm è ŷ =9, ŷ IC( )=,4-3,63 Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce 6
31 Intervallo d confdenza de valor predett PI ( x x) ( x x) = yˆ ± t s + + gl, α n La predzone ha un errore maggore allontanandos dalla meda d x La predzone ha un errore mnore con un ampa varabltà d x Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce 6 Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce 6
32 atteso_y Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce 63 Cautele nella predzone La predzone non è valda fuor dell ntervallo osservato d x La predzone è pù ncerta agl estrem della dstrbuzone d x Per mglorare la precsone della predzone debbo aumentare la somma de quadrat degl scart (devanza) d x Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce 64
33 Outlers ed osservazon nfluent Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce 6 Relazone alla nascta tra crconferenza cranca e lunghezza Ho due outlers, ndcat come: e 36, 34, 3, 3, crconferenza cranca 8, 6, 4,,, 8, lunghezza Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce 66
34 Relazone alla nascta tra crconferenza cranca e lunghezza Se escludo outler 36, 34, 3, 3, crconferenza cranca 8, 6, 4,,, 8, lunghezza Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce 6 Relazone alla nascta tra crconferenza cranca e lunghezza 36, 34, Se escludo outlers e 3, crconferenza cranca 3, 8, 6, 4,,, 8, lunghezza Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce 68
35 Relazone alla nascta tra crconferenza cranca e lunghezza Tutt dat: a=8, b=, Escluso outler : a=4,9 b=,6 Esclus outler e : a=4,46 b=,6 Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce 69 Valutazone del modello R : proporzone della varanza che è spegata dal modello d regressone = (coeffcente d correlazone) ^ Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce
36 varazone del lvello d trglcerd con l lvello d colesterolo trglcerd=4,6 +,3* colesterolo r =,6 R =, t rg lcerd (y ) colesterolo (x) Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce Verfca de modell Omoscedastctà (omogenetà della varanza) Dstrbuzone normale degl error Lneartà Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce
37 Verfca de modell Omoscedastctà (omogenetà della varanza) Dstrbzone normale degl error Lneartà Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce 3 Omoscedastctà (omogenetà della varanza) Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce 4
38 Verfca delle assunzon del modello La verfca delle assunzon del modello vene condotta esamnando la dstrbuzone de resdu Se la varanza è costante per tutta la dstrbuzone della x,anche resdu saranno dstrbut n modo unforme Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce Resduo (o scarto) = valore y_osservato valore y_predetto y valore y_osservato valore y_predetto x Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce 6
39 Verfca delle assunzon del modello Dstrbuzone unforme de resdu Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce Dstrbuzone unforme de resdu Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce 8
40 Dstrbuzone non unforme de resdu Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce 9 Dstrbuzone non unforme de resdu Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce 8
41 Verfca de modell Omoscedastctà (omogenetà della varanza) Dstrbuzone normale degl error Lneartà Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce 8 Dstrbuzone normale de resdu (error) Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce 8
42 Dstrbuzone non normale de resdu (error) Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce 83 Dstrbuzone non normale de resdu (error) Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce 84
43 Verfca de modell Omoscedastctà (omogenetà della varanza) Dstrbzone normale degl error Lneartà Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce 8 Perchè parlamo d regressone lneare? La varazone lneare è spesso una spegazone adeguata Varazon non lnear dventano tal dopo una trasformazone matematca d una delle varabl La varazone lneare è un punto d partenza Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce 86
44 Non-lneartà Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce 8 Non-lneartà Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce 88
45 Non-lneartà Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce 89 Trasformazon normalzzant e lnearzzant Radce quadrata Logartmo Inversa (meglo se ulterormente moltplcata per -) Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce 9
46 Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce 9 Inversa negatva Log Radce Dat orgnal Dat trasformat Trasformazon normalzzant e lnearzzant Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce 9 FREQUENCY CORPUSCO MI DPOI NT FREQUENCY 3 4 L_c MIDPOINT
47 Esercz regressone Pag36 n Pag36 n 3 Pag36 n 4 Pag36 n 6 Pag36 n Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce 93
Università del Piemonte Orientale Corso di Laurea in Medicina e Chirurgia. Corso di Statistica Medica. Correlazione. Regressione Lineare
Università del Piemonte Orientale Corso di Laurea in Medicina e Chirurgia Corso di Statistica Medica Correlazione Regressione Lineare Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione
La Regressione X Variabile indipendente o esplicativa. La regressione. La Regressione. Y Variabile dipendente
Unverstà d Macerata Dpartmento d Scenze Poltche, della Comuncazone e delle Relaz. Internazonal La Regressone Varable ndpendente o esplcatva Prezzo n () () 1 1 Varable dpendente 15 1 1 1 5 5 6 6 61 6 1
Correlazione lineare
Correlazone lneare Varable dpendente Mortaltà per crros 50 45 40 35 30 5 0 15 10 5 0 0 5 10 15 0 5 30 Consumo d alcool Varable ndpendente Metodologa per l anals de dat spermental L anals d stud con varabl
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