Le Condizioni per l Equilibrio

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1 Le Condizioni per Equiibrio La Statica studia e condizioni di equiibrio dei corpi ovvero e eggi cui azioni e reazioni devono soddisfare affinché aa struttura sia garantita inamovibiità. Le strutture, soggette a carichi statici, devono rimanere immobii. Le condizioni di equiibrio devono riguardare a struttura sia nea sua gobaità, equiibrio esterno, sia nee singoe parti, equiibrio interno. Nea prima parte de corso si è affrontato a statica dei corpi rigidi e dee travi deformabii. Si sono vautate per e travi eastiche: condizioni di equiibrio, compatibiità tra spostamenti e deformazioni, egame eastico tra deformazioni e soecitazioni. 1

2 Le Condizioni per Equiibrio I primo obiettivo di un progettista è di determinare e condizioni di equiibrio senza i quae a struttura non può chiamarsi tae. Si ricorda però che a funzionaità dea struttura dipende anche da entità dee deformazioni, I cacoo dee reazioni vincoari e dee caratteristiche dea soecitazioni sono state vautate ne ipotesi che gi spostamenti e e deformazioni dea struttura siano piccoissimi rispetto ae sue dimensioni, cioè ne caso di spostamenti infinitesimi. E di fondamentae importanza che a condizione di equiibrio sia Stabie La stabiità di uno o più corpi rigidi riguarda i pericoo di spostamenti o di rotazione inammissibii dei corpi o de intera struttura.

3 Equiibrio instabie per vincoi ma disposti Gi eementi sono ma disposti (inefficaci) per cui a struttura sotto particoari condizioni di carico può risutare abie 3

4 Instabiità aerodinamica di strutture fessibii Ne caso di strutture civii i pericoo di instabiità può essere egato ai carichi eccezionai o ae caratteristiche de terreno su cui poggia Può essere in equiibrio instabie sotto carichi eccezionai 4

5 Equiibrio instabie per cedimenti de terreno disuniformi Ad esempio un edificio fondato su un terreno con resistenza non uniforme o in forte pendenza può essere in equiibrio instabie: E argomento dea GEOTECNICA 6 5

6 Stabiità di Pendii e Muri di Sostegno È un argomento di Geotecnica 6

7 Stabiità di Costruzioni Murarie È un argomento di Statica dee Costruzioni Murarie 7

8 I requisiti dee strutture - Stabiità : Una struttura deve essere in equiibrio stabie, cioè non deve sussistere i pericoo di spostamenti inammissibii che ne comprometterebbero equiibrio. A B C A B C A) Equiibrio Stabie ; B) Equiibrio Instabie ; C) Equiibrio Indifferente Una struttura è detta in equiibrio stabie se e forze conservative su essa agenti (gravità, eastica di richiamo) tendono a riportare a struttura nea posizione primitiva se ad essa è appicata una forza perturbatrice che a sposti. Da un punto di vista matematico si può affermare che una struttura soggetta a forze conservative è in equiibrio stabie quando è minima energia potenziae totae. 8

9 Principio di minimo Energia Potenziae Totae: Tra tutte e configurazioni cinematicamente ammissibii quea di equiibrio stabie si ha in corrispondenza de minimo reativo de energia potenziae totae Posizione equiibrio instabie: ( x) V( x) V =0; <0. x x Massimo energia ponenziae Energia potenziae con quea totae ( ) V ( x) Π x =P y ( x) Posizione equiibrio stabie: V ( x) V ( x) =0; >0. x x V ( x) V ( x) Minimo energia ponenziae Posizione equiibrio indifferente: x =0; =0. x 9

10 Stabiità di corpi rigidi con easticità concentrate Criterio o metodo energetico Π Ψ + = + Π per sempicità si sottintende δ ( x) = ( x) +V( x)= ( Kx u ) ( ) ( ) A x K A ϕ ϕ B B +(-P u y ) K A x K A ϕ ϕ B B- PϕB ϕb ( ϕb ) 1 = ( K x + K ϕ )-P = 0 Pcr = ( K x + K ϕ ). Pcr carico critico Π ϕ B cr A B A B Se i carico reae P<P 'equiibrio è stabie, se P>P 'equiibrio è instabie; se P=P 'equiibrio è indifferente. cr cr 10

11 Stabiità di corpi rigidi con easticità concentrate Criterio statico per determinare carico critico: M (x)=m (x) in st =K sin δ x A ( ϕb) M (x) momento forze esterne in ( momento instabiizzante); M (x) reazione eastica interna st ( momento stabiizzante). Se M st (x)>m in (x) 'equiibrio è stabie, se M st (x)<m in (x) 'equiibrio è instabie; se M (x)=m (x) 'equiibrio è indifferente. st in ( ) ( ) 1 ( M ) in (x)= P δu y = K A x δu A x cos δϕ A B + K ϕ δϕ B B =M st (x) Pcr = Kx + K. A ϕb 11

12 Equiibrio instabie di travi eastiche Per materiai ad eevata resistenza a compressione, come acciaio, si potrebbero reaizzare coonne moto più sottii di quee in cacestruzzo. La oro sneezza comporta però i pericoo di Instabiità per carico di punta. Si definisce carico critico (di punta) que vaore de carico di compressione che anziché provocare un accorciamento de materiae, ne provoca una brusca infessione aterae. I fenomeno è studiato ne ambito de: LA STABILITA DELL EQUILIBRIO ELASTICO 1

13 Equiibrio instabie di travi eastiche M in(x) = P u z(x); M (x) = κ(x) k. st ϕ [ ] M (x) = κ (x) k ; M (x) = P δ-u (x). st ϕ in z Per determinare i carico critico (di punta) detto anche Eueriano di travi eastiche occorre: dare una deformata virtuae aa trave, vautare i momento stabiizzante dovuto aa reazione eastica degi infiniti vincoi interni eastici, vautare i momento instabiizzante indotto da carico esterno, determinare a condizione di equiibrio indifferente: k M (x)=m (x) ϕ st in u z d = EI; κ (x)=- dx ( x) 13

14 Equiibrio instabie di travi eastiche Daa condizione di equiibrio indifferente per i primo caso: 1 ( x) d u + α u ( x) = 0; dx Souzione : z z ( ) C sin α = 0, α = nπ Si ottiene dunque : P = n π EI P α =. EI Pcr = min P = n π EI π EI cr 14

15 Equiibrio instabie di travi eastiche x π EI P cr = y π EImim P cr = ; I I mim y π EA P cr = ; λ = λ ρ min ρ min = I min A. ρ raggio d'inerzia; A, λ area sezione trasversae e sneezza. x y 15

16 Equiibrio instabie di travi eastiche La unghezza ibera d infessione rappresenta a distanza tra due punti di fesso successivi dea deformata dea trave. 0 = 0 = 0 = = = 0.5 eq = unghezza ibera d'infessione Formua di EULERO: P = π cr 0 EI 16

17 s R Verifica di travi eastiche a sforzo normae tensione di snervamento de materiae; tensione di rottura de materiae. am s = ; am tensione ammissibie de materiae; γ am γ am coefficiente di sicurezza de materiae. E R γ "mat.fragie" am > γ "mat.duttie" am + s am R e am s am R N=P>0 Acciaio a basso tenore di carbonio (materiae duttie) ε ε R ε ε µ Ghisa (materiae fragie) E ε 0 N max = am N ama A Condizione di verifica vaida soo per sforzo normae di trazione 17

18 Verifica di travi eastiche a sforzo normae Se a trave infessa è sottoposta a compressione, essendo i carico critico, e di conseguenza a tensione critica, inversamente proporzionae a quadrato dea sneezza de materiae bisogna distinguere due casi: a) pericoo di crisi per schiacciamento se a sneezza dea trave max cr am cr am 0 = ρmin N max = am N am A; A b) pericoo di crisi per instabiità se a sneezza dea trave = γ P A γ λ λ 0 = > ρmin λ λ tensione λ λ Crisi per schiacciamento λ s λ> λ P A cr cr = = π E λ λ sneezza a quadrato Crisi per instabiità 18

19 Verifica di travi eastiche a sforzo normae (metodo omega) Verifica vaida soo per sforzo normae di compressione. Ne cacoo di verifica èassegnata a struttura; sono dunque noti: -a forma geometrica; -a disposizione dei vincoi; -i materiae di cui è costituita; -i sistema di carichi cui è soggetta. Ne caso di materiae a comportamento eastico indefinito si adotta i metodo ω. Si deve verificare, nei punti maggiormente soecitati dee sezioni più soecitate, che è soddisfatta a seguente reazione: ( ) P 0 ω λ max = am; λ = A ρ min ESEMPIO : acciaio Fe360, = N mm ; m max am 160 / = 4.40 ; 440 P = -00kN, profio HEA 140; λ = = =15, ρ =.0 = 140,13 N / mm < am = 160 N / mm min

20 Progetto di travi eastiche a sforzo normae max Condizione di progetto vaida per sforzo normae di trazione (o di compressione se ) Ne cacoo di progetto è nota a funzione statica che a struttura deve assovere per cui sono dati de probema: -i carichi cui essa è destinata; -a forma dea struttura; -i materiae con cui si vuoe reaizzara. Obiettivo: determinare e dimensioni dee sezioni trasversai dei vari eementi strutturai. N = am A A N am λ λ ESEMPIO:acciaio Fe 360; P =800kN, N =160 mm am A = 5000 mm profio metaico HEA 00, A = 53.8 cm 160 HE A 0

21 I ruoo de equiibrio e dea deformazione Esempio. Si consideri un piastro di atezza h=15 m, composta da un nuceo interno in congomerato ed un rivestimento in marmo. I probema, pur in forma drasticamente sempificata, è rappresentativo di queo dei pioni de Duomo di Miano, restaurati negi anni 80. 1

22 I ruoo de equiibrio e dea deformazione Si vuoe iniziamente vautare o stato di tensione ne piastro ed i suo accorciamento per un carico assiae di compressione N=40000 kn. I nuceo in congomerato (c) ed i rivestimento in marmo (m) sono eementi eastici in paraeo, per cui sono uguai e deformazioni: ε c =ε m. c m Em Utiizzando i egame eastico ineare: εc = εm = m = c Ec Em Ec Per equiibrio a somma dee azioni assiai eguagia i carico appicato: A + A = Da cui: E A + A = N = m c c c m c E E c m Ac + Am Ec c c m m N Si trovano i seguenti vaori per e tensioni nei due materiai: kn 11 c = = MPa ; m = MPa = 4.35 MPa m 3 3 N

23 I ruoo de equiibrio e dea deformazione Per a congruenza, e deformazioni assiai sono uguai: ε c MPa 4.35 MPa = = = = ε MPa MPa L accorciamento risuta: h = ε c h = 1.16 cm. Gi sforzi normai sono: N c = A c c = kn ; N m = A m m = 6930 kn. Magrado area de congomerato sia circa doppia rispetto a quea de marmo, eevata rigidezza di quest utimo fa sì che i rivestimento assorba circa i /3 de carico appicato, svogendo una primaria azione portante. Si vuoe adesso vedere come si modifica o stato tensionae facendo variare i moduo di easticità de congomerato E c da zero (piastro cavo) ad E m (piastro omogeneo). Daa figura si evince che a tensione ne congomerato c aumenta, mentre a tensione ne marmo m contemporaneamente diminuisce. m 3