n. 6 giugno 2011 Ricerca Operativa, un problema di tutti i giorni Ivano Capozza Marianna Miola Quaderni del Liceo Ferraris

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1 n. 6 giugno 2011 Quaderni del Liceo Ferraris Ricerca Operativa, un problema di tutti i giorni Ivano Capozza Marianna Miola

2 Quaderni del Liceo Ferraris numero 6 - giugno 2011 Capozza Ivano Miola Marianna La Ricerca Operativa, un problema di tutti i giorni Il lavoro di due studenti di Quinta Liceo Scientifico presentato in questo quaderno sintetizza un interessante percorso di studio compiuto entro la cornice del Piano Lauree Scientifiche (PLS), svolto in parte a Taranto in parte presso l Università del Salento.. In esso sono illustrati con chiarezza gli aspetti elementari della Ricerca Operativa - strumento matematico-informatico per la risoluzione di problemi decisionali. Un problema decisionale è un problema in cui uno o più decisori si trovano a dover effettuare delle scelte fra diverse alternative, rispetto a determinati obiettivi. La prima fase della Ricerca Operativa consiste nell esame della situazione reale e nella raccolta delle informazioni nel modo più ampio e approfondito possibile. Segue poi la formulazione del problema, che comporta l individuazione delle variabili e la scelta della funzione da massimizzare o da minimizzare. La Ricerca Operativa trova numerose applicazioni in differenti ambiti: industriale, economico, di trasporto, ecc.. Gli estensori del quaderno si sono rivolti alla scoperta di una nuova disciplina con l entusiasmo di chi scopre come tutto, o quasi, intorno a noi è MATEMATICA! Ivano Capozza e Marianna Miola si sono diplomati brillantemente nel luglio 2011, al termine del corso di liceo scientifico P.N.I. (Piano Nazionale dell Informatica)

3 RICERCA OPERATIVA: UN PROBLEMA DI TUTTI I GIORNI Autori: Ivano Capozza, Marianna Miola Introduzione: Salvatore Spinelli Introduzione Il presente Quaderno del Liceo Ferraris nasce dall adesione del nostro Liceo al Piano Lauree Scientifiche (PLS) 2010/2011 ed è frutto del lavoro svolto da alcuni ragazzi che hanno attivamente partecipato ai laboratori di Matematica. Il PLS è un piano nazionale nato nel 2004 grazie alla collaborazione del Ministero dell Università e dell Istruzione, della Conferenza Nazionale dei Presidi di Scienze e Tecnologie e di Confindustria, ispirato dalla motivazione iniziale di incrementare il numero di iscritti ai corsi di laurea in Chimica, Fisica, Matematica e Scienza dei materiali. A tal fine il PLS si è concentrato su tre obiettivi principali: migliorare la conoscenza e la percezione delle discipline scientifiche nella Scuola secondaria di secondo grado, offrendo agli studenti degli ultimi tre anni di partecipare ad attività di laboratorio curriculari ed extracurriculari stimolanti e coinvolgenti; avviare un processo di crescita professionale dei docenti di materie scientifiche in servizio nella Scuola secondaria a

4 partire dal lavoro congiunto tra Scuola e Università per la progettazione, realizzazione, documentazione e valutazione dei laboratori sopra indicati; favorire l'allineamento e l'ottimizzazione dei percorsi formativi dalla Scuola all'università e nell'università per il mondo del lavoro, potenziando ed incentivando attività di stages e tirocinio presso Università, Enti di ricerca pubblici e privati, Imprese impegnate in ricerca e Sviluppo. Nell ambito del PLS il Liceo Scientifico Galileo Ferraris ha partecipato con ventuno alunni (quattro di 5 a A, uno di 4 a C, quattro di 5 a C, due di 5 a D, otto di 5 a E e due di 5 a H) e 3 docenti di matematica e fisica (Donatella Aquaro, Concetta Basanisi e Salvatore Spinelli) ai laboratori di Matematica organizzati dal Dipartimento di Matematica dell Università del Salento, al termine dei quali gli alunni hanno tutti superato con profitto la prova di verifica finale. Le attività di tali laboratori, frutto di un attenta e proficua pianificazione congiunta Scuola-Università, si sono tenute sia presso il nostro Istituto sia, nell arco d una giornata intera, a Lecce presso il Dipartimento di Matematica della stessa Università ed hanno riguardato le seguenti attività: Crittografia e teoria dei codici (tenuto dal prof. Montinaro), che ha trattato i messaggi criptati partendo dal codice di Cesare fino ad arrivare al cifrario RSA e i codici di controllo, con l'obiettivo di far apprendere e utilizzare l'aritmetica modulare, i relativi teoremi di Eulero, alcuni test di primalità e le tecniche di correzione di errori in un messaggio trasmesso; Ricerca Operativa: un problema di tutti i giorni pag. 2

5 Cartografia matematica (tenuto dalla prof.ssa Mangino), che ha trattato il problema delle cartine geografiche, con l'obiettivo di far apprendere le proprietà delle figure appartenenti ad una superficie sferica e a riconoscere nella sfera un modello di geometria non euclidea; Ricerca operativa (tenuto dal prof. Triki), che ha trattato il problema del commesso viaggiatore e l ottimizzazione delle soluzioni nelle applicazioni della ricerca operativa in finanza. Ed è a quest ultimo tema che si è rivolta l attenzione di due studenti coinvolti, da annoverare tra i partecipanti più curiosi e produttivi. Invero, la partecipazione di tutti gli studenti è stata sempre attiva anche perché i temi trattati sono risultati stimolanti ed inconsueti ed hanno permesso di avvicinare gli studenti ad alcuni concetti matematici utilizzando una didattica innovativa e coinvolgente, impegnandoli in attività diverse rispetto a quelle tradizionali, in modo da suscitare interesse, curiosità e motivazioni nello studio. Trattasi di caratteristiche metodologiche di cui la Scuola deve fare tesoro, puntando a ravvivare l insegnamento curricolare per renderlo sempre più efficace anche e soprattutto in matematica: la quale può essere tutt altro che una disciplina arida ed ostica! Inoltre, i laboratori hanno riguardato problemi ed argomenti interdisciplinari, sì da scoprire i legami della matematica con altre discipline, scientifiche e non, nonché le sue svariate applicazioni tecnologiche. Insomma, se vista con occhi diversi, anche la matematica può risultare più facile, accattivante e coinvolgente di quanto si pensi. Ricerca Operativa: un problema di tutti i giorni pag. 3

6 LA RICERCA OPERATIVA 1. Che cosa è? La Ricerca Operativa, nota anche come teoria delle decisioni, scienza della gestione o, in inglese Operations Research, fornisce strumenti matematici di supporto alle attività decisionali, in cui occorre gestire e coordinare attività con risorse limitate, al fine di massimizzare o minimizzare una funzione obiettivo. Si occupa di formalizzare un problema in un modello matematico e calcolare una soluzione ottima, quando possibile, o approssimata. Essa costituisce un approccio scientifico alla risoluzione di problemi complessi e si può ricondurre all'ambito della matematica applicata, all'informatica, all'economia e alla finanza, all'ingegneria ed altro. Inoltre la ricerca operativa ha molte applicazioni commerciali soprattutto negli ambiti economico, infrastrutturale, logistico, militare, della progettazione di servizi e di sistemi di trasporto e nelle tecnologie. Nel caso particolare di problemi di carattere economico, la funzione da massimizzare può coincidere con il massimo profitto ottenibile o con il minor costo da sostenere. La ricerca operativa riveste un ruolo importante nelle attività decisionali perché permette di operare le scelte migliori per raggiungere un determinato obiettivo, rispettando vincoli che sono imposti dall'esterno e non sono sotto il controllo di chi deve compiere le decisioni. Ricerca Operativa: un problema di tutti i giorni pag. 4

7 2. Quando è nata? La nascita della ricerca operativa è dovuta ad esigenze di tipo militare insorte durante la seconda guerra mondiale. Prima e durante il conflitto, infatti, si erano costituiti in alcuni Paesi alleati gruppi di ricerca orientati alla soluzione di importanti problemi di ordine strategico e tattico, collegati alla difesa nazionale. Nel 1935 il Regno Unito lavorò sul progetto Bawdsey Research Station radar sulla difesa antiaerea, era tuttavia importante che fosse efficiente la localizzazione e la successiva intercettazione e rientro a terra dei velivoli inglesi. Apparve quindi indispensabile l'ottimizzazione della distribuzione delle apparecchiature radar sul territorio ed, inoltre, che fosse mandata via radio la segnalazione ad opportune località. Nacque così il "Biggin Hill Experiment". Fu in una relazione tecnica conclusiva del progetto del 1938 del sopraintendente Rowe che comparve per la prima volta l'espressione "Operational Research". Nel 1939, Patrick Maynard Stuart Blackett, fisico e professore presso l Università di Manchester, fu chiamato a costituire un gruppo di ricerca composto da scienziati e militari, impegnato nella lotta contro i sommergibili tedeschi. Nel corso della seconda guerra mondiale furono complessivamente impegnati nel Regno Unito, in Canada e negli USA, oltre 700 scienziati in tale settore; il termine del conflitto dunque determinò una "riconversione" dell'approccio, fino ad allora usato per soli fini bellici, orientandolo verso problematiche di tipo civile (come la localizzazione Ricerca Operativa: un problema di tutti i giorni pag. 5

8 dei depositi industriali, il mixing di carico di un servizio di autotrasporto). Nei settori più propriamente civili, la ricerca operativa riprese tecniche note nel settore industriale, migliorandole ed arricchendole con l'uso di strumenti matematici e di conoscenze organizzative: si occupò della standardizzazione della produzione, di problemi connessi alla pianificazione e programmazione industriale. Nel Regno Unito la riconversione avvenne prevalentemente nel settore pubblico, con studi relativi ai trasporti ferroviari, stradali ed urbani. In Italia, tali tecniche giunsero con una decina di anni di ritardo. Nel 1961, un gruppo di ricercatori, tecnici e dirigenti d'azienda fondò l'airo, l'associazione Italiana della Ricerca Operativa, avente lo scopo di promuovere studi teorici ed applicazioni pratiche della disciplina. 3. Una classificazione della Ricerca Operativa La ricerca operativa si divide in numerose sotto-branche. La prima, e più importante, classificazione distingue tra: Ottimizzazione, detta anche approccio what-is-best : si occupa di formalizzare il problema in un modello matematico (tipicamente un modello di programmazione matematica o un grafo di flusso) ed individuare per esso una soluzione ottima o subottima Simulazione, detta anche approccio what-if : che si occupa di problemi "difficili" da risolvere per ottimalità, spesso i cosiddetti problemi NP Ardui ( termine impiegato nella teoria della complessità ). Queste tecniche prevedono la formalizzazione Ricerca Operativa: un problema di tutti i giorni pag. 6

9 del problema in un modello matematico e la determinazione di "buoni" parametri mediante metodi statistici o di teoria dei giochi Processi Stocastici: si occupano di realizzare modelli probabilistici al fine di determinare i comportamenti dei sistemi. Questa branca, non ancora sufficientemente sviluppata in Italia, risulta essere alla base dell'ingegneria Finanziaria e della Ottimizzazione Stocastica. 4. Le fasi di uno studio di Ricerca Operativa L'elaborazione del problema è suddivisa in passaggi obbligatori: Esame della situazione reale e raccolta delle informazioni Formulazione del problema: individuazione delle variabili controllabili Costruzione del modello matematico, che ha lo scopo di dare una buona rappresentazione del problema, fornendo tutte le informazioni per poter assumere una decisione il più idonea possibile. Ricerca della soluzione Analisi e verifica delle soluzioni ottenute: si controlla se la funzione teorica offre vantaggi attesi e si verifichi la rappresentatività del modello; Interpretazione dei risultati Ricerca Operativa: un problema di tutti i giorni pag. 7

10 5. Formulazioni del modello matematico: un esempio Formulazione matematica : Definizioni delle variabili Definizioni della Funzione obiettivo Definizione dei vincoli ESEMPIO : Problema di decisione Un azienda automobilistica produce due modelli di auto, uno a benzina B che vende al prezzo di 10 mila euro e uno diesel D che vende a 12 mila euro. Ogni autovettura è realizzata da due robot R1 e R2. I tempi di lavorazione dei robot in ore per realizzare le auto sono: La disponibilità al giorno di R1 è di 24 ore, mentre quella di R2 è di 10 ore. 1. Definizione delle variabili: Si introducono due variabili che rappresentano le quantità prodotte (e vendute) ogni giorno per i due modelli di auto. Variabili: x : Numero di auto a benzina y : Numero di auto diesel L azienda ha effettuato un indagine di mercato con i seguenti esiti: la domanda giornaliera di B è al più il doppio di quella della macchina D la domanda minima giornaliera di auto è di 4. Determinare le quantità dei due modelli di auto che devono essere prodotte giornalmente in modo da rendere massimo il guadagno. (Supponiamo che tutte le auto prodotte siano vendute). 2. Definizione della funzione obiettivo: Cosa voglio massimizzare? Ricerca Operativa: un problema di tutti i giorni pag. 8

11 Il guadagno giornaliero dipende (è funzione) dalla decisione di quante auto D e B voglio produrre. La funzione obiettivo : F(x,y)=10x+12y è una funzione lineare! Evidenziamo le restrizioni sulle variabili: Vincoli sul tempo di utilizzo dei robot: 2 x +3 y 24 2 x + y 10 Vincoli conseguenti l indagine di mercato: 2 y x x + y 4 Non si può produrre un numero negativo di auto: x 0 y 0 Formulazione del problema : ricercare Max F(x,y)=10x+12y soggetto a: 2 x +3 y 24 2 x + y 10 2 y x x + y 4 x 0 y 0 NOTA: I problemi che hanno per modello matematico sistemi di disequazioni (o equazioni) lineari, vincoli abbinati ad una funzione lineare da massimizzare o minimizzare funzione obiettivo, prendono il nome di problemi di Programmazione Lineare (PL). Qual è la soluzione del problema? Quante auto a benzina e diesel si devono produrre? Qual è il guadagno massimo? Come si lavora con questi sistemi di disequazioni? 3. Definizione dei vincoli: metodo grafico: lo trattiamo per esteso, in relazione all esempio posto, nel paragrafo successivo Ricerca Operativa: un problema di tutti i giorni pag. 9

12 6. Definizione dei vincoli: metodo grafico Un problema di PL in due variabili può essere risolto attraverso semplici considerazioni di tipo geometrico, a partire dall individuazione su di un piano cartesiano del poligono ammissibile (Regione Ammissibile) determinata dai vincoli. Ricordiamo che: Ogni retta f(x,y)= ax + by + c = 0 divide il piano cartesiano in due semipiani rappresentati dalle disequazioni: ax + by + c < 0 ax + by + c > 0 Per individuare il semipiano: f(x, y) = ax + by + c > 0 si sceglie P(x, y ) non appartenente alla retta; Se f(x, y ) > 0 il semipiano che contiene il punto P è quello cercato; Se f(x, y ) < 0 il semipiano che non contiene il punto P è quello cercato. Ogni vincolo del problema rappresenta un semipiano o una retta e, siccome tutti i vincoli devono essere rispettati, la soluzione apparterrà alla parte di piano che è intersezione di tutti i semipiani. Per trovare la Regione Ammissibile del nostro problema, cerchiamo dove si intersecano i semipiani. Ma questo vuol dire risolvere un sistema di disequazioni! Iniziamo quindi ad esaminare le varie disequazioni nell esempio scelto. Ricerca Operativa: un problema di tutti i giorni pag. 10

13 Max F(x,y)=10 x+12 y soggetto a : vincoli : x 0, y 0 ; aggiunta del vincolo: 2 x +3 y 24 aggiunta del vincolo: 2x + y 10 Ricerca Operativa: un problema di tutti i giorni pag. 11

14 aggiunta del vincolo: 2y x aggiunta del vincolo conclusivo: x + y 4 7. Natura della Regione Ammissibile La regione ammissibile è una figura convessa (infatti è intersezione di semipiani, che sono figure convesse; e l intersezione di regioni convesse è convessa) La soluzione di sistemi di disequazioni lineari in due incognite coincide con la parte di piano comune ai semipiani individuati dalle singole disequazioni. Questa regione può essere limitata o illimitata. Ricerca Operativa: un problema di tutti i giorni pag. 12

15 Se le disequazioni del sistema non hanno soluzioni comuni (i semipiani non si intersecano) il sistema è detto impossibile. Es.: Con problemi in più di 2 variabili: La regione ammissibile è un poliedro (o un iperpoliedro nel caso di più di 3 variabili) 8. Ricerca di massimi o minimi Risolvere un problema di PL significa determinare se il problema è : Inammissibile (il sistema di disequazioni è impossibile) Illimitato inferiormente o superiormente (ammette una soluzione ottima che massimizza o minimizza la funzione obiettivo) Ricerca Operativa: un problema di tutti i giorni pag. 13

16 Se il problema di PL ammette minimo o massimo, allora la funzione obiettivo: F(x, y) = ax+by+c assume il suo valore massimo o minimo solo su un VERTICE o su tutti i punti di un LATO della frontiera della regione ammissibile. Metodo enumerativo Determinata la regione ammissibile: a) calcolare le coordinate dei vertici del poligono; b) calcolare il valore della funzione obiettivo su ogni vertice. La soluzione è data dalle coordinate del vertice che rende massima o minima la funzione obiettivo. F(0,8)=10*0+12*8=96 F(3/2,7)=10*3/2+12*7=99 F(4,2)=10*4+12*2=64 F(8/3,4/3)=10*8/3+12*4/3=42,7 F(0,4)=10*0+12*4=48 Il metodo del Simplesso Il metodo del simplesso è un algoritmo che permette attraverso un numero finito di iterazioni, di passare, se il problema ammette soluzione, da un qualsiasi vertice del poliedro al vertice ottimo. L'algoritmo del Simplesso, ideato dall'americano George Dantzig nel 1947, è un metodo numerico per risolvere problemi di PL. Il metodo informatico: il software LINGO LINGO è un pacchetto software che consente di formulare e risolvere problemi di ottimizzazione (Programmazione Lineare e non) anche a grandi dimensioni, e di analizzarne le rispettive soluzioni. 9. Casi di problemi di ricerca operativa La Ricerca Operativa è utilizzata per risolvere numerosi quesiti legati al mondo dell'azienda, relativi ad esempio alla gestione Ricerca Operativa: un problema di tutti i giorni pag. 14

17 del personale, problemi del Commesso Viaggiatore e problemi del Trasporto. Obiettivo comune a tali quesiti è la massimizzazione del profitto e la minimizzazione dei tempi di produzione. Esempi di problemi : Ottimizzazione Una fabbrica produce n prodotti i, ognuno dei quali genera un profitto p i e richiede un certo quantitativo di risorse r i,j. La fabbrica dispone di una quantità limitata per alcune risorse r j. Alcuni prodotti non possono essere realizzati in una quantità minore di m i e non superiore a M i. Si chiede quali prodotti produrre e in che quantità per ottenere il massimo profitto, rispettando tutti i vincoli. Pianificazione Immaginando di dover consegnare della merce a n destinatari diversi usando m corrieri, sapendo che ognuno dei destinatari è reperibile soltanto in una determinata fascia oraria e che un corriere non può caricare più di l lotti, individuare i percorsi che devono eseguire i corrieri al fine di minimizzare i chilometri percorsi e consegnare tutti i pacchi. 10. Un secondo esempio: il problema dello zaino Decisione da prendere: Quali materie preparare : avendo a disposizione un totale di 27 giorni volendo massimizzare il profitto? Strategia (algoritmo) massimo profitto : scelgo le materie più remunerative (rispettando il vincolo di 27 giorni) Ricerca Operativa: un problema di tutti i giorni pag. 15

18 tempo: 27 giorni profitto: 47,50 Materia Giorni prep. Profitto Italiano 10 20,00 Latino 12 22,50 Greco 15 25,00 Inglese 9 15,00 Fisica 7 12,50 Scienze 6 12,50 Storia 6 12,00 Geografia 6 12,00 Disegno 4 7,50 Strategie minimo tempo : scelgo le materie che richiedono meno tempo di preparazione Materia Giorni prep. Profitto Italiano 10 20,00 Latino 12 22,50 Greco 15 25,00 Inglese 9 15,00 Fisica 7 12,50 Scienze 6 12,50 Storia 6 12,00 Geografia 6 12,00 Disegno 4 7,50 Ricerca Operativa: un problema di tutti i giorni pag. 16

19 Scegliere le cose più importanti, rinunciare a quelle più pesanti e sistemare il tutto nella valigia in modo da occupare tutto lo spazio disponibile: questo è ciò che si propone ciascuno di noi prima di ogni partenza. Si tratta di un vero e proprio problema di Ricerca Operativa! Ricerca Operativa: un problema di tutti i giorni pag. 17