ITIS E. FERMI FUSCALDO. Equazioni differenziali e applicazioni

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1 ITIS E. FERMI FUSALDO D.S. Prof. Ing. Nicola De Nardi Equazioni differenziali e applicazioni Lavoro Prodoo nel cenro servizi mulimediale dell Iis E. Fermi oordinaore prof. Viorio Grandinei Auori alunni: Buonasperanza Paolino, ovello Davide, uomo Alessandro D Amico Salvaore, Magnone Paolo, Marello Panno, Pizzuo Sandro EQUAZIONI DIFFERENZIALI E APPLIAZIONI MATEMATIHE

2 Un viandane che si rifiui di olrepassare un pone fino a quando non abbia personalmene verificao la solidià di ogni sua pare è desinao a non andare molo lonano; qualche vola bisogna rischiare, anche in maemaica. HORAE LAMB 3 INDIE Inroduzione Le equazioni differenziali ordinarie del primo ordine 3 Equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili 4 Equazioni differenziali del primo ordine lineari 5 Equazioni differenziali del primo ordine omogenee 6 Il problema di auch 7 Inegrale paricolare 8 Inegrale singolare 9 Le equazioni differenziali ordinarie del secondo ordine Equazioni differenziali del secondo ordine omogenee Equazioni differenziali lineari del secondo ordine non omogenee ( ASO) Equazioni differenziali lineari del secondo ordine non omogenee ( ASO) 4

3 3 Principio di sovrapponibilià 4 Applicazioni 5 Applicazioni in geomeria 6 Applicazioni in chimica e fisica 7 Legge di crescia malhusiana ed applicazioni in economia 8 Programma in Pascal per calcolare l'ineresse di un deposio bancario 9 Risoluzione numerica di una equazione dedifferenziale Meodo di Eulero Il meodo di Eulero con il Foglio eleronico Bibliografia 5 INTRODUZIONE I maemaici cercarono di usare il calcolo infiniesimale per risolvere nuovi problemi fisici e si rovarono preso cosrei a raare una nuova classe di problemi. Essi fecero più di quano si erano prefissi di fare. I problemi più semplici conducevano a quadraure che poevano essere valuae mediane le funzioni elemenari. Una di quese è cosiuia dai problemi che rienrano nell'area oggi generalmene noa come eoria dell'elasicià. 6 3

4 Quelli un poco più difficili conducevano a quadraure che non poevano essere espresse in queso modo, come nel caso degli inegrali elliici. Enrambi quesi ipi di problemi cadevano nel raggio d'azione del calcolo infiniesimale. Tuavia, la soluzione di problemi ancora più complicai richiedeva l'uso di ecniche specialisiche; fu così che nacque la eoria delle equazioni differenziali. Numerose classi di problemi fisici fornirono le moivazioni alle ricerche sulle equazioni differenziali. Un corpo è elasico se si deforma soo l'azione di una forza e riacquisa la sua forma originale quando la forza viene rimossa. 7 I problemi più praici hanno a che fare con le forme assune dalle ravi, vericali e orizzonali, quando vi vengono applicai dei carichi. Quesi problemi, raai empiricamene dai cosruori delle grandi caedrali medievali, furono affronai dal puno di visa maemaico durane il Seiceno da uomini quali Galileo, Edme Marioe (6-84), Rober Hooke (635-73) e Wren. Il comporameno delle ravi è una delle due scienze discusse da Galileo nei Discorsi inorno a due nuove scienze. GALILEO GALILEI 8 4

5 Le ricerche di Hooke sulle molle lo condussero alla scopera della legge secondo la quale la forza eserciaa su una molla in ensione è proporzionale allo sposameno. Gli scienziai del Seeceno, armai di una maggior quanià di maemaica, iniziarono le loro ricerche sull'elasicià affronando problemi quali la forma assuna da una fune anelasica ma flessibile sospesa a due puni fissi, la forma assuna da una caena anelasica ma flessibile sospesa a un puno fisso e posa in vibrazione, la forma assuna da una corda elasica vibrane enua fissa alle sue esremià, la forma assuna da una verga fissaa alle sue esremià e soggea a un carico e la forma assuna da una verga quando è posa in vibrazione. 9 Il pendolo coninuò ad ineressare i maemaici. L'equazione differenziale esaa del pendolo circolare d θ / d + mg sinθ sfidava ogni raazione, ma anche quella approssimaa oenua sosiuendo sinθ con θ doveva ancora essere raaa analiicamene. Inolre, il periodo di un pendolo circolare non è sreamene indipendene dall'ampiezza del moo e venne perciò inrapresa la ricerca della curva lungo cui la massa pendolare deve oscillare perché il periodo sia sreamene indipendene dall'ampiezza. Hugens aveva risolo geomericamene queso problema con l'inroduzione della cicloide, ma la soluzione analiica doveva ancora essere foggiaa. 5

6 Il pendolo era sreamene collegao con alri due campi di ricerca fondamenali del Seeceno, la forma della Terra e la verifica della legge di arazione graviazionale. Il periodo approssimao di un pendolo T π l g veniva usao per misurare la forza di gravià in vari puni della superficie erresre perché il periodo dipende dall'accelerazione g deerminaa da quesa forza. Misurando lungo un meridiano le successive lunghezze corrispondeni al cambiameno di un grado di laiudine è possibile con l'aiuo di un po' di eoria e dei valori di g, deerminare la forma della Terra. In effei, servendosi della variazione del periodo osservaa in vari puni della superficie erresre, Newon n'aveva dedoo che la Terra è più gonfia all'equaore. Dopo che Newon aveva concluso mediane il suo ragionameno eorico che il raggio all'equaore era di /3 più lungo del raggio al polo (queso valore è di un 3 per ceno roppo grande), gli scienziai europei erano ansiosi di rovarne una conferma sperimenale. NEWTON 6

7 Un meodo possibile sarebbe sao quello di misurare la lunghezza di un grado di laiudine vicino all'equaore e vicino ad un polo: se la Terra fosse effeivamene appiaia, il grado di laiudine dovrebbe essere leggermene più lungo ai poli che all'equaore. Jacques assini ( ) e i membri della sua famiglia effeuarono quese misurazioni e nel 7 oennero il risulao opposo, rovando che il diamero da polo a polo era di /95 più lungo del diamero equaoriale. Per risolvere la quesione una vola per ue, negli anni 73 l'académie des Sciences francese inviò una spedizione in Lapponia, guidaa dal maemaico Pierre- Louis Moreau de Mauperuis, e un'alra in Perù. 3 Il gruppo guidao da Mauperuis comprendeva anche il suo amico maemaico Aleis-laude lairau. Le loro misure confermarono che la Terra è piaa ai poli e Volaire saluò Mauperuis con l'appellaivo di appiaiore dei poli e dei assini. In effei, il valore dao da Mauperuis era di /78, che è meno accurao di quello di Newon. Il problema della forma della Terra coninuò a rivesire grande imporanza e per lungo empo rimase apera la quesione di sapere se essa fosse quella di uno sferoide oblao, di uno sferoide prolao, di un ellissoide generale o di qualche alro solido di roazione. 4 7

8 Il problema connesso di verificare la legge di graviazione poeva essere affronao una vola che fosse noa la forma della Terra. Daa la forma, sarebbe sao possibile deerminare la forza cenripea necessaria per manenere un oggeo sulla o vicino alla, superficie della Terra. Allora, conoscendo l'accelerazione g dovua alla forza di gravià sulla superficie, si sarebbe pouo verificare se l'inera forza di gravià, che fornisce l'accelerazione cenripea e g, proprio quella daa dalla legge di graviazione. lairau, uno di coloro che ne misero in dubbio la validià, pensò in un cero momeno che essa poesse essere della forma F A/ r + B/ r 3. 5 I due problemi della legge d'arazione e della forma della Terra sono uleriormene connessi ra loro perché, quando la Terra viene raaa come un fluido roane in equilibrio, le condizioni per l'equilibrio coinvolgono l'arazione che le paricelle del fluido eserciano una sull'alra. Il campo d'ineressi fisico che dominò il secolo fu l'asronomia. Newon aveva risolo quello che viene chiamao problema dei due corpi, cioè il moo di un singolo pianea sooposo all'arazione graviazionale del Sole, dove ciascun corpo viene assuno essere un puno maeriale. Aveva anche compiuo alcuni passi in direzione della raazione del problema fondamenale dei re corpi, cioè del comporameno della Luna sooposa all'arazione della Terra e del Sole. 6 8

9 Tuavia, queso era solano l'inizio degli sforzi compiui per sudiare i moi dei pianei e dei loro saellii sooposi all'arazione graviazionale del Sole e alla muua arazione di ui gli alri corpi. Inolre, le ricerche di Newon conenui nei Principia, pur cosiuendo in effei la soluzione di cere equazioni differenziali, dovevano essere radoe in forma analiica r queso fu fao gradualmene durane il Seeceno. Queso lavoro fu iniziao, incidenalmene, da Pierre Varignon, un fine maemaico e fisico francese, che voleva liberare la dinamica dall'ingombro della geomeria. Newon aveva risolo alcune equazioni differenziali in forma analiica, ad esempio nella Mehodus fluionum del 67 e nel Tracaus del 676, dove aveva osservao che la soluzione dell'equazione 7 d n n / d f ( ) è arbiraria, nel senso che vi si può aggiungere un qualsiasi polinomio di grado n - in. Nello scolio alla proposizione della erza edizione dei Principia Newon si limia ad enunciare un risulao sulla forma dei solidi di roazione che offrono la minima resisenza al moo in un fluido, ma in una leera a David Gregor del 694 spiega come vi è giuno e nella spiegazione si serve di equazioni differenziali. Fra i problemi asronomici, quello del moo della Luna ricevee le maggiori aenzioni perché il meodo comune per deerminare la longiudine delle navi in mare, così come alri meodi usai nel Seeceno, dipendeva dalla conoscenza in ogni momeno della direzione della Luna rispeo a una posizione sandard (che, a parire dalla fine del secolo, fu quella di Greenwich in Inghilerra). 8 9

10 Era necessario conoscere quesa direzione della Luna con un'approssimazione di 5 secondi di grado per deerminare l'ora di Greenwich con l'approssimazione di un minuo; già un errore di queso genere poeva condurre ad un errore di 3 chilomeri nella deerminazione della posizione della nave. on le avole delle posizioni della Luna disponibili all'epoca di Newon quesa precisione era lungi dal poer essere oenua. Un alro moivo dell'ineresse per la eoria del moo della Luna era il fao che essa poeva essere usaa per predire le eclissi, che a loro vola cosiuivano una verifica per l'inera eoria asronomica. La eoria delle equazioni differenziali ordinarie nacque dai problemi cui abbiamo accennao. 9 A mano a mano che la maemaica si sviluppava, la eoria delle equazioni alle derivae parziali condusse a nuove ricerche sulle equazioni differenziali ordinarie (cioè sulle equazioni che conengono derivae rispeo a un'unica variabile indipendene), e lo sesso fecero le discipline che sono oggi noe come geomeria differenziale e come calcolo delle variazioni. ome abbiamo viso, il enaivo di risolvere problemi fisici che all'inizio comporavano solano delle quadraure condusse gradualmene alla consapevolezza che era sao creao un nuovo ramo della maemaica, la eoria delle equazioni differenziali ordinarie. on la meà del Seeceno lo sudio delle equazioni differenziali divenò una disciplina indipendene e la soluzione di quese equazioni venne perseguia da per se sessa.

11 Il problema della soluzione in forma chiusa non venne dimenicao, ma di cercare di risolvere in quel modo le equazioni differenziali paricolari che raggono origine dai problemi fisici i maemaici andarono alla ricerca di equazioni differenziali che ammeessero soluzioni in ermini di un numero finio di funzioni elemenari e furono rovae un gran numero di equazioni differenziali inegrabili in quesa maniera. D'alember (767) si occupò di queso problema e incluse gli inegrali elliici fra le rispose che li giudicava acceabili. Moli alri hanno percepio il bisogno di dire la propria con prove maemaiche al riguardo. Un ipico approccio a queso problema, compiuo, fra gli alri da Euler (769) consisee nel parire con un equazione differenziale di cui fosse possibile effeuare l'inegrazione in forma chiusa e di derivare da essa alre equazioni differenziali. EULER Un alro approccio fu quello di cercare delle condizioni affinché la soluzione sviluppaa in serie conenesse solano un numero finio di ermini.

12 Un ineressane, benché infruuoso, enaivo compiuo da Marie-Jean-Anoine-Nicolas de ondorce (743-94) nel Du calcul inégral (765) fu quel volo a porare ordine nei moli meodi e arifici diversi usai per risolvere le equazioni differenziali. Egli elencò ue le operazioni quali la derivazione, l'eliminazione e la sosiuzione e cercò di ridurre ui i meodi a quese operazioni canoniche. I suoi sforzi non condussero però ad alcun risulao. In linea con queso piano, Euler dimosrò che, dove è possibile la separazione delle variabili, si può anche rovare un faore moliplicane (inegrane), ma non viceversa. Provò anche che la separazione delle variabili non è possibile per le equazioni di ordine superiore. 3 Quano alle sosiuzioni, non rovò alcun principio generale per individuarle, in quano il rovare delle sosiuzioni è alreano difficile che risolvere direamene le equazioni differenziali. Tuavia, una rasformazione può ridurre l'ordine di un'equazione differenziale. Euler usò ques'idea per risolvere le equazioni lineari non omogenee di ordine n, e anche nel caso dell'equazione omogenea egli pensava che ciascun ep [ p d] desse, per il valore opporuno di p, un faore del primo ordine dell'equazione differenziale. Anche Riccai aveva come progeo quello di ridurre l'ordine. 4

13 Venne inolre elaborao un cero numero di alri meodi, fra cui il meodo dei moliplicaori indeerminai di Lagrange. All'inizio si credee che queso meodo fosse generale, ma in seguio esso non si rivelò ale. La ricerca di meodi generali per l'inegrazione delle equazioni differenziali ordinarie erminò inorno al LE EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE DEL PRIMO ORDINE DEFINIZIONE: sia una funzione incognia della variabile indipendene, sia ' la sua derivaa prima. Un'equazione nella quale figurino la variabile indipendene, la funzione incognia e la sua derivaa prima si dice equazione differenziale ordinaria del prim'ordine. F (,, ) 6 3

14 EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE A VARIABILI SEPARABILI. Un'equazione differenziale che presena al secondo membro il prodoo di una funzione della sola per una funzione della sola si dice a variabili separabili. f ( ) g( ) Il procedimeno che consene di deerminare la soluzione generale o inegrale generale è il seguene : 7 ' f ( ) g ( ) d d f ( ) g ( ) g d ( ) f ( ) d d f g ( ) ( ) d + c 8 4

15 EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE LINEARI Queso ipo di equazioni si presena nella seguene forma: ' + f ( ) g ( ) La formula che consene di deerminare la soluzione generale è la seguene : f ( ) d e e f ( ) d g( ) d + c 9 EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE OMOGENEE Un'equazione di queso ipo si presenano nella seguene forma : ' poso : f ( z) ' f Z ; Z; 3 5

16 quindi : e sosiuendo : da cui: Z + Z, ( Z) ( Z) ( Z) f Z Z che è una equazionea variabili separabili: Z + Z f dz Z f d 3 Nella raazione delle equazioni differenziali è di fondamenale imporanza il problema di auch e conseguenemene i concei di inegrale paricolare e singolare. IL PROBLEMA DI AUHY Daa un'equazione differenziale di ordine n, la richiesa di deerminare l'inegrale paricolare Φ ( ) che soddisfi n equazioni iniziali del ipo : 3 6

17 ... ( ), ' ( ), ( ) ( n ) ( n ) ( ).... dove :,, ( n ( ),,... ), sono valori assegnai, viene denominao problema di auch. 33 INTEGRALE PARTIOLARE DEFINIZIONE: Si chiama inegrale paricolare o soluzione paricolare dell'equazione differenziale F (,, ) ogni funzione f ( ) oenua dalla soluzione generale Φ ( ) aribuendo alla cosane c un paricolare valore numerico. 34 7

18 osì, ad esempio, daa l'equazione differenziale per deerminare il suo inegrale paricolare le cui curve rappresenaive passa per il puno: ' ' d d d d P 4 ; 3 ; 35 d d 3 + c c c

19 INTEGRALE SINGOLARE Si chiama inegrale singolare o di froniera dell'equazione differenziale ( ) f, ogni evenuale inegrale la cui corrispondene curva risuli ineramene giacene sulla froniera. La sua equazione non è oenibile per alcun valore numerico aribuio alla cosane c. 37 osì, ad esempio, daa l equazione differenziale : d d d d d d 38 9

20 + ( + c ) In base a queso esercizio osserviamo che è una soluzione dell'equazione differenziale, ma non può considerarsi un inegrale paricolare perché non si può dedurre per alcun valore di c dalla soluzione generale. Perano rappresena un inegrale singolare c c c EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE DEL SEONDO ORDINE Queso ipo di equazioni possono essere classificae in: omogenee; lineari non omogenee ( e caso); 4

21 EQUAZIONI DIFFERENZIALI OMOGENEE DEL SEONDO ORDINE Tali equazioni si presenano nella seguene forma : a + b + c Avendo a disposizione l'equazione caraerisica associaa, di conseguenza può essere calcolaa la soluzione generale. A proposio della soluzione, esisono però re differeni casi : ASO) Se l'equazione caraerisica ammee due soluzioni reali e disine λ, λ, allora la soluzione generale è daa da : λ λ e + e 4 ASO) Se l'equazione caraerisica ammee due soluzioni coincideni λ λ, la soluzione generale è daa da λ λ e + e 3 ASO) Se l'equazione caraerisica ammee due soluzioni complesse coniugae immaginarie α e α + i β i β la soluzione generale è daa da : α α e cos β + e sen β 4

22 EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI DEL SEONDO ORDINE NON OMOGENEE ( ASO ) Queso ipo di equazioni è riconducibile alla seguene formula : a + b + c d ( ) d() ermine forzane, polinomio di grado n c ( ) a) se il polinomio sarà dello sesso ordine di d(); b) se c b il polinomio ( ) sarà di grado n+ rispeo al polinomio d(). 43 3) se c b il polinomio sarà di grado n+ rispeo al polinomio d(). 44

23 EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI DEL SEONDO ORDINE NON OMOGENEE ( ASO ) possono a + b + c P γ ( ) e Per il calcolo della soluzioneparicolare ( ) presenarsi re differeni casi : a) γ non è radice dell'equazionecaraerisica, cioè non coincidecon le radici γ e ( ) ( ) λ λ, la soluzioneparicolare è dao da : A e N.B. A() è un polinomio dello sesso grado di P(). 45 b) se γ coincide con una delle due radici, la soluzione paricolare ( ) è daa dalla seguene formula: dalla seguene formula : γ ( ) A( ) e c) se γ coincide con enrambe le radici la soluzione paricolare è daa γ ( ) A ( ) e La soluzione generale si calcola come nel caso precedene. 46 3

24 a + PRINIPIO DI SOVRAPPONIBILITA' b + c P γ γ ( ) e + Q ( ) e In quesa circosanza devono essere calcolae due soluzioni paricolari : ( ) e ( ) a + b + c P γ ( ) e ( ) a + b + c Q α ( ) e ( ) Ne consegue : ( ) soluzione equazione omogenea associaa + ( ) + ( ) 47 APPLIAZIONI 48 4

25 APPLIAZIONI IN GEOMETRIA 49 PROBLEMA APPLIAZIONI IN GEOMETRIA "Deerminare le curve per le quali il coefficiene angolare delle ree angeni a ciascun puno della curva sia proporzionale all'ascissa del puno sesso." f ( ) Se è la curva cercaa, l'ascissa del puno di ang e f ( ) è il coefficiene angolare della rea angene alla curva in, indicando con c la cosane di proporzionalià si ha : c è la rappresenazione del problema in forma analiica. 5 5

26 Per deerminare le curve cercae : d d c e inegrando d c d avremo : c d c d da cui : + che rappresena la famiglia di parabole soddisfaceni al problema. Infai, derivando si ha : cioè il coefficiene angolare ' della angene alle curve nel puno di ascisse è proporzionale a sesso, come richieso dal problema. c ; 5 PROBLEMA "Trovare una curva passane per il puno (;-) e ale che il coefficiene angolare della angene in un puno qualsiasi sia uguale all'ordinaa aumenaa di 3". Il problema in maemaica si raduce come : + 3 () 3 è un'equazionedifferenziale del I ordinelineare 5 6

27 f g e ( ) ( ) 3 e d e d [ 3e + c] 3d+ c e [ 3 e d+ c] 3+ ce c () 3+ ce 3 e 53 o ancora : e ( + 3) l ( 3) + 3 l e l + n n n 54 7

28 PROBLEMA "Trovare la curva in cui il coefficiene angolare della g in un puno qualunque sia proporzionale al quadrao dell'ordinaa e passi per il puno (;)". 'è il rapporo si ha : [ k ( ) + ] ; d d d d 55 d d d d imponiamo il passaggio ()

29 e quindi la curva richiesa sarà : ( ) + cioè ( ) APPLIAZIONI IN HIMIA E FISIA 58 9

30 PROBLEMA APPLIAZIONI IN HIMIA E FISIA. " All'isane sia No il numero di aomi di una sosanza radioaiva; sia poi N() il numero di aomi rimasi non disinegrai all'isane. La velocià di disinegrazione dn () ( ) N d è in ogni isane proporzionale al numero N() di aomi inegri; cioè dn () N (), > d con che è la cosane di decadimeno. (Il segno negaivo è necessario in quano N() è una funzione decrescene nel empo, la sua derivaa deve essere negaiva)". Deerminare il numero N() di aomi non disinegrai all'isane." 59 N () dn d dn N log () ( ) () () d () () d () N () c dn N dn d + N N e + () 6 3

31 e ln N N N ( ) () () e e + c c e e c per deerminare c : per c N N () c e c () N () N () e che rappresena i numeri di aomi non disinegrai. 6 PROBLEMA " In un gas la velocià dell'aumeno di volume è direamene proporzionale al volume sesso. Trovare il volume V del gas in funzione del empo sapendo che per è VVo ". dv d dv V () () V () d 6 3

32 e e logv () V () () V() dv V log () e ce + c + c d per V () ce c V V() V e 63 PROBLEMA " In un moo la velocià v direamene proporzionale all'accelerazione a v a deerminare lo spazio percorso in funzione del empo." s () v s s () a ds d () v d s d 64 3

33 33 65 d ds d s d d s d d ds rappresena un'equazione differenziale del secondo ordine omogenea. La sua equazione caraerisica è : ( ) λ λ λ λ λ λ λ λ 66 La soluzione generale sarà : () e e e s + +

34 PROBLEMA "Deerminare il moo di un puno nel quale l'accelerazione è funzione lineare del empo". Il problema si raduce in : d a + b a + b d Poiché l'accelerazione è la derivaa seconda dello spazio rispeo al empo l'equazione divena : 67 d ( a + b) d e inegrando d ( a + b) d da cui a + b + c; d d a + b + c; d a + b + c d d a + b + c d a 6 3 b + + c + e rappresena l'equazione del moo di un puno nel quale 68 l'accelerazione è funzione lineare. 34

35 35 69 PROBLEMA " Al problema precedene si richiede lo spazio in funzione del empo sapendo che : () () () () () ) s e s s s v v ( ) () () ; : generale inegrale dell' derivaa la calcoliamo ) v v v v v v e s e s v v

36 () s v e v v e 7 PROBLEMA "Una pallina di massa m e collegaa con l'esremo libero di una molla di coefficiene di elasicià. Il piano su cui la pallina e appoggiao è liscio. Se la pallina viene sposaa dalla sua posizione di equilibrio, e poi rilasciaa, su di essa agisce una forza, che come è noo, è proporzionale allo sposameno X dalla posizione di equilibrio, con k cosane di proporzionalià. F k X Deerminare la legge oraria XX() del moo." 7 36

37 F m a m m + m equazione differenziale del secondo ordine omogenea. 73 L'equazione caraerisica associaa : λ + m λ ± i m in cui è : α ; e β m ; 74 37

38 38 75 () () (). sen cos : sen cos sen cos X m poso m m X e e X ω ω ω β β α α LEGGE DI RESITA MALTHUSIANA ED APPLIAZIONI IN EONOMIA.

39 LEGGE DI RESITA MALTHUSIANA ED APPLIAZIONI IN EONOMIA. onsideriamo il seguene problema : " Deerminare la legge di variazione della popolazione ialiana in un arco di empo, senza disinguere maschi e femmine e enendo cono di nascie, mori ed emigrazioni". ominciamo a indicare con N() il numero degli individui della popolazione ialiana al empo, assumendo l'anno come unià di misura. Ad esempio, N(97)54.5. è il numero degli ialiani nell'anno 97 e N() è il numero per ora a noi conosciuo, degli ialiani nel. 77 Il numero N() è quindi una variabile, funzione del empo, e va consideraa coninua anche se in realà il processo avviene a sali. Il nosro problema è proprio quello di deerminare, se possibile, la legge secondo la quale N varia in funzione di. A ale scopo converrà dunque volgere lo sguardo verso il passao ed osservare le saisiche riguardani lo sviluppo della popolazione ialiana. La nosra speranza è quella di scoprire che la popolazione ialiana varia sempre più o meno nello sesso modo, di scoprire, cioè, dell'uniformià di comporameno raducibili in una legge che poremo ipoizzare valida non solano per il passao ma anche 78 per il fuuro. 39

40 I volumi annuali di aggiornameno dell'enciclopedia Briannica ci forniscono una serie di sime sul numero dei ciadini ialiani. Scegliamo il periodo che va dal 97 al 98. I dai relaivi a queso periodo sono riporae nella seguene abella: 79 Rappreseniamo ora la funzione N() dal valore 97 al valore 98 (FIG. dove il numero di individui è approssimao alle migliaia). Le due curve, quella coninua e quella raeggiaa, mosrano con mola chiarezza l'andameno del fenomeno. 8 4

41 Osserviamo che, per quano riguarda la deerminazione della legge di crescia di una popolazione, si accoglie la seguene conclusione, dovua all'economisa inglese Thomas Malhus ( ) : " In assenza di vincoli eserni (limiaezza delle risorse, delle guerre, delle caresie, ) la popolazione umana va aumenando e la sua velocià isananea di crescia è proporzionale alla popolazione sessa ". THOMAS MALTHUS 8 Indicando con N() la popolazione, con N() la relaiva velocià di crescia (ossia, in ermini maemaici, la derivaa della funzione N() rispeo al empo ), possiamo quindi scrivere : N ( ) N ( ) ( ) essendo la cosane di proporzionalià. 8 4

42 d N d d N N d N ln e N ln N () () () N () () () e + c N d () d + c 83 Ebbene la () è il primo esempio di equazione differenziale: in essa compare una funzione legaa alla sua derivaa prima. L'espressione esplicia della funzione N(), che è l'incognia dell'equazione differenziale, è la seguene: c () e e () e a N() ae ( ) N N il che significa che la popolazione umana cresce in modo esponenziale. Ponendo nella (), oeniamo an(o) e quindi la () divena : N () N ( ) e ( 3) 84 4

43 dove N(o) è il numero degli individui all'isane e è il corrispondene asso di crescia. Per adeguare il grafico della funzione (3), occorre conoscere N(o) e, che sono valori empirici ricavabili dall'analisi della realà. La rappresenazione grafica di N(), per diversi valori di N(o) e, è riporaa in FIG.. 85 Vogliamo ora verificare che la legge di crescia esponenziale, espressa dalla (3), è valida per la popolazione ialiana (periodo 97-98). Ricaviamo N(o) e. ominciamo a ricavare, uilizzando i dai reali della abella (espressi in migliaia), i valori di N(o) e, assumendo come anno iniziale il 97. Abbiamo: per anno 97 N() per anno 97 N() N () N ( ) e 86 43

44 Dalla (3) oeniamo : e ossia : e k , Applicando opporunamene il logarimo in base e, ricaviamo : log,6,6,6 % on N () e,6, la formula (3) divena : N () 54.5.,6 e ( 4) 87 alcolando il numero degli individui della popolazione ialiana mediane la (4), anno per anno, si oengono i dai riporai nella abella che come si può verificare, sono in accordo con i dai saisici

45 Il modello di Malhus di crescia della popolazione, espressa dalla equazione differenziale N ( ) N ( ) è uno dei più famosi modelli maemaici. A ale modello si riconduce la risoluzione di numerosi alri problemi di naura diversa. 89 PROBLEMA Velocià di accrescimeno di un capiale. "Sia () il monane all'isane di un cero capiale () invesio al empo in un'operazione di capializzazione composa." La velocià di accrescimeno di () è daa da : () i ( ) () derivaa del monane ( ) i ineresse isananeo ( > ) 9 45

46 La soluzione dell'equazione differenziale : d d d log () i () () i d () () e () i () i e e () i c e d c () i d + c 9 per (deposio, capiale iniziale) () e ( ) () ( ) e i fornisce il capiale più l' ineresse maurao nel empo. L'aumenare realmene riconosciuo dalla banca, è neamene inferiore. La differenza è dovua al fao che il conrao di deposio bancario prevede normalmene un accredio degli ineressi maurai solo a fine anno. Perano, il capiale dopo un anno di deposio vale ( + i) dopo due anni ( ) + i e di conseguenza in monane ad ineresse composo dopo 3 anni è : 3 ( ). M + i 9 46

47 PROGRAMMA IN PASAL PER ALOLARE L'INTERESSE DI UN DEPOSITO BANARIO Program Deposii ad ineresse; Funcion Poenza (m: ineger; : real) : real; begin if m hen Poenza: else Poenza: *Poenza(m-,) end. Var o,i,:real; 93 begin wrie ('apiale deposiao '); readln (o); wrie ('Ineresse annuo, in % i '); readln (i); i: i/; wrie ('Duraa in anni '); readln(); wrieln ('apiale maurao ', c*ep(i*)); wrieln ('apiale in banca ', end. o*poenza ( runc(), (+i)); 94 47

48 RISOLUZIONE NUMERIA DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI METODO DI EULERO Quesi meodi vengono uilizzai per la risoluzione di equazioni differenziali del primo ordine qualora non siano applicabili procedimeni dell analisi infiniesimali classica. METODO DI EULERO: Queso meodo è applicao ad equazioni differenziali che si presenano nella seguene formula: ' ( ) f (, ) E aveni come condizione iniziale: ( ) 95 Si passa ora a deerminare un approssimazione di ( ) a FASE [ ] Preso un inervallo, lo si suddivide in n pari uguali, indicando con,,.... n i puni di suddivisione inerni all inervallo e con, l esremo n 3 n ome noo, l ampiezza di ciascun inervallino, sarà daa dalla seguene relazione: n h h prenderà il nome di passo di inegrazione 96 48

49 + h; + h + h... n + n h a FASE [ ] Approssimiamo nell inervallo ; il grafico di ( ) con la rea angene a ale grafico nel suo puno e sia m il coefficiene angolare. ( ) ; m ' ; ( ) f ( ) m poiché in cui e h 97 Possiamo quindi scrivere che: m + h f ( ; ) f ( ; ) di conseguenza + h f ( ; ) i + i + h f ( ; ) Applicando n vole quesa procedura, a parire dai valori noi ( ; ) oerremo la desideraa approssimazione di ( ). Nauralmene la spezzaa oenua sarà ano più precisa, quano più piccolo sarà il passo di inegrazione h. i i 98 49

50 Daa una equazione differenziale del primo ordine,rovare un valore approssimaodi Y() uilizzando il meodo di Eulero; onfronare successivamene il valore oenuo con quello assuno dalla soluzione esaa e ' + hf ( ; i + i i i ) X condizioni iniziali Y h, e approssimao f(;) esao Errore, -,, ,99566,,98 -,39, ,956,3,948 -,56448,939385,686885,4, ,77486, ,38,5, ,836384, ,348357,6, , , ,345673,7, ,93938,666394, ,8, , ,57944,686943,9, , , ,637886, , , ,38739 Grafico 99,,8,6,4, valore approssimao di Y Valore esao di Y Errore 5

51 Daa una equazione differenziale del primo ordine,rovare un valore approssimaodi Y() uilizzando il meodo di Eulero; onfronare successivamene il valore oenuo con quello assuno dalla soluzione esaa 3e hf ( ; i + i i i ) X condizioni iniziali Y h, 3e - +- approssimao f(;) esao Errore -,,6 -,4,656959,56959,4,3 -,9,49638,99638,6,36 -,536, ,43498,8,88 -,88, ,98689,9834,696,363834,59834 Grafico,5,5, valore approssimao di Y Valore esao di Y Errore 5