Logica e fondamenti di matematica

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1 Logica e fondamenti di matematica Docente: Prof. Roberto Giuntini (giuntini@unica.it)

2 Logica proposizionale Logica e teoria dell argomantazione. Cap. 1: Enunciati. Enunciato: Non ogni discorso è dichiarativo ma solo quello in cui si dà il dire il vero e il falso; e ciò non si dà sempre. La preghiera, per esempio, è un discorso, ma non è né vero né falso. [ ] Il discorso dichiarativo è l oggetto della nostra attuale indagine [Aristotele, De Interpretatione] Enunciato (o proposizione) = configurazione linguistica per cui ha senso chiedersi se sia vera o falsa.

3 Esempio: Mario legge. 2+2 = 5. Non piove. Giovanni canta e Maria balla. Enunciato Che ore sono? No enunciato Giovanni canta ma Maria suonerà?

4 Enunciati semplici = enunciati che non possono essere scomposti in altri enunciati. Enunciati composti = enunciati che possono essere scomposti in altri enunciati (cioè enunciati che non sono semplici). I connettivi = collanti che tengono uniti gli enunciati composti. Ipotesi di bivalenza = i possibili stati o valori di verità sono unicamente due: il vero (che si indica con la lettera V o col valore 1) ed il falso (che si indica con la lettera F o col valore 0). Vero-funzionalità della logica classica = proprietà secondo la quale il valore di verità di un enunciato composto dipende dai valori di verità degli enunciati semplici che lo costituiscono.

5 Connettivi: 1) Negazione ( non : ) : α = Cagliari è una grande città. α = Cagliari non è una grande città. composto). input α α Connettivo unario: si applica ad un solo enunciato (semplice o output

6 2) Congiunzione ( e : ) : α = Cagliari è una grande città. β = Cagliari si trova in Sardegna. α β = Cagliari è una grande città e si trova in Sardegna. α β α β Connettivo binario: si applica a due enunciati (semplice o composto).

7 3) Disgiunzione ( o : ) : α = Cagliari è una grande città. β = Cagliari si trova in Sardegna. α β = Cagliari è una grande città o si trova in Sardegna. α β α β Connettivo binario

8 4) Implicazione ( se allora : ) : α = Cagliari è una grande città. β = Cagliari si trova in Sardegna. α β = Se Cagliari è una grande città allora si trova in Sardegna. α β α β Connettivo binario

9 5) Doppia implicazione ( se e solo se : ) : α = Cagliari è una grande città. β = Cagliari si trova in Sardegna. α β = Cagliari è una grande città se e solo se si trova in α β α β Sardegna. Connettivo binario

10 Interdefiniblità dei connettivi: ogni connettivo è esprimibile tramite un adeguata combinazione di altri connettivi. Esempi: α β = ( α β) α β = ( α β) α β = α β α β = (α β) (β α) tramite e tramite e tramite e tramite e

11 Varianti delle forme logiche Logica e teoria dell argomantazione. Cap. 1: Enunciati. Congiunzione: α e β; sia α sia β; α ma β; α così come β; α, anche β. Disgiunzione: α o β; o α oppure β; Implicazione: se α, allora β; α solo se β; α è una condizione sufficiente per β; β a condizione che α; β è condizione necessaria per α; β è necessaria per α; data α, abbiamo β; nel caso in cui si abbia α, allora si ha anche β. Doppia implicazione: α se e solo se β; α è equivalente a β; α è condizione necessaria e sufficiente per β;