Statistica - metodologie per le scienze economiche e sociali S. Borra, A. Di Ciaccio - McGraw Hill
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1 Statistica - metodologie per le scienze economiche e sociali S. Borra, A. Di Ciaccio - McGraw Hill Es. Soluzione degli esercizi del capitolo 6 home - indice In base agli arrotondamenti effettuati nei calcoli, si possono riscontrare piccole differenze nei risultati finali. 6.1 a. Le distribuzioni relative condizionate dell rispetto all Abitudine al fumo sono mostrate nella seguente tabella: Abitudine al fumo Totale Fumatore 0,4 0,41 0,35 1 Ex fumatore 0,0 0,40 0,40 1 Non Fumatore 0,5 0,8 0,47 1 Totale 0,4 0,33 0,43 1 b. Considerando le distribuzioni condizionate trovate al punto precedente, si ottengono i seguenti valori: Y X =Fumatore = 0, , ,35 = 46,35 = ( 46,35) 0,4 + (40 46,35) 0,41+ (70 46,35) 0,35 = 353,5 Y / X =Fumatore In modo analogo si ottengono: Y X = Ex Fumatore = 48,4 = 354,4 Y / X = Ex Fumatore Y X = Non Fumatore = 49,56 = 411,43 Y / X = Non Fumatore c. d. Abitudine al fumo Totale Fumatore Ex fumatore Non Fumatore Totale Abitudine al fumo Totale Fumatore 0,4 0,45 0,31 1 Ex fumatore 0,18 0,38 0,44 1 Non Fumatore 0,6 0,33 0,41 1 Totale 0,5 0,36 0,39 1 Considerando le distribuzioni condizionate, si ottengono i seguenti valori: Y X =Fumatore = 0, , ,31 = 44,97 = ( 44,97) 0,4 + (40 44,97) 0,45 + (70 44,97) 0,31 = 33,86 Y / X =Fumatore In modo analogo si ottengono: Y X = Ex Fumatore = 49,85 = 353,51 Y / X = Ex Fumatore Y X = Non Fumatore = 47,93 = 395,87 Y / X = Non Fumatore Tutte le operazioni per il calcolo della soluzione sono disponibili in una cartella Excel.
2 6. a. Nella seguente tabella sono mostrate le distribuzioni condizionate della Statura rispetto alle classi di Peso dei Maschi e delle Femmine: Maschi Femmine c j ,5 0,6 0,7 0,09 0,6 0,6 0,05 167,5 0,3 0,35 0,1 0,4 0,41 0,7 17,5 0,1 0,9 0,33 0,1 0, 0, ,09 0,46 0,0 0,11 0,4 Da tali distribuzioni si ricavano le medie condizionate, in particolare: Statura Media Peso Maschi Femmine ,0 165, ,7 168, ,5 173,8 Si può osservare che al crescere di classe di Peso, la Statura media aumenta sia per i maschi sia per le femmine; inoltre, nella prima classe di Peso la statura media delle femmine è leggermente superiore a quella dei maschi; sono praticamente uguali nella classe di Peso centrale; la statura media dei maschi è decisamente superiore a quella delle femmine nell ultima classe di Peso. b. Nella seguente tabella sono mostrate le distribuzioni condizionate del Peso rispetto alle classi di la Statura dei Maschi e delle Femmine: Maschi Femmine Statura 45 6,5 8,5 45 6,5 8, ,14 0,63 0,3 0,53 0,45 0, ,06 0,68 0,6 0,1 0,69 0, ,01 0,43 0,56 0,18 0,64 0, ,00 0,15 0,85 0,06 0,50 0,44 Da tali distribuzioni si ricavano le medie condizionate, in particolare: Peso Medio Statura Maschi Femmine ,7 53, ,7 60, ,5 63, ,5 70,3 Si può osservare che al crescere di classe di Statura, il Peso medio aumenta sia per i maschi sia per le femmine; inoltre, per tutte le classi di Statura, il Peso medio dei maschi è sempre superiore a quello delle femmine. c. Per calcolare il baricentro dei maschi e delle femmine rispetto ai due caratteri Statura e Peso dobbiamo calcolare la media dei due caratteri rispetto alle distribuzioni marginali. Quindi: Peso Statura c j Maschi Femmine c j Maschi Femmine , , , , , Tot Tot Si ottiene allora: Baricentro Maschi Baricentro Femmine (71,8 Kg; 171,5 cm) (60,1 Kg; 168,4 cm)
3 d. La seguente tabella mostra le distribuzioni di frequenze doppie cumulate rispettivamente dei maschi e delle femmine. maschi femmine Per semplificare il confronto si possono considerare le distribuzioni di frequenze relative: maschi femmine ,03 0,15 0,19 0,18 0,33 0, ,04 0,3 0,4 0,5 0,63 0, ,05 0,45 0,7 0,8 0,79 0, ,05 0,49 1 0,9 0, a. Il baricentro dato da: (175,5; 4388,9) b. Dal grafico di dispersione si può osservare che all aumentare della Densità di popolazione aumenta, anche se lievemente, il Numero di delitti. Numero di delitt Densità della popolazione 6.4 a. La seguente tabella mostra la distribuzione semplice del carattere Durata del periodo di disoccupazione: Durata Freq >30 16 totale 15 b. La seguente tabella mostra le distribuzioni percentuali condizionate del carattere Durata del periodo di disoccupazione rispetto alle classi d : Durata <35 >= ,00 46, ,50 11, ,75, >30 8,75 0,00 Totale 100,00 100,00 c. Dalla precedente tabella si può notare che passando dalla prima classe di alla seconda, la percentuale di
4 individui il cui periodo di disoccupazione dura più di 14 giorni è più del doppio passando dal 17,5% (8,75+8,75) al 4,% (,+0). Ciò mette in luce una relazione tra i due caratteri per la quale passando la disoccupati giovani (meno di 35 anni) a disoccupati adulti la durata della disoccupazione tende a crescere. 6.5 a. Si hanno i seguenti risultati: media varianza moglie 31,6 118,44 marito 35,8 97,56 Pertanto le mogli sono mediamente più giovani dei mariti e possiedono una maggiore variabilità. b. Dal grafico di dispersione si evince che all aumentare dell età della moglie aumenta quella del marito. marito moglie 6.6 a. Logicamente dipendenti. Infatti, è noto che la temperatura incide sulla produzione degli agrumi e che sue variazioni possono, in assenza di tecnologie idonee (serre, processi di irrigazione, ecc), far variare sensibilmente la produzione. b. Logicamente dipendenti. L acquisto di automobili da parte delle famiglie è logicamente dipendente dal loro reddito medio. c. Logicamente indipendenti. Il numero mensile di nati certamente non dipende dal numero di incidenti stradali. d. Logicamente dipendenti. Tuttavia, in questo caso la relazione può essere molto complessa e coinvolgere altre grandezze economiche. e. Logicamente indipendenti. Chiaramente l uno non può influire sull altro. Tuttavia sussiste una relazione spuria se si considera che l appartenenza a una razza può rendere più frequenti alcuni tratti somatici. f. Logicamente indipendenti. Ciò naturalmente è vero a parità di condizioni (professione, progressione in carriera, titolo di studio, età, ). La discriminazione tra i due sessi si può invece verificare nell accesso alle professioni e nella progressione in carriera. Vi possono comunque essere eccezioni in paesi e culture particolari. g. Logicamente indipendenti. Anche in questo caso si possono avere delle associazioni spurie indotte dal reddito individuale nella regione considerata. Ad esempio, se si verifica una crisi economica ci si attende un aumento del numero di disoccupati, una diminuzione del reddito pro-capite e una conseguente riduzione della spesa procapite per vacanze. h. Logicamente dipendenti. Anche in questo caso si è ha conoscenza che il fertilizzante influisce sull altezza dei fusti delle piante. i. Logicamente indipendenti. In questo caso si può notare un associazione spuria tra i due caratteri dovuta alla situazione economica del paese. j. Logicamente dipendenti. E noto che all aumentare del livello d istruzione aumenta anche la propensione alla lettura. k. Logicamente dipendenti. Il livello di istruzione della donna influisce in modo rilevante sul desiderio di maternità, portando a dei modi e tempi diversi nella scelta di procreare. Molti studi demografici hanno mostrato
5 l influenza del livello di istruzione sul comportamento riproduttivo della donna. In particolare, a parità di altre condizioni, all aumentare del livello di istruzione della donna diminuisce il numero di figli. 6.7 Per poter calcolare la tabella doppia di frequenze nel caso d indipendenza attraverso le distribuzioni di frequenze semplici utilizziamo la formula Gradimento Musica molto abbastanza poco per niente Gradimento Film molto 33,339 37,4 33,016 19,41 13 abbastanza 4,013 46,908 41,605 4, poco 14,095 15,737 13,958 8,11 5 per niente 13,553 15,13 13,41 7, Considerando le tabelle da sinistra verso destra e dall alto verso il basso, si ha che: nella prima tabella i due caratteri non sono indipendenti ma neppure perfettamente associati; nella seconda tabella i due caratteri sono indipendenti; le righe (o colonne) sono fra loro proporzionali. nella terza tabella i due caratteri sono indipendenti; le righe (o colonne) sono fra loro proporzionali. nella quarta tabella i due caratteri non sono indipendenti ma neppure perfettamente associati; nella quinta tabella i due caratteri sono perfettamente associati; nella sesta tabella i due caratteri non sono indipendenti ma neppure perfettamente associati; nella settima tabella i due caratteri non sono indipendenti ma neppure perfettamente associati; nell ottava tabella i due caratteri sono perfettamente associati; 6.9 La tabella di indipendenza tra i due caratteri è la seguente: Tempo Livello di traffico Basso Medio Alto Tot. Sereno 39,781 49,76 31, Variabile 51,87 64,110 40, Pioggia 8,93 36,164, Tot Applicando le formule 6.6.1, 6.6.3, si ottengono i seguenti risultati: χ = 169, ; Φ = 0, 46 ; V = 0, 48 ; alla luce dei risultati ottenuti possiamo concludere che si è osservata una discreta associazione tra il livello di traffico e il tempo meteorologico La tabella di indipendenza tra i due caratteri è la seguente: Forma Colore Rosso Verde Blu Tot. Quadrata 1115, , Rettangolare 10,87 687,5 1039, Esagonale 911,8 61,5 96, 450 Tot I due caratteri esaminati sono di tipo qualitativo sconnesso, pertanto per misurare l associazione si potrà utilizzare l indice Chi-quadrato o i corrispondenti indici relativi. Applicando le formule 6.6.1, 6.6.3, si ottengono i seguenti risultati: χ = 573, 88 ; Φ = 0, 64 ; V = 0, 57. Alla luce dei risultati ottenuti possiamo concludere che si è osservata una discreta associazione tra la forma e il colore delle confezioni. Particolarmente significative risultano le combinazioni Esagonale-Rossa, Rettangolare-Blu e Quadrata-Verde a. Utilizzando la tabella d indipendenza sottostante:
6 Sesso maschi 19,5 49,88 78,61 femmine 16,48 4,1 66,39 si ottiene, χ = 1, 06 ; calcolando l indice V = 0, 004 possiamo concludere che tra i due caratteri sussiste l indipendenza. b. Utilizzando la tabella d indipendenza sottostante: Reddito Sesso basso medio alto maschi 56,38 74,81 16,81 femmine 47,6 63,19 14,19 si ottiene, χ = 3, 5 ; calcolando l indice V = 0, 013 possiamo concludere che tra i due caratteri sussiste l indipendenza. c. La tabella di frequenze doppia tra Reddito ed è la seguente: Reddito basso medio alto Le formule e 6.7. richiedono il calcolo del numero di coppie di unità ordinate allo stesso modo su entrambi i caratteri, N s ; di quelle ordinate in modo differente sui due caratteri, N d ; del numero di quelle che rispetto a uno dei due caratteri presentano uguale modalità, T x e T y. Si trova quindi: N s = = 7591 ; N d = = 5387 ; T x = = 8876 ; T y = = 8894, da cui si ottiene: γ = 0, 17 e τ b = 0, 10. Dai valori dei due indici si può concludere che ci troviamo quasi in assenza di associazione tra i due caratteri. d. Le distribuzioni relative condizionate dell rispetto al Sesso sono mostrate nella seguente tabella: Sesso Totale maschi 0,115 0,331 0,554 1 femmine 0,15 0,344 0, a. Si ha: χ = 5, 396 ; V = 0, 115 ossia quasi assenza di associazione tra i due caratteri. Anche l indice λ = 0, 013 indica che il Tempo occorso per trovare lavoro dopo la laurea non dipende dal luogo di Residenza. b. Si ha: χ = 3, 58 ; V = 0, 376 ossia una debole associazione tra i due caratteri. L indice λ = 0, 058 indica che il Voto dipende molto debolmente dal Sesso. c. Si ha: χ = 0, 781; V = 0, 076 ossia i due caratteri sono praticamente indipendenti. L indice λ = 0 indica che il Tempo occorso per trovare lavoro non dipende dal Sesso. d. Si ha: χ = 10, 588; V = 0, 53 ossia una debole associazione tra i due caratteri. L indice λ = 0 indica che la Condizione occupazionale non dipende dal Sesso. e. Si ha: χ = 3, 675 ; V = 0, 111 ossia quasi assenza di associazione tra i due caratteri. L indice λ = 0 indica che
7 il Numero di figli non dipende dalla Posizione nella professione. f. Si ha: γ = 0, 044 ; τ = 0, 034 ossia quasi assenza di associazione tra i due caratteri. b g. Si ha: χ = 4, 551; V = 0, 117 ossia quasi assenza di associazione tra i due caratteri. L indice λ = 0 il Numero di anni non dipende dal Tipo di diploma. indica che 6.13 Dalla si ha ρ s = 0, 847. Considerando il suo quadrato ( ρ ) s = 0, 717 possiamo dire che l errore nel prevedere il rango di arrivo di uno sciatore rispetto allo Slalom speciale può essere ridotto del 71,7% se si tiene conto del rango di arrivo del medesimo sciatore rispetto allo Slalom gigante a. Consideriamo i valori centrali delle classi del Voto ossia: 83, 88, 93, 98, 103, 108. Applicando la si ottiene: η Voto laurea / Sesso = 0, 107. Si può concludere che il Voto non dipende dal Sesso. b. Consideriamo i valori centrali delle classi del Voto ossia: 83, 88, 93, 98, 103, 108. Applicando la si ottiene: η Voto laurea / Tit.studio = 0, 013. Si può concludere che il Voto non dipende dal Titolo di studio del padre. Il seguente grafico mostra la spezzata di regressione: Voto Lic. Elem. Lic. Media Diploma Laurea Titolo di studio del padre 6.15 Consideriamo i valori centrali delle classi delle Ore lavorative ossia: 170, 190, 10, 30. La media e la varianza del Voto è: y = 03, 91 e = 386, 14 ; mentre le medie condizionate del Voto rispetto alla Posizione sono: y y ricerc. = 01,16 y 1 ricerc. = 07, 78 y dirig. = 10, 00. Si ricava che Media y x 1, 9 e quindi dalla 6.8.6, ( / ) = η Voto laurea / Posizione = 0,033. Il valore è molto vicino a 0, che coincide con l indipendenza in media (perché tutte le medie condizionate sono uguali tra loro). Se ne deduce che il Numero di ore di lavoro è indipendente in media dalla Posizione professionale Le medie e le deviazioni standard dei due caratteri sono rispettivamente: x Tal = 57,63 Tal = 4, 680 x Pil / ab = 5, 1 Pil / abl = 1, 185. Applicando la formula otteniamo il valore della covarianza: = 3, 613. Dalla si ottiene: ρ = Si può concludere che i due caratteri sono tra loro xy correlati negativamente. xy 6.17 Per poter risolvere il problema occorre conoscere il valore di n. In realtà è facile verificare che qualsiasi valore di n maggiore di 1 porterebbe al calcolo di un valore negativo della varianza della Y. Assumeremo quindi che 1 1 x i = 18 e y i = 4 n i n i a differenza di quanto riportato nel testo dell esercizio. Possiamo riscrivere il coefficiente di correlazione nella seguente forma: xy Media( XY ) x y ρ xy = = x y 1 1 x i x y i y n i n i
8 da cui facilmente si ottiene: ρ (, 5 6, ) (, 5) 4 0 xy = = ( 18, )( ( 6, ) ) 0, Si ottengono i seguenti valori: ρ Francia = 0,993 ρ Germania = 0, 987 ρ Grecia = 0, 894 ρ Spagna = 0, 960 Come si può notare, per tutti i paesi considerati la correlazione tra importazioni ed esportazioni è molto elevata e positiva.
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