I numeri irrazionali: simboli e calcoli. Daniela Valenti, Treccani scuola

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1 I numeri irrazionali: simboli e calcoli 1

2 Un video per esplorare il tema Che cosa vuol dire numero irrazionale? Guardiamo un breve video per trovare le prime risposte I numeri irrazionali 2

3 Che cosa ha richiamato il video? L estrazione di radice quadrata porta a scoprire i numeri irrazionali. Ad esempio, è irrazionale il risultato di 2, perciò il tascabile ne fornisce solo un risultato approssimato. E il risultato esatto, mostrato nel video con una costruzione? Il simbolo per indicare il risultato esatto è il radicale 2 2 indica il numero che, elevato al quadrato dà come potenza 2. 3

4 Simboli e linguaggio 2 indica il numero che, elevato al quadrato dà come potenza 2. Perciò si scrive: ( 2) 2 = 2 2 " 1,41 9 = 3 1, 44 = 1,2 Uguale Circa uguale 1, 41 2 = 1, = 3 2 1,44 = 1,2 2 4

5 Difficoltà dei radicali La scrittura dei radicali pone varie difficoltà; ecco la prima, più evidente difficoltà. In matematica, il simbolo! viene usato con due significati diversi da distinguere 9 = 3 2 Operazione da eseguire Risultato esatto Risultato esatto dell estrazione di radice, quando il numero non è il quadrato di un numero razionale Impadroniamoci allora del simbolo di radicale attraverso altri esempi. 5

6 Il simbolo di radicale Altri esempi di radicali quadratici 6

7 Il simbolo di radicale Altri esempi di radicali cubici Si trovano anche radicali scritti nella forma

8 I radicali: simboli e linguaggio In generale, un radicale si scrive nella forma n a p radicando p è l esponente del radicando n è l indice del radicale Esempio: radicale Radicando: 5 2 Esponente del radicando: 2 Indice del radicale: 3 Esempio: radicale 3 Radicando: 3 Esponente del radicando: 1 Indice del radicale: 2 8

9 Difficoltà dei radicali Ed ecco una seconda notevole difficoltà che si incontra con i radicali: la calcolatrice tascabile e vari software per il computer non usano il linguaggio dei radicali con una scelta completa per l indice del radicale. Il problema viene risolto con una simbologia introdotta da Newton: le potenze ad esponente frazionario. 9

10 Le potenze ad esponente frazionario Ecco l idea di Newton. dimezza l esponente dimezza l esponente L estrazione di radice quadrata divide per 2 l esponente. E così, l estrazione di radice cubica divide per 3 l esponente. E si comincia a scrivere = 5 In generale 2 3 = = n a p = a Se nel radicale non compare n, è sottinteso n = 2. Se nel radicale non compare p, è sottinteso p = 1 p n 5 10

11 Le potenze ad esponente frazionario Attenzione alla scrittura n a p = a p n = = 36 3 e invece = 36 3 = 12 11

12 Attività. Esplorare i calcoli con radicali ed esponenti frazionari L attività è divisa in tre parti: I.! Calcoli con carta e penna II.! Calcoli con la calcolatrice tascabile e approssimazioni III.! Calcoli con un software di calcolo simbolico. Dividetevi in gruppi di 2 4 persone; ad ogni gruppo viene data una scheda di lavoro da completare. Avete 40 minuti di tempo Daniela Valenti, Treccani Scuola 12

13 Che cosa abbiamo trovato Calcoli con carta e penna Daniela Valenti, Treccani Scuola 13

14 Che cosa abbiamo trovato Calcoli con la calcolatrice tascabile Daniela Valenti, Treccani Scuola 14

15 Che cosa abbiamo trovato Calcoli con la calcolatrice tascabile Daniela Valenti, Treccani Scuola 15

16 Calcoli con software di calcolo simbolico Nel file Irrazionali_CAS_Presenta1, si trovano tutti i risultati come quelli mostrati qui sotto. Daniela Valenti, Treccani Scuola 16

17 Riflessioni sul lavoro svolto L estrazione di radice fornisce un altra occasione di incontrare un processo di approssimazione. Il risultato di un estrazione di radice si può scrivere in tre forme: -!con un radicale; -!con una potenza ad esponente frazionario; -!con un numero decimale. Con un numero decimale finito scrivo in molti casi il risultato approssimato. Se uso il tascabile, non posso scrivere più cifre di quelle mostrate sul visualizzatore. I software di calcolo simbolico eseguono i calcoli anche con i radicali. Daniela Valenti, Treccani Scuola 17