CORSO DI AZZERAMENTO DI MATEMATICA

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1 CORSO DI AZZERAMENTO DI MATEMATICA 1

2 LE BASI FONDAMENTALI INSIEMI INSIEMI NUMERICI (naturali, interi, razionali e reali) CALCOLO LETTERALE RICHIAMI DI TRIGONOMETRIA I NUMERI COMPLESSI ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA EQUAZIONI DISEQUAZIONI PERCENTUALI 2

3 INSIEMI INSIEME= gruppo di oggetti di tipo qualsiasi detti elementi dell insieme. Un insieme è definito quando viene dato un criterio non ambiguo che permette di stabilire se l oggetto appartiene o no all insieme 3

4 Simbologia Gli insiemi sono indicati con lettere maiuscole, eventualmente munite di indici: A, B, X, Y, A 1, A 2, B 1 gli elementi degli insiemi con lettere minuscole, eventualmente munite di indici: a, b, x, a 1, a 2, y 1 4

5 Rappresentazione di un insieme Un insieme A si può rappresentare: elencando tutti gli elementi che appartengono all'insieme Esempio: A = {a, b, c, d} Indicando la proprietà caratteristica degli elementi dell'insieme Esempio: A = {x : x è una lettera dell alfabeto} 5

6 I Diagrammi di Eulero-Venn Servono per rappresentare graficamente un insieme. Esempio: A a b c d 6

7 Il simbolo di appartenenza: Per indicare che a è un elemento dell insieme A si scrive: a A si legge a appartiene ad A". Per indicare che b non è un elemento dell insieme A si scrive: b A si legge b non appartiene ad A". 7

8 ALCUNI SIMBOLI contenuto in senso lato contenuto in senso stretto; contenente in senso lato; contenente in senso stretto; U insieme universale insieme vuoto per ogni esiste non esiste ; (oppure :) tale che implica, segue che deriva, discende da se e solo se (in inglese iff, if and only if) 8

9 CONFRONTO TRA INSIEMI Si dice che B è sottoinsieme di A e si scrive: B A (oppure A B) e si legge: "B è contenuto o è uguale ad A" ("A contiene o è uguale a B") se ogni elemento di B è un elemento di A b B b A 9

10 CONFRONTO TRA INSIEMI Insieme vuoto : Insieme privo di elementi (qualunque sia A) Si dice che B è sottoinsieme proprio di A e si scrive: oppure se B è diverso da A e dall'insieme vuoto, cioè se a A : a B 10

11 OPERAZIONI TRA INSIEMI UNIONE INTERSEZIONE DIFFERENZA COMPLEMENTAZIONE PRODOTTO CARTESIANO 11

12 UNIONE TRA INSIEMI L'unione di due insiemi A e B è l'insieme di quegli elementi che appartengono ad almeno uno dei due insiemi A e B L unione di A e B si scrive: A B = {x : x A e/o x B } Se A = B A B = A Se A B A B = B 12

13 UNIONE TRA INSIEMI Esempio: A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} A B

14 UNIONE TRA INSIEMI Esempio: A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} A B = {0, 1, 2, 3} A B

15 INTERSEZIONE TRA INSIEMI L'intersezione di due insiemi A e B è l'insieme di quegli elementi che appartengono sia ad A che a B L'intersezione di A e B si scrive: A B = {x : x A e x B } Se A = B A B = A Se A B A B = A Se A B = A e B si dicono disgiunti. 15

16 INTERSEZIONE TRA INSIEMI Esempio: A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} A B

17 INTERSEZIONE TRA INSIEMI Esempio: A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} A B = {1, 2} A B

18 DIFFERENZA TRA INSIEMI La differenza di due insiemi A e B è l'insieme di quegli elementi che appartengono ad A e che non appartengono a B: La differenza di A e B si scrive A B = A \ B = {x : x A e x B } Se A = B A \ B = Se A B A \ B = 18

19 DIFFERENZA TRA INSIEMI Esempio: A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} A B

20 DIFFERENZA TRA INSIEMI Esempio: A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} A \ B = {0} A B

21 DIFFERENZA TRA INSIEMI Esempio: A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} B \ A = {3} A B

22 DIFFERENZA SIMMETRICA La differenza simmetrica di due insiemi A e B è l'insieme di tutti gli elementi che appartengono ad A e B, meno gli elementi comuni ad A e B: La differenza simmetrica di A e B si scrive A B = (A B) \ (A B) = (A B) (B A) A B = B A Se A = B Se A B A B = A B =B \ A 22

23 DIFFERENZA SIMMETRICA Esempio: A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} A B

24 DIFFERENZA SIMMETRICA Esempio: A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} A B = B A = {0, 3}

25 INSIEME COMPLEMENTARE Sia U un insieme su cui si intende operare, chiamato insieme universale. sia A un sottoinsieme di U, si chiama insieme complementare di A rispetto ad U l'insieme differenza di U e A e si scrive: C U A =A =U \ A = {x : x U e x A } 25

26 INSIEME COMPLEMENTARE Esempio U = {0, 1, 2, 3, 5}, A = {1, 2} A 1 2 U

27 INSIEME COMPLEMENTARE Esempio U = {0, 1, 2, 3, 5}, A = {1, 2} C U A =U \ A = {0, 3, 5} A 1 2 U

28 PRODOTTO CARTESIANO Per coppia ordinata si intende una coppia di elementi in cui viene distinto il primo dal secondo: (x,y) (y,x) Dati due insiemi A e B, l insieme delle coppie ordinate (x,y) in cui il primo elemento x appartiene ad A ed il secondo elemento y appartiene a B si dice prodotto cartesiano di A e B A B = {(x, y) : x A, y B} 28

29 PRODOTTO CARTESIANO Esempio: A = {1, 2}, B = {3, 4} A B = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)} B A = {(3,1), (3,2), (4,1), (4,2)} 29

30 ESERCIZI Dati A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 4, 6} Calcolare: A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A B = {2, 4} A \ B = {1, 3, 5} B \ A = {6} 30

31 INSIEMI NUMERICI NATURALI INTERI O RELATIVI RAZIONALI IRRAZIONALI REALI COMPLESSI 31

32 I NUMERI NATURALI N={1, 2, 3, 4, 5,..} Si definisce sistema algebrico un insieme nel quale sono state definite alcune operazioni. Il sistema algebrico dei numeri naturali si ottiene introducendo in N le seguenti operazioni: 1) Addizione 2) Moltiplicazione 3) Relazione di minore o uguale (m<n (se e solo se) p N: m+p=n) 32

33 I NUMERI NATURALI m, n, p N Le operazioni di addizione e moltiplicazione godono delle proprietà: 1) Associativa: (m + n) + p = m + (n + p) (m n) p= m (n p) 2) Commutativa: m + n = n + m m n = n m 3) Distributiva: m (n + p)= m n + m p 4) Esistenza dell elemento neutro della moltiplicazione: 1 N: 1 m = m 33

34 I NUMERI INTERI L insieme dei numeri naturali è chiuso rispetto all addizione e alla moltiplicazione. Non è però chiuso rispetto alla sottrazione: sistema algebrico dei numeri interi. Z= {0, +1, -1, +2, -2, +3, -3, } Z + = {+1, +2, +3, } = N Z - = {-1, -2, -3, } Z = Z + Z - {0} 34

35 I NUMERI INTERI Valgono le proprietà 1), 2), 3) e 4) e inoltre: 5) Esiste l elemento neutro dell addizione: 0 Z : x + 0 = x, x Z 6) Esiste l opposto: x Z, y Z : x + y = 0, 7) Chiuso rispetto alla sottrazione: x y = x + (-y) 35

36 I NUMERI RAZIONALI PROBLEMA: Dati due numeri x,y Z non è sempre possibile trovare un numero q Z : x q = y ovvero Z non è chiuso rispetto alla divisione Q= {q = x/y : x Z, y Z \{0}} ogni numero decimale finito o periodico è un numero razionale. 36

37 NUMERI RAZIONALI Q è denso: q 1, q 2 Q, q Q : q = (q 1 + q 2 )/2 Ne Z sono discreti:

38 NUMERI REALI PROBLEMA: non è possibile trovare nessun numero razionale tale che il suo quadrato sia uguale a 2! Numeri reali: R= Q I dove I è l insieme dei numeri irrazionali 2,,e I 38

39 NUMERI REALI Supponiamo per assurdo che esista un numero razionale del tipo p/q (p e q primi tra loro) tale che: p 2 /q 2 =2 p 2 =2 q 2 p è pari, p = 2k 2 2 k 2 = 2 q 2 2 k 2 = q 2 ma allora anche q è pari contro l ipotesi che p e q sono primi tra loro. 39

40 NUMERI REALI L insieme dei numeri reali è chiuso rispetto alle operazioni algebriche di +, -, *, : Questo significa che la somma (la differenza, il prodotto e il quoziente) di 2 numeri reali è un numero reale. Non vale il viceversa! 40