Funzioni reali di variabile reale

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1 Funzioni reali di variabile reale Consideriamo le seguenti situazioni: Il volume V di una sfera di raggio r è dato dalla formula V = 4 3 r3. Dopo t anni, la massa rimasta di una quantità iniziale m 0 di piombo 210 è data da log 22 m = m 0 e 2 t. La pressione di una mole di gas a 343 K dipende dal volume del gas tramite la relazione p = 2850 V b a V 2 dove a e b sono costanti che dipendono dal tipo di gas. Sono situazioni in cui sono coinvolte due variabili e la prima dipende dalla seconda in modo che il suo valore risulta inequivocabilmente determinato a partire da quello di questa. Il modello matematico per dipendenze di questo tipo è il concetto di funzione. 1. GENERALITÀ SULLE FUNZIONI Definizione. Una funzione f è una corrispondenza che associa ad ogni elemento x di un certo insieme X al più un elemento f (x) appartenente ad un certo insieme Y. X : insieme di partenza, Y : insieme di arrivo. f : funzione di variabile in X a valori in Y, o brevemente da X in Y.

2 Possono esserci elementi x X a cui non corrisponde alcun y Y. dom f := insieme degli x X acuièe ettivamente associato un valore f (x) dom f := {x X : f (x) esiste}, dominio o insieme di definizione di f f (x) èl immagine di x tramite f, oilvalore di f in x (! apartiredax dom f) Possono esserci elementi y Y che non sono immagine di alcun x dom f. im f := insieme dei valori y Y e ettivamente assunti da f im f := {f (x) :x dom f} = {y Y : x dom f, f (x) =y}, immagine di f Se im f = Y,alloraf èdettasuriettiva (su Y ).

3 Uno stesso y Y può essere immagine di diversi x dom f (o di uno solo o di nessuno). f 1 (y) := insieme degli elementi x dom f che hanno immagine y Y f 1 (y) := {x dom f : f (x) =y}, controimmagine di y tramite f Ciascun x f 1 (y) è una controimmagine di y tramite f. Se ogni y Y ha al più una controimmagine, allora f è detta iniettiva. f (A) := insieme delle immagini degli elementi del sottoinsieme A X f (A) := {f (x) :x A dom f}, immagine di A tramite f Nota: f (A) = A dom f = ; imf = f (X).

4 f 1 (B) := insieme delle controimmagini degli elementi del sottoinsieme B Y f 1 (B) := {x dom f : f (x) B}, controimmagine di B tramite f Nota: f 1 (B) = B im f = ; f 1 (y) =f 1 ({y}). Una funzione può essere pensata come un unità che accetta in ingresso ogni elemento di dom f e restituisce in uscita un risultato, che dipende solo dall ingresso ricevuto. Questo si rispecchia nella notazione f :domf X Y x f (x) efacapirecheuna funzione è completamente individuata da dom f (= gli ingressi ammissibili) la legge con cui opera (= la procedura che cotruisce l uscita a partire dall ingresso).

5 In contesti applicativi concreti le funzioni sono usate per esprimere la modalità con cui il valore di una certa grandezza y dipende univocamente dal valore di un altra grandezza x. In questo spirito, una notazione alternativa alla precedente ed usata anche in astratto è: y = f (x),x dom f (o anche y = y (x)), dove x e y sono dette rispettivamente variabile indipendente e variabile dipendente della funzione f. Noi tratteremo prevalentemente funzioni reali di variabile reale, cioè f :domf R R. Allora l unità è un calcolatore e spesso f opera tramite un espressione matematica (espressione esplicita o analitica di f). Esempio. È tipico definire f con assegnazioni del tipo: f (x) =x 2 +3, x R (= dom f). Il nome dell argomento è irrilevante: f (y) =y 2 +3, f (t) =t 2 +3,..., con dom f = R, individuano tutte la stessa funzione (quella che riceve un numero reale, ne costruisce il quadrato, aggiunge 3 e restituisce il risultato). f ( 5) = f (2x) =

6 Osservazioni. 1 Non sempre una f :domf R R è definita tramite un espressione analitica. Esempio. Le funzioni valore assoluto e parte intera... 2 se x [2, 3) x se x 0 1 se x [1, 2) x = e [x] =max{k Z : k x} = x se x<0 0 se x [0, 1) 1 se x [ 1, 0)... sono definite a tratti: hanno espressioni analitiche diverse su sottoinsiemi diversi del loro dominio (in particolare [x] è costante a tratti: le diverse espressioni sono costanti). Esempio. Quasi tutte le cosiddette FUNZIONI ELEMENTARI non sono definite tramite espressione analitica, ma mediante opportuni procedimenti che descrivono le leggi con cui operano. Funzioni elementari precorso, libro di testo, dispensa sul sito 2 L indicazione del dominio è essenziale alla definizione di una funzione (la legge con cui opera non basta). Ad esempio, la legge a (x) =1 1 individua funzioni diverse a seconda che si consideri x dom a = R o dom a = N. Nel secondo caso, a èunasuccessione. Definizione. Si chiama successione una funzione a :doma R R con dominio del tipo dom a = {n N : n n 0 },n 0 N. La variabile di a si indica di solito con n, m, k... esiponea n := a (n) (posso numerare le immagini).

7 3 Sebbene una funzione sia individuata da dominio e legge con cui opera, vale la seguente convenzione: se non indicato esplicitamente, si assume che il dominio di una funzione da R in R di espressione analitica f (x) coincida con il suo insieme di esistenza, ossia il più ampio insieme di valori x R per cui f (x) ha senso in R. dom f si determina allora imponendo le condizioni di esistenza delle operazioni di f (x) e, in genere, è un intervallo o un unione di intervalli. 2. GRAFICO DI UNA FUNZIONE Oltre che da dom f e dalla legge con cui opera, una funzione f :domf X Y èanche completamente individuata se si descrivono tutte le coppie ordinate (x, f (x)) degli elementi che si corrispondono tramite f. Il loro insieme (sottoinsieme di X Y ) è detto grafico della funzione f: G f = {(x, y) X Y : x dom f, y = f (x)}. Se f èrealedivariabilereale,(x, f (x)) sono punti del piano cartesiano R 2 (= R R) e G f è il luogo geometrico di equazione y = f (x) con x dom f.

8 Esempio. Le funzioni definite da f (x) =mx + q e g (x) =ax 2 + bx + c con a = 0 (a ni, lineari se q =0) (quadratiche) hanno per grafico le curve di equazione y = f (x) e y = g (x), cioè y = mx + q (retta) e y = ax 2 + bx + c (parabola). y = f (x) =3x +1 y = g (x) =x 2 2x +1 Lettura di grafici. Dal grafico di una funzione se ne leggono molte proprietà qualitative. Vediamolo su un esempio. Innanzitutto: la curva disegnata è il grafico di una funzione. Infatti soddisfa il test delle rette verticali: un sottoinsieme del piano è il grafico di una funzione se e solo se ogni retta verticale lo interseca al più in un punto (non è detto che si possa determinare un espressione esplicita della funzione).

9 Per ogni f :domf R R risulta dom f = proiezione di G f sull asse x, im f = proiezione di G f sull asse x Quindi dom f =[a, b] e im f =[c, d] ( f non è suriettiva su R, mentre lo è su [c, d]). Definizione. Per ogni f :domf X Y ed A X, sipone f (A) :=insieme delle immagini degli elementi di A f (A) :={f (x) :x A dom f} (immagine di A tramite f) Preso ad esempio A =(0,x 0 ) {b}, come leggo f (A)? Guardo i punti di G f con ascissa in A e li proietto sull asse y. Risulta f ((0,x 0 ) {b} )=(0,d] {c}.

10 Definizione. Per ogni f :domf X Y e B Y,sipone f 1 (B) :=insieme delle controimmagini degli elementi di B f 1 (B) :={x dom f : f (x) B} (controimmagine di B tramite f). Preso ad esempio B =(0,d], come leggo f 1 (B)? Guardo i punti di G f con ordinata in B e li proietto sull asse x. Risulta f 1 ((0,d])=[a, x 0 ). Per una funzione f :domf X R (X qualunque), una partizione notevole di dom f è data dai seguenti sottoinsiemi: D + := {x dom f : f (x) > 0} = f 1 ((0, + )) insieme di positività di f D 0 := {x dom f : f (x) =0} = f 1 (0) insieme degli zeri di f D := {x dom f : f (x) < 0} = f 1 ((, 0)) insieme di negatività di f. Risulta D 0 = ascisse delle intersezioni tra G f e l asse x = {x 0 } D + = ascisse dei punti di G f al di sopra dell asse x =[a, x 0 ) D + = ascisse dei punti di G f al di sotto dell asse x =(x 0,b].

11 f :[a, b] R è iniettiva? No, infatti non soddisfa il test delle rette orizzontali: una funzione f :domf R R è iniettiva se e solo se ogni retta orizzontale y = k incontra il grafico di f al più una volta (una se k im f, nessuna se k/ im f) In sintesi: molte delle proprietà che una funzione può avere e che studieremo (limitatezza, simmetrie, monotonia, periodicità, estremi, limiti, ecc.) sono sintetizzate dal suo grafico. Per ripasso delle funzioni elementari richiami su trasformazioni del piano e grafici con valore assoluto altre osservazioni importanti su equazioni, disequazioni e grafici 3 dispense sul sito + esercitazioni

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