04 Aritmetica del calcolatore

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1 Aritmetica del calcolatore

2 Numeri a precisione finita - con un numero finito di cifre - non godono della proprietà di chiusura - le violazioni creano due situazioni distinte: - overflow - underflow Pagina 2

3 Numeri a precisione finita - non vale la regola associativa a + (b c) = (a + b) c Per esempio con a = 700, b = 400, c = non vale la regola distributiva del prodotto a x (b c) = a x b a x c Per esempio con a = 5, b = 210, c = 195 Pagina 3

4 Sistemi di numerazione in base fissa Pagina 4

5 Sistemi di numerazione in base fissa Pagina 5

6 Sistemi di numerazione in base fissa Pagina 6

7 Conversione tra basi Da base binaria a base ottale - raggruppare il numero binario a gruppi di tre cifre (partendo dalla meno significativa) e sostituire il corrispondente valore ottale di ogni gruppo Da base binaria a base esadecimale - raggruppare il numero binario a gruppi di quattro cifre (partendo dalla meno significativa) e sostituire il corrispondente valore esadecimale di ogni gruppo Pagina 7

8 Conversione tra basi Pagina 8

9 Conversione tra basi Pagina 9

10 Conversione tra basi Dalla base ottale alla base binaria - sostituire ad ogni cifra ottale l'equivalente numero binario espresso con tre bit Dalla base esadecimale alla base binaria - sostituire ad ogni cifra esadecimale l'equivalente numero binario espresso con quattro bit Pagina 10

11 Conversione tra basi Dalla base decimale alla base binaria (primo metodo) - sottrarre al numero decimale la più grande potenza di 2 minore del numero stesso; ripetere il procedimento con la differenza ottenuta. Il numero binario si ottiene inserendo 1 nelle posizioni corrispondenti alla potenze di 2 utilizzate, 0 nelle altre posizioni Pagina 11

12 Conversione tra basi Esempio: convertire in base 2 il numero decimale = = = ( ) = ( ) = ( ) = = ( ) = = ( ) = = = Pagina 12

13 Conversione tra basi Dalla base decimale alla base binaria (secondo metodo) - dividere il numero per 2. Il quoziente viene scritto sotto il numero e il resto (0 o 1) viene scritto accanto al quoziente. Si ripete il procedimento finché non si arriva a 0. Il numero binario si ottiene dalla colonna dei resti partendo dal basso. Pagina 13

14 Conversione tra basi Pagina 14

15 Conversione tra basi Dalla base binaria alla base decimale (primo metodo) - sommare le potenze di 2 che corrispondono alle posizioni degli 1 nel numero binario Per esempio: = 1x x x x x2 0 = = = = 22 Pagina 15

16 Conversione tra basi Dalla base binaria alla base decimale (secondo metodo) - scrivere il numero binario in colonna, con in basso il bit più significativo. L'elemento della riga i-esima è il doppio della riga (i-1)-esima più il bit della riga (0 o 1). Pagina 16

17 Conversione tra basi Pagina 17

18 Conversione tra basi La conversione da decimale a ottale (o esadecimale) si realizza: - passando dalla conversione in binario - mediante sottrazioni successive di potenze di 8 o 16 Pagina 18

19 Numeri binari negativi - rappresentazione con modulo e segno Il bit più significativo viene utilizzato come bit di segno (1 per il, 0 per il + ) Pagina 19

20 Numeri binari negativi - rappresentazione in notazione in eccesso di 2 m-1 Viene rappresentato la somma del numero con 2 m-1. Nel caso di 3 bit, il sistema è in eccesso di 4 e memorizza un numero dopo avergli sommato 4 Esempio: = = = = Pagina 20

21 Numeri binari negativi - rappresentazione in complemento a uno La negazione di un numero si ottiene scambiando tutti gli 1 con 0 e viceversa, compreso il bit di segno Pagina 21

22 Numeri binari negativi - rappresentazione in complemento a due La negazione di un numero si ottiene: - scambiando tutti gli 1 con 0 e viceversa (compreso il bit di segno) - aggiungendo 1 al risultato (il resto sul bit più significativo viene ignorato) - per l'estensione del segno si aggiungono nuovi bit a sinistra uguali al bit di segno originale = = = 101 Pagina 22

23 Numeri binari negativi - rappresentazione in complemento a due = ( 0) = 1111 (15) = 1110 (14) = 1101 (13) = 1100 (12) = 1011 (11) = 1010 (10) = 1001 ( 9) = 1000 ( 8) Pagina 23

24 Numeri binari negativi - rappresentazione in complemento a due (estensione del segno) Permette di trasformare un intero rappresentato con n bit nello stesso intero rappresentato con m bit (m > n) Per i numeri negativi in complemento a 2 bisogna replicare il bit di segno fino a raggiungere la nuova posizione (20) (-20) = Pagina 24

25 Numeri binari negativi - rappresentazione in complemento a due L'opposto di un numero si ottiene: - eseguendo il complemento a 2 della stringa - sommando 1 al numero ottenuto (20) = 1 = Pagina 25

26 Addizione e sottrazione in complemento a due - in caso di numeri negativi bisogna prenderne il complemento a due Addizione (attenzione all'overflow) = Pagina 26

27 Addizione e sottrazione in complemento a due - per sottrarre un numero (sottraendo) da un altro numero (minuendo) si considera l'opposto del sottraendo e lo si somma al minuendo Sottrazione 2 7 = (-7) = = Pagina 27

28 Rappresentazione in virgola mobile La notazione scientifica permette di rappresentare numeri molto grandi o molto piccoli: =9, , =9, Allo stesso modo, un numero binario può essere rappresentato come: ±S B ±E Pagina 28

29 Rappresentazione in virgola mobile ±S B ±E Pagina 29

30 Rappresentazione in virgola mobile ±S B ±E Il campo dell'esponente (8 bit in precisione semplice) permetterebbe di esprimere numeri compresi tra 0 e 255 ma, per tenere conto degli esponenti negativi si utilizza la notazione in eccesso (o polarizzata) Si possono così esprimere numeri compresi tra -128 e 127 Pagina 30

31 Rappresentazione in virgola mobile notazione in eccesso Consiste nel sommare la quantità 2 k 1 1 k è il numero di bit del campo esponente Nel caso di 4 bit si ha: Pagina 31

32 Rappresentazione in virgola mobile notazione in eccesso Pagina 32

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