Ulteriori considerazioni sui Sistemi di Particelle.

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1 Ulteo cosdeazo su Sstem d Patcelle. Eega cetca d u sstema d patcelle. Teoema d Kög. Ache l eega cetca d u sstema d put mateal s ottee sommado l eega cetca de sgol put. Suppoamo qud d avee u sstema composto da put mateal, se dchamo co m e co v spettvamete la massa e la veloctà dell -esma patcella, avemo che l eega cetca totale del sstema s potà scvee: K m v Tovamo oa la elazoe ta l eega cetca totale del sstema d put mateal e quella del ceto d massa quado mmagamo l ceto d massa come u puto mateale d massa pa alla massa totale del sstema e che s muove co la veloctà del ceto d massa, v. Itoducamo oa ua secoda tea co oge el ceto d massa ed ass costatemete paallel a quell della tea pecedete. Idcheemo co u apce le quattà msuate questo secodo sstema d femeto. Le veloctà della -esma patcella e due sstem d femeto soo legate dalla elazoe: v v + L'eega cetca del sstema d patcelle è data dalla somma delle spettve eege cetche: K Utlzzado la elazoe ta v ' e v, s ottee: K m v m v v ' v m v m v + ' ( ) v + v ( ) ( v + v' + v v' ) mv + mv' + m v v' m m v + m v' + v m v ' m v + m v' + v M v ' 0 m v + m v' ' v M totv Dove v ' è la veloctà del ceto d massa spetto al ceto d massa, petato essa è ulla. I coclusoe, l'eega cetca d u sstema d patcelle può sempe essee espessa come la somma dell'eega cetca che spetteebbe al ceto d massa, M v tot, qualoa ad esso fosse assegata tutta la massa del sstema, e dell'eega cetca de put mateal, K', dovuta al loo moto elatvo al ceto d massa (feto coè ad u sstema d femeto soldale co l ceto d massa). Il pmo teme cospode alla taslazoe del sstema co veloctà pa a quella del ceto d massa, l secodo teme è l'eega cetca che msueebbe u ossevatoe che s muovesse co l ceto d + K' Il sstema d femeto così todotto s chama "sstema d femeto del ceto d massa": l "sstema d femeto del ceto d massa" ha come oge el ceto d massa del sstema d put mateal ed ass costatemete paallel a quell della tea utlzzata pe descvee l moto de put mateal che costtuscoo l sstema ossevazoe. 09

2 massa. Il ceto d massa o è appesetatvo del sstema pe quato guada l eega cetca, la sua eega cetca fatt o cocde co l eega cetca totale del sstema. Questo sultato va sotto l ome d I teoema d Kög. Estesoe del teoema delle foze vve, o dell eega cetca, ad u sstema d put mateal. A cascu puto mateale del sstema possamo applcae l teoema delle foze vve: ΔK K f K z W W F,,..., somma de lavo comput da tutte le foze, sa tee che estee, aget sulla patcella La vaazoe dell eega cetca della patcella è data dal lavoo della sultate delle foze aget sulla patcella -esma, qud è uguale alla somma de lavo fatt sa dalle foze tee che dalle foze estee aget sulla patcella -esma. Sommado su tutte le patcelle s ottee: f z ΔK K K W W F K f K z Δ K somma de lavo comput da tutte le foze, sa tee che estee, aget sulle patcelle La vaazoe dell eega cetca dell teo sstema ΔK è data dalla somma de lavo comput da tutte le foze aget sulle patcelle che costtuscoo l sstema, sao esse tee o estee. Lavoo effettuato dalle foze tee. Voglamo mostae che l lavoo delle foze tee dpede solo dalla vaazoe delle dstaze ta le patcelle che costtuscoo l sstema, petato se le dstaze ta le patcelle del sstema estao costat, come accade pe el caso d u copo gdo, alloa l lavoo delle foze tee è ullo. Cosdeamo due geeche patcelle del sstema, la patcella e la patcella j. Voglamo aztutto fa vedee che se la dstaza ta le due patcelle o camba, alloa l lavoo delle foze tee è ullo. Esameemo dappma due cas patcola pe po geealzzae al caso geeale. I caso patcolae: la dstaza ta le due patcelle o camba se le due patcelle subscoo lo stesso spostameto come mostato fgua cu è dcato co d lo spostameto ftesmo subto dalla d patcella e co d j quello della patcella j : O F j j F j Il lavoo complessvo effettuato dalle due foze tee, F j ed F j, è dato da: W j F j d + F j d j F j d F j d d j d F j F j II caso patcolae : la dstaza mae costate se ua delle due patcelle mae fssa e l alta s muove lugo ua taettoa ccolae co l ceto cocdete co la pma. d j, lo spostameto ftesmo della patcella j, questo caso è pepedcolae alla fozaf j : fatt d j è tagete alla taettoa ccolae e petato pepedcolae al aggo della ccofeeza, coè alla dezoe della etta cogugete co j. j d j O F j j F j j d j 0

3 W j F j d 3 0 pechè d 0 + F j d 3 j 0 pechè d j è pepedcolae a F j 0 Geealzzazoe: u qualuque spostameto cu la dstaza ta le due patcelle o camba può essee sempe mmagato come la sovapposzoe d ua taslazoe, le due patcelle subscoo lo stesso spostameto, pù ua otazoe d ua patcella spetto all alto. esta qud vefcato che se o c è vaazoe d dstaza ta due patcelle l lavoo complessvo delle foze d teazoe ta le due patcelle, F j ed F j, è ullo. Poché tutte le foze tee s pesetao a coppe, segue che se u sstema d patcelle tutte le dstaze ta le patcelle che lo costtuscoo estao costat l lavoo complessvo fatto dalle foze tee è ullo. Pe vefcae che l lavoo delle foze tee dpede dalla vaazoe delle dstaze ta le patcelle, cosdeamo acoa u caso patcolae cu ua delle due patcelle sa fema e l alta s muove modo che la loo dstaza va. Questo sgfca che la O dθ F j j j ' j F j j d j d j taettoa o può essee ua ccofeeza co l ceto cocdete co la pma patcella. Facedo femeto alla fgua s ossev che la dstaza ta le due patcelle dopo lo spostameto, cocdete co l modulo del vettoe poszoe, ' j, della patcella j spetto alla patcella dopo lo spostameto, può essee messa elazoe co la dstaza ta le due patcelle pma dello spostameto, cocdete co l modulo del vettoe poszoe pma dello spostameto, j. Ifatt: Poché dθ 0 ' j cos( dθ) j + d j cos( dθ) ' j j d j sulta qud che la vaazoe della dstaza ta le due patcelle, el caso d spostamet ftesm, è popo uguale alla compoete dello spostameto lugo la etta passate pe le due patcelle, d j, e qud alla vaazoe della dstaza ta le due patcelle. W j F j d + F j d j F j d j 3 0 pechè d 0 3 F j F j d j compoete dello spostameto ella dezoe d F j, cospode alla vaazoe d lughezza d j

4 Estesoe della legge d cosevazoe dell eega meccaca totale a sstem d patcelle. Se tutte le foze, sa tee che estee, aget su u sstema d patcelle soo cosevatve alloa s può applcae al sstema la cosevazoe dell eega meccaca totale. Ifatt pe cascua patcelle del sstema s può scvee: ΔK K f K z W W F 443 U z f F - U 4 44 F 3 Sommado su tutte le patcelle s ottee: somma de lavo comput da tutte le foze, sa tee che estee, aget sulla patcella ( ) somma dell' opposto della vaazoe dell'eega potezale elatva a tutte le foze, sa tee che estee, aget sulla patcella f z ΔK K K W W F U z f F - U F K f K z Δ K somma de lavo comput da tutte le foze, sa tee che estee, aget sulle patcelle ( ) somma dell'opposto della vaazoe dell'eega potezale elatva a tutte le foze, sa tee che estee, aget sulle patcelle,,..., U z U f ΔU Dove U z z U F somma dell' eega potezale zale elatva a tutte le foze, sa tee che estee, aget sulle patcelle U f f U F somm a dell'eega potezale fale elatva a tutte le foze, sa tee che estee, aget sulle patcelle L eega potezale dell teo sstema s ottee sommado le eege potezal elatve a tutte le foze, tee od estee, supposte cosevatve, aget su cascua patcella del sstema. pededo l equazoe pecedete, ell potes che tutte le foze aget sulle vae patcelle del sstema, sa quelle tee che quelle estee, sao cosevatve, l eega meccaca totale s coseva, fatt: ΔK + ΔU 0 ΔK ΔU Δ( K + U) ΔE 0 Nel caso cu alcue delle foze peset, sao esse tee o estee, soo o cosevatve, alloa: f z ΔK K K W,co + W,oco K f K z Δ K ( ) U z f F - U F somma dell' opposto della vaazoe dell' eega potezale elatva a tutte le foze cosevatve, sa tee che estee, aget sulle patcelle somma de lavo comput da tutte le foze cosevatve, sa tee che estee, aget sulle patcelle somma de lavo comput da tutte le foze o cosevatve,sa tee che estee, aget sulle patcelle W c 4443 ΔU + W c somma de lavo comput da tutte le foze o cosevatve,sa tee che estee, aget sulle patcelle da cu s ottee la elazoe lavoo-eega che espme l estesoe della cosevazoe dell eega meccaca totale el caso cu soo peset alcue foze o cosevatve: ΔK ΔU + W c ΔK + ΔU W c Δ( K + U) ΔE W c

5 La vaazoe dell eega meccaca totale è uguale al lavoo delle foze o cosevatve (atualmete va cosdeato l lavoo fatto da tutte le foze, sa quelle estee che quelle tee. Val la pea d codae che se le dstaze ta le patcelle del sstema magoo costat, sstema gdo, l lavoo delle foze tee è ullo). Eega potezale d u sstema d patcelle su cu agsce la foza peso. Cosdeamo u sstema d put mateal posto sulla supefce teeste e avete u estesoe lmtata, tale da pote cosdeae costate, all teo del volume occupato dal sstema, l acceleazoe d gavtà g, sa modulo che dezoe. Voglamo detemae l eega potezale del sstema su cu, a causa dell teazoe co la tea, agsce la foza peso. S ot che, poché la Tea o fa pate del sstema d put mateal, la foza peso va cosdeata ua foza estea. Abbamo mpopamete palato d foza peso agete sul sstema, sappamo fatt che qualuque patcella dotata d massa, posta elle vcaze della supefce teeste, è soggetta alla foza peso. Qud se dchamo co m la massa dell -esma patcella del sstema, essa saà soggetto ad ua foza peso pa a P m g,,..., E l eega potezale cospodete vaà U m gh,,..., I cu h è la quota a cu s tova l -esma patcella al d sopa del pao ozzotale a cu (abtaamete) è stata assegata eega potezale ulla. Abbamo mpaato el captolo pecedete che pe detemae l eega potezale d tutto l sstema dobbamo sommae su tutte le patcelle del sstema. Petato: U U m gh Idcado co M la massa totale del sstema, M comue a tutt gl added della sommatoa, s ottee: m, e mettedo evdeza l fattoe g che è I coclusoe: U U m gh g m h gmh g compae tutt tem della sommatoa e s può mettee evdeza U Mgh dalla defzoe d Ceto d Massa, la quota h saà m h data da h M L eega potezale totale del sstema s otteà moltplcado la massa totale del sstema, M, pe l acceleazoe d gavtà, g, pe la quota del ceto d massa del sstema msuata a pate dal pao ozzotale d femeto, quello a cu abtaamete è stato fatto cospodee u eega potezale ulla. Mometo agolae d u sstema d patcelle. Nel caso del puto mateale, pe tattae le foze cetal, abbamo todotto, l mometo della quattà d moto. codamo fatt che pe ua patcella d massa m moto co veloctà v, l mometo della quattà d moto spetto al polo O cocdete co l oge del sstema d femeto s scve: 3

6 l O m v Possamo estedee la defzoe del mometo della quattà d moto, o mometo agolae, ad u sstema d patcelle facedo semplcemete la somma de momet delle quattà d moto d z cascua patcelle del sstema, maea aaloga a quato è stato fatto pe tutte le alte gadezze f v qu cotate. P Pe cascua patcella del sstema, l mometo della quattà d moto spetto al polo O cocdete co l oge del sstema d femeto, s scveà: l O v m v,,..., P Il mometo agolae totale del sstema spetto al polo O, s otteà: L O l O m Natualmete l mometo agolae d u sstema può essee calcolato ache spetto ad u polo dveso dall oge del sstema d femeto, questo caso l vettoe poszoe da usae saà quello co oge el uovo polo. L O' ' m Ossevado che ' +OO ' s può dedue la elazoe che lega due momet, quello elatvo al polo O e quello elatvo al polo O : L O m v ' +OO' m v v ' m v + OO' m v v L O' + OO' P Patcolamete teessate è l caso cu l polo O cocde co l ceto d massa (): L ' m v I questo caso, fatt, s può dmostae che l valoe del mometo agolae è lo stesso se calcolato utlzzado le veloctà delle patcelle detemate el sstema d femeto del Laboatoo, v, che utlzzado valo delle veloctà msuate el sstema d femeto del Ceto d Massa, v '. x x O OO' O 3 z x P P 3 3 P 3 v ' z v 3 v ' 3 ' v 3 v P y y y L ' m v ' m L' poszoedel el sstema d fe del ' 0 Nel suo sstema d femeto l cocde co l'oge. ( v + v' ) ' m v + ' m v' m' v + L' L' 4

7 L ' m v ' m v ' L ' Secodo teoema d Kög. Ache pe quato guada l mometo agolae, così come avevamo gà vsto pe l eega cetca (teoema d Kög), l ceto d massa o appeseta completamete l sstema. Ifatt, s può dmostae l secodo teoema d Kög l quale affema: Il mometo agolae totale d u sstema d put mateal spetto al polo O è uguale al mometo della quattà d moto del ceto d massa spetto al polo O, mmagado l ceto d massa come u puto mateale d massa pa alla massa totale del sstema che s muove co la veloctà del ceto d massa, pù l mometo agolae del sstema d put mateal valutato spetto al ceto d massa. Coè: L O Mv + L ' Pe l ossevazoe fatta pecedetemete, l mometo agolae del sstema spetto al ceto d massa s può valutae sa el sstema d femeto del laboatoo che quello del ceto d massa, L L '. Il teme M v s chama mometo agolae obtale, mete l teme L ' s chama mometo agolae d sp (otazoe). Se pe esempo volessmo calcolae l mometo agolae della tea spetto al sole, occoeebbe tee coto, olte al mometo agolae della tea spetto al sole dovuto al suo moto d seme attoo al sole, T Mv T, l mometo agolae obtale, ache del fatto che la tea uota su se stessa e pe questo L ', l mometo agolae d sp, è dveso da zeo. Pe la dmostazoe del secodo teoema d Kög basta fa femeto alla elazoe che lega momet agola calcolat spetto a pol dves e all ossevazoe che l mometo agolae spetto al ceto d massa può essee valutato sa el sstema del laboatoo quato quello del ceto d massa, L L '. Patedo da L O L O' + OO' P e facedo cocde e O co l ceto d massa, s ottee: L O L + P Mv + L Mv + L ' 5

8 Teoema del mometo agolae. II equazoe cadale della damca de sstem. Nello studo della damca del puto mateale avevamo detemato ua elazoe ta la vaazoe del mometo della quattà d moto e l meto delle foze applcate. Ua elazoe dello stesso tpo vale ache pe sstem d put mateal. S può dmostae fatt che La devata spetto al tempo del mometo agolae d u sstema d put mateal è uguale al mometo sultate delle sole foze este aget sulle vae patcelle costtuet l sstema calcolato spetto allo stesso polo. Aaltcamete: d L O M O est La elazoe pecedete vale se l polo O cocde co l oge del sstema d femeto del Laboatoo, oppue co u qualsas puto femo questo sstema d femeto, oppue acoa se l polo cocde co l ceto d massa, o co u puto la cu veloctà è sempe paallela a quella del ceto d massa. Al cotao del puto mateale cu la elazoe cospodete a quella sctta pecedetemete è del tutto equvalete alla secoda legge d Newto e qud o agguge fomazo spetto questa, el caso de sstem d put mateal, la II equazoe cadale de sstem è del tutto dpedete dalla pma (l teoema del ceto d massa) e, qud, può foe ulteo fomazo spetto a quelle detemabl dal teoema del ceto d massa. Pe edes coto d questo fatto possamo fa femeto al seguete esempo. Cosdeamo u dsco omogeeo che è lbeo d uotae, u pao vetcale, attoo ad u asse ozzotale passate pe l suo ceto, che pe ago d smmeta cocde ache co l ceto d massa. Suppoamo d applcae al bodo del dsco ua foza tagete al dsco stesso autadoc, pe esempo, co ua coda avvolta sul dsco stesso. Co questa foza o uscamo a mettee otazoe l copo attoo all asse ozzotale mete l ceto d massa del dsco mae femo. Il teoema del ceto d massa c pemette d detemae l valoe della eazoe vcolae esectata dall asse ozzotale passate pe l ceto d massa del dsco, ma o c fosce alcua fomazoe sul moto del dsco attoo all asse. Ifatt: P + F + v M a 0 Possamo ossevae vece che l mometo delle foze estee spetto al v ceto d massa, M est, è dveso da zeo ( l suo modulo fatt è pa a F, la dezoe pepedcolae al pao della fgua e veso etate ella fgua, la foza peso e la eazoe vcolae essedo applcate al ceto d massa hao mometo ullo spetto ad esso). Ma ache l mometo agolae L è o ullo dato che alcue de put del dsco hao ua veloctà dvesa da zeo. I base a queste cosdeazo, c s può attedee che la secoda equazoe cadale della damca de sstem fosca questo caso fomazo utl alla desczoe del moto del dsco. S tusce fe, ache feedos all esempo llustato, come quest ultma equazoe possa svolgee u uolo detemate ello studo de mot d otazoe. P F 6

9 Dmostazoe del teoema del mometo agolae. dl d m v O d m v Pe la secoda legge d Newto m a F + est F t Pochè d v, questo teme è ullo quato cascu teme della somma è ullo pochè podotto vettoale d due vetto paallel,,..., d v + m cu F est è la sultate delle foze estee aget sull -esma patcella e F t è la sultate delle foze tee. Petato: dl O m a est F + t ( F ) M est t O + M O est M O + t M O Mostamo oa che M t O è ullo. Abbamo gà ossevato che le O foze tee s pesetao coppa. Cosdeamo l cotbuto al mometo sultate totale delle foze tee ta la patcella e la patcella j. m f j a j j f j j M O t... + f j j f j f j +... j f j f j f j ( j ) f 4 43 j 0 pechè f j é paallela a j j

10 Cop gd. Itoduzoe. Pe copo gdo s tede u patcolae sstema d put mateal cu le dstaze, ta due qualuque de suo put, o vaao el tempo dpedetemete dalle codzo cu l copo gdo s vee a tovae, alt tem u copo gdo o subsce alcua defomazoe ache se sottoposto a sollectazo estemamete elevate. S ot che u copo gdo o può essee soggetto a mot che cotemplo espaso o compesso del copo stesso (pe esempo maee, vbazo, ecc). Il copo gdo è chaamete u astazoe. Esstoo atua dves cop che molte stuazo subscoo defomazo tascuabl: s può, pe esempo, fa femeto a cop sold: ua uota, ua sbaetta, u tavolo, l ata d ua pota, l elca d u aeeo o d ua ave, u edfco, ecc.. Quest cop, fatt, possoo essee cosdeat, co buoa appossmazoe, gd. I quest cop la massa o è cocetata u umeo fto d put, al cotao ess sembao compost da u umeo così gade d put mateal, da potelo cosdeae fto. Pealto, dves put mateal soo così vc uo all alto che l copo gdo può essee mmagato come ua dstbuzoe cotua d massa. Questo tpo d copo gdo s dcheà pecò co l aggettvo cotuo pe dstguelo da cop gd costtut da u umeo fto d put mateal pe qual s useà l aggettvo dscet. La dffeeza ta due tp è che, el caso d u copo gdo dsceto, pe tovae valo delle gadezze elatv all teo copo gdo, occoe fae delle sommatoe su u umeo fto d tem, el caso d u copo gdo cotuo, bsoga sommae su u umeo fto d tem (ftesm), l che equvale a fae u opeazoe d tegazoe. Nella osta tattazoe qud faemo femeto a cop gd dscet, fomat patca da u umeo fto d put mateal, quato è pù semplce tattae co sommatoe d u umeo fto d tem: gl agomet che tatteemo s applcao og caso ache a cop gd cotu a patto d sosttue le sommatoe co gl oppotu tegal. Comcamo co l ossevae, che a cop gd, così come a tutt sstem d put mateal, s applcao la pma e la secoda equazoe cadale de sstem d put mateal: d P est dl M est Natualmete l mometo agolae e momet delle foze estee vao calcolat spetto ad u puto femo el sstema d femeto usato pe descvee l moto del copo gdo (pe esempo l oge O del sstema d femeto) oppue spetto al ceto d massa del copo gdo. Covee ossevae subto che, el caso de cop gd, le foze tee o compoo lavoo: fatt, dalla defzoe d copo gdo deva che le dstaze ta due put qualsas del copo stesso magoo vaate el tempo, mete l lavoo delle foze tee è popo dettamete legato alle vaazo d tale dstaza. Nel caso de cop gd duque, solo le foze estee compoo lavoo. Accato alle equazo cadal, pe cop gd possamo ache scvee l teoema delle foze vve ella seguete foma: ΔK W est Le due equazo cadal soo equazo vettoal e cospodoo qud a se equazo scala. S ot che o v compaoo le foze tee, ma soltato la sultate delle foze estee e l mometo sultate delle foze estee. Abbamo gà ossevato pecedeza che mete el caso del sgolo puto mateale la elazoe ta momet ea equvalete alla secoda legge della damca, el caso de sstem d put mateal, ed patcolae de cop gd, le se equazo pecedet soo dpedet ta loo. Cò può essee meglo compeso se s assume come polo l ceto d massa. I tal caso la pma equazoe cadale della damca de sstem cosete d detemae la veloctà del ceto d massa. Nella secoda equazoe cadale della damca de sstem compaoo le veloctà delle patcelle spetto al ceto d massa, che o soo detemabl co la pma. solvedo la secoda equazoe cadale s ottegoo delle fomazo pù che o soo ottebl co la pma equazoe. 8

11 I coclusoe pe studae l moto de cop gd abbamo a dsposzoe le due equazo cadal, cospodet a se equazo scala. Quate vaabl, quate coodate c sevoo descvee l moto d u copo gdo ello spazo? No sappamo che pe descvee l moto ello spazo d u puto mateale sevoo te coodate: pe u copo gdo composto da put mateal sevao qud 3 coodate (che dvetao fte se l copo gdo è cotuo e petato fomato da u umeo fto d put mateal). Il poblema o è soluble se dveta gade? Ossevamo che le 3 coodate ecessae pe descvee l moto de sgol put del copo gdo o soo tutte dpedet: esstoo delle elazo ta esse popo peché le dstaze ta le coppe d put del copo gdo devoo estae costat. Queste elazo ducoo l umeo delle coodate ecessae pe la desczoe del moto del copo gdo. Pe detemae l umeo d coodate effettvamete ecessao pe descvee l moto d u copo gdo, vedamo pma come possamo descvelo. Covee todue la tea catesaa soldale: essa ha l oge cocdete co u puto patcolae del copo gdo, pe esempo l ceto d massa, e gl ass che passao, costatemete, pe alt te put patcola, d femeto, del copo 3, uo pe cascu asse. Se ad u ceto state s vuole sapee dove s tova l asse x della tea soldale, basteà taccae la etta che coguge la poszoe quell state dell oge della tea co la poszoe del puto d femeto sull asse delle x. I maea aaloga s opea pe gl alt ass. Dalla defzoe d copo gdo deva che la poszoe d og puto del copo mae vaata questa tea. Da questo dscede che pe descvee l moto del copo gdo è suffcete descvee l moto della tea soldale. I ealtà, pe descvee l moto d ua tea basta descvee l moto d te put: l'oge della tea, u puto sull'asse x e u puto sull'asse y. Se cooscamo la poszoe d quest te put ad og state d tempo alloa potemo sempe costue sa gl ass x e y della tea, ma ache l'asse z, quato esta uvocamete detemato dalla egola della mao desta ua volta specfcato l'oge e l pao xy. Se duque o samo capac d costue, state pe state, la poszoe della tea soldale ello spazo, sfuttado l fatto che og puto del copo gdo ha ua poszoe fssa ella tea soldale, dalla coosceza della poszoe d cascu puto del copo gdo spetto alla tea soldale ad u patcolae state d tempo, pe esempo all state t0, potemmo detemae la sua poszoe ad u qualuque state successvo. Appae qud che descvee l moto della tea soldale, e qud dell teo copo gdo sa ecessao descvee come vaao el tempo la poszoe d te patcola put del copo gdo, l oge della tea soldale, u puto d femeto sull asse delle x ed u puto sull asse delle y. Abbamo qud bsogo d ove coodate. I ealtà, o tutte e ove soo dpedet. Ifatt, le dstaze elatve ta te put devoo estae costat el tempo come deva dalla defzoe d copo gdo. Coè: ( x x ) + y y ( x x 3 ) + y y 3 ( x x 3 ) + y y 3 ( ) + ( z z ) d ( ) + ( z z 3 ) d 3 ( ) + ( z z 3 ) d 3 I deftva, le coodate effettvamete ecessae soo solo se (ove coodate meo te elazo): soo suffcet se quattà pe descvee l moto d u copo gdo. S dce questo caso che l copo gdo ha se gad d lbetà 4. 3 La tea soldale o va cofusa co l sstema d femeto del ceto d massa. codamo che l sstema d femeto del ceto d massa ha l oge cocdete co l ceto d massa del copo gdo e gl ass costatemete paallel a quell del sstema del laboatoo. La tea soldale, pe effetto del moto del copo gdo, può cambae l oetazoe de pop ass spetto a quell della sstema del Laboatoo. 4 Il umeo d gad d lbetà d u sstema è uguale al umeo d coodate ecessae pe descvee l suo moto. U puto mateale che s muove ello spazo ha te gad d lbetà, u puto mateale che è costetto a muoves u 9

12 No abbamo a dsposzoe le due equazo cadal della damca de sstem che soo equvalet a se equazo scala: e deva che l moto d u copo gdo può essee detemato completamete. Mot d u copo gdo. Comcamo ad esamae cas patcola: ) Moto d pua taslazoe: tutte le patcelle che costtuscoo l copo gdo subscoo lo stesso spostameto ello stesso tevallo d tempo. I alte paole, tutt put del copo gdo s muovoo co la stessa veloctà, che è ache la veloctà del ceto d massa. La veloctà de va put del copo gdo spetto al ceto d massa è ulla. v v v,,..., L ' m v ' 0 I questo caso l mometo agolae del copo gdo spetto al ceto d massa è costatemete uguale a zeo. La secoda legge cadale della damca è qud baalmete soddsfatta: o c'è moto attoo al ceto d massa. C dce solo che l mometo delle foze estee spetto al ceto d massa è ullo. Pe descvee l moto del copo gdo è suffcete descvee l moto d u suo puto pe esempo l moto del ceto d massa, che può essee detemato dalla pma delle legg cadal della damca de sstem. ) moto d pua otazoe attoo ad u asse fsso: tutt put del copo gdo che s tovao sull'asse d otazoe hao veloctà ulla, soo fem. Gl alt put s muovoo su pa pepedcola all'asse d otazoe pecoedo taettoe ccola co ceto sull'asse d otazoe. La poszoe del copo gdo è desctta dall'agolo θ(t). U solo agolo è suffcete pe detemae la poszoe del copo gdo. Ifatt, u fssato tevallo d tempo, tutt put devoo esses spostat dello stesso agolo spetto alla poszoe zale: è suffcete duque specfcae la poszoe agolae d u solo puto pe appesetae la poszoe d tutt put. La veloctà agolae ω d θ che dà la apà co cu l'agolo θ(t) vaa fuzoe del tempo, e l'acceleazoe agolae: α d ω hao lo stesso valoe pe tutt put del copo gdo. La veloctà leae vece dpede dalla poszoe del puto cosdeato, essa è tagete alla taettoa ccolae pecosa dal puto cosdeato e l suo modulo può essee otteuto moltplcado l valoe assoluto d ω pe l aggo della taettoa ccolae pecosa attoo all asse d otazoe: v ω Ache l'acceleazoe leae vaa da puto a puto; essa ha due compoet: la compoete tagezale: a t α la compoete adale (cetpeta) detta veso l'asse d otazoe: pao, ha solo due gad d lbetà (soo suffcet due coodate pe descvee la sua poszoe), u puto mateale che è costetto a muoves lugo ua etta, ha solo u gado d lbetà (è suffcete ua sola coodata pe descvee la sua poszoe). U copo gdo lbeo d muoves ello spazo ha se gad d lbetà, u copo gdo lbeo d uotae attoo ad u asse fsso ha u solo gado d lbetà(è suffcete ua sola coodata, l agolo d otazoe, pe descvee la sua poszoe). 0

13 a c ω le qual soo etambe popozoal ad, la dstaza del puto cosdeato dall'asse d otazoe. 3) moto ototaslatoo: geeale l moto d u copo gdo s potà cosdeae come la sovapposzoe d u moto d taslazoe, o moto del ceto d massa, e d u moto d otazoe attoo al ceto d massa. Eega cetca otazoale e mometo d eza. Cosdeamo u sstema gdo composto da patcelle, uotate attoo ad u asse fsso co veloctà ω. Idchamo co l vettoe poszoe della esma patcella spetto ad u oge posta sull'asse d otazoe, mete dchamo co la dstaza della esma patcella dall'asse d otazoe e co m la sua massa. Il modulo della veloctà della esma patcella è data da: v ω La sua eega cetca è data da: K m v m ω m ω L'eega cetca totale del sstema gdo s ottee sommado l'eega cetca delle sgole patcelle: K K m v m ω m ω La quattà I m è detta mometo d eza del copo gdo spetto all'asse d otazoe. Il mometo d eza I dpede dalla dstbuzoe delle massa attoo all'asse d otazoe. La sue dmeso soo: [I] [ML ] Nel SI le sue utà d msua soo Kg m. Poché u copo gdo le dstaze da va put mateal dall'asse d otazoe o vaao col tempo, se l'asse d otazoe è fsso, I sulta costate.

14 Se la dstbuzoe d massa u copo gdo è cotua, pe calcolae l mometo d eza possamo suddvdee l copo elemet ftesm d volume dv, cu cospode ua massa dmρdv, dove ρ è la destà el puto cosdeato. Idchamo co la dstaza dell elemeto cosdeato dall'asse d otazoe. Il mometo d eza del copo gdo è dato da: I dm tutto l copo defzoe che s ottee dalla defzoe del mometo d eza pe sstem dscet sosttuedo la sommatoa d u umeo tem co l tegale, la somma sugl ft elemet (ftesm) cu s pesa d suddvdee l teo copo gdo cotuo; alla massa m dell esmo puto mateale, la massa dm coteuta ell elemeto cosdeato; alla dstaza dell esmo puto mateale dall asse d otazoe, la dstaza dell elemeto cosdeato dall asse d otazoe. I m I dm tutto l copo copo gdo dsceto copo gdo cotuo Cofotado l'espessoe dell'eega cetca d u copo gdo moto otatoo attoo ad u asse fsso co quella dell'eega cetca d u puto mateale moto taslatoo: K m v puto mateale K I ω copo gdo c edamo coto che, e mot d otazoe, l mometo d eza e la veloctà agolae gocao lo stesso uolo che avevao spettvamete la massa m e la veloctà leae el moto d taslazoe d u puto mateale. I u moto d otazoe l'eega cetca dpede o soltato dalla massa totale del copo, ma ache da come questa massa è dstbuta attoo all'asse d otazoe. Suppoamo pe esempo d avee ua sbaetta gda d massa m: c accogamo che occoe esegue poco lavoo pe potae la sbaetta otazoe co veloctà agolae ω attoo ad u asse d otazoe cocdete co l'asse della baetta, mete occoe molto pù lavoo pe fale acqustae la stessa veloctà agolae quado l'asse d otazoe è pepedcolae all'asse della sbaetta e passa, pe esempo, pe l suo puto d mezzo: a patà d veloctà agolae l'eega cetca el secodo caso è pù gade dell'eega cetca del pmo. Ifatt, el pmo caso la dstaza meda degl elemet d massa dm dall'asse d otazoe è pccola e questo cospode ad u pccolo mometo d eza. Nel secodo caso vece la dstaza degl elemet d massa dall'asse d otazoe è meda pù gade e questo cospode ad u mometo d eza pù gade e qud, a patà d veloctà agolae, ad u eega cetca maggoe. Mometo d eza d alcu cop gd omogee. Mometo d eza d u copo gdo costtuto da u uco puto mateale d massa M posto a dstaza dell asse d otazoe. S tatta d u copo gdo dsceto costtuto da u uco puto mateale,. Basta applcae la defzoe b del mometo d eza pe u copo gdo dsceto: I m M ω M Aello omogeeo d massa M e aggo. Calcolae l mometo d eza d u aello omogeeo d massa M e aggo spetto al suo asse.

15 Poché l'aello è omogeeo, la destà leae d massa λ è data dal appoto ta la massa totale e la lughezza della ccofeeza. λ M π Cosdeamo u tatto d aello d lughezza dl, cu cospode u agolo al ceto dϕ, secodo la elazoe dl dϕ. La massa dm d quest elemeto vale: dm λdl M π dϕ M π dϕ Il mometo d eza I dell'aello spetto al suo asse, è dato da: I dm aello 0 π M π dϕ cu l'tegazoe è fatta sull'agolo ϕ. I lmt d tegazoe pe tegae su tutto l aello soo 0 e π. La quattà M π o dpede da ϕ, petato può essee potata fuo del sego d tegale: 0 π I M M π dϕ π [ ϕ] π 0 M π ( π 0) M Il mometo d eza d u aello è uguale a quello d u puto mateale avete massa uguale alla massa totale dell'aello e posto ad ua dstaza dall'asse d otazoe pa al aggo dell'aello. ω y dϕ M dl x Dsco sottle omogeeo d massa M e aggo Calcolae l mometo d eza d u dsco sottle omogeeo d massa M e aggo spetto al suo asse. La destà supefcale del dsco è costate e vale: σ M π Suddvdamo l dsco cooe ccola ftesme cocetche d spessoe d. Og cooa ccolae può essee cosdeata come u aello d massa dm σ πd (l'aea della cooa ccolae ftesma, compesa ta agg ed +d, può essee calcolata come l'aea d u ettagolo avete base uguale alla ccofeeza, π, ed altezza pa a d). Il mometo d eza spetto all'asse d quest aello ftesmo, di, è dato da: di σ πd. Poché gl ass de va aell cocdoo, l mometo d eza del dsco s ottee sommado cotbut ftesm d tutte le cooe ccola, coè calcolado l'tegale ta O ed d di: I σ πd πσ 3 d π 0 M 4 0 π 4 0 π M 4 π 4 0 M Cldo omogeeo d massa M e aggo e altezza h 3

16 Calcolae l mometo d eza d u cldo omogeeo spetto al popo asse. La destà d massa ρ è data da: ρ M π h Cosdeamo u sstema d femeto avete l'asse z cocdete co l'asse del cldo e l'oge posta su ua delle due bas. Suddvdamo l sstema stat d spessoe dz co pa pepedcola all'asse del cldo. Og stato può essee cosdeato come u dsco d massa dm ρπ dz. Dall'esempo pecedete sappamo che l suo mometo d eza è dato da: di dm ρdv M π h π dz M h dz Il mometo d eza d tutto l cldo s ottee sommado su tutt gl stat ftesm, e coè tegado su z da 0 ad h: h M I di cldo h dz M h dz 0 h M [ z] h 0 h 0 h ω ω z M M zh z+dz z z0 M h ( h 0) M Sfea omogeea d massa M e aggo Calcolae l mometo d eza d ua sfea omogeea d massa M e aggo spetto ad u suo dameto, che assumamo come asse z d u sstema d femeto avete l'oge el ceto della sfea. La destà ρ è data da: z M ω M ρ 4 3 π3 Possamo dvdee la sfea stat d spessoe ftesmo dz. Cascuo d ess s può cosdeae come u dsco d aggo sθ e massa dm ρ π dz ρ π s θ dz Il mometo d eza d questo dsco ftesmo è dato da: di dm ( )( ) ρ π dz ( )( se θ) ρ π se θ dz πρ 4 se 4 θ dz θ z+dz z Ossevado che se θ cos θ e che cosθ z, s ottee se θ z. Petato: πρ 4 se 4 θdz πρ I 4 z dz πρ 4 z + z4 4 dz da cu: 4

17 πρ 4 z z3 3 + z5 5 4 πρ ( )3 ( ) 3 ( ) πρ πρ πρ π M 4 π M Cocludedo l mometo d eza d ua sfea omogeea spetto ad u suo dameto è dato da: I 5 M Sbaa d massa M e lughezza L (asse passate pe l estemo) Calcolamo l mometo d eza d ua sbaa omogeea d lughezza L e massa M spetto ad u asse passate pe u estemo. L M La destà leae d massa λ è data da λ M L. λ M L Pe calcolae l mometo d eza spetto a u asse passate pe u estemo della sbaa covee sceglee u sstema d femeto avete l'asse z cocdete co l'asse d otazoe e l'asse x cocdete co la sbaa: l'oge cocde petato co l'estemo della sbaa pe l quale passa l'asse d otazoe. La coodata x del geeco puto della sbaa appeseta la dstaza dall'asse d otazoe. Cosdeamo u tatto d sbaa ta x e x+dx, la sua massa è dm λdx, ed l cospodete mometo d eza è L I dm λdx x sbaa M L 0 L x dx 0 M L x 3 3 L 0 M L 3 L ML z x x M L x+dx x dm λdx M L dx Sbaa d massa M e lughezza L (asse passate pe l ceto) Pe calcolae l mometo d eza spetto all'asse passate pe l ceto della sbaa covee sceglee la poszoe dell'oge del sstema d femeto cocdete co l ceto della sbaa. I questo caso è l valoe assoluto d x che appeseta la dstaza del geeco puto della sbaa dall'asse d otazoe e pe cosdeae tutta la sbaa l'tegazoe va fatta ta L ed L. L I* dm λdx x sbaa M L L L x dx L M L x 3 3 L L M L L L3 3 8 ML 5

18 L M z L x M λ M L L x x +dx x L Teoema d Stee. Il teoema d Stee affema che l mometo d eza d u copo spetto ad u asse qualuque è uguale alla somma del mometo d eza spetto ad u asse paallelo al pmo ma passate pe l ceto d massa e d u teme pa al podotto della massa totale del copo pe la dstaza al quadato ta due ass: I I * +Mh Vefchamo l teoema d Stee el caso della sbaa d massa M e lughezza L cofotado momet d eza valutat pecedetemete, ossa quello spetto ad u asse passate pe l estemo, I, e quello spetto all asse passate pe l ceto della sbaa, I*. Pe l teoema d Stee dovebbe essee I I * +Mh I * +M L, fatt: I I * +Mh I * +M L ML + 4 ML ML ML Come s vede l teoema d Stee è soddsfatto. otazoe d u copo gdo attoo ad u asse fsso. Pma d avvetuac ella ceca dell equazoe o delle equazo co cu studae l moto d otazoe d u copo gdo attoo ad u asse fsso, faccamo qualche cosdeazoe pe cecae d quadae l poblema. Iaz tutto o o voglamo affotae l poblema de mot d otazoe del copo gdo geeale, ma lmtac a cosdeae que cas cu l asse d otazoe mae fsso, poszoe e dezoe, el sstema d femeto utlzzato pe descvee l moto del copo gdo, pe esempo l sstema d femeto del Laboatoo. Bsoga mmagae qud che c sao de vcol gado d esectae delle foze sull asse d otazoe pe gaate la sua statctà. L obettvo che c poamo è quello d tovae ua o pù elazo che, maea aaloga a quato è stato fatto el caso del moto del puto mateale cu la secoda legge d Newto lega le foze applcate (la causa) all acceleazoe del puto mateale (l effetto), legho le cause che poducoo l moto d otazoe (pesumblmete le foze applcate al copo gdo) e l effetto (la otazoe, pesumblmete l acceleazoe agolae che, come abbamo gà ossevato, è u paameto comue a tutt put del copo gdo). Quate equazo c sevoo pe descvee u moto d otazoe d u copo gdo attoo ad u asse fsso? Sappamo gà che u moto d otazoe d u copo gdo attoo ad u asse fsso, la poszoe del copo cosste ella poszoe agolae d uo qualsas de suo put. Cooscedo, fatt, la poszoe d uo qualsas de put del copo gdo che o s tov sull asse d otazoe e sfuttado la codzoe che l copo è gdo è possble detemae qualsas state la poszoe d tutt put del copo gdo. Pe dae cocetezza a queste affemazo possamo mmagae d fec all ata d ua pota: 6

19 questa, fatt, può essee mmagata come u copo gdo lbeo d uotae attoo ad u asse vetcale fsso, cad. I questo caso è suffcete dae, state pe state, la poszoe agolae della magla pe sapee, state pe state, la poszoe, ello spazo, d cascuo de put dell ata. I alt tem, u copo gdo otazoe attoo ad u asse fsso ha u solo gado d lbetà. E suffcete, petato, ua sola equazoe pe detemae l uca coodata ecessaa pe descvee l moto d otazoe del copo gdo attoo all asse fsso. Se povamo ad applcae delle foze all ata della pota, lmtadoc pe l mometo a cosdeae solo foze ozzotal, vale a de pepedcola all asse d otazoe, c accogamo che la foza o è la causa detta dell effetto podotto: la otazoe dell ata della pota. A patà d testà, possamo otae che quado applchamo la foza a put dell asse d otazoe, l effetto podotto è ullo: la pota o s sposta. Pe otteee la otazoe dell ata dobbamo applcae la foza a put che o s tovao sull asse d otazoe. Iolte, fssata l agolo della foza co l pao della pota (pe esempo suppoamo d applcae foze pepedcola al pao della pota), l effetto è tato maggoe quato pù c allotaamo dall asse d otazoe. Ua volta fssato l puto d applcazoe della foza, se faccamo vaae l agolo fomato dalla foza co l pao dell ata, og caso sempe mateedo la foza ozzotale e qud pepedcolae all asse d otazoe, c accogamo che l effetto della foza è ullo se la foza è coteuta el pao dell ata, è vece massmo se la foza è pepedcolae al pao dell ata. Possamo qud cocludee due cose: I u copo gdo, la foza poduce suo effett su tutt put del copo gdo e o solo sul patcolae puto su cu è applcata. Nel caso d u copo gdo otazoe attoo ad u asse fsso, gl effett podott dalla foza sembao legat al mometo della foza spetto ad u polo peso sull asse d otazoe puttosto che alla foza stessa. Ifatt, l modulo del mometo della foza calcolato spetto al polo O è dato da: M Fseθ che è ullo quado l puto d applcazoe della foza s tova sull asse d otazoe, dveta pù gade quado aumeta la dstaza del puto d applcazoe dal polo O e qud dall asse d otazoe, è ullo se la foza è alleata co l segmeto che coguge l polo O co l puto d applcazoe della foza, dveta pù gade ma mao che l agolo fomato dalla foza co questo segmeto s avvca a 90. 7

20 Ossevamo fe che e cas cosdeat l mometo della foza è sempe detto paallelamete all asse d otazoe. Foa abbamo sempe cosdeato foze pepedcola all asse d otazoe. Se toglamo questa lmtazoe ed applchamo, el puto d applcazoe pescelto, sempe la stessa foza ma vaado l agolo che essa foma co l asse d otazoe facedo comuque modo che l agolo ta la foza e l segmeto cogugete l polo O co l puto d applcazoe della foza sa sempe d 90. I questo modo l modulo del mometo della foza mae costate. C accogamo che l effetto podotto dalla foza dpede ache dall agolo che foma co l asse d otazoe: fatt, la foza o poduce essu effetto, essua otazoe, se è detta vetcalmete paallelamete all asse d otazoe, mete l effetto è massmo quado la foza è ozzotale e qud pepedcolae all asse d otazoe. Ossevamo che avedo peso la pecauzoe d applcae solo foze pepedcola al segmeto che coguge l puto d applcazoe della foza co l polo O, l modulo del mometo è sempe lo stesso dpedetemete dall agolo che la foza foma co l asse d otazoe: cò che camba al vaae d quest agolo è la dezoe del mometo della foza e, d cosegueza la compoete del mometo della foza sull asse d otazoe. Questa compoete, fatt, è ulla quado la foza è paallela all asse d otazoe ed è vece massma quado la foza è pepedcolae all asse d otazoe. Possamo a questo puto tae le somme: u moto d otazoe d u copo gdo attoo ad u asse fsso, l effetto podotto, coè la otazoe, dpede o dettamete dalla foza applcata, ma dalla compoete lugo l asse d otazoe del mometo della foza calcolato spetto ad u polo appateete all asse d otazoe. La compoete lugo l asse d otazoe del mometo della foza, s chama mometo assale o mometo tocete. Essa gode d ua popetà molto mpotate: s può dmostae che essa è dpedete dal patcolae puto dell asse d otazoe scelto come polo pe l calcolo de momet. 8

21 Mometo assale, o mometo tocete, d ua foza. Nel paagafo pecedete abbamo defto mometo assale, o mometo tocete, d ua foza come la compoete lugo l asse d otazoe del vettoe mometo della foza calcolato spetto ad u polo appateete all asse d otazoe. Essedo qud la compoete d u vettoe, l mometo assale è uo scalae. Come s fa a calcolae l mometo assale o mometo tocete d ua foza? C soo due metod: Applcae la defzoe pecedete: s scegle abtaamete u polo sull asse d otazoe, tato l mometo assale o dpede dal patcolae polo scelto; s calcola l mometo della foza spetto a questo polo, modulo, dezoe e veso. Ife s detema la compoete poettado l vettoe del mometo della foza sull asse d otazoe. I maea alteatva s può pocedee el seguete modo: s pede l modulo del vettoe compoete della foza, F, pepedcolae all asse d otazoe. S moltplca tale modulo pe l bacco della foza (la dstaza ta la etta d azoe del vettoe compoete della foza pepedcolae all asse d z asse d otazoe otazoe e l asse d otazoe, ved la fgua) S assega a questo podotto l sego postvo se la M foza poduce ua otazoe atoaa, egatvo se z +F b la otazoe podotta è oaa. F M z +F b otazoe atoaa F b otazoe oaa x Come appae da quest'ultma espessoe l mometo assale o dpede dal polo O, usato pe calcolae l mometo della foza, ma solo dall'asse d otazoe. Se sul sstema gdo agscoo pù foze avet put dves d applcazoe, l mometo assale complessvo s ottee sommado scalamete momet assal cospodet alle sgole foze pes co l sego postvo o egatvo a secoda che tedao a povocae ua otazoe del copo gdo spettvamete seso atoao o seso oao. M z M z x b F (otazoe atoaa) y etta d azoe d z asse d otazoe b F etta d azoe d F M z +F b (otazoe atoaa) y F Equazoe del moto d otazoe d u copo gdo attoo ad u asse fsso. Dalle cosdeazo svolte e paagaf pecedet abbamo mpaato che pe studae l moto d u copo gdo attoo ad u asse fsso è suffcete ua sola equazoe scalae. Questa equazoe deve foe l legame ta le cause del moto d otazoe attoo all asse fsso, che abbamo dvduato ella compoete del mometo delle foze lugo l asse d otazoe, l mometo assale o mometo tocete, e gadezze caattestche della otazoe, l effetto, come pe esempo l acceleazoe agolae. Pe dvduae questa equazoe studamo l moto d u sstema semplce che sappamo ache studae attaveso l applcazoe delle legg d Newto. Cosdeamo due patcelle avet la stessa massa m dsposte smmetcamete spetto all asse d otazoe ad ua dstaza da esso, come mostato fgua. Costgamo le due patcelle a muoves su d ua taettoa ccolae d aggo e, al tempo stesso, ad aumetae la veloctà agolae co cu s muovoo attoo all asse d otazoe. 9

22 Peché l sstema s compot come u sstema gdo, le due patcelle s devoo muovee co la stessa veloctà agolae e la stessa acceleazoe agolae. Pe costgee le due patcelle a muoves d moto ccolae alloa dobbamo applcae a cascua d esse ua foza cetpeta, detta og state veso l asse d otazoe, d testà pa a: F mω cu ω è la veloctà agolae posseduta dalle due patcelle ell state cosdeato. Facedo femeto alla fgua s vede che due foze cetpete cheste soo due foze ugual ed opposte, la cu etta d azoe passa pe l asse d otazoe. Se olte voglamo fa aumetae l modulo della veloctà delle due patcelle, dobbamo applcae a cascua d esse ua foza tagete alla taettoa detta el veso del moto. Pe cosevae la gà del sstema, data la sua smmeta, le due foze devoo essee ugual modulo e dette come mostato fgua. S tatta d due foze paallele le cu ette d azoe dstao, d uguale testà ma dette veso opposto. Costtuscoo coè quello che s chama ua coppa d foze. La sultate delle foze applcate è ulla, le foze soo a due a due ugual ed opposte. I base alla pma equazoe cadale della damca de sstem l ceto d massa ha acceleazoe ulla. Così fatt deve essee peché l ceto d massa s tova sull asse d otazoe e, petato, deve essee sempe femo. Scvamo la secoda legge d Newto pe le due patcelle: ) F t + F c m a ) F t + F c m a Queste equazo, poettate ella dezoe adale e F t m a t mα ) F quella tagete, dao: c m a c mω F ) t m a t mα F c m a c mω F c F c F t F t v z, asse d otazoe v z, asse d otazoe v v F t F t F c F c Pededo le sole compoet tagezal, moltplcado etamb memb pe e fe sommado membo a membo s ottee: F t mα F t m α F F t mα F t m α t + F t m α M z Iα la ealzoe ta l mometo assale e l acceleazoe agolae M z Iα. Ifatt valutamo l mometo assale totale: - bsoga pedee le compoet delle foze omal all asse d otazoe: el osto caso la foze soo pepedcola all asse. - Moltplcae l modulo delle foze pe l bacco ( el osto caso) - Assegae l coetto sego. F t +F t F c 0 F t +F t F c 0 M z totale F t + F t Ivece l mometo d eza è dato da: I m m + m m 30

23 Il moto d otazoe del sstema studato soddsfa duque alla seguete equazoe: M z Iα che fatt è l equazoe del moto d otazoe de cop gd attoo ad u asse fsso. Il mometo assale totale delle foze estee è uguale al podotto del mometo d eza del sstema gdo pe l acceleazoe agolae. La coppa d foze Nel paagafo pecedete abbamo todotto la coppa d foze. Co questa deomazoe s tedoo due foze paallele d uguale testà ma dette veso opposto. Ua coppa d foza ha sultate ulla, petato o ha alcua flueza sul moto del ceto d massa. Essa vcevesa ha u mometo (della coppa d foze) dveso da zeo. Se dchamo co b la dstaza ta le ette d azoe delle due foze, s vede che l mometo della coppa è detto pepedcolamete al pao dvduato dalle ette (paallele) d azoe delle due foze, ha l veso pe cu la otazoe podotta dalla coppa appae atoaa (da detemae co la egola della mao desta), mete l modulo è dato dal podotto dell testà d ua delle due foze pe l bacco b della coppa: M 0, M Fseθ Fse(π-θ)Fse(π-θ)Fb F F b b ( π θ ) F F θ MFb. Poché la coppa è u sstema d foze a sultate ulla, l suo mometo è dpedete dal patcolae polo pescelto pe calcolalo. La coppa d foza appeseta qud lo stumeto pù adatto pe applcae ad u copo gdo u puo mometo della foza. S ot che u patcolae mometo della foza può essee ealzzato co u umeo fto d coppe: pe esempo s possoo pedee due foze pù tese ma pù vce ta loo, oppue s può sceglee u alta oetazoe delle foze el pao pepedcolae al mometo, ecc. Tutte queste coppe d foze foscoo sempe lo stesso mometo. F b F codamo fe che quado applchamo ad u copo gdo u seme d foze, l copo gdo s compota obbededo alle due equazo cadal de sstem: dp est dl M est Il copo gdo o sesble alla sgola foza applcata, ma solo alla sultate delle foze estee e al mometo sultate delle foze estee. Se ad esempo o sosttussmo tutte le foze aget su u copo gdo co alte foze completamete dvese dalle pme ma tal da avee la stessa sultate e lo stesso mometo sultate, l copo gdo o sapebbe appezzae la dffeeza e s compoteebbe allo stesso modo. Il secodo seme d foze s dà equvalete al pmo quato poduce gl stess sultat. Nel caso pù geeale, te (3) è l pù pccolo umeo d foze ecessao pe ealzzae u seme d foze equvalete ad u seme d foze assegato. Seve ua foza d testà pa alla sultate dell seme delle foze assegato da applcae el polo O utlzzato pe l calcolo de momet, pù ua coppa d foze l cu mometo sa popo uguale al mometo sultate, calcolato spetto al polo O, dell seme d foze assegato. Pe patcola sem d foze, pe esempo quado le foze soo tutte paallele ta loo, s tova che questo umeo mmo può essee adtua dotto ad uo. Pe esempo l seme delle foze peso aget su u copo gdo è equvalete ad u uca foza: la foza peso totale applcata el ceto d massa del copo. 3

24 Legame ta l equazoe del moto d otazoe attoo ad u asse fsso e la secoda equazoe cadale de sstem. Pma d gugee all equazoe del moto d otazoe attoo ad u asse fsso, M z Iα, abbamo pù volte affemato che la secoda equazoe cadale della damca de sstem d patcelle avebbe gocato u uolo fodametale ello studo delle otazo. Vedamo questo paagafo l legame esstete ta la secoda equazoe cadale e la legge del moto d otazoe attoo ad u asse fsso appea tovata. Calcolamo l mometo agolae pe l sstema gdo todotto el paagafo pecedete spetto al ceto d smmeta O: l m v l m v Etamb momet agola soo pepedcola al pao della fgua e qud paallel all asse z. Applcado la egola della mao desta pe detemae l loo veso, s vede che etamb momet soo dett el veso postvo dell asse z. Il modulo, che questo caso cocde ache co la compoete z, vale pe etambe le patcelle: l mv mω m ω. Il mometo agolae totale saà ach esso detto secodo l asse d otazoe z. La sua compoete z, che questo caso è ache uguale al suo modulo, s otteà sommado le compoet z de momet agola delle sgole patcelle. ( ) L z m 3 ω + m 3 ω m + m patcella patcella ω Iω mometo d Ieza Il fatto d ave tovato che l mometo agolae totale sa paallelo all asse d otazoe dpede dal fatto che l sstema è smmetco spetto all asse d otazoe. Tutt cop gd smmetc spetto all asse d otazoe hao l mometo agolae totale paallelo all asse d otazoe. z, asse d otazoe I alcu cas, ache se o c è ua evedete smmeta del copo gdo spetto all asse d otazoe, puo comuque accadee che l mometo agolae totale sa paallelo all asse d otazoe. I tal caso l asse d otazoe s dce asse pcpale d eza. S può d mostae che dato u copo gdo e u qualsas puto dello spazo, pe tale puto passao almeo te ass otogoal ta loo tal che, quado l copo gdo uota attoo ad uo d ess, l suo mometo agolae totale è paallelo all asse d otazoe. Qudpe og puto dello spazo c soo almeo te ass pcpal d eza. Pe quato guada vece l espessoe d L z (L z Iω), essa s applca a tutt cop gd sao ess smmetc o meo spetto all asse d otazoe: la compoete lugo l asse d otazoe del mometo agolae totale d u copo gdo è sempe data dal podotto del mometo d eza del copo gdo spetto all asse d otazoe pe la veloctà agolae ω d otazoe. Cosdeamo oa al secoda equazoe cadale della damca de sstem dpatcelle: dl x est dl M x baalmete soddsfatta pechè L x 0 M dl est y est M y baalmete soddsfatta pechè L y 0 dl z est M z Le pme due equazo, el osto caso soo baalmete soddsfatte, essedo costatemete ugual a zeo sa L x che L y. Esse chedoo che cospodet momet assal delle foze sao ull, cosa che el osto caso è vefcata. F c F c F t F t v v O z, O asse d otazoe v v F t F t 3 F c F c

25 L ultma equazoe è teessate. Sosttuedo essa l espessoe tovata pe L z e ossevado che copo gdo l mometo d eza è costate, s ottee: dl z M est z d( Iω) M est z I dω M est est z Iα M z S tova così l legame ta la secoda equazoe cadale della damca de sstem e la legge del moto d otazoe d u copo gdo attoo ad u asse fsso e s vede come quest ultma dscede dalla pma. Il moto del copo gdo attoo all asse d otazoe è detemato la mometo assale M z, patca dalle due foze taget applcate alle due patcelle. Le foze cetpete, come ea pevedble, o fluezao l moto del copo gdo, la loo uca fuzoe è quella d mateee sualla taettoa ccolae le due patcelle. Queste foze ealtà o devoo ecessaamete essee fote dall esteo, ma potebbeo essee bessmo sostuteda due foze tee (quelle che s occupao d mateee costat le dstaze ta le patcelle, pe tedec). Tato pù che questo caso l mometo delle foze cetpete è ullo e qud è possble sosttule co foze tee che come è oto hao u mometo sultate uguale a zeo. S potebbe pe esempo pesae d collegae le due patcelle medate ua fue d lughezza e lascae che la tesoe della coda fosca la coetta foza cetpeta alle due petcelle. Maubo asmmetco Cosdeamo oa l caso cu le due patcelle dell esempo pecedete o soo dsposte smmetcamete spetto all asse d otazoe, ma s tovao ella cofguazoe mostata fgua. I momet agola delle due patcelle spetto al polo O mostato fgua, soo dat da: l z, asse d otazoe m v l m v v Pedamo l pmo de due. Pe le popetà del podotto vettoale l deve essee pepedcolae sa al vettoe poszoe che alla veloctà v. Il vettoe veloctà v, a sua volta, è tagete alla taettoa ccolae che la patcella pecoe attoo all asse d otazoe. Ma l pao della taettoa è pepedcolae all asse d otazoe, qud la veloctà v è pepedcolae all asse d otazoe. D alta pate essedo la veloctà v tagete alla taettoa ccolae, essa è ache pepedcolae al cospodete vettoe poszoe. I coclusoe l vettoe veloctà v è pepedcolae al pao fomato dall asse d otazoe e dal vettoe poszoe. l, dovedo essee pepedcolae a v, s deve qud tovae questo pao, olte deve essee ache pepedcolae al vettoe poszoe. l è stato dsegato sulla fgua facedolo pate dal polo O. petedo l dscoso pe l s vede che è cocode co l. Poché la poszoe delle patcelle vaa co l tempo, vetto poszoe ed uotao attoo all asse d otazoe. Il teme esatto pe dcae l loo moto è pecessoe. S dce qud che due vetto pecedoo attoo all asse d otazoe. Qud bsoga mmagae che l pao della fgua cotete l asse d otazoe e due vetto ed peceda ach esso attoo all asse d otazoe seguedo la otazoe delle due patcelle. Ache momet agola delle due patcelle che soo coteute questo pao soo tascat dal moto del pao e pecedoo ach ess attoo all asse d otazoe. I modul de due vetto valgoo l mv mω, cu è la dstaza de due put mateal dal polo O, mete è l aggo delle taettoe ccola delle due patcelle ( seϕ). Le compoet z valgoo vece: F c F t l v θ l l z l z ϕ O F t θ + ϕ 90 F c 33

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