RADICALI RADICALI INDICE

Transcript

1 RADICALI INDICE Rdici qudrte P. Rdici cubiche P. Rdici -esime P. Codizioi di esistez P. Proprietà ivritiv e semplificzioe delle rdici P. Poteze d espoete rziole P. 7 Moltipliczioe e divisioe di rdici P. Potez di rdice e rdice di rdice P. Portre u fttore detro rdice P. Portre uo o più fttori fuori rdice P. Somm di rdicli P. Espressioi co rdicli P. 7 Espressioi co poteze d espoete rziole P. 0 Rziolizzzioe del deomitore di frzioi P. 0 Rdicli doppi P. Equzioi di primo grdo coefficieti irrzioli P. Disequzioi di primo grdo coefficieti irrzioli P. Sistemi di primo grdo coefficieti irrzioli P.

2 Rdici qudrte Ricordimo che il qudrto di u umero rele r è il umero che si ottiee moltiplicdo r per se stesso: r =r r. Il qudrto di u umero è sempre u umero o egtivo; umeri opposti ho lo stesso qudrto: = ; = ; = =. L'operzioe ivers dell'elevmeto l qudrto si chim rdice qudrt. L rdice qudrt di u umero rele è llor quel umero che elevto l qudrto, cioè, che moltiplicto per se stesso, dà il umero. Osservimo che o esiste l rdice qudrt di u umero egtivo, poiché o esiste essu umero che elevto l qudrto poss dre come risultto u umero egtivo. DEFINIZIONE. Si dice rdice qudrt di u umero rele positivo o ullo quel umero rele positivo o ullo che elevto l qudrto dà come risultto il umero dto. I simboli =b b = dove, b R {0}. Il simbolo è il simbolo dell rdice qudrt; il umero è detto rdicdo, il umero b è detto rdice qudrt di. Dll defiizioe = co 0. =. Per esempio = perché = ; = perché Osserv or che = m o è vero che = perché ell defiizioe di rdice qudrt bbimo imposto che il risultto dell'operzioe di rdice qudrt si sempre u umero positivo o ullo. Quest osservzioe ci iduce porre molt ttezioe qudo il rdicdo è u'espressioe letterle: i questo cso = o è del tutto corretto poiché può ssumere si vlori positivi si vlori egtivi. Scriveremo correttmete =. = iftti = = iftti = = iftti = 0,0=0, iftti 0, =0,0 = iftti = 0=0 iftti 0 =0 o esiste perché il rdicdo è egtivo. esiste m o è u umero itero é rziole, è u umero irrziole. = dobbimo mettere il vlore ssoluto l risultto perché o cooscimo il sego di. = = dobbimo mettere il vlore ssoluto perché - può che essere egtivo. = Determi le segueti rdici qudrte rzioli (qudo è possibile clcolrle) ) b) 00 c) 0,0 0,0 0,000 0, 0,0 d) 0,0 0,0 00 Sez usre l clcoltrice determi per ciscu delle segueti rdici qudrte il vlore pprossimto /0: ; ; 7 ; ; ; 7 Estri le segueti rdici di espressioi letterli, fcedo ttezioe l vlore ssoluto

3 Rdici cubiche DEFINIZIONE: Si dice rdice cubic di u umero rele quel umero che, elevto l cubo, dà come risultto. I simboli =b b = dove,b R. Puoi otre che l rdice cubic di u umero rele positivo o egtivo o ullo esiste sempre. = iftti = = = iftti = = = iftti = = 0=0 iftti 0 =0 0 0=0 000= 0 iftti 0 = 000 = iftti = 0,=0, iftti 0, =0, = per le rdici cubiche o si deve mettere il vlore ssoluto = = o si deve mettere il vlore ssoluto Osserv che l rdice cubic di u umero mtiee sempre lo stesso sego del umero i quto il cubo di u umero rele coserv sempre lo stesso sego dell bse. Rdici -esime Oltre lle rdici qudrte e cubiche si possoo cosiderre rdici di idice qulsisi. Si prl i geerle di rdice -esim per idicre u rdice co u qulsisi idice. DEFINIZIONE. Si dice rdice -esim di u umero rele quel umero b che elevto d dà come risultto. I simboli =b b = co N,. 0 No si defiisce l rdice di idice 0: l scrittur è priv di sigificto. All scrittur si dà il vlore. Qudo si trtt co le rdici -esime di u umero rele, bisog fre ttezioe se l idice dell rdice è pri o dispri. Si preseto iftti i segueti csi: se l idice è dispri l è defiit per qulsisi vlore di R, ioltre è egtiv se <0, positiv se >0 e ull se =0; se l idice è pri l è defiit solo per i vlori di 0 e si h che 0. = iftti = o esiste = iftti = = iftti = 0=0 per ogi >0 = iftti = = v messo il vlore ssoluto perché l'idice dell rdice è pri = o v messo il vlore ssoluto perché l'idice dell rdice è dispri.

4 Determi le segueti rdici se esistoo , , ,000 Codizioi di esistez Qudo il rdicdo è u'espressioe letterle dobbimo fre molt ttezioe operre su di esso. Le codizioi di esistez, i breve si può scrivere C.E., di u rdicle co rdicdo letterle, soo le codizioi cui devoo soddisfre le vribili che compioo el rdicdo ffiché l rdice bbi sigificto. Suppoimo di vere A co A() poliomio ell idetermit, dobbimo distiguere i segueti csi: se è pri l rdice esiste per tutti i vlori di che redoo o egtivo il rdicdo, cioè C.E. A 0 se è dispri l rdice esiste per qulsisi vlore dell vribile, purché esist il rdicdo stesso. C.E. 0 C.E. 0 C.E. R C.E. R C.E. 0 C.E. R, iftti è sempre positivo pertto 0 R C.E. L rdice cubic è defiit per vlori si positivi si egtivi del rdicdo, tuttvi bisog comuque porre l codizioe che il deomitore dell frzioe o si ullo, quidi C.E. 0. y C.E. y 0

5 Determi le codizioi di esistez dei segueti rdicli. R. R R. R. y R. y 0 y R: > y R: >-/ Proprietà ivritiv e semplificzioe delle rdici PROPOSIZIONE. Il vlore di u rdice i R {0} o cmbi se moltiplichimo l'idice dell rdice e l'espoete del rdicdo per uo stesso umero itero positivo. I simboli m = t mt co 0,m,,t N {0} = bbimo moltiplicto idice dell rdice ed espoete del rdicdo per. = bbimo moltiplicto per idice dell rdice ed espoete del rdicdo PROPOSIZIONE. Il vlore di u rdice i R {0} o cmbi se dividimo l'idice dell rdice e l'espoete del rdicdo per u loro divisore comue. t I simboli mt = m co 0,m,, t N {0} = bbimo semplificto per idice dell rdice ed espoete del rdicdo. 0 = bbimo semplificto per. 7 o è riducibile perché idice dell rdice ed espoete o ho divisori comui. = = semplificdo l frzioe dell'espoete = = = = = = 0 semplificdo per idice dell rdice ed espoete del rdicdo si h 0 = scompoedo i fttori primi otteimo le segueti poteze = = =0 Se il rdicdo è u'espressioe letterle, quidi si positiv che egtiv, dobbimo scrivere m se t è dispri m se t è pri y = y = y bbimo semplificto per gli espoeti e l rdice stess. t mt ={ = = Dopo ver ricoosciuto che il rdicdo è il qudrto del biomio, bbimo semplificto per gli idici. y = y ; y y = y = y ; y o è semplificbile perché il rdicdo o può essere espresso sotto form di potez. =

6 L proprietà ivritiv si può pplicre per semplificre i rdicli se l bse del rdicdo è positiv o ull, se fosse egtiv si potrebbe perdere l cocordz del sego, come mostrto dl seguete esempio: 0 iftti il primo rdicdo è positivo metre il secodo è egtivo. Ivece l cocordz del sego è coservt i questo esempio: = Iftti pur essedo l bse egtiv, l espoete rest dispri, coservdo il sego dell bse. Se il rdicdo h bse egtiv e ell semplificzioe il suo espoete pss d pri dispri è ecessrio mettere il rdicdo i vlore ssoluto: 0 = Se il rdicdo è letterle si segue l stess procedur: ogi volt che studido il sego del rdicdo si trov che l bse può essere egtiv, se l espoete del rdicdo pss d pri dispri, si mette il modulo per grtire l cocordz del sego. 0 = C.E: può ssumere quluque vlore di R Trsform i segueti rdicli pplicdo l proprietà ivritiv =... =... =... =... =... =... =... 7 =... 7 =... co >0 =... co >0 7=... =... 7 Semplific i rdicli y b y y 0 0 y b 0 b b 0 y 0 b

7 Poteze espoete rziole I questo prgrfo ci propoimo di scrivere l rdice -esim di u umero rele 0 sotto form di potez di, voglimo cioè che si: = Cso co espoete positivo. Elevdo mbo i membri dell ugugliz ll potez otteimo: = d cui si ottiee = Trttdosi di due poteze co bse 0 uguli tr loro, l'ugugliz è res possibile solo se soo uguli gli espoeti. I ltre prole, deve essere: = = Possimo quidi scrivere: = Vedimo or di geerlizzre l formul. Si m u umero itero positivo, possimo scrivere m = m Pertto possimo scrivere che Clcol 7 Si h che 7 =7 = = m = m Clcol Si h che = = = Cso co espoete egtivo Per defiire l potez d espoete rziole egtivo è ecessrio imporre l restrizioe 0, iftti risult: m = m = m 7 = 7 = = = = = = = = = = = = ==7 7

8 DEFINIZIONE. Si dice potez espoete rziole m = m = m m co di u umero rele positivo l espressioe: m Q Perché bbimo dovuto imporre l codizioe che si u umero positivo? Prtimo dll espressioe ogi vlore dell bse, metre se è pri Nel cso geerle m Iftti fccimo u esempio: ={ umero egtivo. co N {0}, se è dispri l potez è sempre defiit per co m Z l formul è defiit solo per 0. m = m è fls se <0. } = che o è defiit ei umeri reli perché o esiste l rdice sest di u Tuttvi possimo che scrivere ={ } = = = Arrivimo pertto due risultti differeti. Per estedere l defiizioe l cso di bsi egtive srebbe ecessrio stbilire u ordie di priorità delle operzioi m ciò drebbe cotro l proprietà commuttiv del prodotto degli espoeti di u potez di potez. Clcol le segueti poteze co espoete rziole 7 7 0,00 0, 0, 0, 00 0, Trsform le segueti espressioi i form di potez co espoete frziorio 7

9 Moltipliczioe e divisioe di rdici Prim di operre co i rdicli letterli, è ecessrio determire le codizioi di esistez: il prodotto di due rdicli esiste là dove soo soddisftte le codizioi di esistez di tutti i fttori; il quoziete esiste là dove soo soddisftte le codizioi di esistez di dividedo e divisore, ioltre il divisore deve essere diverso d zero. Moltipliczioe e divisioe di rdici co lo stesso rdicdo Per effetture l moltipliczioe o l divisioe tr rdici veti lo stesso rdicdo si possoo trsformre le rdici i form di poteze co espoete rziole e utilizzre le proprietà delle poteze. = = : = : = 7 = = = 7 = Moltipliczioe e divisioe di rdici co lo stesso idice Il prodotto di due rdici che ho lo stesso idice è u rdice che h per idice lo stesso idice e per rdicdo il prodotto dei rdicdi: b= b Allo stesso modo, il quoziete di due rdici che ho lo stesso idice è u rdice che h per idice lo stesso idice e per rdicdo il quoziete dei rdicdi: : b= : b b = b Ache per redersi coto di quest proprietà si possoo trsformre le rdici i poteze d espoeti rzioli e pplicre le proprietà delle poteze: b= b =b = b : b= :b = b = b = = 7 = 7 = = b : b C.E. 0 b0 b : b = b b = b = b Moltipliczioe e divisioe di rdici co idici diversi Per moltiplicre o dividere rdici co idici differeti è ecessrio prim ridurre le rdici llo stesso idice, cioè trsformrle i rdici equivleti co lo stesso idice usdo l proprietà ivritiv. Dopo ver otteuto rdici co lo stesso idice si pplic l regol precedete. Procedur per ridurre due o più rdici llo stesso idice: psso: scomporre i fttori irriducibili tutti i rdicdi; psso: porre le codizioi di esistez; psso: clcolre il miimo comue multiplo tr gli idici delle rdici; psso: per ciscu rdice dividere il m.c.m. per l'idice dell rdice e moltiplicre il quoziete trovto per

10 Gli idici delle rdici soo e, il loro m.c.m. è, il primo rdicdo v elevto : cioè, metre il secodo rdicdo v elevto : cioè = = = 7 : Il m.c.m. tr gli idici delle rdici è. Il primo rdicdo v elevto :=; il secodo rdicdo v elevto :=; il terzo v elevto :=. 7 : = 7 : = : = : = = = y y C.E. 0 y0. Il m.c.m. degli idici delle rdici è, quidi y y y y y = y y = 7 y y y y = y = y Prim di operre co i rdicli letterli, è ecessrio determire le codizioi di esistez: il prodotto esiste là dove soo soddisftte le codizioi di esistez di tutti i fttori; il quoziete esiste là dove soo soddisftte le codizioi di esistez di dividedo e divisore, ioltre il divisore deve essere diverso d zero o Scompoimo i fttori i rdicdi Poimo le C.E. 0 0 Semplifichimo le frzioi di ciscu rdicdo Trsformimo ello stesso idice: il m.c.m. degli idici è, quidi = = Esegui le segueti moltipliczioi e divisioi di rdicli : : : 0 : 0 : 0 :

11 + 7 ( : ) : 0 0 : 0 co >0 : co >0 b b b : b y y : : : b : b b b : b b : 7 : b b y y : y b : b R. b b 0 (+ ) 7+ b b b y y b Potez di rdice e rdice di rdice : b b b b b R. b b b Per elevre potez u rdice si elev quell potez il rdicdo: m = m. Si cpisce il perché di quest proprietà trsformdo, come egli ltri csi, le rdici i espoeti co idici frziori: m = m m = = m = = b c = b c

12 L rdice di u'ltr rdice è ugule u rdice co lo stesso rdicdo e co idice il prodotto degli idici m delle rdici: = m. Ache quest proprietà si può spiegre co le proprietà delle poteze: m = m = m = m = = = 7 b b b b 0 b b b 0 b Portre u fttore detro il sego di rdice b Per portre u fttore detro il sego di rdice bisog elevrlo ll idice dell rdice: b= b se pri e 0 b= b se pri e 0 b= b se dispri Ricorddo che bbimo posto =, portre u fttore sotto rdice quivle svolgere l moltipliczioe tr u rdice di idice e u rdice di idice qulsisi. portre il detro il sego di rdice = = 0 7= 7= = = = 7. lscimo fuori dll rdice il sego meo = = = = =

13 = = = = 0 b= b l'idice dell rdice è dispri pertto si port sotto rdice sez lcu codizioe. = l'idice dell rdice è dispri, o soo ecessrie codizioi sull. y Itto osservimo che il rdicle esiste per y 0. Per portre detro il sego di rdice il coefficiete (-) bisog fre l distizioe: y={ y se y= y se Il rdicle esiste per 0, per questi vlori il coefficiete estero (-) è positivo e può essere portto detro l rdice =. Trsport detro l rdice i fttori esteri Portre uo o più fttori fuori dl sego di rdice È possibile portre fuori dl sego di rdice quei fttori veti come espoete u umero che si mggiore o ugule ll idice dell rdice. I geerle si prte d u rdicle del tipo: m co m si divide m per e si port fuori il termie elevto l quoziete q dell divisioe iter, cioè q v fuori dll rdice, metre rime detro il sego di rdice il termie elevto l resto r dell divisioe iter, cioè r rest sotto rdice. Quidi si h: m = q r dove q è il quoziete dell divisioe iter m: ed r è il resto dell stess divisioe. Si può che procedere trsformdo l potez m el prodotto di due poteze, u delle quli può essere semplifict co l rdice. Per esempio, = = = Qudo portimo fuori dll rdice u termie letterle dobbimo verificre se l'idice dell rdice è pri o dispri e se il termie che portimo fuori è positivo o egtivo. I prticolre b={ b se dispri b se pri

14 00 Si scompoe i fttori primi il rdicdo 00= e segue llor che 00= = =0 7= = 70= = = = bisog mettere i vlore ssoluto perché sotto rdice potev essere si egtivo che positivo, l rdice ivece deve essere sempre positiv. b 7 c d Portre fuori dl sego di rdice il mggior umero di fttori. Occorre eseguire le divisioi itere tr gli espoeti e l'idice dell rdice. Comicimo d risult : = quoziete, resto ; per b 7 si h 7: = quoziete, resto ; per c o è possibile portre iete fuori; per d si h := quoziete, resto 0. I defiitiv b 7 c d =b d bc y z portre fuori dl sego di rdice i fttori possibili y = z z y portre fuori dl sego di rdice i fttori possibili Rccoglimo fttor comue detro l rdice per poter studire le codizioi di esistez del rdicle e portre fuori qulche fttore: = C.E. 0 Pertto = = ={ se 0 se 0 se portre fuori dll rdice = ={ 0 se = se Semplific i rdicli portdo fuori dei fttori 0 R.[0] R.[] R.[] R.[ ] 0 0,

15 y b b c d b 7 b 7 7 b b c 7 SOMMA DI RADICALI Si dice rdicle u espressioe del tipo b co e b umeri reli, b 0 ed N. Il umero prede il ome di coefficiete del rdicle. Operre co i rdicli è simile l modo di operre co i moomi. Iftti è possibile effetture somme lgebriche soltto se i rdicli ho lo stesso idice e lo stesso rdicdo, metre si possoo sempre effetture moltipliczioi e divisioi dopo verli ridotti llo stesso idice. DEFINIZIONE. Due rdicli si dicoo simili se ho lo stesso idice e lo stesso rdicdo. È possibile effetture somme lgebriche soltto se i rdicli soo simili e si eseguoo le somme llo stesso modo i cui si eseguoo le somme lgebriche dei moomi. = == 0= = = = Attezioe quidi o scrivere scritture errte come l seguete = ù E R R A T O. o si può eseguire perché i rdicli o soo simili o si può eseguire perché i rdicli o soo simili = = 7 7= 7= 7= 7 sommimo tr di loro i rdicli simili = = = : = := = = = = = =

16 = = = = = = = = = = =0 = = 7= = 7 7= Esegui le segueti operzioi co rdicli R.[] 7 [ 7 ] R.[77] 7 R R.[ ] 7 0 R.[0] 70 R.[0] 0 R.[ ] 0 R.[ ] 0 7 R.[ 7 ]

17 R.[0] b 0,b R.[ b] b 7 bb R.[ b b] 0 b b b b R.[ b b] b b b b 0, 7 y y y Semplificre le espressioi co rdicli R.[ ] R.[7] R.[ ] R.[ ] R.[ ] R.[ 7 ] R.[ ] [ ] : 0 7

18 7 7 0 y y R.[ y] ( ) ( ) + ( )( + ) ( + ) + ( ) ( + )( ) ( ) + ( ) + 7 ( ) 7 ( ) ( + ) + [( ) + ]( + ) ( 7 ) + ( 7+ + ) ( + ) + ( ) 0 ( )( + ) ( ) + ( + )( ) ( ) + ( ) y 7 y b b b b b : b b b R.[ b 7 ] y y y y y b b b b b : b 7 b b b b b b b b bb b b b b b R. [b ]

19 y y y y y 0 : R.[ ] R.[ ] R.[ ] b b b b b b b R. [b b] y y y y y R.[ y ] y : R.[ b b b b b ] b b bb R.[ ] 7 y y y R.[ ] y : R. [ ] y y y y y y 0 : 7 7 y y : : y y y R.[ R.[ ] ] y R. [ y ] R. [ ]

20 Espressioi co poteze d espoete rziole: trsformre le rdici i poteze ed pplicre le reltive proprietà per clcolre il risultto. b b b 0 b = b b b = b = = 0 b. = y y y y 7 =[ y y : = b b = = ] 7 = y b b y b = b = y y b = b 0 b y y = b = = R. [ ] 7 : 7 R. [ R. [ ] ] b b b b b : b b b R. [b] Rziolizzzioe del deomitore di u frzioe Rziolizzre il deomitore di u frzioe vuol dire trsformrl i u frzioe equivlete vete deomitore u espressioe ell qule o compio rdici. I Cso: Rziolizzzioe del deomitore di u frzioe del tipo Per rziolizzre il deomitore di u frzioe di questo tipo bst moltiplicre umertore e deomitore per b, che prede il ome di fttore rziolizzte: b = b b b = b b = = = = = = = = = b 0

21 II Cso: Rziolizzzioe del deomitore di u frzioe del tipo co >m. b m I questo cso il fttore rziolizzte è b m. Iftti si h: b m b m= b m b = b m b m m b m b m= = b m b b Se bbimo u esercizio i cui l potez del rdicdo super l'idice dell rdice, prim di rziolizzre possimo portre fuori dll rdice. il fttore rziolizzte è = = = b b il fttore rziolizzte è b b = b b b b = b b b b = b = b b b = b bb b = b b co b 0. b b b = III Cso: Rziolizzzioe del deomitore delle frzioi, b b Per questo tipo di frzioe occorre sfruttre il prodotto otevole b b= b. Il fttore rziolizzte el primo cso è b, el secodo è b. Sviluppimo solo il primo cso, poiché il secodo è del tutto logo: b = b b b = b b = b b = = = = = = = = = Rziolizz i segueti rdicli = = = 7 0 0

22 7 0 0 b b 00 RADICALI y y y y y 7 7 y Rdicli doppi Si dice rdicle doppio u'espressioe del tipo b oppure b I lcui csi i rdicli doppi possoo essere trsformti ell somm lgebric di due rdicli semplici se l'espressioe b è u qudrto perfetto medite l seguete formul: ±b= ± b b 7 0= 7 0 = 7 0 = 7 7 =. = = 7=7= 7 = = quto il rdicle doppio o è stto elimito.. = = = = = 7 = 7 7 =. l formul o è stt di lcu utilità i

23 Clcolre i rdicli doppi usdo l formul: Equzioi di primo grdo coefficieti irrzioli. = = = = = = = = = = = = = = = Risolvi le segueti equzioi coefficieti irrzioli = = = = = = R.[] = R.[ ] = R.[] = R.[ ] = R.[ ] = impossibile

24 = R.[ ] = impossibile 7 = R.[ 7 ] = R.[ ] = R.[ ] = R.[ 7 0 ] Disequzioi di primo grdo co rdicli o Risolvi le segueti disequzioi coefficieti irrzioli R. [ ] R.[ ] 0 0 R.[ ] R.[ ] { { 7 R.[ 7 ] impossibile R.[ ]

25 Sistemi di primo grdo o { y= y= risolvimolo co il metodo di sostituzioe y { y= { y= { = y y= y y= y y= y y {= y= y y {= yy { = y = y {= y y y= y y {= y y y= y { = y { = y { = yy= y= y= y= { = y= Risolvi i segueti sistemi coefficieti irrzioli y = { y = y = { y = y= { y= y= { y= = y R. ; { = y R. ; R. ; 7 7 { { = y y = y= y=0 R. ; R. ; 0 0 R. ; R. R. ; { y= y= y= { y= idetermito R. ; 7 { y= y= impossibile

26 y=7 { y=0 y= { y= y= 0 { y= y= { y= y= { y=0 y= { y= y= { y= RADICALI R. ; R. ; R. ; 7 7 R. R. ; R. ; ; 0 0 idetermito { y= y= impossibile