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1 Definizione di potenza Si definisce potenza ennesima di A, con n intero maggiore di 1, il prodotto di A per se stesso eseguito n volte A n =(AxAxAx A) n volte 2 5 = =32 Se la base è 10, il risultato della potenza è una potenza di 10 con tanti zeri quante sono le unità dell esponente: Proprietà delle potenze Il prodotto di due o più potenze aventi la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e come esponente la somma degli esponenti a n a m =a n+m Il quoziente di due potenze aventi la stessa base è una potenza che ha ancora la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti a n : a m =a n-m La potenza di una potenza è una potenza avente per base la stessa base e come esponente il prodotto degli esponenti (a n ) m =a nm Nella definizione di potenza abbiamo posto la condizione che l'esponente sia maggiore di 1 Consideriamo la divisione 10 ³ / 10 ² = 1000 / 100 = 10 Utilizzando le proprietà delle potenze il risultato è Definiamo pertanto Generalizzando: Consideriamo la divisione 10 ² / 10 ² = 100 / 100 = 1 Utilizzando le proprietà delle potenze il risultatoè Definiamo pertanto 10 0 =1 Generalizzando : Si noti che si deve porre la condizione perché non si può dividere per zero Consideriamo la divisione Utilizzando le proprietà delle potenze il risultato è Definiamo pertanto Generalizzando: Si noti che si deve porre la condizione perché non si può dividere per zero In base a questa definizione: 0,1=10-1 0,00001=10-5 0, =10-9

2 Radici L operazione di estrazione di radice è l operazione inversa dell elevamento a potenza Consideriamo la potenza 5 ³ = 125 Definiamo "operazione" di radice a indice 3 (o radice terza) : (dove il numero sopra il simbolo di radice è l'indice mentre il numero sotto radice si chiama radicando), che ha come risultato quel numero che elevato all'indice dà il radicando Infatti 5 elevato alla 3 a potenza è 125 Se l'indice è 2, la radice si chiama comunemente radice quadrata e, nello scriverla, si omette l'indice : La radice ad indice 1 è il numero stesso, per cui : perché 5 ¹ dà 5 La definizione di radice è allora : La radice secondo un certo indice di un numero dato è quel numero che elevato all'indice dà il numero dato

3 Equazioni Un'equazione è un'uguaglianza tra due espressioni algebriche, contenenti una o più incognite 2 + 3x = 5x 3(x 2 +y) = x(x+y-1) x - 4 = 0 Le espressioni che si trovano a sinistra del segno uguale si chiamano primo membro; quelle che si trovano a destra si chiamano secondo membro primo membro secondo membro 2 + 3x = 5x 3(x 2 +y) = x(x+y-1) x - 4 = 0 2+3x=5x 2+3y=5y 2+3z=5z Il grado di un equazione è il massimo esponente a cui compare elevata l incognitaun'equazione si dice di primo grado se l'incognita è presente elevata a potenza uno x+1=3x-x+1 x 2 +3=x+5 x+y=3+x x+y 3 +1=x 2-3 primo grado, una incognita secondo grado, una incognita primo grado, due incognite terzo grado, due incognite Si chiama soluzione di un'equazione ogni numero che sostituito all'incognita trasforma l'equazione in una uguaglianza tra numeri Risolvere un'equazione significa determinare le soluzioni x=1 è soluzione di x+2=3 x=2 non è soluzione di x+2=3 perché sostituendo x con 1 si ha 1+2=3 VERO perché sostituendo x con 2 si ha 2+2=3 FALSO Per risolvere un'equazione si trasforma l'equazione di partenza in una più semplice ma che abbia le stesse soluzioni (due equazioni che hanno le stesse soluzioni si dicono equivalenti) equazione di partenza (2x+3) 2-2x(x+3)=5x-2(1-x)x equazione semplificata 3x=-9 Per semplificare le equazioni si applicano i seguenti principi: 1 principio Sommando o sottraendo a entrambi i membri uno stesso numero o una stessa espressione si ottiene un'equazione equivalente equazione di partenza 1 principio equazione semplificata 2x+1=-2 2x+1-1=-2-1 2x=-3 5x=6-2x 5x+2x=6-2x+2x 7x=6

4 2 principio Moltiplicando o dividendo entrambi i membri per uno stesso numero, purché diverso da 0, si ottiene un'equazione equivalente equazione di partenza 2 principio equazione semplificata 2x=3 2x:2=3:2 x=3/2 1/5x=6 1/5x 5=6 5 x=30 Equazioni di secondo grado Un'equazione algebrica nell'incognita x si dice di secondo grado, quando l'incognita x è elevata al quadrato Forma normale o forma canonica ax 2 +bx+c=0 Soluzioni: La quantità b 2-4ac si chiama discriminante, in quanto discrimina tre casi distinti Discriminante >0 si hanno due soluzioni reali e distinte Discriminante =0 soluzione x=-b/2a Discriminante <0 non si ha nessuna soluzione reale Sistemi di equazioni L'insieme di due o più equazioni in due o più incognite si chiama sistema di equazioni; se le equazioni sono di primo grado il sistema si dice lineare L'insieme dei valori che verificano simultaneamente tutte le equazioni del sistema si chiama soluzione del sistema Un sistema di equazioni che non ammette soluzioni si dice impossibile, mentre un sistema che ammette infinite soluzioni si dice indeterminato Sistemi di equazioni di 1 grado Per risolvere un sistema generico di 2 equazioni di 1 grado in 2 incognite si effettuano le necessarie semplificazioni fino a ridurlo alla cosiddetta forma normale: con a, a', b, b' detti coefficienti delle variabili e c, c' termini noti Tale sistema ammette sempre una, e una sola, soluzione tranne nei due casi seguenti: 1) a : a' = b : b' c : c' Sistema impossibile 2) a : a' = b : b' = c : c' Sistema indeterminato

5 Metodo di sostituzione Il metodo consiste nel risolvere (esplicitare) una delle 2 equazioni del sistema rispetto ad un'incognita; la funzione ottenuta viene sostituita nell'altra equazione ottenendo, a sua volta, un'equazione di primo grado in una sola incognita

6 Punti nel piano cartesiano In un piano consideriamo due rette perpendicolari orientate che chiamiamo con x e y Solitamente, si disegna la retta x orizzontalmente e orientata da sinistra a destra,la retta y verticalmente e orientata dal basso verso l'alto Le due rette si chiamano assi coordinati e il loro punto d'intersezione O origine Stabiliamo, infine, una unità di misura, u che ci consente di misurare le lunghezze sui due assi In matematica, si prende la stessa unità di misura per l'asse x e per l'asse y Nelle applicazioni fisiche, chimiche, economiche, non sempre si segue questa convenzione Si dice che nel piano è stato fissato un sistema di riferimento cartesiano,o che il piano è riferito a un sistema di assi cartesiano xoy, o che si è fissato un piano cartesiano A questo punto è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca trapunti del piano P e le coppie di numeri reali (x,y) Dal punto P si tracciano le parallele PH all'asse y e PK all'asse x Misurando OH, con l'unità di misura u otteniamo il numero x, l'ascissa; misurando OK, con la stessa unità di misura, otteniamo il numero y, l'ordinata La coppia di numeri (x,y) si chiamano coordinate del punto P Viceversa, assegnata una coppia di numeri reali (x,y), individuiamo prima il punto H, poi il punto K, infine, tracciando le due parallele agli assi, si ottiene il punto P Segni delle coordinate nei quattro quadranti 2 quadrante 1 quadrante (-,+) (+,+) 3 quadrante 4 quadrante (-,-) (+,-) Punti particolari L'origine O, punto di intersezione degli assi, ha coordinate (0,0) I punti dell'asse x, come H, hanno ordinata nulla, quindi H(x,0) I punti dell'asse y, come K, hanno ascissa nulla, quindi K(0y) Distanza tra due punti Applicando il teorema di Pitagora al triangolo PHQ, rettangolo in H, si ottiene che Casi particolari I due punti individuano un segmento parallelo all'asse x, come PH La distanza si calcola più rapidamente con la formula x 2 -x 1 I due punti individuano un segmento parallelo all'asse y, come QH La distanza si calcola più rapidamente con la formula y 2 -y 1

7 LA RETTA ax + by + c = 0 equazione della retta in forma implicita coefficiente angolare m = - a/b punto di intersezione con l asse y: -c/b y = mx + q equazione della retta in forma esplicita m: coefficiente angolare, cioè l'inclinazione della retta rispetto al semiasse positivo delle x m > 0: l'angolo tra retta e semiasse è acuto m < 0: l'angolo tra retta e semiasse è ottuso m = 0: retta paralela all'asse [y = aq] q= punto di intersezione con l asse y Due rette sono parallele quando hanno lo stesso coefficiente angolare Due rette sono perpendicolari quando il prodotto dei loro coefficienti angolari è -1: m 1 = -1/m 2 Rappresentazione grafica di una retta: - Porre l'equazione in forma esplicita - Costruire una tabella con almeno due coppie di punti che appartengono alla retta -riportarli sul piano cartesiano Intersezioni tra due rette: - Risolvere il sistema composto dalle equazioni delle due rette -La soluzione del sistema fornisce le coordinate del punto di intersezione Se le rette sono parallele il sistema non ha soluzione

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