DAI RAZIONALI AI REALI

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1 DAI RAZIONALI AI REALI. L isieme dei umeri rzioli. Le operzioi fr umeri rzioli: ddizioe, moltipliczioe, sottrzioe e divisioe.. L elevmeto potez. L ordimeto.. Proprietà delle disuguglize (?disuguglize e operzioi).. Desità dei umeri rzioli. Rppresetzioe decimle dei umeri turli.4 Cofroto fr umeri rzioli.. Le percetuli 4. L isieme dei umeri reli 4. I umeri irrzioli 4. I umeri reli 4.. Proprietà 4. Rdici di u umero rele 4.4 Elevmeto potez 4.4. co espoete rziole 4.4. co espoete rele 4. Proprietà delle disuguglize 4.6 Rppresetzioe dei umeri e pprossimzioi

2 . Numeri rzioli U umero è detto rziole se è rppresetbile come frzioe di iteri. Quidi l isieme Q dei rzioli è defiito d { m : m,, 0} Q = Z Z L rppresetzioe dei rzioli come frzioi di iteri o è uic. Per ogi rziole esistoo ifiite frzioi (dette equivleti) che lo rppreseto. Ad esempio: = = = Ogi umero rziole può essere rppresetto quidi come frzioe vete l deomitore u umero itero positivo (Perché?). Osservzioe: Vle evidetemete Ζ Q. Iftti ogi itero può essere rppresetto come u frzioe co deomitore. Il umero 0 è rppresetto d qulsisi frzioe vete umertore 0... Operzioi fr umeri rzioli Addizioe e moltipliczioe Voglimo defiire, presi e b rzioli: - l somm + b - il prodotto b Nel dre queste defiizioi ci poimo i soliti due vicoli che ci poimo qudo estedimo u isieme umerico: ) Voglimo che queste operzioi, qudo effettute fr i umeri rzioli iteri (cioè i vecchi umeri iteri) dio lo stesso risultto che dvo i Z 7 4 Ad esempio voglimo che + = E che: = ) Voglimo che l ddizioe e l moltipliczioe i Q godo delle stesse proprietà di cui godevo le loghe operzioi i Z (e quidi i N), cioè: - proprietà commuttiv si per l ddizioe che per l moltipliczioe - proprietà ssocitiv si per l ddizioe che per l moltipliczioe - proprietà distributiv dell ddizioe rispetto ll moltipliczioe. Si può dimostrre che ssumedo questi vicoli, l uico modo per defiire ddizioe e moltipliczioe fr umeri rzioli è quello che hi imprto ll scuol medi, e precismete: c d bc + = + b d bd b c d = c bd Osservzioe: Spesso si dice che per sommre due frzioi si deve trovre il miimo comue multiplo dei deomitori. I questo modo si trov il più piccolo dei deomitori comui, il che effettivmete può semplificre i clcoli. Quidi o è vero che si deve, m piuttosto che si può, e si f se vle l pe frlo. Ad esempio è corretto eseguire così: = = =

3 che se i questo modo l frzioe che otteimo o è ridott i miimi termii. Sottrzioe e divisioe Nell isieme dei rzioli soo sempre possibili le operzioi di sottrzioe e divisioe. I ltre prole:, b Q x Q : + x = b, b Q, co 0 x Q : x = b Più precismete per defiire l sottrzioe e l divisioe si procede così. Ache i Q, come i Z, si defiisce Si defiisce l sottrzioe fr due umeri e b come: b = + ( b) dove il umero - b idic l opposto di b, cioè il umero tle che: b + ( b) = 0.: Se 0 si defiisce iverso di, e si idic co =, il umero rziole tle che: Il quoziete di due umeri (cioè il risultto dell divisioe dei due umeri) è defiito come il prodotto del primo per l iverso del secodo (che deve essere diverso d 0). I formule: = b b L iverso di b può essere idicto che co b. Di coseguez, che b può essere scritto come b. Co queste defiizioi, si può dimostrre che i Q si possoo sommre, sottrrre, moltiplicre e dividere umeri, e che queste operzioi godoo delle proprietà usuli. Si dice che che Q è u cmpo. Esempi: L iverso di è. L iverso di è 7 Esercizi: + ) 4 = 4 7 ) + = 0 7.

4 L legge di ullmeto del prodotto. Prldo di umeri iteri bbimo dimostrto che il prodotto di u umero itero per 0 è 0. Dto che per dimostrrlo bbimo utilizzto proprietà delle operzioi che soo verificte che ell isieme Q, il risultto vle che ell isieme dei rzioli. E vero che il vicevers, cioè se il prodotto di due umeri rzioli è 0 lmeo uo dei due è 0. I ltre prole vle il seguete: Teorem (detto che legge di ullmeto del prodotto ): Sio, b Q. b = 0 = 0 oppure b = 0. Osservzioe: I mtemtic l espressioe oppure h u sigificto iclusivo, e o esclusivo (per chi coosce il ltio: vel e o ut ). I ltre prole = 0 oppure b = 0. è verifict se lmeo uo dei due umeri e b è ugule 0 (e quidi che se etrmbi soo uguli 0). Dimostrzioe. U delle due impliczioi l bbimo già dimostrt. (Qule?) Dimostrimo l ltr: b = 0 = 0 oppure b = 0. Suppoimo 0 e fccimo vedere che dev essere b = 0. Allor h iverso, cioè esiste tle che = Nell ugugliz: b = 0 moltiplichimo mbo i membri per : b = 0 dto che = e che 0 = 0 otteimo: b = 0 cioè b = 0 Alogmete se se suppoimo b 0. Osservzioe: L legge di ullmeto del prodotto è molto importte qudo si risolvoo equzioi. Ad esempio se devo risolvere l equzioe: ( x )(x )( x ) = 0 l legge di ullmeto del prodotto mi dice che: ( x )(x )( x ) = 0 se e solo se è verifict lmeo u fr le segueti codizioi: x = 0 x = 0 x = 0 Quidi le soluzioi dell equzioe dt soo: x = x = x = x =.. Elevmeto potez Per defiire l elevmeto potez fr umeri rzioli, qudo l bse è u umero rziole o itero, e è u umero itero, si defiisce cor: =... se è positivo volte 4

5 = se è egtivo Esempi: 4 = = 8 6 = 8 = = ( ) = ( ) = 9 Osservzioe: Defiire ell isieme Q l elevmeto potez co espoete rziole è ivece impossibile, se voglimo mteere le proprietà delle poteze. I bse tli proprietà iftti dovremmo vere. = = = I ltre prole elevto l qudrto dovrebbe dre, cioè dovrebbe essere l rdice qudrt di. Come vedremo più vti però, o esiste essu umero rziole che elevto l qudrto dà.. Ordimeto ell isieme dei umeri rzioli L ordimeto di Z si può estedere ll isieme Q. U umero rziole q p si dice positivo se umertore e deomitore soo cocordi. Si dice egtivo se umertore e deomitore soo discordi. Ache i questo cso, logmete quto è stto ftto ell isieme Z, si può defiire l relzioe d ordie usule prtedo dll ddizioe. Precismete: Defiizioe: Sio, b Q. Dicimo che b se e solo se c Q, c > 0 : + c = b. Ad esempio. Iftti è vero che c Q, c > 0 : + c =. (Chi è c?) U defiizioe equivlete è: Defiizioe: Sio, b Q. Dicimo che b se e solo se b 0. Osservzioe: Se p r, b Q possimo scriverli come e, co p, q, r, s Z, e possimo supporre q s q > 0, s > 0.

6 p r Quidi per l defiizioe dt sopr b se e solo se 0. q s ps rq Cioè se e solo se 0 qs Avedo supposto q > 0, s > 0, questo equivle dire: ps rq 0, cioè ps rq. Osservzioe: Allo stesso risultto ps rq si rriv moltiplicdo i croce i due membri dell disugugliz (i cui bbimo supposto i deomitori positivi): p r q s.. Ordimeto e operzioi (proprietà delle disuguglize) L ordimeto di Q e le operzioi di ddizioe e moltipliczioe soo legti d queste proprietà: ) se b llor + c b + c c Q ) se b llor c cb c Q, c > 0 Ioltre: ) Se < b e c < d llor + c < b + d 4) < b c < d e, b, c, d soo positivi: c < b d Vlore ssoluto di u umero rziole Alogmete quto bbimo ftto co gli iteri reltivi, defiimo vlore ssoluto di u umero rziole, e si idic co, il umero se 0, il umero se < 0. Problemi: ) Dimostrre che: Se 0 < < b llor > b Cos si può cocludere se < b < 0 soo etrmbi egtivi? E se uo è positivo e l ltro egtivo? ) Se < b possimo dedurre che: < b? ) Se < b possimo dedurre che: < b? 4) Se < b possimo dedurre che: < b? ) Se < b possimo dedurre che: < b? 6) π = 7) Se b posso cocludere che b? E se b posso cocludere che b?.. Desità dei umeri rzioli Nell isieme dei umeri rzioli, differez di quel che ccde per i umeri turli e iteri, u umero o h successivo (i ltre prole o esiste il più piccolo dei umeri rzioli più grdi di ). 6

7 I umeri rzioli ho (iftti?) l proprietà dett desità: fr due umeri rzioli qulsisi se e può trovre u ltro. I simboli:, b Q, < b c Q tle che < c < b Dimostrzioe: + b Se e b soo due umeri rzioli, co < b, bst cosiderre il umero (medi ritmetic dei due umeri e b; geometricmete puto medio del segmeto di estremi e b), che è cor rziole (Perché?) ed è tle che: + b < < b D questo segue che fr due umeri rzioli ci soo ifiiti rzioli: iftti possimo ripetere + b questo rgiometo per cocludere che fr e c è sicurmete u rziole q, e quidi fr e q c è u ltro rziole, ecc. Quidi si possoo scegliere due rzioli distiti tto vicii quto si vuole (metre egli iteri e ei turli l distz miim è ). Esempi: E possibile trovre u umero rziole compreso fr 6 e? L rispost è sì, per l proprietà dell desità dei rzioli. Per trovre u umero co tle proprietà possimo seguire più strde: - Possimo cosiderre l medi ritmetic dei due umeri: = = 0 60 I questo modo bbimo trovto il umero rziole che st metà fr i due umeri dti. - Più semplicemete possimo scrivere le due frzioi come frzioi che ho lo stesso deomitore: 6 = e = Co deomitore 0 o trovimo u umertore itero compreso fr e 0, m possimo pssre d u deomitore più grde, d esempio: = = e = = quidi u possibile soluzioe è il umero: = 00 - Possimo che scrivere le frzioi i form decimle, semplicemete dividedo umertore per deomitore (vedi Rppresetzioe decimle dei umeri rzioli): = 0, = 0, 6 6 Quidi possimo predere d esempio: = 0,8 8 cioè. 00 7

8 Rppresetzioe dei umeri rzioli sull rett I umeri rzioli si possoo rppresetre su u rett el seguete modo. Fissimo sull rett u origie (il puto corrispodete 0), u uità di misur e u orietmeto (cioè fissimo il puto corrispodete ). Per trovre il puto dell rett corrispodete l umero rziole p (dove l solito possimo q supporre q > 0 ) dividimo i q prti uguli il segmeto di estremi 0 e, e cotimo p delle prti così otteute: se p è positivo bbimo trovto esttmete il puto corrispodete q p. Se p è egtivo e predimo il simmetrico rispetto ll origie. Problemi: Dopo ver fissto l origie e il puto corrispodete, rppreset su u rett i umeri: 6 ; ; ; - ; 4 4 Come vedremo, immgido di mettere tutti i umeri rzioli sull rett, rimgoo sull rett dei buchi.. Rppresetzioe decimle dei umeri rzioli Qudo bbimo prlto di umeri turli bbimo prlto che dell loro rppresetzioe decimle. L scrittur 07, d esempio, sigific: Fi dll scuol elemetre si itroducoo che i cosiddetti umeri decimli, cioè i umeri co l virgol:,7 6,470 che si dicoo decimli fiiti (perché ho u umero fiito di cifre diverse d zero dopo l virgol). Il sigificto dell virgol è il seguete: 7,7 = ,470 = Più vti hi coosciuto i decimli illimitti periodici, cioè i decimli co ifiite cifre diverse d zero dopo l virgol co u gruppo di cifre il periodo che si ripete ll ifiito. Ad esempio:, 8,64 il primo st d idicre:, (cioè c è u cifr, il dett periodo che si ripete ll ifiito); il secodo 8, (cioè dopo le cifre 6 c è u gruppo di cifre 4, il periodo - che si ripete ll ifiito). Ifie lle scuole superiori hi icotrto che umeri decimli illimitti o periodici, cioè i umeri che ho ifiite cifre diverse d zero dopo l virgol m o ho periodo. Soo umeri per cui o è possibile prevedere le ifiite cifre dopo l virgol. Ad esempio qudo si scrive: π =,4... =,4... 8

9 i putii sto d idicre che ci soo ifiite cifre dopo l virgol, e quello che possimo rrivre cooscere è comuque u umero fiito (per quto grde) di esse. Che relzioe c è fr i umeri decimli e i umeri rzioli? Prtimo di umeri rzioli. Predimo u rziole q p, suppoedo l frzioe ridott i miimi termii. Possimo limitrci i rzioli positivi. Se q p possimo scriverl come frzioe che h l deomitore 0 o u potez di 0 (cioè u frzioe decimle ), il rziole q p vrà u scrittur decimle limitt. Ad esempio: 6 = = = 0, = = =, 0 m che: 7 = = = = = 0, = = = = = 0, Riuscite vedere come dev essere l frzioe q p per poter essere scritt come frzioe decimle? E solo u problem di deomitore (u volt che q p è ridott i miimi termii): l frzioe q p può essere scritt come frzioe decimle se e solo se il deomitore q h come uici divisori primi e. Pssimo l cso i cui q o bbi come uici divisori primi diversi e. Predimo u cso prticolre: l frzioe 7. Eseguimo l divisioe co l virgol, come ci ho isegto lle elemetri: 7 0 0, Vedete cos succede? Siccome i resti possibili di u divisioe per 7 soo esttmete 7, e precismete 0,,,, 4,, 6 (perché, ricordimo, il resto è miore strettmete del divisore), u volt comprsi tutti i resti possibili u resto si dovrà ripetere. M se si ripete u resto, siccome ogi 9

10 volt ggiugo uo 0, si dovrà ripetere che l cifr dopo l virgol corrispodete. Nel ostro cso effettivmete compioo tutti i resti possibili, el seguete ordie:,,, 6, 4, e poi ricompre. A quel puto quei resti si ripetero di uovo ello stesso ordie. Nel quoziete quidi (cioè el risultto dell divisioe) si ripetero le cifre corrispodeti, cioè, 4,, 8,, 7. I ltre prole il quoziete srà il umero periodico: 0,487 I defiitiv, il risultto dell divisioe fr due iteri srà ecessrimete u umero periodico, mgri co periodo lughissimo, m sicurmete periodico. Quidi i rzioli corrispodoo umeri decimli fiiti o periodici. Per completre l ostr lisi vedimo se vle che il vicevers: cioè se tutti i decimli limitti e periodici corrispodoo umeri rzioli. Comicimo col cosiderre i decimli fiiti. E chiro che questi umeri soo rzioli, perché soo somm di umeri rzioli. Ad esempio: 7,7 = o più semplicemete. 7,7 = 00 Cosiderimo or u umero periodico qulsisi. Forse ll scuol medi ti soo stte isegte le procedure (lgoritmi), che cosetoo di trsformre u umero decimle periodico i u frzioe di iteri. Qui o ci iteress ricordre tli lgoritmi, m semplicemete osservre che tli lgoritmi ci permettoo di ssocire d u qulsisi umero periodico u umero rziole. I coclusioe: i umeri rzioli soo tutti e soli i umeri co rppresetzioe decimle fiit o periodic. Osservzioe: L rppresetzioe decimle di u rziole o è sempre uic. Ad esempio, le scritture 0, e 0,9 rppreseto lo stesso umero rziole. I geerle qudo u umero decimle h periodo ugule 9 è ugule u decimle fiito (quello che si ottiee dl decimle fiito che h come ultim cifr l cifr che precede l iizio del periodo, ggiugedo tle cifr). Ad esempio: 0,9 =,9 =,6,0069 =,006 Sez voler dre u dimostrzioe rigoros, per covicerci di questo ftto per iete ituitivo sfruttimo l proprietà di desità dei umeri rzioli, rgiodo su u cso prticolre: = 0,9 b = Se e b fossero diversi, per l proprietà di desità dovrebbe esistere u umero rziole c: < c < b Per essere più piccolo di questo umero dovrebbe essere del tipo 0,. D ltr prte per essere più grde di dovrebbe essere più grde di 0, E covicete questo puto che tle umero o poss esistere. Quidi o può essere b. 0

11 Problemi ) Per ciscuo dei umeri rzioli che seguoo trovte lmeo due rppresetzioi frziorie:,;,0; 0,; 0, 09. ) Trovte due iteri m,, co 0 tli che < m < 4 4 ) Trovte u umero rziole x tle che 0,76 < x < 0,77 4) Trovte u umero rziole x tle che,9 < x+ <,94 ) Trovte u umero rziole x tle che < x <. 6) Trovte u umero rziole x tle che 0 < x <. 7) Dt u frzioe, è possibile defiire l frzioe immeditmete successiv ess? 8) Soo dti i umeri iteri m,, etrmbi positivi, co m<. E possibile stbilire qule fr le m m + frzioi, è più grde? E che cos cmbi se m>? + 9) Soo dti gli iteri positivi m,, p, q, tli che m < p. Stbilite se è vero che vle: q m m + p p < < + q q I cso ffermtivo provtelo, i cso egtivo trovte u cotroesempio. Percetuli Come bbimo visto il cofroto fr due frzioi è più gevole se le frzioi ho lo stesso deomitore. Per fcilitre tle cofroto i molte situzioi di vit rele si f riferimeto ll percetule, che o è ltro che il riferimeto d u deomitore ricoosciuto come privilegito: quello ugule 00. Dire che il 0% dell popolzioe uiversitri si perde prim di rrivre ll lure, equivle iftti 0 dire che di tle popolzioe o rriv ll lure. 00 I geerle è il p% di b se: p = 00 b o che: p : 00 = : b cioè: 00 p = b Esempio: Sppimo che su 4 mtricole di Mtemtic 9 provegoo dll Tosc. Voglimo esprimere questo dto come percetule. p : 00 = 9 : p = 4 Il risultto, trocto ll prim cifr decimle, è 66,9. Quidi possimo dire che il 66,9% delle mtricole di Mtemtic proviee dll Tosc.

12 Osservzioe : Abbimo visto che l percetule può essere u umero decimle. Dto che proviee d divisioe di iteri può essere u umero decimle illimitto. I tl cso si pprossim: qule cifr decimle pprossimre dipede dl problem. Osservzioe : Qudo si prl di percetule si f riferimeto u cofroto. Spesso questo riferimeto è implicito. Ad esempio ell otizi: Solo ell'ultimo mese il prezzo di u litro di bezi e' umetto del 6,6%. si itede il 6,6 del prezzo stesso. I ltre prole se x er il prezzo dell bezi u mese f, il prezzo ttule è: 66 x + x 000 Esempi ) Per pgre il gruppo che verrà teere u cocerto el suo locle il proprietrio deve pgre sul compeso u tss del 0%. Se il gruppo vuole u compeso etto di 00, quto dovrà chiedere come compeso lordo? Chimimo x il compeso lordo (su cui drà pplict l tss del 0%): 0 x = 00 + x 00 x x = 00 4 x = x = = 4 6 ) Si vuole esprimere come percetule i segueti dti, reltivi ll proveiez degli studeti iscritti l primo o del Corso di Lure i Scieze Geologiche: Liceo scietifico 8 Liceo clssico 8 Istituto tecico 4 Istituto professiole 4 ALTRO 0 Il totle degli studeti è 84. Quelli del liceo scietifico soo 8 su 84, quidi l percetule x è dt d: x : 00 = 8 : 84 cioè: x = = = 4, Se pprossimimo ll prim cifr decimle, l percetule degli studeti proveieti dl liceo scietifico è 4,%. Cotiu tu. ATTENZIONE: Qudo hi fiito cotroll che l somm delle percetuli si 00. Problemi: ) Il vlore di u titolo ziorio è umetto del 7% el corso dell o. Se x er il suo vlore ll iizio dell o, qule delle segueti espressioi rppreset il suo vlore ll fie?

13 ) 0,7x b),7x c),07x d) 0,07x 0) Il vlore di u titolo ziorio è dimiuito del % el corso dell o. Se x er il suo vlore ll iizio dell o, quto vle ll fie? ) Il vlore di u titolo ziorio è umetto del 0% el corso dell o. Se x è il suo vlore ll fie dell o, è vero che ll iizio vlev 0.8x? ) Il vlore di u titolo ziorio è umetto del 0% el corso dell o. Se x è il suo vlore ll fie dell o, qule delle segueti espressioi pprossim meglio il suo vlore ll iizio? ) 0,0x b) 0.67x c) 0,60x ) Il vlore di u titolo ziorio è umetto del 00% el corso dell o. Se x è il suo vlore ll fie dell o, quto vlev ll iizio? 4) U prtit di gurie dl peso iizile di 00 kg viee stocct per u settim i u mgzzio. All iizio l percetule di cqu coteut elle gurie è il 99% del loro peso, ll fie dello stoccggio, cus dell evporzioe, tle percetule è sces l 98%. Quto peso ll fie le gurie? 4. I umeri reli 4. I umeri irrzioli Già gli tichi Greci spevo che i umeri rzioli o soo sufficieti per rppresetre le lughezze dei segmeti. Ad esempio, l misur dell digole di u qudrto di lto o è u umero rziole. Dl teorem di Pitgor segue che l misur di quell digole è. Cerchimo di dimostrre che o è u umero rziole, cioè che o è rppresetbile ell form m co m, iteri. U dimostrzioe dirett è impossibile: che clcoldo u gr umero di cifre decimli di o potremmo vere l certezz che l su rppresetzioe è ifiit o periodic. Per essere certi dovremmo clcolrle tutte, il che è impossibile. L irrziolità di è stt dimostrt co u rgiometo per ssurdo. U rgiometo per ssurdo cosiste ell ssumere come ipotesi l egzioe dell ffermzioe che si vuole provre e mostrre che d tle ipotesi segue u cotrddizioe. Leggi ttetmete l dimostrzioe che segue e poi rispodi lle domde successive.. Teorem: Il umero è u umero irrziole. () Dimostrimo per ssurdo. () Se fosse rziole llor esisterebbero due umeri iteri m e tli che: m = () e si può sempre supporre che m e sio primi tr loro, cioè che l frzioe m/ si ridott i miimi termii. (4) Duque m =. () Poiché m è pri, che m è pri e è dispri. (6) D ltr prte se poimo m = k llor m =4k

14 (7) quidi: = 4k cioè = k (8) d cui cosegue che è pri. (9) Quidi che è pri. (0) M vevmo supposto dispri. () Quidi simo rrivti d u ssurdo. Rispodi or lle segueti domde: ) Cos vuol dire dimostrre per ssurdo? b) Ti ricordi ltre dimostrzioi per ssurdo? c) Perché (v. ) si può supporre che m e sio primi fr loro? d) Perché (v. 4) si può scrivere m =? e) Perché (v. ) m è pri? f) Perché (v. ) se m è pri che m è pri? g) Perché (v. ) è dispri? h) Perché (v. 6) si può porre m = k? i) D cos si ricv (v. 7) che = 4k? j) Perché (v. 8) llor è pri? k) Perché (v. 9) llor è pri? l) Hi già usto ell dimostrzioe il rgiometo l puto precedete? m) Al puto 0 si ricord che è dispri. I qule puto l vevmo dedotto? Perché? ) I che cos cosiste l ssurdo? Perché il teorem è dimostrto? Osservzioe: Si verific fcilmete l esistez di ifiiti irrzioli. Ad esempio, è immedito provre che umeri come + oppure soo irrzioli. Co u dimostrzioe log quell ppe vist, è possibile provre che per ogi umero primo p, p è irrziole. Esistoo comuque diversi tipi di umeri irrzioli. Abbimo visto che u umero irrziole o può essere rppresetto d u frzioe di iteri. D questo segue che o può vere emmeo u rppresetzioe decimle fiit o periodic, perché d queste si potrebbe rislire u frzioe di iteri. Potremmo quidi che defiire gli irrzioli come quei umeri che ho rppresetzioe decimle ifiit e o periodic. 4. L isieme dei umeri reli L isieme di tutti i umeri rzioli e irrzioli, cioè di quelli che ho rppresetzioe decimle (o import se fiit o ifiit, periodic o o periodic) è l isieme dei umeri reli, deotto dl simbolo R. I umeri reli soo i corrispodez co i puti di u rett, el seso che se sull rett si stbilisce u origie, u verso e u uità di misur, llor ogi puto dell rett corrispode uo e u solo umero rele, e ogi umero rele corrispode uo e u solo puto dell rett. 4

15 Tr gli isiemi umerici fior descritti vlgoo le iclusioi: Ν Ζ Q R. Grficmete, co u digrmm di Ve: R Q Ζ Ν Questo sigific che Ν è sottoisieme di Ζ, m che di Q e di R, che Ζ è u sottoisieme di Q e di R, che Q è sottoisieme di R. Affermre che u elemeto pprtiee u isieme o esclude che l elemeto poss pprteere u sottoisieme. Quidi l ffermzioe x R o esclude x Q o x Z e così vi. I ltre prole, ffermre che x è rele o esclude che x poss essere rziole o itero. 4.. Proprietà dei umeri reli All isieme R dei umeri reli si possoo estedere le operzioi di ddizioe, moltipliczioe, sottrzioe e divisioe defiite i Q (co i soliti vicoli: i modo che su Q dio gli stessi risultti, e che cotiuio vlere le proprietà ote). Defiire esplicitmete queste operzioi o è ble, e quidi o lo fremo. Alogmete si può estedere R l ordimeto di Q. I questo modo R h tutte le proprietà di Q (si dice che è u corpo commuttivo, o cmpo ). M el pssggio d Q R bbimo gudgto u uov proprietà: si chim completezz, ed esprime il ftto che se rppresetimo i umeri reli su u rett (ssumedo quidi u origie e u uità di misur, cioè fissdo il puto corrispodete ), completimo tutt l rett, cioè o rimgoo buchi. Quest proprietà, che si può esprimere i modi diversi, è ll bse dell lisi mtemtic: i prticolre è ll bse del cocetto di limite. I defiitiv l isieme dei umeri reli co tli operzioi e ordimeto divet quello che si dice u cmpo ordito completo, che è crtterizzto dlle segueti proprietà:. Proprietà reltive lle operzioi. Soo defiite le operzioi di ddizioe (+) e moltipliczioe ( ) tr umeri reli, co le segueti proprietà (di seguito, b, c idico umeri reli geerici):. proprietà ssocitiv. proprietà commuttiv. proprietà distributiv.4 esistez degli elemeti eutri. esistez degli opposti.6 esistez degli iversi

16 . Proprietà reltive ll ordimeto. E defiit l relzioe di miore o ugule ( ) tr umeri reli, co le segueti proprietà:. Dicotomi: per ogi coppi di umeri reli, b. si h. Proprietà tisimmetric: se. Se b llor vle che + c b + c c R.4 Se 0 e 0 b llor vlgoo che 0 + b e 0 b. Completezz Sio e B due isiemi o vuoti di umeri reli co l proprietà che A e b B b Allor c R : c b A e b B Si dice che che il umero rele c è elemeto seprtore dei due isiemi A e B. U esempio importte: come elemeto seprtore di due clssi di umeri rzioli. Ache se o è rziole, possimo pprossimrlo per difetto e per eccesso u umero rziole, co l pprossimzioe che voglimo. Itto possimo dire che: < < iftti, poiché < < 4, si h che < < 4. Dividimo or l itervllo di estremi e i 0 prti, cosiderdo,;,;,;,9, e cerchimo di cpire fr quli di questi umeri è compreso. Per fr questo clcolimo (,) ; (,),..., fiché o rrivimo superre. Questo succede co,, dto che (,) =,. Quidi possimo dire che:,4< <,. Possimo or dividere l itervllo di estremi,4 e, i 0 prti, cosiderdo,4;,4;,4;,,49, e cerchimo di cpire fr quli di questi umeri è compreso. Per fr questo clcolimo (,4) ; (,4),..., fiché o rrivimo superre. Questo succede co,4, dto che (,4) =,988 e,4 =,064. Quidi possimo dire che:,4< <,4. È evidete che si può cotiure i questo procedimeto per quto si vuole, otteedo due ctee di umeri rzioli: l prim A - ftt di umeri sempre miori di, d ogi psso più grdi; l secod B - ftt di umeri sempre mggiori di, d ogi psso più piccoli. Quidi d ogi psso l differez fr il umero dell cte B e il corrispodete dell cte A dimiuisce. < <,4 < <,,4 < <,4,44 < <,4,44 < <,44,44 < <,44 < < 6

17 Per le proprietà dei umeri reli i due isiemi A e B ho u elemeto seprtore: tle elemeto è proprio il umero. Vlore ssoluto di u umero rele Alogmete quto bbimo ftto co i rzioli e gli iteri reltivi, defiimo vlore ssoluto di u umero rele, e si idic co, il umero se 0, il umero se < 0. Cotiuo vlere le proprietà del vlore ssoluto che bbimo evidezito i Z e i Q, e che rissumimo di seguito: ) x 0 x R x = 0 x = 0 ) x y = x y x, y R ) x + y x + y x, y R (disugugliz trigolre) Itervlli i R Alcui sottoisiemi otevoli di R soo gli itervlli. Come R corrispode u rett, così gli itervlli corrispodoo i segmeti e lle semirette di quell rett. I prim pprossimzioe, u itervllo è formto d tutti i vlori compresi tr due vlori dti, estremi iclusi o esclusi, o d tutti i vlori mggiori o miori di u vlore dto. Vedimo le otzioi uste per lcui esempi di itervlli isieme ll loro defiizioe precis., b rppreseto umeri reli, co < b. Notzioe Descrizioi verbli Defiizioe [,b] L isieme dei umeri reli compresi fr e b, estremi iclusi. {x x b} L isieme degli x tli che x è mggiore o ugule d e miore o ugule b. (,b) L isieme dei umeri reli compresi fr e b, estremi esclusi. {x < x < b} L isieme degli x tli che x è mggiore di e miore di b. [,b) L isieme dei umeri reli compresi fr e b, icluso, b escluso. {x x < b} L isieme degli x tli che x è mggiore o ugule d e miore di b. (,b] L isieme dei umeri reli compresi fr e b, escluso, b icluso. {x < x b} L isieme degli x tli che x è mggiore di e miore o ugule b. [,+ ) L isieme dei umeri reli compresi fr e ifiito (positivo), {x x} icluso. L isieme degli x tli che x è mggiore o ugule d. (,] L isieme dei umeri reli compresi fr ifiito (egtivo) e, {x x } icluso. L isieme degli x tli che x è miore o ugule d. (,+ ) L isieme dei umeri reli compresi fr e ifiito (positivo), {x < x} escluso. L isieme degli x tli che x è mggiore di. (,) L isieme dei umeri reli compresi fr ifiito (egtivo) e, escluso. L isieme degli x tli che x è miore di. {x x < } Gli itervlli dell form [,b] soo detti chiusi, quelli dell form (,b) soo detti perti. U itervllo, per come è stto defiito, cotiee sempre ifiiti elemeti. Questo corrispode l ftto che i segmeti o degeeri e le semirette soo formti sempre d ifiiti puti. 7

18 V subito osservto che +, o soo umeri reli, quidi o pprtegoo é ll rett rele é d lcu itervllo. Esempi Cosiderimo l itervllo I := (,]. o è u elemeto di I. 0, 0.,,, soo elemeti di I. Ache è u elemeto di I., 4,, 47.7 o soo elemeti di I. Questo itervllo h u elemeto mssimo () m o h u elemeto miimo. Cosiderimo l itervllo I := [0,). Questo itervllo h u elemeto miimo (0) m o u elemeto mssimo. Esempi di elemeti di I soo 0, 0.,,.9,.99, o è u elemeto di I. Iftti.9 =, e o pprtiee I. Problemi ) Provte che è irrziole. ) Provte che è irrziole ) Provte che è irrziole 4) Cosiderte l itervllo (0,). ) È vero che 0.0 è u elemeto di (0,)? b) È vero che se x pprtiee (0,), llor che x pprtiee (0,)? c) È vero che se x pprtiee (,), llor che x pprtiee (,)? d) È vero che se x pprtiee (0,), llor che x pprtiee (0,)? e) È vero che se x pprtiee (0,), llor che x pprtiee (0,)? f) È vero che se x e y pprtegoo (0,), llor che xy pprtiee (0,)? g) È vero che se x e y pprtegoo (0,), llor che x+y pprtiee (0,)? 4. Rdici di u umero rele Ricordimo come si defiisce l rdice -esim di u umero rele. Se > è u umero turle, e e b soo umeri reli tli che: b = il umero b si dice rdice -esim del umero rele. Quidi rdice -esim di u umero rele è qulsisi umero l cui potez -esim è ugule. Si possoo dimostrre le segueti importti proprietà dell isieme dei umeri reli: ) Se è dispri, qulsisi si il umero rele esiste uo ed u solo umero rele b tle che: b = ) Se è pri, distiguimo due csi:.) Se < 0, o esiste essu umero rele b tle che: b = (Perché?) 8

19 .) Se > 0, llor esistoo esttmete due umeri reli (uo opposto dell ltro) tli che: b = Defiizioe: Dto u umero rele > 0, e u umero turle, si dice rdice -esim ritmetic di (e si idic co ) l uico umero rele positivo b tle che: b = Esempi: 9 = e o 9 = ± 8 = è quell uico umero rele positivo il cui qudrto è. Quidi se voglimo idicre le due soluzioi dell equzioe: x = scriveremo: x = ± Osservzioe: D quto detto sopr segue che l semplificzioe di Più precismete: Se è dispri, llor: = Se è pri: = Ad esempio: richiede ttezioe. x = x ( ) = 9 = = Spiegte perché Elevmeto potez co espoete rziole A questo puto simo i grdo di defiire, dto u umero rele positivo, e u umero rziole p p, l potez di bse ed espoete. q q Al solito voglimo mteere le proprietà delle poteze, i prticolre voglimo che: 9

20 = = = I ltre prole elevto l qudrto dovrebbe dre, cioè dovrebbe essere l rdice qudrt di. Geerlizzimo. Presi u umero rele positivo e u umero rziole positivo q p (possimo supporre p e q positivi), poimo: p q = q p Se q p è egtivo (possimo supporre p egtivo e q positivo), poimo: p q = p q = q p I questo modo si può dimostrre che soo mteute le proprietà delle poteze. Esempi: 4 = 4 = 4 = 4 = 6 = ( ) = = = = = 4.4. Elevmeto potez co espoete rele Il pssggio rigoroso dll espoete rziole quello rele (i modo d preservre le proprietà delle poteze) è delicto, e mette i cmpo l proprietà di completezz dei umeri reli. Qui ci limitimo dre u ide di come vviee, prtire d u cso prticolre: l potez. Abbimo visto che esiste u isieme di rzioli che pprossim per difetto il umero irrziole, e uo di umeri rzioli che lo pprossim per eccesso: < <,4 < <, 0

21 ,4 < <,4,44 < <,4,44 < <,44,44 < <,44 < < Ioltre bbimo visto che fissto u umero piccolo picere è comuque possibile (pur di dre bbstz vti i questo processo ) trovre u pprossimzioe per difetto e u per eccesso l cui differez è miore di quel umero. Il umero rele risult uivocmete determito d queste due ctee di umeri rzioli (si dice che che e è elemeto seprtore). Suppoimo desso di voler dre sigificto ll scrittur: Possimo cosiderre l isieme delle poteze che ho come bse, e come espoete i rzioli dell cte di siistr. Alogmete possimo cosiderre l isieme delle poteze che ho come bse, e come espoete i rzioli dell cte di destr. < <,4 < <,4 < <,44 < <,44 < <,44 < < < <,,4,4,44,44 p q Abbimo defiito le potez co espoete rziole, cioè sppimo che sigificto h, dove p e q soo iteri. Quidi tutte le poteze dell colo di siistr, come quelle dell colo di destr, soo dei umeri reli be defiiti. Ad esempio: 44, = = A questo puto si potrebbe dimostrre che, così come er elemeto seprtore delle due clssi di umeri rzioli scritte ell prim tbell, risult essere elemeto seprtore delle due clssi di umeri reli scritte ell secod tbell, cioè:,44 < <,4 < <,

22 ,4 < <,44 < <,44 < <,44 < < < <,4,4,44,44 Quidi possimo defiire i questo modo. I defiitiv dto u umero rele > 0 e u umero rele qulsisi b è possibile defiire Osservzioe: Dto quidi u umero rele > 0 e u umero rele qulsisi x è possibile defiire l fuzioe: f ( x) = x Le fuzioi di questo tipo (per ogi scelt dell bse ce è u) si dicoo fuzioi espoezili. Le proprietà delle poteze si trducoo elle segueti proprietà delle fuzioi espoezili: f ( 0) = f ( ) = f ( x + y) = f ( x) f ( y) Nel cso delle fuzioi potez idividuo due tipi di grfici. b. ( x) x bbimo visto che secod che si pri o dispri si f = Nel cso delle fuzioi espoezili si idividuo due tipi di grfici secod che l bse si mggiore o miore di.

23 4.4. Logritmi Qulsisi si l bse (purché divers d ) l fuzioe espoezile f ( x) = x è ivertibile. L su ivers di chim logritmo (i bse ). f ( x) = log ( x) Quidi (per defiizioe di fuzioe ivers): y y = log ( x) x = Si dice che che il logritmo i bse di u umero x è l espoete d dre ll bse per otteere il umero x. Dlle proprietà delle fuzioi espoezili discedoo proprietà del logritmo: Dto che qulsisi si l bse positivo. log () = 0 log ( ) = log ( x y) = log x + log y Ioltre dlle proprietà precedeti segue che: k log ( x) = k log x x è u umero positivo, il log ( x) esiste solo se x è Problemi: ) A prtire dlle proprietà dell fuzioe espoezile e dll defiizioe di logritmo dimostrre le proprietà del logritmo electe sopr. ) log 9 = ) Si c l soluzioe dell equzioe: log ( x + ) =

24 Allor: < c < < c < < c < 0 0 < c < 4. Proprietà delle disuguglize Rissumimo di seguito lcue proprietà importti delle disuguglize fr umeri reli (che vlgoo che fr umeri rzioli). Tli proprietà soo ll bse dell soluzioe di disequzioi. ) Aggiugere u costte i due membri di u disugugliz b Se b llor + c b + c c R ) Moltiplicre per u costte i due membri di u disugugliz b se b llor c cb c > 0 c cb c < 0 ) Elevre potez i due membri di u disugugliz b. Se è u umero turle dispri: b b b b I ltre prole i cso di potez co espoete dispri o ci dobbimo preoccupre: l disugugliz si mtiee si se elevimo ll, si se fccimo le rdici -esime. Ad esempio: x equivle : x 8 E che: x equivle : x. Se è u umero turle pri le cose soo più delicte... Se e b soo etrmbi positivi, vle cor: b b b b.. Se e b soo etrmbi egtivi: b b b b.. Se e b soo discordi (el qul cso essedo b ecessrimete il umero egtivo è ) il verso dell disugugliz che si ottiee elevdo potez -esim dipede dl vlore ssoluto dei due umeri Se b b b Se b b b 4

25 I defiitiv se è pri solo se e b soo positivi possimo trquillmete elevre potez - esim mbo i membri di u disugugliz, o el fre le rdici -esime. Se e b o soo positivi, o se o e cooscimo il sego, bisog essere molto cuti. 4) Ivertire i due membri di u disugugliz b se b llor se e b soo etrmbi positivi o etrmbi egtivi b se è egtivo e b è positivo b Esempi: ) x Ricordimo che l rdice x è defiit per x. Dove è defiit, è positiv o ull. Quidi se x possimo elevre l qudrto sez preoccuprci: x 8 x 9 I defiitiv teuto presete che x bbimo: x 9 Iterpretzioe co le fuzioi (se ritiei di ver sufficieti coosceze sulle fuzioi, prosegui. Altrimeti ritor su queste osservzioi dopo ver rigurdto l rgometo Fuzioi) Le proprietà electe sopr si possoo iterpretre i termii di proprietà di fuzioi. Più precismete, se e b soo umeri reli pprteeti l domiio di u fuzioe f: b f ( ) f ( b) esprime il ftto che l fuzioe f è u fuzioe crescete. b f ( ) f ( b) esprime il ftto che l fuzioe f è u fuzioe decrescete. Rivedimo u per u le proprietà electe ll luce di quest iterpretzioe: ) b + c b + c c R Dobbimo iterpretrl i termii di: b f ( ) f ( b) L fuzioe f è quidi: f ( x) = x + c Quest fuzioe è crescete c R. Il suo grfico (diseglo) è u rett prllel ll bisettrice del primo e terzo qudrte. A secod che c si positivo o egtivo il puto di itersezioe dell rett co l sse y vrà ordit positiv o egtiv: questo o ifluisce però sull direzioe dell rett. ) b c cb c > 0 b c cb c < 0 Dobbimo iterpretrl i termii di: b f ( ) f ( b)

26 L fuzioe f i questo cso è: f ( x) = cx Il grfico di quest fuzioe è u rett psste per l origie. Tle rett ttrvers il primo e terzo qudrte se c > 0. Attrvers il secodo e qurto qudrte c < 0. Quidi l fuzioe f ( x) = cx è crescete se c > 0, è decrescete se c < 0. (Fi u disego per oguo dei due csi.) E quidi: Se c > 0 b f ( ) f ( b) Cioè b c cb Se c < 0 b f ( ) f ( b) Cioè b c cb c < 0 (Cos succede se c=0?) ) b e b. Se è dispri b b Dobbimo iterpretrl i termii di: b f ( ) f ( b) L fuzioe f i questo cso è: f ( x) = x Se è dispri, il grfico di quest fuzioe è del tipo (i figur soo trcciti i grfici per =,,,, 7): Per ogi dispri l fuzioe è crescete. Quidi: b f ( ) f ( b) Cioè b b Per quto rigurd l impliczioe: 6

27 b b si può iterpretre i termii dell fuzioe ivers di ivertibile, e l su ivers è l fuzioe Quidi: b f ( ) f ( b ) Cioè. Se è pri l fuzioe f ( x) = x b b ( x) x. Se è dispri f = ( x) x o è u fuzioe crescete. f = Il grfico di queste fuzioi è del tipo (i figur i csi =, 4, 6, 8): ( x) x è f =, defiit x R e ch ess crescete. Cioè per ogi pri l fuzioe f ( x) = x è crescete se x > 0, decrescete se x < 0. Quidi se predo due puti eb sull sse x destr dell origie, cioè se e b soo etrmbi positivi: b b Se ivece predo due puti eb sull sse x siistr dell origie, cioè se e b soo etrmbi egtivi: b b Se predo b, co siistr dell origie, cioè egtivo, e b destr dell origie, cioè b positivo, srà (fi u disego ei due csi): b se l distz di dll origie è miore dell distz di b dll origie, cioè se b b se l distz di dll origie è mggiore dell distz di b dll origie, cioè se b 4) b e b L fuzioe f i questo cso è: f ( x) = x fuzioe defiit x 0, il cui grfico è il seguete: 7

28 Quest fuzioe o è é crescete é decrescete: iftti posso trovre coppie di puti e b per cui si h b e f ( ) f ( b) (d esempio = e b = ), e coppie di puti c e d per cui si h c d f ( c) f ( d) (d esempio = e b = ). L fuzioe però decresce per x < 0, e decresce per x > 0. Quidi se e b soo cocordi (cioè sto dll stess prte dell sse x rispetto ll origie) b f ( ) f ( b) Cioè: b b Se ivece è egtivo e b positivo: b b Problemi: Sio x e y due umeri reli tli che x>y. Quli delle segueti disuguglize soo verificte i tutti i csi? ) x >xy b) x >y x c) y > d) x >y e) x 4 >y 4 ) Quli risposte l problem precedete cmbio se si ggiuge l ipotesi x>0? 6) Quli risposte l problem 0) cmbio se si ggiuge l ipotesi y>0? 4.6 Rppresetzioi dei umeri e pprossimzioi Come bbimo visto ell prim lezioe, i umeri iteri, u volt fisst u bse, ho tutti rppresetzioe fiit. Quidi solo i umeri estremmete grdi creo problemi d questo puto di vist. I umeri rzioli ho tutti rppresetzioe fiit come frzioi di iteri, m o tutti ho u rppresetzioe decimle fiit. Ad esempio, è rppresetto come frzioe di iteri d due soli crtteri umerici, m e richiede ifiiti per essere rppresetto i form decimle. 8

29 Per trttre umeri come questo, è ecessrio utilizzre delle pprossimzioi, cioè delle rppresetzioi decimli fiite o estte. Questo vle mggior rgioe per i umeri irrzioli, che o dispogoo di rppresetzioi decimli fiite o periodiche. Per questo essu perso um e essu mcchi è i grdo di scrivere per itero e i u tempo fiito l rppresetzioe decimle di u umero irrziole. Approssimzioi soo ecessrie che per quei umeri rzioli dotti di rppresetzioe decimle fiit m molto lug, come d esempio l uic soluzioe dell equzioe x = 769 che richiede cifre dopo l virgol. Nell prtic è ecessrio quidi dottre rppresetzioi pprossimte. Dto u umero rele, suppoimo di pprossimrlo co α. Se α <, α è detto pprossimzioe per difetto di, metre se α >, α è detto pprossimzioe per eccesso di. L errore ssoluto di tle pprossimzioe è α, cioè il vlore ssoluto dell differez fr e α. Quest defiizioe o tiee coto di quto si grde. Siccome i molti csi è ecessrio teere coto, si itroduce l ide di errore reltivo. Se è diverso d 0, l errore reltivo che si commette sostituedo co α è α. È evidete che ell mggior prte dei csi è impossibile clcolre gli errori i modo estto: se questo fosse sempre possibile l teori degli errori srebbe iutile, i quto l cooscez estt si dell pprossimzioe si dell errore ci porterebbe cooscere esttmete ogi umero rele. Ioltre l rppresetzioe estt degli errori potrebbe richiedere u umero ifiito o molto grde di cifre decimli, ripropoedo il problem di prtez. Nell mggior prte dei csi dovremo ccotetrci di trovre u mggiorzioe dell errore, cioè u umero che si sicurmete mggiore dell errore. Ad esempio, spedo che.4 è u pprossimzioe di π co due cifre decimli estte, possimo ffermre, sez ltri clcoli, che l errore ssoluto è miore di u cetesimo, o, i formul π.4 <0 che se sremmo i grdo, i cso di ecessità, di trovre mggiorzioi più precise. Tlvolt si dice che che.4 pprossim π co l precisioe di 0. Alogmete, l errore reltivo può essere mggiorto, prim vist, d 4 0. Esempio. Suppoimo di voler pprossimre il umero rziole co Si trtt evidetemete di u pprossimzioe per difetto, i quto 0.66 <. L errore ssoluto è metre l errore reltivo è Evidetemete, i umeri utilizzti come pprossimzioi sro, ell prtic, sempre rzioli, che se molte delle proprietà richimte vlgoo più i geerle. Nel seguito prleremo di pprossimzioi sottitededo che si trtti di umeri rzioli. Teete presete che il simbolo α, usto spesso per rppresetre le pprossimzioi, è u crttere dell'lfbeto greco e si chim lf. Il vlore ssoluto di u umero rele è, ituitivmete, quel umero rele positivo o ullo che e esprime l distz d 0. I termii più formli, se x è u umero rele, il suo vlore ssoluto x è ugule x stesso se questo è positivo o ullo, metre è ugule x el cso i cui x si egtivo. Questo rgometo srà ripreso el cpitolo 7. 9

30 = = 0.0 Qulche volt l errore reltivo si esprime i termii di percetule; i questo esempio l errore reltivo è di u cetesimo, cioè dell %. Se usssimo ivece l pprossimzioe per eccesso 0.67 l errore ssoluto srebbe 0.00 metre l errore reltivo srebbe 0.00 (0.%). Quidi 0.67 è u pprossimzioe migliore rispetto Esempio. Il umero è irrziole (si può ripetere, co qulche modific, l dimostrzioe ftt per ) ed è defiito come il umero positivo il cui qudrto è. Dlle relzioi < e > segue: < <. Quidi sppimo co certezz che l uic cifr siistr dell virgol dell rppresetzioe decimle di è. è quidi u rppresetzioe di per difetto, metre lo è per eccesso. Possimo che dire che pprossim per difetto meo di u uità, e che lo pprossim per eccesso, sempre meo di u uità. Questo sigific che se si sostituisce (oppure ) si commette u errore o superiore. Per il mometo o simo i grdo di dire di più. Provimo or clcolre l prim cifr dopo l virgol. Dto che vlgoo le uguglize possimo ffermre che vle. = =.9. < <.. è quidi u rppresetzioe di per difetto, metre. lo è per eccesso. Possimo che dire che. pprossim per difetto meo di u decimo, e che lo pprossim per eccesso, sempre meo di u decimo. Questo sigific che se si sostituisce. (oppure.) si commette u errore o superiore 0.. Questo procedimeto può essere iterto u umero rbitrrio (m fiito!!) di volte. U proprietà mtemtic rilevte (che useremo spesso i modo implicito) è l seguete: dto u qulsisi umero rele, è possibile pprossimrlo co u umero rziole dotto di rppresetzioe fiit, co qulsisi precisioe. Molte clcoltrici lvoro co pprossimzioi che i lcui csi è possibile modificre. Molti sistemi di lgebr computziole (CAS: Computer Algebr System) soo i grdo di lvorre si i modlità estt si i modlità pprossimt, co l possibilità, el secodo cso, di determire l precisioe. Gli esempi che seguoo soo sviluppti utilizzdo Derive, u CAS molto diffuso i Itli livello scolstico 4. Cosiderimo d esempio l equzioe x = 46 Se si richiede l soluzioe ell modlità estt, cioè sez pprossimzioi umeriche Derive forisce l soluzioe x = 77 che è il mssimo che può fre sez operre pprossimzioi. V Osservzioeto che l frzioe è stt ridott utomticmete i miimi termii, i quto quest è u operzioe estt. Derive è u mrchio registrto dell Soft Wrehouse, Ic., Hoolulu, Hwii. 4 Alcue delle idee utilizzte soo stte trtte dl libro di B.Kutzler (996) Itroductio to Derive for Widows che viee forito i titolri di liceze per Derive. Widows è u mrchio registrto dell Microsoft Corp.. 0

31 Se ivece si richiede u soluzioe pprossimt, Derive forisce l espressioe x = che è scritt i Notzioe scietific, co 0 cifre estte. Il problem delle pprossimzioi si poe che per le rppresetzioi grfiche. Per misurre effettivmete u lughezz, d esempio, è ecessrio operre delle pprossimzioi. Il lto del qudrto destr misur 4 cm. L misur teoric dell digole è 4 cm, cioè u umero irrziole. Nessu misur effettiv (eseguit cioè d u gete umo i u tempo fiito) è così precis d cofermre che l digole misur 4 cm. Per questo occorrerebbe misurre l digole co precisioe ifiit, cioè i modo d otteere ifiite cifre estte, il che è impossibile. I modo logo, o è possibile, i bse ll sol figur, stbilire se u grfico pss esttmete per u puto del pio crtesio. Il grfico sotto siistr pss ppretemete per l origie, metre l figur destr (che rppreset lo stesso grfico i u itervllo più piccolo, co diverse uità di misur ed è stt otteut co l fuzioe zoom i ) mostr che è vero il cotrrio. y y x x Problemi ) Qul è l vlutzioe più degut dell errore k che si commette se si sostituisce il vlore.4 l posto di π? ) k < 0 b) k < 0 c) k < 0 ) L rispost l problem precedete vle che el cso i cui si sostituisce il vlore. l posto di π? ) Vlutte l errore ssoluto e quello reltivo che si commettoo pprossimdo co ) Vlutte l errore ssoluto e quello reltivo che si commettoo pprossimdo co Co l Notzioe scietific u umero rziole è rppresetto come il prodotto di u umero compreso fr (icluso) e 0 (escluso), turlmete co l precisioe richiest, e u potez opportu di 0.

32 ) Vlutte l errore ssoluto e quello reltivo che si commettoo pprossimdo co ) Trovte u pprossimzioe co l precisioe di 4 cifre dell rdice dell equzioe 799x=000. 7) Trovte u pprossimzioe co l precisioe di 4 cifre dell rdice dell equzioe x +x =. 8) Clcolte u pprossimzioe per difetto di meo di ) Clcolte u pprossimzioe di 7 co cifre decimli estte. 0) Clcolte u pprossimzioe di co cifre decimli estte. ) U cerchio h il rggio di metri. Si vuole trccire u cerchio di re doppi di quello precedete. Come deve essere il suo rggio? Determite l soluzioe co 6 cifre di precisioe. ) U prto è circodto d u plizzt che deve essere vericit. Tizio, lvordo d solo, impiegherebbe circ h per vericirl tutt. Cio, che è più leto, d solo impiegherebbe circ 7h. Suppoimo che Tizio e Cio lvorio isieme, ciscuo ll su velocità e sez ostcolrsi. Quli dei segueti vlori pprossim meglio il tempo che rgioevolmete potrebbero impiegre vericire tutt l plizzt? ) h b) 0h c) h d) h e) h f) h