campo magnetico Introduzione

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1 campo magnetico ntroduzione F i s i c a s p e r i m e n t a l e

2 Si era detto: La forza elettrica è descritta dalla legge di Coulomb Tuttavia: La verifica sperimentale era fatta in condizioni statiche La legge di Coulomb varrà pure se le cariche sono in moto? Possiamo mettere in evidenza anche eventuali piccole deviazioni studiando le interazioni tra fili percorsi da corrente. F = qe + f ( q, v ) Le interazioni puramente Coulombiane si elideranno vicendevolmente. Resteranno non compensate eventuali dipendenze della forza dalla velocità dei portatori

3 Due fili percorsi da corrente in senso concorde si attraggono Se le forze non dipendessero dalla velocità dei portatori i fili non dovrebbero attrarsi &

4 Si cercherà di descrivere questi fenomeni attraverso l introduzione di un nuovo campo l Campo Magnetico Lavori di Ampere Doveva misurare forze tra correnti, ma: Non aveva a disposizione generatori di corrente affidabili Non aveva a disposizione misuratori di corrente affidabili Le misure erano influenzate dalla presenza della Terra

5 Non aveva a disposizione generatori di corrente affidabili Non aveva a disposizione misuratori di corrente affidabili La stessa corrente circolava sia nel circuito che produceva il campo che in quello che ne subiva la presenza Misure di zero

6 Le misure sono influenzate dalla presenza della Terra Circuiti elettrici configurati opportunamente in modo tale che gli effetti della presenza della Terra si annullino automaticamente Bilancia di Ampere

7 Uso di considerazioni di simmetria Uso del principio di additività Due prime conseguenze dell additività delle forze: DL Se le forze sono additive esse debbono essere proporzionali al valore della corrente DS DS DL Se le forze sono additive esse debbono essere proporzionali alla lunghezza del tratto di filo DL DS

8 Dalla additività delle forze discende la possibilità di definire l unità di misura delle correnti e quindi anche quella della carica elettrica Due fili siano percorsi dalla stessa corrente. Essa è unitaria se i fili, posti parallelamente l uno all altro ad un metro di distanza, di attraggono, o si respingono, con una forza pari a N per unità di lunghezza L unità di misura prende il nome di Ampere l Coulomb è quindi la carica che attraversa in un secondo la sezione di un conduttore interessato al passaggio di corrente del valore di un Ampere

9 La forza che agisce su di un filo può avere varie direzioni. La direzione dovrà sottostare ad una legge generale? Avvolgimento di filo Asse di rotazione Archetto libero di ruotare attorno ad un asse verticale Pozzetti di mercurio Dato sperimentale: L archetto non ruota mai, qualunque siano le posizioni dei pozzetti e la posizione della matassa, solo se il suo centro è posto sull asse di rotazione

10 M ext = Se non ruota: dm ext = 0 archetto se questo avviene indipendentemente dalle posizioni dei pozzetti e dell avvolgimento: DL D&R O C Archetto visto dall alto D&T dm ext = 0 Una componente di forza agente sul singolo dl diretta come il dl stesso darebbe luogo ad un momento di forze indipendentemente dal fatto che c ed o coincidano l dato sperimentale attesta quindi che la forza non ha componente parallela al dl Quindi la forza è perpendicolare: df dl = 0

11 ntroduciamo il concetto di campo L elemento di filo dl percorso da corrente interagisce con lo spazio in cui è posto. Le proprietà fisiche dello spazio sono descritte tramite una grandezza vettoriale: il Campo Magnetico Nel punto considerato avremo quindi due grandezze vettoriali: dl B Anche se per adesso non conosciamo la direzione del campo, i due vettori identificano un piano nello spazio La forza potrà essere scomposta in due direzioni tra loro ortogonali 1) lungo la normale al piano 2) lungo la direzione nel piano normale al filo

12 n = vers dl B ( N D& M DL " m = vers dl n ( Lineare nella corrente Lineare nel modulo del dl df = i dl B α (θ ) n + β (θ ) m Lineare nel modulo del campo Con α e β funzioni incognite dell angolo tra il vettore dl ed il vettore B ) )

13 Solo l esperienza potrà determinare le due funzioni α e β La bilancia di Ampere non ruota la cosa non sorprende data la simmetria del circuito Se modifichiamo la bilancia, sostituendo un suo tratto verticale con un filo finemente pieghettato, si perde la simmetria. Ci aspetteremo quindi che, chiudendo il circuito, la bilancia ruoti!

14 È molto più lungo dell altro, quindi ci attenderemmo una forza maggiore e quindi un momento di forza netto L esperienza dice che anche adesso la bilancia non ruota DL DL Q DL La matematica ci dice: dl = dl1 + dl2 Q Q " L esperienza ci dice: df = df1 + df2

15 df = i dl B α (θ ) n + β (θ ) m L unico modo per cui possono valere entrambe è che: α (θ ) sin (θ ) β (θ ) = 0 Scegliendo 1 come costante moltiplicativa, scriveremo quindi: df = i d l B La scelta del valore 1 per la costante implica la scelta dell unità di misura del campo magnetico L unità di misura prende il nome di Tesla [F] [B] = = K g A 1s 2 [i] [l]

16 Siamo a metà strada Occorre determinare la relazione esistente tra correnti e campi da esse generati Principio si additività Campo proporzionale al valore delle corrente Campo proporzionale al valore dell elemento di filo Uso di misure di zero

17 n entrambi i casi la bilancia di Ampere non ruota Un elemento di circuito come questo, percorso da corrente non è in grado di generare forze su circuiti adiacenti

18 Queste esperienze si possono interpretare solo ammettendo che Z D" Q DL R db = i dl f (θ, r ) vers(dl r ) Y X Resta da determinare la dipendenza funzionale da r e da θ

19 Esperienza di Biot Filo complanare ai due tratti verticali del doppio quadro B B B, B, 2 2 6STA DALL ALTO Asse di rotazione l doppio quadro non ruota solo se vale: R1 L1 = R2 L2 Asse di rotazione

20 Per avere equilibrio: M ext = 0 Che, essendo uguali i bracci, conduce a e quindi a: F1 = F2 L1 B ( r1 ) = L2 B ( r2 ) campo generato dal filo rettilineo L esperienza dice che questa relazione vale se Per cui: R1 L1 = R2 L2 R1 B ( r1 ) = R2 B ( r2 ) n altri termini: il prodotto del modulo del campo magnetico generato da un filo infinito per la distanza dal filo è una costante

21 Per quanto si è visto: db = i dl f (θ, r ) vers(dl r ) + i B(R) = i f (θ, r ) vers(dl r ) dl = K R ove: Z 2 R = r sin(θ ) Quanto scritto ci permette di esplicitare la funzione f Q DL R D" Y X

22 Si era già visto un caso in cui un integrale lungo un filo dava luogo ad un risultato del tipo 1/R DL Campo elettrico di un filo uniformemente carico DQ D% Q DL DQ D% D% T E = ove: sin (θ ) dl 1 1 2λ λ 2 2 = 4πε 0 R + l 4πε 0 R + R +l = r Si può vedere che questa è l unica possibilità

23 Nel caso elettrostatico, la funzione seno derivava dal dover considerare la componente orizzontale del campo dovuto al singolo dl Nel caso attuale, tutti i db sono tra loro paralleli, quindi: La funzione seno fa parte integrante dell espressione del db db = i dl f (θ, r ) vers(dl r ) con: sin (θ ) f (θ, r ) = K r2 sin (θ ) 2 f θ, r dl = K dl = K ( ) r 2 R + + Ma allora la f può essere inglobata nel prodotto vettoriale

24 dl r db = K i r3 Quindi: Resta da determinare il valore della costante moltiplicativa Si era detto: Dalla: Due fili siano percorsi dalla stessa corrente. Essa è unitaria se i fili, posti parallelamente l uno all altro ad un metro di distanza, di attraggono, o si respingono, con una forza pari a N per unità di lunghezza 2K i F = i l B(r) = i l r Quindi: segue: 7 dl r db = 10 i 3 r 7 10 = K

25 Si sono trovate due costanti: Elettrostatica πε 0 Magnetostatica 10 7 Esiste tra di esse una relazione? 2K i F = i l B(r) = i l r Se si raddoppiasse il valore dell unità di misura della corrente elettrica, per ottenere lo stesso numero per la forza occorrerebbe scegliere un valore numerico per la costante magnetostatica quatto volte superiore

26 Ma, raddoppiando l unità di misura della corrente si raddoppia anche quella della carica elettrica Fe = 1 q1q2 er 2 4πε 0 r Occorrerà quindi scegliere per la costante elettrostatica un valore quattro volte superiore valori delle due costanti dipendono allo stesso modo dalla scelta dell unità di misura della corrente Si scrive quindi: 1 K= β 4πε 0

27 Quali saranno le dimensioni di β? q2 1 i 2t 2 2 F = i l B(r) = i l β F= = 2 4πε 0 r 4πε 0 r 4πε 0 r 2 t2 [ β ] = r i 2t 2 β = i l 2 4πε 0 r 4πε 0 r Per ricordarsi questo, si scrive: 1 β= 2 c 1 K= 4πε 0 c 2 nverso del quadrato di una velocità 1 dl r db = i 2 4πε 0 c r3 Legge di Biot-Savart Per un filo rettilineo infinito: Quanto vale c? c2 7 da cui 1 2i B(R) = 2 4πε 0 c R c m / s

28 Riassumendo: df = i dl B 1 dl r db = i 2 4πε 0 c r3 Queste due leggi non hanno tuttavia significato fisico! Esistono i circuiti, non i dl percorsi da corrente! Oltre i circuiti esistono le singole cariche ed esse possono essere in moto Possiamo dare ad esse significato fisico solo se riusciamo, attraverso il principio di sovrapposizione ad esprimerle in termini delle cariche in moto interne all elemento di filo

29 i dl = J S dl = J S dl = nqv dv = qv dn ora: sezione del filo numero di particelle contenute nell elemento di filo df = i dl B = qv B dn db = 1 qv r dn 2 3 4πε 0 c r Forza magnetica agente su di una particella in moto Forza di Lorentz F = qv B Campo magnetico generato da una particella in moto B= 1 qv r 4πε 0 c 2 r 3

30 Come si misura il valore del campo magnetico? Effetto Hall portatori di carica saranno soggetti ad una forza 1 F = qv B = * n J B " 6 L per cui tenderanno a spostarsi verso uno dei lati stretti verticali della sbarretta Nel caso rappresentato verso il lato posteriore, ove è presente il contatto 2 Notare: indipendentemente dal loro segno! La migrazione di carica genererà un campo elettrico nel materiale La migrazione cesserà quando: 1 qe = J B n

31 Tra i punti 1 e 2 si avrà quindi una d.d.p. misurata dallo strumento * 1 V2 V1 = E dl = J B l nq 1 2 " 6 L La differenza di potenziale: sarà positiva se i portatori di carica sono positivi sarà negativa se essi sono di segno negativo Dalla misura della d.d.p.: V2 V1 ) nq ( note le caratteristiche del materiale si B= J l risale al valore del campo magnetico noto il campo si estraggono J l nq = B informazioni sul materiale (V2 V1 )

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