Esame di maturità scientifica, corso di ordinamento a. s

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1 Problema 1 Esame di maturità scientifica, corso di ordinamento a. s. -4 Sia f la funzione definita da: f()=- Punto 1 Disegnate il grafico G di f()=-. La funzione f()=- è una funzione polinomiale (una cubica). Dominino: D f ] ; + [ Simmetrie: Poicé f(-)=-f() la funzione è dispari e il suo grafico è simmetrico rispetto all origine. Segno: Intersezione con gli assi: A ;, O(;), B ; + Limiti: Asintoti: Il grafico della funzione non presenta asintoti. Derivata prima: f '( ) = 9 f '( ) > 9 > < < Derivata seconda: f ''( ) = 18 f ''( ) > < Flesso(;) Grafico G della funzione f()=-

2 Punto Nel primo quadrante degli assi cartesiani, considerate la retta y =c ce interseca G in due punti distinti e le regioni finite di piano R e S ce essa delimita con G. Precisamente: R delimitata dall asse y, da G e dalla retta y =c e S delimitata da G e dalla retta y = c. La retta y=c, interseca il grafico della funzione in due punti E(;c), F(k;c) del primo quadrante se 4 c ; 9 per. Gli estremi dell intervallo sono stati esclusi percé per y= si annulla la superficie R e 4 y = si annulla la superficie S. 9 Punto Determinate c in modo ce R e S siano equivalenti e determinate le corrispondenti ascisse dei punti di intersezione di G con la retta y =c. Indicate con E ed F le intersezioni di G con la retta y = c, l area della regione di piano R è data da: [ ( )] = + c f d c d l area della regione di piano S è data da: [ ( ) ] Uguagliando le due aree si a : da cui k k f c d= c d k c + d= c d k+ c= k = c

3 4 F ; 9. Il punto E si ottiene risolvendo il sistema 4 y = + = 9 4 y = 4 9 y = 9 1 Il punto E a coordinate E + ; Punto 4 Determinate la funzione g il cui grafico è simmetrico di G rispetto alla retta y=4/9. Le equazioni della simmetria assiale avente come asse la retta y=4/9 sono: la funzione cercata è quindi g ( ) =

4 Problema ABC è un triangolo rettangolo di ipotenusa BC. Punto 1 Dimostrate ce la mediana relativa a BC è congruente alla metà di BC. Il triangolo rettangolo è inscrivibile nella semicirconferenza di diametro AB; la mediana AM è uguale al raggio della circonferenza, pertanto AM BM. Punto Esprimete le misure dei cateti di ABC in funzione delle misure, supposte assegnate, dell ipotenusa e dell altezza ad essa relativa. A Siano: b a la misura dell ipotenusa BC c b la misura del cateto AC c la misura del cateto AB la misura dell altezza AH relativa all ipotenusa B H a bc Area = bc = a a Area = Dalle due equazioni trovate si ottiene il sistema simmetrico nelle incognite b, c ce si può risolvere nel seguente modo: a + a a a b = scartando le soluzioni negative si ottiene: a + a + a a c = C Punto Con BC = metri, determinate il cono K di volume massimo ce si può ottenere dalla rotazione completa del triangolo attorno ad uno dei suoi cateti e la capacità in litri di K.

5 Posto AC = si a AB = BC AC AB = Il volume del cono è dato da: V = π AB AC = π ( ) = π ( ) Il volume massimo del cono si a per =1 π V(1) = m Per esprimere il volume in litri si tiene conto ce ( ) 1m = 1dm = 1dm = 1litri la capacità è: π litri 94,4 litri Punto 4 Determinate la misura approssimata, in radianti ed in gradi sessagesimali, dell angolo del settore circolare ce risulta dallo sviluppo piano della superficie laterale del cono K. B B β C α Lo sviluppo piano della superficie laterale del cono K determina il settore circolare di raggio BC = rappresentato in figura. La lungezza dell arco BB ' = π ; la misura in radianti dell angolo α è α = π 5,1 rad 18 9,94 la misura in radianti dell angolo α è α = ( )

6 Questionario Quesito 1 Trovate due numeri reali a e b, a b, ce anno somma e prodotto uguali. Indicando con s la somma e con p il prodotto dei due numeri reali a, b con a b si ottiene il seguente sistema: a+ b= s s= p a+ b= s ab = p ab = s affincé le soluzioni dell equazione siano reali e distinte si deve avere: s 4s > < s s> 4 Quindi per qualsiasi valore s ce soddisfi la condizione: < s ; s > 4 si può trovare una coppia di numeri reali a e b, a b, ce anno somma e prodotto uguali. Quesito Provate ce la superficie totale di un cilindro equilatero sta alla superficie della sfera ad esso circoscritta come sta a 4. Indicato con: S c la superficie totale del cilindro S la superficie della sfera R (OB) il raggio della sfera circoscritta r (DA) il raggio del cercio di base del cilindro (AB) l altezza del cilindro. Sc 6π r quindi: = = S 8π r 4 O B C D A Quesito Date un esempio di funzione f() con un massimo relativo in (1, ) e un minimo relativo in (-1, ). La condizione di appartenenza al grafico della funzione del punto di massimo e del punto minimo sono: f(1)=; f(-1)=. La condizione necessaria affincé il grafico di una funzione presenti un punto stazionario è ce la derivata prima sia eguale a zero, cioè: f (1) =; f (-1)=. Quindi ci sono quattro condizioni per poter trovare l espressione della funzione. Supponendo ce la funzione sia un polinomio di terzo grado (cubica) y = a + b + c+ d basterà imporre le quattro condizioni suddette per trovare i quattro parametri (a, b, c, d), tenendo conto ce: y' = a + b+ c

7 f( + 1) = + a+ b+ c+ d = f( 1) = a+ b c+ d = f '( + 1) = a+ b+ c= f '( 1) = a b+ c= risolvendo il sistema trovato si ottiene: Quesito 4 Dimostrate ce l equazione e += ammette una e una sola soluzione reale. La funzione y = e + è definita e continua su tutto l asse reale, pertanto è continua 1 1 ance X [ 1; ] e risulta f( 1) = e + ( 1) = < ; f() = e + () = 1>, e X. per il teorema degli zeri la funzione f() si annullerà almeno una volta nell intervallo ] [ 1 1; Essendo inoltre derivabile X 1 ] 1; [ e y' = e + >, la funzione è strettamente crescente e quindi si annullerà solo una volta. X. Concludendo la soluzione dell equazione data è unica e appartiene all intervallo ] [ 1 1; Quesito 5 Di una funzione g() non costante si sa ce: Trovate una espressione di g(). lim g ( ) = e g() = 4. Dalle condizioni date risulta ce la funzione g() a un punto di discontinuità di terza specie. Esistono infinite funzioni non costanti ce soddisfano le condizioni date, esempi sono le seguenti funzioni: y 4 g()= Quesito 6 O Verificate ce le due funzioni f ( ) = log e g( ) = log( ) anno la stessa derivata. Quale giustificazione ne date? Le due funzioni ] ; [ f ( ) log e g( ) log( ) = = continue e derivabili in tutto il loro dominio D +, anno la stessa derivata prima infatti: ' ' 1 f ( ) = e g ( ) = ( ) = ( ) Ciò è dovuto alle proprietà dei logaritmi:

8 Quesito 7 Un triangolo a due lati e l angolo da essi compreso ce misurano rispettivamente a, b e δ. Qual è il valore di δ ce massimizza l area del triangolo? Ponendo: A BC =a AC =b AH = b considerando il triangolo rettangolo AHC, B δ C H si a : = b sen δ a e quindi l area del triangolo ABC, in funzione dell angolo δ, è data da: Il valore massimo del seno di un angolo si a per δ=9, infatti sen 9 =1. Per questo valore l area 1 è S = a b e il triangolo è un triangolo rettangolo. Quesito 8 La misura degli angoli viene fatta adottando una opportuna unità di misura. Le più comuni sono i gradi sessagesimali, i radianti, i gradi centesimali. Quali ne sono le definizioni? Quesito 9 Calcolate 1 arcsen d. Si può calcolare l integrale proposto direttamente applicando il metodo di integrazione per parti nel seguente modo: = sen t d = cos t dt t = arcsen = t = π = 1 t = si a π π π 1 integrando π π π per parti arcsen d t t dt t t dt [ t sen t] sen t dt [ t sen t t] Quesito 1 = cos cos = = + cos = 1 Considerate gli insiemi A = { 1,,, 4} e B { abc,, } funzioni) di A in B? = ; quante sono le applicazioni (le

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