LEZIONE 3. Prima riflessione sulle tecniche: dall equazione di bilancio ai modelli di crescita

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1 CORSO DI DEMOGRAFIA Storia & Scenari Giuseppe A. Micheli LEZIONE 3 Prima riflessione sulle tecniche: dall equazione di bilancio ai modelli di crescita

2 Argomenti di questa lezione In questa lezione discuteremo dei seguenti argomenti: 1. Movimenti della popolazione: uscite ed entrata [3-4] 2. Equazione di bilancio della popolazione [5-6] 3. Tassi generici di flusso e tassi di incremento [7-8] 4. Crescita aritmetica, geometrica, esponenziale [9-12] 5. Tempi di raddoppio [13-16]

3 La popolazione si muove: come? Censimenti 31 dicembre dicembre dicembre febbraio giugno dicembre aprile aprile novembre ottobre ottobre ottobre ottobre ottobre 2001 Popolazione 22,176 27,300 28,952 32,963 35,842 39,397 41,043 42,398 47,516 50,624 54,137 56,557 56,778 56,306 Indicatore Tasso di natalità (n) Tasso di mortalità (m) N medio di figli per donna (TFT) Tasso di mortalità infantile (q0) Durata media di vita (e0) F Durata media di vita (e0) M % pop età Età media al primo matr. F Età media al primo matr. M % analfabeti 78 2 Ma in che modo si muove la popolazione? Il segno più evidente di cambiamento sta nel fatto che nessuno degli individui che costituivano la popolazione italiana del 1861 fa parte anche della popolazione italiana del Significa che le unità elementari costitutive della popolazione hanno durata limitata (120 anni..)

4 In che senso si muove? Uscite Nessuna persona censita nel 1861 si ritrova nel censimento del Da dove arrivano gli individui che formano la popolazione italiana del 2001? Le unità elementari costitutive della popolazione vengono prodotte in modo endogeno, ovvero la popolazione si rinnova da sola, generando altri individui, i quali a loro volta prima di estinguersi ne genereranno altri ancora. E tale proprietà che distingue una popolazione in senso demografico da una popolazione in senso statistico, come un insieme di lampadine o di automobili, in cui non c è alcun sviluppo endogeno che lega gli spettatori presenti ad una proiezione con quelli della proiezione successiva. Popolazione in senso demografico è un insieme di unità elementari ( individui ) che: a) rimangono nella popolazione per una durata di permanenza limitata (chiamata vita ), b) generano nella popolazione nuovi individui. Queste due proprietà rendono la popolazione intrinsecamente dinamica. Ovvero la popolazione si rinnova continuamente nel tempo.

5 Equazione di bilancio Caratteristica intrinseca della popolazione è quindi quella di rinnovarsi continuamente. Nella forma contabile più semplice, lo sviluppo della popolazione è rappresentato tramite l algebra delle entrate e uscite per nascita, morte, immigrazione, emigrazione. Vivo e nella popolazione N t Non (ancora) nato E t I t D t Vivo ma in altra popolazione Deceduto Nel corso di un generico anno t, il rinnovo si ottiene con l uscita di alcuni individui per morte ( t D), e l entrata di altri individui per nascita ( t N). Nascite e decessi sono il movimento naturale della popolazione, la differenza (N-D) è il Saldo naturale P = P N D La relazione vale per una popolazione chiusa (assenza di movimenti migratori). Prevedendo l interscambio con altre popolazioni si ottiene la equazione di bilancio della popolazione: P = P N D I E dove I sono gli immigrati, E sono gli emigrati, la differenza (I-E) Saldo migratorio.

6 Stato e movimento Nell equazione di bilancio della popolazione compaiono alcune grandezze di stato (o di stock ) ed altre di movimento (o di flusso ). Stato della popolazione = ammontare della popolazione in un dato istante temporale Movimento della popolazione = flussi in uscita e in entrata nella popolazione in un dato periodo di tempo. Lo studio del movimento della popolazione implica la misura e l analisi delle sue componenti (naturali e sociali). I valori assoluti di nascite e decessi avvenuti in un dato anno non ci dicono però molto sull intensità dei fenomeni che producono tali eventi. Ad esempio, nel corso del 2000 vi sono stati ad Arcore 141 decessi. In un paese vicino (per es. Desio) i decessi siano 282. Può il sindaco di Arcore affermare che nel suo paese il rischio di morte è la metà? Ovvio che no. Nel misurare la mortalità bisogna almeno tener conto della popolazione totale da cui derivano tali decessi. Occorre passare dai flussi in valore assoluto al calcolo dei tassi generici.

7 Tassi generici Un Tasso (o quoziente ) generico si ottiene dal rapporto tra eventi avvenuti in un dato anno e la popolazione media dell anno. Usualmente viene moltiplicato per mille (numero eventi ogni mille abitanti). Esempio. Nel 1999 a Milano si hanno nascite, in Italia I due valori non sono direttamente confrontabili. Rapportando il primo valore alla popolazione media milanese, il secondo a quella italiana, si ottengono tassi pari a 8,0 a Milano e a 9,3 in Italia. La natalità è più bassa a Milano rispetto al totale del Paese. Tasso di mortalità: m = D / P Tasso di natalità: n = N / P La popolazione media è usualmente calcolata come semisomma tra la popolazione ad inizio dell anno t e quella ad inizio dell anno t+1. Esempio. Ad Arcore P = ( )/2 = Quindi: m=141/ =0,00845 (8,45 ). Se invece nel comune vicino P=66042, D=282 m=4,27. Pur avendo il doppio dei decessi il comune vicino ha un tasso di mortalità che è la metà rispetto a Arcore.

8 Tasso di incremento Come misuriamo l incremento (o decremento) di una popolazione? Ad esempio la popolazione di Arcore nel corso del 2000 è passata da a Quindi in termini assoluti la variazione è stata pari a +31. Ma supponiamo che nello stesso periodo il comune di Rivella sia passato da 513 persone a 544. Anche qui la variazione assoluta è pari a 31. Possiamo allora dire che l entità dell incremento nei due comuni è lo stesso? In termini assoluti si, ma un conto è aumentare di 31 abitanti in un comune di 16 mila abitanti, altra cosa in un comune che ne conta poco più di 500. Rapportando la variazione assoluta alla popolazione iniziale otteniamo il tasso di incremento. Ad Arcore è pari a 31/16495 = 1,9 per mille, a Rivella è pari a 31/513 = 60,4 per mille. Ad Arcore ogni 1000 abitanti se ne sono aggiunti 1,9, a Rivella ogni 1000 abitanti se ne sono aggiunti 60,4 nel corso del Indicando con t P la popolazione ad inizio dell anno t, formalmente: 2000 r = ( 2001 P P) / 2000 P Indicando con t = t+1 P t P l incremento assoluto di popolazione nell anno t: 2000 r = 2000 / 2000 P Ad Arcore 2000 =31, 2000 P=16495, 2000 r=0,0019 Attenzione. Tasso di incremento naturale: r =S/P = (N-D)/ P quindi: r = n - m

9 Il modello aritmetico Cosa succede se studiamo l evoluzione di una popolazione non a distanza di un anno ma in un confronto pluriennale, tra una popolazione iniziale 0 P e quella t Pdi t anni dopo? Il tasso di incremento medio annuo diventa: r a =( t P- 0 P) / ( 0 P*t) ovvero: r a =[( t P- 0 P)/t] / 0 P In questo modo il tasso di incremento è sempre riferito ad un anno. Ad esempio, la popolazione italiana è passata da 22,176 milioni di abitanti al 31 dicembre 1861 a 27,3 milioni al 31 dicembre L incremento medio annuo in tale periodo è stato: r a = (27,3-22,176) / (22,176 * 10) = 0,0231 (2,31%) Se da r a =( t P- 0 P) / ( 0 P.t) esplicitiamo t P, otteniamo: t P = 0 P + r 0 P t = 0 P (1 + r a t) Modello di crescita aritmetica Questo modello ci dice che se alla popolazione iniziale 0 P applichiamo un tasso annuo costante r, otteniamo dopo t anni un ammontare t P. Nel solito esempio, se a partire da fine 1861 si aggiunge ogni anno alla popolazione italiana una identica quantità pari a 0,0231*22,176/10 cioè circa, dopo 10 anni si ottiene un ammontare che corrisponde alla pop. del 1871.

10 Dall aritmetica alla geometria Il modello aritmetico assume che tra 0 e t la crescita avvenga così: 1 P = 0 P + r a 0 P 2 P = 1 P + r a 0 P t P = 0 P + (r a 0 P) t t P= t-1 P + r a 0 P logica del tasso di interesse semplice L ipotesi sottostante è che solo la popolazione iniziale contribuisca alla crescita successiva (e non anche quella che via via si aggiunge tra 0 e t), donde una crescita costante, additiva anno per anno di una quantità pari a (r a 0 P). Ma sarebbe più corretto assumere che a rimanere costante in ciascun anno del periodo da 0 a t non sia l accrescimento assoluto ma il tasso di incremento (r g ) applicato a una popolazione aggiornata anno per anno: 1 P = 0 P + r g0 P 2 P = 1 P + r g1 P t P = 0 P(1 + r a )t t P= t-1 P + r g t-1 P Tale ipotesi corrisponde ad un modello di crescita geometrica. logica del tasso di interesse composto Sempre a partire dai dati italiani tra il 1861 ed il 1871, da t P= 0 P.(1+r g ) t si ricava r g = ( t P/ 0 P) 1/t 1 = (27,3/22,176) 1/10-1 = 1,231 1/10-1 0,0210. Il tasso di incremento geometrico è quindi (sempre) più basso rispetto a quello aritmetico, che era pari a 0,0231 (provate a immaginarvi perché).

11 Malthus e il modello esponenziale Malthus: La popolazione si moltiplica con progressione geometrica... Oggi si sostituisce al modello geometrico il modello di crescita esponenziale, che ne è l equivalente se si considera il tempo come una variabile continua. L ipotesi sottostante è quindi che il tasso di crescita sia costante in ciascun infinitesimo del periodo tra 0 e t. Si ottiene una crescita esponenziale: popolazione sussistenze tp = 0 P (1+ r) t t P= 0 P e r t da cui r = ln ( t P/ 0 P) / t Tasso di incremento istantaneo Per l Italia si ottiene: r= ln(27,3 / 22,176)/10 = ln1,231/10 0,0210. N.B. Il tasso di incremento geometrico è quindi (sempre) più basso rispetto a quello aritmetico, che era pari a 0,0231 (provate a immaginarvi perché).

12 Un esempio: Stati Uniti Consideriamo la crescita tra l anno 1800 ed il 1850 osservata realmente negli Stati Uniti e la crescita teoricamente prevista dai tre modelli. Anno Popolaz Dati in migliaia Dati reali Mod. geometrico Mod. aritmetico Mod. esponenziale Tasso aritmetico: r a = ( ) / (5308 * 50) = Tasso geometrico: r g = (23192 / 5308) 1/50-1 = Tasso istantaneo: r = ln(23192 / 5308) / 50 = NOTA BEBE: Tasso istantaneo e geometrico sono praticamente uguali, e (sempre) inferiori rispetto al tasso aritmetico.

13 Tassi di crescita, tempi di raddoppio Un esercizio vecchio come la scienza economica è ancor oggi parte importante del nostro modo di ragionare. Quanto tempo impiega una popolazione, con un dato tasso di crescita r, a raddoppiare la sua dimensione? Basta che nell equazione fondamentale poniamo la popolazione finale pari al doppio di quella iniziale: 2.P 0 = P 0.e r.t 2= e r.t r.t = log2 Tenendo conto che r è espresso in % di crescita: R=0,693/t ovvero t=0,693 / r Per es. a un tasso di crescita dell 1% (r=0,01) corrisponde un tempo di raddoppio di circa 69 anni. Tasso crescita 5 percento 4 percento 3 percento 2 percento 1 percento 5 permille 1 permille Tempo raddoppio 14 17, , Esempi 1990 Africa occid. 3,3 (21 a) Africa nord 2,7 (26 a) Asia merid. 2,3 (30 a) America lat. 2,1 (33 a) Russia 0,8 (87) Europa occ. 0,1 (690 a)

14 Un esempio di calcolo Gli Usa erano 100 milioni nel Nel 1967, dopo 52 anni, erano arrivati a 200 milioni. Nel 2006, dopo soli 39 anni, sono diventati 300 milioni. Un autorevole giornalista ha scritto: A questo ritmo crescente il traguardo dei 400 milioni sarà attraversato in una generazione (cioè convenzionalmente l intervallo medio tra due generazioni, fino a qualche tempo circa 27 anni). E corretto dire che il ritmo è crescente? Ed è corretto prevedere l approdo a quota 400 tra 27 anni? Per rispondere dobbiamo determinare: a) Il ritmo di crescita tra 1915 e 1967, e quello tra 1967 e 2006; b) il tempo necessario per arrivare a quota 400 col ritmo di oggi. P 1967 =P 1915.e 52.r 2=e 52.r r=ln2/52=0,693/52=0,0133 P 2006 =P 1967.e 39.r 1,5= e 39.r r=ln1,5/39=0,405/39=0,0104 Se si mantiene il ritmo attuale, il tempo di raddoppio deriva dalla equazione: 400=300.e 0,0104.T T=ln1,333/0,0104 = 0,2852/0,0104=27 RISPOSTE. Il tasso di crescita annuo è dell 1,33% nel primo periodo, dell 1,04% nel secondo periodo. Dunque il ritmo di crescita non è crescente, ma calante. Ma col ritmo di oggi si arriva davvero a quota 400 in una generazione.

15 Tempi di raddoppio del pianeta La popolazione mondiale contava poco più 250 milioni di abitanti all anno 0. E arrivata a 500 milioni attorno al 1500; a un miliardo nei primi anni del 1800; a circa 2 miliardi nel 1925; a circa 4 miliardi nel I tempi di raddoppio sono stati quindi all incirca: 1500 anni per passare da 250 a 500 milioni (dall anno 0 al 1500); 300 anni circa per passare da 500 a 1 miliardo (dal 1500 al 1800); 125 anni circa per passare da 1 a 2 miliardi (dal 1800 al 1925); solo 50 anni (dal 1925 al 1975) per passare da 2 a 4 miliardi Esercizio: Milioni di ab. 50 anni calcolare il 4500 tasso di 4000 incremento 3500 istantaneo nei 4 periodi anni anni 300 anni [Risposta: r%=69,3/t r I = 0,047; r II = 0,23; r III = 0,56; r IV = 1,4]

16 I limiti della crescita (e del modello esponenziale) Il modello esponenziale è adeguato per rappresentare la crescita di una popolazione che si sviluppa senza limiti, ovvero senza freni (in termini di risorse alimentari, di spazio disponibile, ecc.). Quindi spesso coglie bene la prima fase di aumento di una popolazione. Poi però i limiti delle risorse e dell ambiente possono frenare la crescita. Nessuna popolazione può infatti, in un ambiente limitato, crescere indefinitamente in modo esponenziale. Ad esempio, nel 1960 la popolazione mondiale contava all incirca 3 miliardi di persone. Con un tasso di crescita dell 1,8% si ottiene una popolazione di oltre 6 miliardi nel Cosa che si è più o meno realizzata. Ma continuando con tale ritmo si arriverebbe a oltre 37 miliardi nel 2100, e a 225 miliardi fra 200 anni. Cifre del tutto inverosimili! Anno Popolaz Popolazione mondiale in milioni. Valori previsti a partire dal 1960 con r=1,8%.