Enunciato di Kelvin-Plank

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Baldassare Martinelli
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1 ezione VI - 3/03/003 ora 8:30-0:30 - Enunciato di Kelin-Plank, laoro nelle trasformazioni di gas erfetti, Entalia - Originale di Cara Mauro e Dondi Silia Enunciato di Kelin-Plank Non è ossibile effettuare una trasformazione il cui unico risultato sia la conersione di calore in laoro. Questo imlica che non si uò rodurre laoro meccanico estraendo calore da un unico termostato, senza restituirne una certa quantità a un termostato che si troa a temeratura minore. Non è ossibile quindi che esista una macchina di questo tio: T Q Q =0 Fig.3 Enunciato di Clausius Non è ossibile effettuare una trasformazione il cui unico risultato sia il assaggio di calore da un serbatoio freddo ad uno caldo. Questo enunciato riguarda un fenomeno noto come rinciio zero della termodinamica, cioè il calore assa sontaneamente da un coro caldo ad uno freddo e non iceersa. Non è ossibile quindi che esista un oggetto di questo tio: T Q T > T T Fig.4 - -

2 Nell enunciato di Clausius rieste fondamentale imortanza il termine unico, in quanto nelle macchine frigorifere aiene il trasferimento di calore dal serbatoio freddo al serbatoio caldo, ma si erifica un assorbimento di laoro dall esterno. o schema di funzionamento di tali macchine è il seguente: T Q Q Fig.5 T Verifichiamo la erfetta equialenza fra i due enunciati dimostrando che negandone uno si iola anche l altro. Suoniamo falso l enunciato di Kelin-Plank, cioè consideriamo una macchina termica formata dal motore ideale (iolazione di Kelin-Plank) e dal frigorifero (o macchina frigorifera) reale : T T T Q Q Q -Q =Q Motore ideale Frigorifero reale Q Frigorifero ideale Q T T Fig.6 - -

3 Il laoro iene rodotto e scambiato all interno di questa macchina e non entra nello scambio di energia con l ambiente esterno. a macchina assorbe il calore Q dal serbatoio a bassa temeratura e cede al serbatoio a temeratura iù alta una quantità di calore uguale a Q Q. Ma Q =, er cui considerando che la macchina frigorifera laora ciclicamente ( U = 0 ) er il rimo rinciio della termodinamica osso scriere: 0 = U = Q' Q = Q' = Q ' in quanto = Q Q. Perciò la nostra macchina comlessia si comorta come un frigorifero ideale che assorbe una quantità di calore Q dal serbatoio a bassa temeratura e cede il calore Q al serbatoio a temeratura iù alta, senza che enga fatto laoro esterno. esemio mostra che, se si uò costruire un motore erfetto, allora si uò anche costruire un frigorifero erfetto; questo equiale a dire che la iolazione dell enunciato di Kelin-Plank del secondo rinciio imlica la iolazione dell enunciato di Clausius. Allo stesso modo si uò dimostrare che se si suone di oter costruire una macchina frigorifera che iola l enunciato di Clausius, allora si uò trasformare un motore reale in un motore che iola l enunciato di Kelin- Plank. Dal momento che la iolazione di ognuno dei due enunciati imlica la iolazione anche dell altro, essi sono logicamente equialenti. Processi reersibili ed irreersibili Gli enunciati del secondo rinciio ietano qualcosa, ma non stabiliscono il limite della conersione di calore in laoro. Occorre assare da una formulazione qualitatia ad una formulazione quantitatia del secondo rinciio (come accadea er il rinciio), e er far questo abbiamo bisogno di una nuoa grandezza fisica: l entroia. Distinguiamo due categorie di rocessi: - 3 -

4 PROCESSI REVERSIBII IRREVERSIBII INTERNI ESTERNI Ora analizziamoli nel dettaglio: reersibili: rocessi er i quali è ossibile riortare sia il sistema sia l ambiente nella condizione iniziale, senza alcun effetto secondario. Bisogna restare molta attenzione a questa definizione, erché sesso ci si dimentica dell ambiente circostante e si ensa che la reersibilità sia collegata esclusiamente al sistema. irreersibili: rocessi non reersibili. Si distingue inoltre tra irreersibilità interna al sistema (ad es. gli attriti e tutti gli altri fenomeni dissiatii), ed irreersibilità esterna (flussi di calore tra il sistema e l ambiente). Facciamo alcuni esemi: P 3 V Fig. 0 Considero il sistema oma della bicicletta con il foro aerto, senza attriti, schematizzato dal tratto - sul grafico (Fig. 0): esso è un rocesso reersibile. Se ora chiudo il foro, ma faccio aenire le trasformazioni molto lentamente lungo il ercorso -3, il rocesso è ancora reersibile

5 Fig. Suoniamo ora di far aenire il rocesso di omaggio elocemente, er cui si hanno delle ariazioni brusche e la cura di andata (adiabatica) è iù riida di quella di ritorno (Fig. ). area tra le due cure raresenta l energia dissiata in calore. ambiente ricee calore e la ersona che oma la bicicletta dissia energia, er cui è un rocesso irreersibile. P V Fig. In Fig. la cura di andata indica un omaggio molto eloce, al termine del quale aiene un raffreddamento, quindi si ritorna allo stato iniziale mediante un cura meno riida. Anche questo è un rocesso irreersibile. imitandoci alle trasformazioni lente e mettendo i serbatoi a contatto col sistema ad una temeratura rossima a quella del sistema stesso (cosa di er sé irrealizzabile), si otrebbero eliminare le irreersibilità esterne. Ciò non è ossibile nella realtà: le trasformazioni reersibili non esistono. Quindi, nella migliore delle iotesi, si uò serare che le irreersibilità interne scomaiano, mentre quelle esterne sono semre resenti: in tal caso si arla di - 5 -

6 rocesso internamente inertibile. Tale rocesso è quasi statico: si conosce il suo grafico, cioè tutti gli stati intermedi. aoro nelle trasformazioni di gas erfetti In un gas erfetto U è in funzione solo della temeratura; er tutti i gas U è una funzione bidimensionale: U(,). Per i gas erfetti ale V = RT, quindi U (, ) = U ( ) = U ( T ). Prendiamo come esemio il istone della oma di rima e suoniamo una trasformazione isoterma : U= cost; il istone è una macchina erfetta: tutto il calore che il gas ha sottratto lo restituisce sotto forma di laoro. Ne consegue quindi che: d ISOT. = M. RT = MRT ln ungo la trasformazione isoterma la caacità termica secifica è +, lungo l adiabatica è imossibile fornire calore; la caacità termica secifica è 0. Inece lungo le trasformazioni isobare ed isocore engono risettiamente definite la caacità termica a ressione costante (c ) e a olume costante (c ). C e c ariano solo in funzione della temeratura. Rirendendo ancora una olta l esemio del istone di rima, er una trasformazione isobara si ha: Q = M c ( T ) T. da cui ISOBARA U = M[ c = M d = M ( ( T T ) ( ) )] = M[ c ( T T ) R( T T )] = M ( c R)( T T ) Per una trasformazione isocora il laoro e la differenza di energia interna sono: ISOCORA U = M c = M d = M c V ( T T ) V ( T T ) = 0 e, dato che l energia interna è una funzione di stato c R =. c Entalia - 6 -

7 entalia è una coordinata termodinamica definita come: H = U + V. Sistemi ad eleata energia interna e/o ressione hanno un alto contenuto entalico. Nelle alicazioni energetiche fluidi ad eleata entalia sono articolarmente idonei er rendere disonibile energia er ari tii di macchine. entalia è una funzione di stato; né è definita una forma secifica: U + V h = ; M Il suo differenziale esatto in forma secifica è dh = du + d + d Ricaando du dal rimo Princiio e sostituendolo nel differenziale dell entalia secifica si ottinene il Primo Princiio in forma entalica: dh =ð q + d. Utilizzando il Primo Princiio ho anche: dh d d = dq d dh = dq + d H H = Q + M d. Ora, er una trasformazione isoterma H H = 0. energia interna è in funzione solo della temeratura: se T resta costante, anche H resta costante. RT 0 = H H = Q + M d = Q + M d = Q + M ln Q = M ln Per una trasformazione isocora, inece:. Q = M c H H = M ( T T ) c ( T T ) + M ( ) = M c ( T T ) + M R ( T T ) = M c ( T Infine er una trasformazione isobara si ha: Q = M c H H = M ( T T ) c ( T T )

8 Si uò quindi concludere che entalia ed energia internarono funzioni di stato che diendono dalla temeratura. In articolare: h = c u = c (ci si ricordi che qui la temeratura da inserire a in gradi centigradi). t t - 8 -

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