Elettronica Stella e triangolo; generatori controllati; generatore equivalente; sovrapposizione degli effetti

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1 Elettronica Stella e triangolo; generatori controllati; generatore equivalente; sovrapposizione degli effetti Valentino Liberali Dipartimento di Fisica Università degli Studi di Milano valentino.liberali@unimi.it Elettronica Stella, triangolo; gen. controllati, equivalenti 18 marzo 2015 Valentino Liberali (UniMI) Elettronica Stella, triangolo; gen. controllati, equivalenti 18 marzo / 40 ontenuto 1 Stella e triangolo 2 Generatori dipendenti 3 Generatori equivalenti di Thévenin e di Norton 4 Teorema del massimo trasferimento di potenza 5 Principio di sovrapposizione degli effetti Valentino Liberali (UniMI) Elettronica Stella, triangolo; gen. controllati, equivalenti 18 marzo / 40 1

2 Programma parte 2 2 ircuiti in continua. l.... m. ollegamenti a stella e a triangolo di resistenze. n. Generatori dipendenti e indipendenti. o. Generatore equivalente di Thévenin. p. Generatore equivalente di Norton. q. Teorema del massimo trasferimento di potenza. r. Principio di sovrapposizione degli effetti. s.... Valentino Liberali (UniMI) Elettronica Stella, triangolo; gen. controllati, equivalenti 18 marzo / 40 Stella e triangolo (1/11) R ab R R R R ac R bc OLLEGMENTO OLLEGMENTO STELL (o a Y) TRINGOLO (o a ) In generale, non sono riconducibili a serie e parallelo. È possibile trasformare un collegamento a stella in uno equivalente a triangolo, e viceversa. Valentino Liberali (UniMI) Elettronica Stella, triangolo; gen. controllati, equivalenti 18 marzo / 40 2

3 Stella e triangolo (2/11) I 1 I I R R V 1 I V 2 R pplichiamo il generatore di tensione V 1 tra i nodi e, e il generatore di tensione V 2 tra i nodi e. KL al nodo centrale: I = I I. KL al nodo : I 1 = I. KVL alla maglia più a sinistra: V 1 R I R I = 0. KVL alla maglia più a destra: V 2 R I R I = 0. Valentino Liberali (UniMI) Elettronica Stella, triangolo; gen. controllati, equivalenti 18 marzo / 40 Stella e triangolo (3/11) I 1 I I R R V 1 I V 2 R Risolvendo, si ricava la corrente I 1 : I 1 = V 2 R R R R R R R V 1 R R R R R R R R Valentino Liberali (UniMI) Elettronica Stella, triangolo; gen. controllati, equivalenti 18 marzo / 40 3

4 Stella e triangolo (4/11) I ab R ab I 1 I ac V 1 R ac R bc V 2 ome per il collegamento a stella, applichiamo il generatore di tensione V 1 tra i nodi e, il generatore di tensione V 2 tra i nodi e, e ricaviamo la corrente I 1 : I 1 = I ac I ab = V 1 V ( 1 V = V 2 V 1 1 ) R ac R ab R ab R ac R ab Valentino Liberali (UniMI) Elettronica Stella, triangolo; gen. controllati, equivalenti 18 marzo / 40 Stella e triangolo (5/11) I collegamenti a stella e a triangolo sono equivalenti se I 1 è la stessa nei due casi. onfrontando le equazioni: R R R I 1 = V 2 V 1 R R R R R R R R R R R R ( 1 1 I 1 = V 2 V 1 1 ) R ab R ac R ab abbiamo le equivalenze: R ab = R R R R R R R R ac = R R R R R R R Valentino Liberali (UniMI) Elettronica Stella, triangolo; gen. controllati, equivalenti 18 marzo / 40 4

5 Stella e triangolo (6/11) R ab R R R R ac R bc R ab = R R R R R R R R ac = R R R R R R R R bc = R R R R R R R Valentino Liberali (UniMI) Elettronica Stella, triangolo; gen. controllati, equivalenti 18 marzo / 40 Stella e triangolo (7/11) I ab R ab I ac I bc I 1 V 1 R ac R bc V 2 I 2 pplichiamo il generatore di corrente I 1 tra i nodi e, e il generatore di corrente I 2 tra i nodi e. KL al nodo : I 1 I ab I ac = 0. KL al nodo : I 2 I ab I bc = 0. KVL alla maglia più a sinistra: V 1 = R ac I ac. KVL alla maglia più a destra: V 2 = R bc I bc. KVL alla maglia esterna: V 1 V 2 = R ab I ab. Valentino Liberali (UniMI) Elettronica Stella, triangolo; gen. controllati, equivalenti 18 marzo / 40 5

6 Stella e triangolo (8/11) I ab R ab I ac I bc I 1 V 1 R ac R bc V 2 I 2 Risolvendo, si ricava la tensione V 1 : V 1 = I 2 R ac R bc R ab R ac R bc I 1 RabR ac R ac R bc R ab R ac R bc Valentino Liberali (UniMI) Elettronica Stella, triangolo; gen. controllati, equivalenti 18 marzo / 40 Stella e triangolo (9/11) I I R R I 1 I R V 1 V 2 I 2 ome per il collegamento a triangolo, applichiamo il generatore di corrente I 1 tra i nodi e, il generatore di corrente I 2 tra i nodi e, e ricaviamo la tensione V 1 : V 1 = R (I 1 I 2 ) R I 1 = I 2 R I 1 (R R ) Valentino Liberali (UniMI) Elettronica Stella, triangolo; gen. controllati, equivalenti 18 marzo / 40 6

7 Stella e triangolo (10/11) onfrontando le equazioni: R ac R bc V 1 = I 2 I 1 RabR ac R ac R bc R ab R ac R bc R ab R ac R bc V 1 = I 2 R I 1 (R R ) abbiamo le equivalenze: R = R = R ac R bc R ab R ac R bc R ab R ac R ab R ac R bc Valentino Liberali (UniMI) Elettronica Stella, triangolo; gen. controllati, equivalenti 18 marzo / 40 Stella e triangolo (11/11) R ab R R R ac R bc R R = R = R = R ab R ac R ab R ac R bc R ab R bc R ab R ac R bc R ac R bc R ab R ac R bc Valentino Liberali (UniMI) Elettronica Stella, triangolo; gen. controllati, equivalenti 18 marzo / 40 7

8 Generatori dipendenti (1/6) I generatori di tensione e di corrente visti finora sono generatori indipendenti: generano grandezze elettriche costanti, indipendentemente da qualsiasi altra grandezza presente nel circuito. Un generatore dipendente (o generatore controllato) è un elemento che genera una grandezza elettrica (tensione o corrente) il cui valore è funzione di un altra grandezza elettrica (tensione o corrente) presente nel circuito. Esistono 4 tipi di generatori dipendenti: sono doppi bipoli, cioè hanno una coppia di terminali di ingresso per la variabile di controllo e una coppia di terminali di uscita per la grandezza generata. Valentino Liberali (UniMI) Elettronica Stella, triangolo; gen. controllati, equivalenti 18 marzo / 40 Generatori dipendenti (2/6) generatore di tensione controllato in tensione VVS: voltagecontrolled voltage source generatore di corrente controllato in corrente S: currentcontrolled current source generatore di corrente controllato in tensione VS: voltagecontrolled current source generatore di tensione controllato in corrente VS: currentcontrolled voltage source Valentino Liberali (UniMI) Elettronica Stella, triangolo; gen. controllati, equivalenti 18 marzo / 40 8

9 Generatori dipendenti (3/6) Generatore di tensione controllato in tensione VVS: voltagecontrolled voltage source V i V o = E V i ll ingresso non assorbe corrente (circuito aperto) E è il guadagno di tensione (adimensionale): E = V o /V i Valentino Liberali (UniMI) Elettronica Stella, triangolo; gen. controllati, equivalenti 18 marzo / 40 Generatori dipendenti (4/6) Generatore di corrente controllato in corrente S: currentcontrolled current source I i I o = F I i ll ingresso non c è caduta di tensione (cortocircuito) F è il guadagno di corrente (adimensionale): F = I o /I i Valentino Liberali (UniMI) Elettronica Stella, triangolo; gen. controllati, equivalenti 18 marzo / 40 9

10 Generatori dipendenti (5/6) Generatore di corrente controllato in tensione VS: voltagecontrolled current source V i I o = G V i ll ingresso non assorbe corrente (circuito aperto) G è dimensionalmente una conduttanza: G = I o /V i TRNSONDUTTNZ (in siemens) Valentino Liberali (UniMI) Elettronica Stella, triangolo; gen. controllati, equivalenti 18 marzo / 40 Generatori dipendenti (6/6) Generatore di di tensione controllato in corrente VS: currentcontrolled voltage source I i V o = H I i ll ingresso non c è caduta di tensione (cortocircuito) H è dimensionalmente una resistenza: H = V o /I i TRNSRESISTENZ (in ohm) Valentino Liberali (UniMI) Elettronica Stella, triangolo; gen. controllati, equivalenti 18 marzo / 40 10

11 Esercizio V 0 = 9 V, R 1 = 100 Ω, R 2 = 3.9 kω, R 3 = 250 Ω, F = 10. alcolare V. R 2 R 3 V 0 F I I i o = F I i V R 1 Valentino Liberali (UniMI) Elettronica Stella, triangolo; gen. controllati, equivalenti 18 marzo / 40 Generatore equivalente di Thévenin (1/4) Dal punto di vista di due terminali di uscita e, una qualsiasi rete elettrica contenente generatori e resistenze è equivalente ad un generatore di tensione V eq in serie ad una resistenza R eq. V, I, R, E, F, G, H V eq R eq Generatore equivalente di Thévenin Valentino Liberali (UniMI) Elettronica Stella, triangolo; gen. controllati, equivalenti 18 marzo / 40 11

12 Generatore equivalente di Thévenin (2/4) La tensione del generatore di Thévenin V eq è la tensione di circuito aperto V, che si ottiene risolvendo il circuito: V eq = V V, I, R, E, F, G, H V V eq R eq Valentino Liberali (UniMI) Elettronica Stella, triangolo; gen. controllati, equivalenti 18 marzo / 40 Generatore equivalente di Thévenin (3/4) La resistenza del generatore di Thévenin R eq è la la resistenza vista tra i terminali e spegnendo tutti i generatori indipendenti. Se non ci sono generatori dipendenti nel circuito, il calcolo della resistenza equivalente è semplice: bisogna spegnere tutti i generatori (V = 0 per i generatori di tensione, I = 0 per i generatori di corrente) e calcolare la resistenza R applicando le formule per il collegamento in serie e in parallelo di resistenze. R eq = R Valentino Liberali (UniMI) Elettronica Stella, triangolo; gen. controllati, equivalenti 18 marzo / 40 12

13 Esempio (1/2) alcolare la resistenza tra i terminali e. R 2 V 0 R 1 R 3 I 0 R 4 Valentino Liberali (UniMI) Elettronica Stella, triangolo; gen. controllati, equivalenti 18 marzo / 40 Esempio (2/2) R 2 R 1 V 0 = 0 I 0 = 0 R 4 R 3 R = R 2 //(R 3 (R 1 //R 4 )) Valentino Liberali (UniMI) Elettronica Stella, triangolo; gen. controllati, equivalenti 18 marzo / 40 13

14 Generatore equivalente di Thévenin (4/4) Se nel circuito ci sono generatori dipendenti, bisogna spegnere tutti i generatori indipendenti, collegare tra e un generatore di corrente I x, trovare la tensione V x, e calcolare la resistenza R eq : R, E, F, G, H V x I x R eq = V x I x Osservazione: si applica la ONVENZIONE DEGLI UTILIZZTORI al circuito di cui si vuole calcolare la resistenza equivalente, NON al generatore I x! Valentino Liberali (UniMI) Elettronica Stella, triangolo; gen. controllati, equivalenti 18 marzo / 40 Generatore equivalente di Norton (1/3) Dal punto di vista di due terminali di uscita e, una qualsiasi rete elettrica contenente generatori e resistenze è equivalente ad un generatore di corrente I eq in parallelo ad una resistenza R eq. V, I, R, E, F, G, H I eq R eq Generatore equivalente di Norton Valentino Liberali (UniMI) Elettronica Stella, triangolo; gen. controllati, equivalenti 18 marzo / 40 14

15 Generatore equivalente di Norton (2/3) La corrente del generatore di Norton I eq è la corrente di cortocircuito I (si ottiene cortocircuitando i terminali e e risolvendo il circuito): I eq = I V, I, R, E, F, G, H I I eq R eq Valentino Liberali (UniMI) Elettronica Stella, triangolo; gen. controllati, equivalenti 18 marzo / 40 Generatore equivalente di Norton (3/3) La resistenza del generatore di Norton R eq è la stessa del generatore di Thévenin. La corrente del generatore di Norton I eq è legata alla tensione del generatore di Thévenin V eq dalla relazione: V eq = R eq I eq Quindi è sufficiente calcolare DUE dei tre parametri (V eq, I eq, R eq ); il terzo si ricava dagli altri due. Valentino Liberali (UniMI) Elettronica Stella, triangolo; gen. controllati, equivalenti 18 marzo / 40 15

16 Massimo trasferimento di potenza (1/6) d un generatore di Thévenin è collegato un carico resistivo R L. Vogliamo trovare il valore della resistenza di carico R L che assorbe la massima potenza dal generatore. R eq V eq I R L Valentino Liberali (UniMI) Elettronica Stella, triangolo; gen. controllati, equivalenti 18 marzo / 40 Massimo trasferimento di potenza (2/6) R eq V eq I R L V eq R eq I R L I = 0 (KVL) I = V eq R eq R L R L P = R L I 2 = Veq 2 (R eq R L ) 2 Valentino Liberali (UniMI) Elettronica Stella, triangolo; gen. controllati, equivalenti 18 marzo / 40 16

17 Massimo trasferimento di potenza (3/6) Dobbiamo trovare il valore di R L per cui P assume il massimo valore. R L P = R L I 2 = Veq 2 (R eq R L ) 2 Il valore massimo di P si ottiene calcolando il massimo rispetto alla variabile R L della funzione: R L y = (R eq R L ) 2 y è sempre positiva, tranne che per R L = 0 e R L, in cui y = 0; di conseguenza, y deve avere un massimo. Valentino Liberali (UniMI) Elettronica Stella, triangolo; gen. controllati, equivalenti 18 marzo / 40 Massimo trasferimento di potenza (4/6) P R L P = Veq 2 (R eq R L ) 2 P max 0 0 R eq 5R eq R L Valentino Liberali (UniMI) Elettronica Stella, triangolo; gen. controllati, equivalenti 18 marzo / 40 17

18 Massimo trasferimento di potenza (5/6) Nel punto di massimo si annulla la derivata prima della funzione: y = R L (R eq R L ) 2 Quindi il valore cercato è soluzione dell equazione: dy dr L = 0 (R eq R L ) 2 2(R eq R L )R L (R eq R L ) 4 = 0 Valentino Liberali (UniMI) Elettronica Stella, triangolo; gen. controllati, equivalenti 18 marzo / 40 Massimo trasferimento di potenza (6/6) Moltiplicando per (R eq R L ) 4 e semplificando, si ottiene: R 2 eq R 2 L = 0 che ha DUE soluzioni: R L = R eq e R L = R eq. La soluzione negativa non è fisicamente realizzabile (le resistenze hanno solo valori positivi). L unica soluzione è: R L = R eq Teorema del massimo trasferimento di potenza: La potenza trasferita al carico è massima quando la resistenza di carico è uguale alla resistenza interna del generatore equivalente. Valentino Liberali (UniMI) Elettronica Stella, triangolo; gen. controllati, equivalenti 18 marzo / 40 18

19 Sovrapposizione degli effetti (1/3) ircuito con più generatori indipendenti di tensione e di corrente: V 1 V n I 1 R, E, F, G, H I m Se il circuito è lineare, per ogni grandezza elettrica che dipende linearmente dalle altre si ha: f (V 1, V 2,..., V n, I 1,..., I m ) =f (V 1, 0,..., 0) f (0, V 2, 0,..., 0)... f (0.,..., 0, I m ) Valentino Liberali (UniMI) Elettronica Stella, triangolo; gen. controllati, equivalenti 18 marzo / 40 Sovrapposizione degli effetti (2/3) PRINIPIO DI SOVRPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI: Per un circuito lineare contenente più generatori indipendenti si può calcolare separatamente l effetto prodotto da ciascun generatore e poi calcolare la somma degli effetti. Si procede nel modo seguente: 1 si spengono tutti i generatori indipendenti tranne uno; 2 si calcolano le tensioni e le correnti risultanti; 3 si ripetono i passi 1 e 2 per ciascuno dei generatori indipendenti; 4 si sommano i risultati parziali ottenuti. Valentino Liberali (UniMI) Elettronica Stella, triangolo; gen. controllati, equivalenti 18 marzo / 40 19

20 Sovrapposizione degli effetti (3/3) Ricordare sempre che: il principio di sovrapposizione degli effetti si applica solo per circuiti lineari (tutti gli elementi circuitali devono essere lineari); il principio di sovrapposizione degli effetti vale solo per le grandezze che dipendono linearmente dalle altre (ad esempio, non si può usare per calcolare la potenza); tutti i generatori dipendenti devono essere lasciati, come per il calcolo della resistenza dei generatori equivalenti di Thévenin e di Norton. Valentino Liberali (UniMI) Elettronica Stella, triangolo; gen. controllati, equivalenti 18 marzo / 40 Esercizio V 0 = 5 V, I 0 = 8 m, R 1 = 1 kω, R 2 = 500 Ω, R 3 = 500 Ω, R 4 = 500 Ω. Ricavare il circuito equivalente di Norton tra e. R 2 V 0 R 1 R 3 I 0 R 4 Valentino Liberali (UniMI) Elettronica Stella, triangolo; gen. controllati, equivalenti 18 marzo / 40 20