Elementi di sismologia

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1 Elementi di sismologia Sismologia e Rischio Sismico Anno Accademico Giovanna Cultrera, cultrera@ingv.it Istituto Nazionale di Geofisica e Vulcanologia Trasformata di Fourier Premessa: l equazione delle onde Integrale di Fourier Proprietà Casi particolari Crediti D. Boore (USGS) S.Stein & M.Wysession An Introduction to Seismology, Earthquakes, and Earth Structure

2 Equazione del moto Soluzione omogenea equazione delle onde 2 u i = 1 v 2 x j 2 2 u i ( x, t) 2 t La soluzione è del tipo: u(x, t)= f(x + v t) f(x - v t) Funzioni di questo tipo descrivono un onda che si propaga nel tempo e nello spazio ad una velocità v

3 Equazione del moto Onde 2 u i 1 = x 2 1 v 2 2 u i ( x, t) 2 t u(x, t)= f(x + v t) f(x - v t) f può essere della forma: u( x, t) Ae i( wt kx) Acos( wt kx) + Ai sin( wt kx) che rappresenta un onda armonica (o sinusoidale), periodica nel tempo e nello spazio, che si propaga con velocità v = w / k

4 Equazione del moto Onde u( x, t) Ae i( wt kx) Acos( wt kx) + Ai sin( wt kx) onda armonica (o sinusoidale) varia nel Tempo Periodo: T = 2p / w Spazio Lunghezza d onda: l 2p /k

5 Ampiezza Ampiezza Trasformata di Fourier Definizioni utili Lunghezza d onda l Periodo T Distanza dalla sorgente Tempo k=1/l numero d onda In uno stesso istante di tempo, lo spostamento è periodico nello spazio (distanza). f=1/t frequenza w=2p/t frequenza angolare Fissata la posizione, lo spostamento è periodico nel tempo.

6 Light is a usually a multiple frequency signal, and the different frequencies correspond to what we call Sismogrammi in frequenza: La trasformata di Fourier Richiami sulla Trasformata di Fourier (si veda Numerical Recepies)

7 Serie temporale (accelerazione) Sismogrammi in frequenza Come possiamo vedere un sismogramma? a) nel tempo t [s] BAGNOLI: Terremoto dell Irpinia (23 novembre 1980; M=6.9)

8 fase ampiezza Sismogrammi in frequenza Come possiamo vedere un sismogramma? b) in frequenza Trasformata di Fourier f [Hz] BAGNOLI: Terremoto dell Irpinia (23 novembre 1980; M=6.9)

9 Trasformata di Fourier Cosa significa? Un segnale arbitrario...

10 Trasformata di Fourier Cosa significa?... Si puo ottenere sommando sinusoidi di frequenza diversa:

11 Trasformata di Fourier Cosa significa? Ovvero: Segnale arbitrario Combinazione di sinusoidi......di frequenza fissata

12 Trasformata di Fourier integrale di Fourier Una qualsiasi funzione (continua e dotata di derivata generalmente continua) può essere rappresentata come sovrapposizione di funzioni sinusoidali (coseni e seni): f (t) = [a(w) cos(w t )+ b(w) sen(w t)] dw 0 con w 2p/t a(w) p cos(w t) dt = C(w) cosf(w) b(w) p sen(w t) dt = C(w) senf(w) l integrale di Fourier riproduce il segnale tra [ 0, ]

13 Trasformata di Fourier integrale di Fourier f (t) = [a(w) cos(w t )+ b(w) sen(w t)] dw 0 Utilizziamo i numeri complessi (coppie di numeri reali): (a, b) = a + i b a = parte reale, I numeri complessi ammettono una rappresentazione geometrica nel piano. Passando in coordinate polari (A, f): a = A cos(f), b = A sen(f) b = parte immaginaria y b A f * a x

14 Trasformata di Fourier: definizione a(w) p cos(w t) dt = C(w) cosf(w) b(w) p sen(w t) dt = C(w) senf(w) Usando la rappresentazione esponenziale: e iw t =exp(iwt)= cos(w t) + i sen(w t) F(w) = F(w) e i f(w) = f(t) e iw t dt - Spettro delle ampiezze Spettro delle fasi

15 Trasformata di Fourier: definizione Definiamo quindi la trasformata di Fourier come una funzione complessa F(w) = F(w) e i f(w) Spettro delle ampiezze Spettro delle fasi Che si ottiene dall funzione di partenza f(t) F(w) = f(t) e iw t dt -

16 Trasformata di Fourier integrale di Fourier f (t) = [a(w) cos(w t )+ b(w) sen(w t)] dw 0 Si può dimostrare che f (t) = 1 2p F(w) e iw t dw -

17 Trasformata di Fourier: definizione Un segnale temporale f(t) di durata T si può esprimere come: f (t) = 1 F(w) e iw t dw - 2p con w 2p/t dove F(w) = f(t) e iw t dt - è la trasformata di Fourier

18 Trasformata di Fourier: definizione La trasformata di Fourier è una funzione complessa F(w) = f(t) e iw t dt - Si può anche scrivere come F(w) = F(w) e i f(w) Spettro delle ampiezze Spettro delle fasi

19 Trasformata di Fourier: definizione A partire dallo spettro di Fourier (AMPIEZZA e FASE), F(w) = f(t) e iw t dt = F(w) e i f(w) - con w 2p/t è possibile ottenere il sismogramma di partenza: f (t) = 1 2p F(w) e i[w t +f(w)] dw - (se il segnale temporale f(t) ha durata T )

20 Trasformata di Fourier: definizione Segnale f (t) = 1 F(w) e iw t dw 2p - Spettro di ampiezza F(w) = F(t) e iw t dt -

21 fase ampiezza Trasformata di Fourier Sismogramma in frequenza: Esempio 1 Serie temporale (accelerazione) t [s] FFT (ampiezza e fase) FFT ampiezza (scala logaritmica) f [Hz]

22 fase ampiezza Trasformata di Fourier Esempio 2 ANZIO, 22/08/2005 (Mw=4.5)

23 Ampiezza ampiezza 0 f (Hz) 10 Trasformata di Fourier Esempio 3 SUMATRA, 26/12/2004 (Mw=9.3) BOB ANZIO, 22/08/2005 (Mw=4.5)

24 Ampiezza FFT S. Stein & M. Wysession Trasformata di Fourier Esempio 4

25 Trasformata di Fourier proprietà Derivata e integrale Es. d f (t) d = 1 dt dt 2p F(w) e iw t - dw Convoluzione Linearità ( n) n f ( t) ( iw) f ( w) + w f ( t) * f ( t) f ( t ) f ( t t ) dt f ( w) f ( ) a f t) + a f ( t) a f ( w) + a f ( ) = 1 iw F(w) e iw t dw 2p - 1 1( w Traslazione iwa f ( t a) e f ( w) Teorema di Parseval f ( t) w f ( ) 2 2 Parseval identity (sum of the square values)

26 Prodotto di convoluzione * il prodotto di convoluzione rappresenta un integrale nel tempo f(t) * g(t) = f(t) g(t-t) dt - + nel dominio del tempo

27 Prodotto di convoluzione f(t) * g(t) = f(t) g(t-t) dt - + nel dominio del tempo t1 t2 t3

28 f(t) * g(t) = f(t) g(t-t) dt nel dominio del tempo + -

29 Prodotto di convoluzione * il prodotto di convoluzione rappresenta un integrale nel tempo f(t) * g(t) = f(t) g(t-t) dt - + TF[f(t) * g(t)] = F(w) x G(w) nel dominio del tempo nel dominio della frequenza

30 Casi particolari Funzione limitata (durata T) Funzione discreta (passo dt)

31 1- Serie di Fourier Funzione limitata nel tempo Funzione limitata nel tempo Segnale È equivalente ad un segnale periodico di periodo T Segnale T T T T

32 1- Serie di Fourier integrale di Fourier serie di Fourier Per un segnale PERIODICO di periodo T, Segnale l integrale di Fourier T f (t) = 1 2p T F(w) e i[w t +f(w)] dw - T Integrale di Fourier diventa una serie (sommatoria) Serie di t C o [C n sen( nw o t + f n )] Fourier

33 1- Serie di Fourier integrale di Fourier serie di Fourier t C o [C n sen( nw o t + f n )] dove C n = (a n2 + b n2 ) f n = arctan (a n / b n ) fase ampiezza 2 /2 e 2 /2 /2 /2 cos(nw o t) dt = C n cosf n sen(nw o t) dt = C n senf n

34 1- serie di Fourier Ampiezza e frequenza t C o [C n sen( nw o t + f n )] Serie di Fourier somma di funzioni sinusoidali di diversa ampiezza e fase C n = (a n2 + b n2 ) ampiezza f n = arctan (a n / b n ) fase con frequenze discrete f = n w o /2p

35 1- serie di Fourier Ampiezza e frequenza C n = (a n2 + b n2 ) Spettro di ampiezza /T /T /T /T /T /T /T frequenza fondamentale w o 2p / T armoniche superiori n w o 2p n / T

36 1- serie di Fourier frequenza La serie di Fourier è discreta con frequenza fondamentale f o = w o /2p = 1 / T frequenza fondamentale (n=1) armoniche superiori n wo 2p n / T

37 Casi particolari Funzione limitata (durata T) Funzione discreta (passo dt)

38 2-Trasformata di Fourier Caso particolare: funzione discreta Se la funzione è discreta, ovvero rappresentata da un numero discreto di punti (passo di campionamento Dt fs=1/dt) la trasformata di Fourier è periodica Intervallo di validità [-f N f N ], dove f N =1 / (2 Dt) è la frequenza di Nyquist

39 2-Trasformata di Fourier Frequenza di Nyquist f N = 1 / (2 Dt) = 1/T N Se il passo di campionamento è Dt, la sinusoide di frequenza f N (ovvero di periodo T N ) è campionata con 2 punti T N Dt =T N /2 t 2 punti/ciclo sono il numero minimo di punti necessario per definire univocamente una sinusoide

40 2-Trasformata di Fourier Frequenza di Nyquist Quindi le armoniche con frequenze f tali che f < fn (T>2Dt) vengono ben campionate con un numero di punti maggiore di 2 Dt t f > fn (T<2Dt) vengono viste come sinusoidi con frequenza f*< fn Dt t

41 2-Trasformata di Fourier Caso particolare: funzione discreta la trasformata di Fourier è periodica Intervallo di validità [-f N f N ], f N =1 / (2 Dt) è la frequenza di Nyquist Se il segnale ha un contenuto in frequenza al di fuori dell intervallo [-f N f N ] Fenomeno di ALIASING (sovrapposizione)

42 2-Trasformata di Fourier Caso particolare: funzione discreta Fenomeno di ALIASING (sovrapposizione) la trasformata di Fourier non permette di rappresentare correttamente le frequenze del segnale al di fuori dell intervallo [-fn fn] Segnale discreto con passo di campionamento 1 / fs < 1 / fn Segnale discreto con passo di campionamento 1 / fs > 1 / fn ALIASING

43 Casi particolari Funzione limitata (durata T) la trasformata di Fourier è discreta [df= 1/T ] Funzione discreta (passo dt) la trasformata di Fourier è periodica [ f N =1 / (2 dt) ]

44 FFT limitata: f < 1/ (2 dt)=f Nyquist f (t) = 1 F(w) e iw t dw 2p - Trasformata di Fourier F(w) = f(t) e iw t dt = F(w) e i f(w) - con w 2p/T ATTENZIONE!!! Il segnale sismico è limitato di durata T FFT discreta : w dw n w o ~ n 2p/ T discreto (passo di campionamento dt)

45 Sismogrammi in frequenza: La trasformata di Fourier FINE della digressione