Capitolo 11 - Catene di Markov

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1 Aut d Teora de Segal Catolo - Catee d Marov Catee d Marov temo-dscrete... Defzo troduttve... Probabltà d traszoe ad u asso...3 Catee d Marov omogeee...4 Matrce delle robabltà d traszoe ad u asso...4 Proretà...5 Matrce delle robabltà d traszoe ad ass...6 Probabltà d stato e robabltà astotche...8 Esemo... 0 Esemo... Catee d Marov comletamete regolar... 3 Esemo... 4 Esemo d catea d Marov erodca... 5 Metodo d calcolo delle robabltà astotche... 6 Esemo... 7 Esemo: sstema multrocessore... 8 Defzo vare sulle catee d Marov... Teorema (er catee d Marov omogeee e rrducbl)... 3 Teorema (er catee d Marov omogeee, rrducbl e o erodche) 4 Caso artcolare... 4 Catee d Marov temo-cotue... 4 Itroduzoe... 4 Il rocesso telegrafco casuale... 4 Le robabltà astotche... 5 Itroduzoe... 5 Le robabltà d traszoe ad u asso... 6 Temo d ermaeza uo stato... 8 Le frequeze d traszoe d stato... 9 Determazoe delle robabltà astotche... 3

2 Aut d Teora de Segal - Catolo Catee d Marov temo-dscrete DEFINIZIONI INTRODUTTIVE Saamo che u rocesso stocastco è u rocesso er cu, dato u certo sazo degl evet S relatvo ad u determato feomeo, o assocamo, a cascu elemeto d S, ua fuzoe (a valor dscret o cotu) del temo t. Allora damo la seguete defzoe: Def. U rocesso stocastco s dce marovao quado, scelto u certo state t d osservazoe, l evoluzoe del rocesso, a artre da t, dede solo da t metre o dede alcu modo dagl stat recedet Detto ache altr term, u rocesso è marovao quado, dato l state d osservazoe, solo tale state determa l evoluzoe futura del rocesso, metre tale evoluzoe o dede dal assato. Voledo tradurre questa defzoe formule, ossamo rocedere el modo seguete: cosderamo gl stat t < t <... < t < t + ; corrsodeza d cascuo d tal stat, estraamo dal rocesso ua varable aleatora; dchamo tal varabl aleatore co X( t ), X( t ),..., X( t ), X( t + ) ; suoamo oltre che l rocesso sa a valor dscret, l che sgfca che tal varabl aleatore ossoo assumere solo valor (o stat ) che soo umero fto oure fto umerable. Cascua d queste varabl aleatore cotee ratca se le caratterstche del rocesso ell state cu è stata estratta: er esemo, le caratterstche del rocesso all state t + soo coteute ella varable X( t + ) ; queste caratterstche ossoo o meo dedere da quelle che soo state le caratterstche del rocesso egl stat recedet; u legame esstete tra queste caratterstche è sez altro raresetato dal valore d ( ( + ) + ( ) ( )... ( ) ) P X t x X t x X t x X t x Ifatt, questa quattà rareseta la robabltà che l sstema, all state t +, s trov ello stato x +, ot che sao gl stat x, x,..., x cu s trovava egl stat recedet. Adesso suoamo che l state d osservazoe rescelto sa l state t : allora, o dremo che l ostro rocesso è marovao se accade che ( ( + ) + ( ) ( )... ( ) ) ( ( + ) + ( ) ) P X t x X t x X t x X t x P X t x X t x ossa se lo stato del sstema ad u qualsas state successvo a quello d osservazoe dede solo dallo stato del sstema all state d osservazoe. Questa è la defzoe relatva al caso cu l rocesso è a valor dscret: artcolare, u rocesso marovao a valor dscret rede l ome d catea d Marov ed è quello d cu c occueremo questo catolo. Autore: Sadro Petrzzell

3 Le catee d Marov N.B. Esste tuttava ua aaloga defzoe relatva a rocess stocastc a valor cotu: o dremo che u rocesso stocastco a valor cotu è marovao se e solo se rsulta verfcata la relazoe ( ( + ) + ( ) ( )... ( ) ) P( X( t + ) x + X( t ) x ) P X t x X t x X t x X t x Provamo er esemo a vedere se l rocesso telegrafco casuale, che è u oto rocesso stocastco temo-cotuo a valor dscret, è ua catea d Marov: la rsosta è evdetemete affermatva, quato saamo che cambamet d stato tale rocesso soo codzoat all avvere d evet d Posso e og eveto d Posso dede solo dall eveto mmedatamete recedete e o da tutt gl altr. Ad og modo, l rocesso telegrafco casuale retra ella categore delle catee d Marov temo-cotue (brevemete CTMC), quato saamo che la realzzazo del rocesso telegrafco casuale soo fuzo cotue del temo. Vceversa, o samo er l mometo teressat alle cosddette catee d Marov temo-dscrete (brevemete DTMC), tal coè che le loro realzzazo sao fuzo dscrete del temo, ossa assumao de valor solo stat d temo refssat (che ossoo essere o meo multle d ua quattà fssa). Qud, relogado, dcamo che ua catea d Marov temo-dscreta è u rocesso stocastco, temo-dscreto e a valor dscret, tale che l evoluzoe del rocesso a artre dall state d osservazoe dede solo dallo stato cu s trova l sstema ell state d osservazoe. Il fatto che s tratt d rocess stocastc temo-dscret c cosete d semlfcare le ostre otazo: fatt, azché dcare co X( t ), X( t ),..., X( t N ) le varabl estratte dal rocesso e var stat, le dchamo semlcemete co X, X,..., X N. PROBABILITÀ DI TRANSIZIONE AD UN PASSO Al fe d caratterzzare acora meglo ua catea d Marov, valutamo la seguete quattà: (... ) P X x X x X x X x N N N N 0 0 S tratta della robabltà che l rocesso (o sstema ) assuma l valore (o stato ) x 0 all state tt 0, l valore x all state t e così va fo al valore x N all state t N. Essedo ua robabltà assoluta (dove l eveto cosderato è dato dall tersezoe d ù evet), ossamo valutarla facedo uso delle robabltà codzoate: la dchamo, er comodtà, co P C, e otteamo allora che ( ) ( ) P P X x X x X x X x P X x X x X x C N N N N N N Rcordamo, a tal roosto, quato dmostrato el corso d Teora de Segal: l temo d attesa ed l temo d arrvo, u rocesso telegrafco casuale, soo delle varabl aleatore co dstrbuzoe esoezale, ossa rve d memora. 3 Autore: Sadro Petrzzell

4 Aut d Teora de Segal - Catolo Essedo l rocesso er otes marovao, ossamo semlfcare quella robabltà codzoata, restrgedo la codzoe al solo state recedete quello d osservazoe: ( ) ( ) P P X x X x P X x X x X x C N N N N N N Adesso faccamo lo stesso dscorso co P( X x X x X x )... : otteamo che N N 0 0 ( ) ( ) ( ) ( N N N N ) ( N N N N ) ( N N ) P P X x X x P X x X x X x P X x X x C N N N N N N N N N N P X x X x P X x X x P X x X x Proseguedo questo modo, arrvamo al seguete rsultato fale: ( ) ( )... ( 0 0 ) ( 0 0 ) P P X x X x P X x X x P X x X x P X x C N N N N N N N N La geerca quattà P( X x X x ) rede l ome d robabltà d traszoe ad u asso: essa rareseta la robabltà che l sstema ass dallo stato x - allo stato x ell tervallo d temo [ t, t ]. Ovvamete, qud, er asso s tede l tervallo d temo che tercorre tra due cambamet d stato successv. Possamo duque scrvere che N ( N N N N ) ( 0 0 ) ( ) P X x X x X x X x P X x P X x X x CATENE DI MARKOV OMOGENEE La geerca robabltà d traszoe ad u asso P( X x X x ) uò o meo dedere dall amezza t t del asso stesso. Se o dede da tale amezza, o dcamo che la catea d Marov (temo-dscreta) è omogeea; caso cotraro, s arla ovvamete d catea d Marov o omogeea. Da questo mometo o, suorremo d avere a che fare solo co catea d Marov temo-dscrete omogeee. MATRICE DELLE PROBABILITÀ DI TRANSIZIONE AD UN PASSO Cosderamo acora ua volta la geerca robabltà d traszoe ad u asso ( ) P X x X x Gl stat x e x - soo da rcercars tra tutt ossbl stat che l sstema uò assumere; er esemo, se s trattasse d u rocesso telegrafco casuale, avremo solo + o -, metre, ù geerale, ossamo avere u umero d stat fto oure fto umerable (a secoda d qual soo valor assumbl da arte del rocesso, ossa da arte delle realzzazo che costtuscoo l rocesso). Autore: Sadro Petrzzell 4

5 Le catee d Marov Per semlfcare le ostre otazo, oamo x e x e oamo oltre ( ) P X X Questa è duque la robabltà che l rocesso s trov ello stato all state t quado all state t - s trovava ello stesso. E charo che, a secoda d quat soo gl stat che l rocesso uò assumere, otremo avere u umero fto o fto umerable d robabltà d traszoe ad u asso. E coveete allora costrure, co tal robabltà, ua matrce fatta el modo seguete: [ P] m 0 m m m mm Og elemeto della matrce corrsode ad ua dversa robabltà d traszoe ad u asso: artcolare gl elemet della rga corrsodoo alle robabltà d traszoe ad u asso co stato zale ; gl elemet della coloa corrsodoo alle robabltà d traszoe ad u asso co stato fale. La dmesoe della matrce è m, dove m è l umero d stat ossbl er l sstema: se tale umero è fto, la matrce è determata; se vece esso è fto umerable, allora la matrce è defta. La matrce [P] rede l ome d matrce delle robabltà d traszoe ad u asso. Proretà S uò dmostrare modo del tutto tutvo la seguete roretà d cu gode la matrce [P]: m 0 0,,...,m Questa roretà dce ratca che la somma degl elemet su d ua rga è ar ad. S dce allora che [P] è ua matrce stocastca. P X X, abbamo che La dmostrazoe è mmedata: essedo ( ) m 0 m ( X X ) P( X 0 X ) + P( X X ) P( X m X ) P 0 5 Autore: Sadro Petrzzell

6 Aut d Teora de Segal - Catolo La sommatora questoe rareseta duque la robabltà che l sstema, trovados el geerco stato all state t -, ass uo qualsas degl stat (cluso stesso) all state successvo ed è ovvo che tale robabltà valga. MATRICE DELLE PROBABILITÀ DI TRANSIZIONE AD N PASSI Abbamo detto che l geerco elemeto P( X X ) della matrce delle robabltà d traszoe ad u asso dca la robabltà che l sstema ass dallo stato allo stato ell tervallo d temo [ t, t ]. I modo del tutto aalogo, è ache ossble valutare la robabltà che l sstema s trov ello stato all state t doo che all state t - s trovava ello stato : ( ) ( ) P X X S tratta coè della robabltà che l sstema, trovados ello stato all state t -, doo due ass, qud doo u tervallo d temo d amezza t t, s trov ello stato. I geerale, è ossble defre la cosddetta robabltà d traszoe ad ass come la seguete robabltà: ( ) ( ) P X X S tratta coè della robabltà che l sstema, all state t, s trov ello stato doo che, ass rma, coè tervall d temo rma, s trovava ello stato. Per queste uove robabltà d traszoe valgoo le stesse cosderazo fatte er quelle ad u uco asso, el seso che, a secoda d quat soo gl stat che l rocesso uò assumere, o otremo avere u umero fto o fto umerable d robabltà d traszoe. E duque acora ua volta coveete costrure, co tal robabltà, ua matrce fatta el modo seguete: [ P( ) ] 00 ( ) 0 ( )... 0m ( ) ( ) ( )... m ( ) 0... m0 ( ) m( )... mm ( ) Questa, aaloga a rma, rede l ome d matrce delle robabltà d traszoe ad ass. Vedamo adesso se è ossble trovare u legame tra questa matrce e la matrce d traszoe ad u asso [P] (che o, modo formalmete ù corretto, dovrebbe essere dcata co [P()]. Suoamo er l mometo che sa : l geerco elemeto della matrce [P()] è ( ) ( ) P X X Questa robabltà codzoata è esrmble medate la ota formula ( ) ( ) P( X ) P X X Autore: Sadro Petrzzell 6

7 Le catee d Marov Possamo adesso alcare l teorema delle robabltà total er rscrvere altra forma l umeratore d quella frazoe: alcado l teorema co rfermeto al asso [ t, t ], abbamo che ( ) ( ) P X X X ( ) P X Esrmedo acora ua volta le robabltà al umeratore medate le robabltà codzoate, abbamo oltre che ( ) ( ) ( ) P X X X P X X ( ) P X Avedo a che fare co u rocesso d Marov, quella robabltà codzoata s uò semlfcare, lmtado la codzoe al solo state t - : ( ) ( ) ( ) P X X P X X ( ) P X Rcordado che la geerca robabltà d traszoe ad u asso è P( X X ) ossamo rscrvere quella relazoe come ( ) ( ) P X X ( ) P X Ora esrmamo l terme P( X X ) codzoate: Il terme P( X ) ( ), acora ua volta medate le robabltà ( ) ( ) P X X P X ( ) P X al umeratore o dede dall dce della sommatora, er cu ossamo ortarlo fuor e semlfcarlo co l deomatore: resta duque Ife, l terme P( X X ) ( ) ( ) P X X o è altro che, er cu ( ) 7 Autore: Sadro Petrzzell

8 Aut d Teora de Segal - Catolo Questa relazoe dce ratca che l geerco terme ( ) della matrce [P()] è ar al rodotto tra seguet vettor: Il vettore [ m ] [ ] m [ m ] ( ) m... o è altro che la rga della matrce [P], metre l vettore T... è la coloa della matrce [P]. S deduce qud che la matrce [P()] o è altro che l rodotto rghe*coloe tra la matrce [P] e se stessa, ossa [ P( )] [ P]*[ P] [ P] Questo rsultato è del tutto geerale, el seso che s trova [ P( )] [ ] Qud, ota la matrce delle robabltà d traszoe ad solo asso, o ossamo calcolarc la matrce delle robabltà d traszoe er u qualsas umero d ass. P PROBABILITÀ DI STATO E PROBABILITÀ ASINTOTICHE Sa X la varable aleatora che forsce lo stato del rocesso all state t : s defsce robabltà astotca la quattà π ( ) lm P X Che cosa rareseta questa quattà? Il terme P( X ) è ua robabltà d stato, ossa la robabltà che l sstema, ell state t, s trov ello stato ; d cosegueza, è charo che π rareseta la robabltà che l sstema, a regme, ossa er, s trov ello stato. Il ostro scoo dveta adesso quello d valutare quato vale questa robabltà astotche. La rma cosa da dre è che o semre queste roretà esstoo; sussste allora la seguete defzoe: ua catea d Marov s dce regolare quado esstoo le robabltà astotche. Nell otes che la catea da o cosderata sa regolare, adamo a valutare rma le robabltà d stato e successvamete quelle astotche. Itato, alcado l teorema delle robabltà total e, successvamete, le formule delle robabltà codzoate, ossamo scrvere che P ( X ) P( X X ) P( X X ) P( X ) Autore: Sadro Petrzzell 8

9 Le catee d Marov Adesso, rcordado che la geerca robabltà d traszoe ad u asso è P X X, ossamo rscrvere quella relazoe come ( ) ( ) ( ) P X P X (a) Co lo stesso detco dscorso, ma scegledo ua dversa artzoe co cu alcare l teorema P X ache ella forma delle robabltà total, o ossamo esrmere l terme ( ) ( ) ( ) P X P X0 (b) Vedamo come ossamo utlzzare le relazo (a) e (b). P X è dato dal seguete rodotto: La relazoe (a) dca che l terme ( ) Il vettore rga [ m ] P ( X ) P( X ) [... m ] P P P ( X 0) ( X )... ( X m)... è la coloa della matrce d traszoe ad u asso [P], metre l vettore er cu è moltlcato uò essere chamato col ome d vettore delle robabltà d stato del rocesso all state t -, quato esso cotee le robabltà che l sstema, all state t -, s trov uo qualsas degl stat ermess. ( ) P X, er cu la relazoe d rma dveta Poamo allora ( ) () 0( ) ( ) [... ] 0,,..., m m m... ( ) Al varare d { 0,,..., m }, abbamo a rmo membro u vettore d dmesoe m+ ed al secodo membro l rodotto della matrce [P] er u vettore coloa d dmesoe m+: allora, oedo 0 ( ) ( ) [ ( )]... m ( ) ossamo rscrvere quella relazoe ella forma 0 ( ) ( ) e [ ( )]... m ( ) [ ( )] [ P][ ( )] 9 Autore: Sadro Petrzzell

10 Aut d Teora de Segal - Catolo Co u dscorso del tutto aalogo, fatto a artre dalla relazoe (b), s trova faclmete che Queste relazo c dcoo quato segue: [ ( )] [ P] [ ( 0)] rmo luogo, dato l vettore delle robabltà d stato relatvo ad u certo state, ossamo otteere quello relatvo all state successvo semlcemete moltlcado a sstra er la matrce d traszoe ad u asso; modo aalogo, la secoda relazoe dce che, oto l vettore delle robabltà d stato all state zale t 0, ossamo cooscere l vettore delle robabltà d stato d u state successvo geerco t semlcemete moltlcado a sstra er [P]. A questo uto, dato l vettore [()] delle robabltà d stato all state t, le robabltà astotche s ossoo calcolare facedo l lmte er. Esemo Suoamo d avere ua catea d Marov omogeea a due sol stat, che dchamo co s 0 e s. Suoamo ache d cooscere la matrce delle robabltà d traszoe ad u asso (che sarà ovvamete d dmesoe * quato soo gl stat ossbl er la catea): / / [ P ] / 4 3/ 4 S ota mmedatamete che la somma degl elemet su cascua rga d questa matrce è ar ad. Da u uto d vsta schematco, ossamo dare d questa matrce ua raresetazoe grafca term d grafo oretato: stato s stato s Questo grafo cosete d raresetare modo molto rado le robabltà che l sstema, ell arco d u solo asso, ossa d u solo tervallo d temo, ass da uo stato all altro tra quell cosett. Faccamo ache osservare come questo asso sa assolutamete geerco, quato samo semre ell otes che la catea d Marov sa omogeea. Provamo allora a calcolare la matrce delle robabltà d traszoe a ass: ossamo evdetemete utlzzare la relazoe [ P( )] [ P] Autore: Sadro Petrzzell 0

11 Le catee d Marov Per o otteamo che 3 / 4 / 4 3/ 4 / 4 5 / 4 3 / 4 [ P( )] [ P]*[ P] / 4 3 / 4 / 4 3 / 4 3/ 4 5 / 4 La matrce [P()] uò ache essere rscrtta ella forma [ P( )] + + Questa forma è utle quato s trova, alcado retutamete la formula [ P( )] [ P], che [ P( )] + + Adesso suoamo che l vettore delle robabltà d stato, all state tt 0, sa l seguete: / 3 [(0)] / 3 Questo vettore dca, ratca, che la catea, all state tt 0, s trova ello stato s 0 co robabltà /3 e ello stato s co robabltà /3. Sulla base d questo dato ossamo adare a calcolare l vettore delle robabltà d stato all state geerco t : fatt, alcado la formula [ ( )] [ P] [ ( 0 )], s trova che t [()] S ota duque che l vettore delle robabltà d stato relatvo all state geerco tt dede dal asso, l che è dce del fatto che la catea o sa stazoara. Al cotraro, s uò verfcare che, se l vettore delle robabltà d stato relatve all state zale t t 0 fosse / [ ( 0)] [ 0 ] / Rcordamo che u rocesso stocastco è stazoaro quado le sue caratterstche soo costat el temo, ossa quado o dedoo dal temo stesso. Nell esemo cosderato, cò o avvee, quato le robabltà d stato er l state t dedoo dal asso, ossa sostazalmete da t -t -. Autore: Sadro Petrzzell

12 Aut d Teora de Segal - Catolo rsulterebbe [ / ( )] / e qud la catea sarebbe questo caso stazoara. Per quato rguarda le robabltà astotche, soo evdet loro valor: comcamo dal rmo caso, quello coè cu la catea o è stazoara: calcolado l lmte, er, del vettore delle robabltà d stato al geerco asso, abbamo che 3 [( )] lm[()] lm el secodo caso, vece, cu [ / ( )] / /, è charo che [ ( )] )] / [(. Esemo Cosderamo ua catea d Marov a 3 stat, che dchamo co s,s ed s 3. Suoamo ache qu d cooscere la matrce d traszoe ad u asso: 0 0 [ P ] / 3 / 3 / La struttura d questa matrce c dca ua caratterstca artcolare della catea: s ota fatt che Dre che 0 sgfca dre che o è ossble che l sstema, ell arco d u asso geerco, ass dallo stato allo stato. Stesso dscorso, ovvamete, er le altre tre robabltà. Questo fatto dca che gl stat s ed s 3 soo stat assorbet, coè soo tal che l sstema, ua volta arrvato uo de due, o uò ù uscrv. Questa cosa rsulta molto ù chara se raresetamo grafcamete la matrce [P]: /3 /3 s s s 3 /3 Autore: Sadro Petrzzell

13 Le catee d Marov Premesso, questo, adamo a valutare la matrce delle robabltà d traszoe ad ass: utlzzado la solta relazoe [ P( )] [ P], s trova quato segue: [ P( )] Adesso adamo a calcolare l vettore delle robabltà d stato er l geerco state : dobbamo usare la relazoe [ ( )] [ P] [ ( 0 )], er cu c serve cooscere l vettore [(0)], ossa l vettore delle robabltà d stato zal. Suoamo che sa / 3 [ ( 0)] / 3 / 3 Facedo cot, s trova che 0 0 [ ( )] Calcolado adesso l lmte er, abbamo che / 3 / 3 / / 3 / / 3 [ ( )] / 3 / 3 ossa che le robabltà astotche cocdoo co le robabltà d stato zal. Catee d Marov comletamete regolar Abbamo detto che ua catea d Marov è regolare quado ammette le robabltà astotche. Dagl esem recedet s ota come, sesso, le robabltà astotche dedao dalle robabltà d stato zal. Sussste allora la seguete defzoe: ua catea d Marov s dce comletamete regolare quado ammette le robabltà astotche e queste NON dedoo dalle codzo zal. S dmostra (o o lo faccamo), oltre, l seguete teorema: codzoe ecessara e suffcete affché ua catea d Marov sa comletamete regolare è che la matrce delle robabltà d traszoe ad ass [P()], er abba tutte le rghe ugual; questo caso, cascua delle suddette rghe rareseta roro la soluzoe astotca. 3 Autore: Sadro Petrzzell

14 Aut d Teora de Segal - Catolo Esemo Cosderamo uovamete la catea d Marov dell ultmo esemo trattato, la cu matrce delle robabltà d traszoe ad asso aveva la seguete raresetazoe grafca: /3 /3 s s s 3 /3 Abbamo trovato che la matrce delle robabltà d traszoe ad ass è [ P( )] Per (coè er u umero fto d ass), questa matrce dveta [P( )] Questa matrce o dede dal asso. Assumedo, come codzo zal, quelle del vettore [ (0)] [ / 3 / 3 / 3] T, abbamo trovato che l vettore delle robabltà d stato, al geerco asso, è [()] [ P() ][ (0) ] [P] [ (0) ] / / [ ( )] / 3 / 3 / 3, ossa u vettore cocdete co quello delle codzo zal. Se erò cambassmo l vettore delle robabltà zal, rededo ad esemo [ (0)] / / 3 / 6, troveremmo u dverso vettore [( )], l che c dce che la catea o è Calcolado l lmte er, otteamo [ ] T [ ] T comletamete regolare, ma solo regolare: essa ammette soluzoe astotca, ma tale soluzoe dede dalle codzo zal. + Autore: Sadro Petrzzell 4

15 Le catee d Marov Esemo d catea d Marov erodca Cosderamo ua catea d Marov (omogeea e temo-dscreta) avete 4 stat dvers. Suoamo che la matrce delle robabltà d traszoe ad u asso sa la seguete: / / [ P ] Ua catea d questo to, ossa avete ua matrce [P] d questo to, gode della roretà d essere erodca: questo sgfca che, se l sstema s trova, u certo state, u certo stato, torerà semre tale stato doo u certo umero costate d ass. I altre arole, lo stato del sstema s rete erodcamete: dato u certo stato ad u certo state, l sstema tora ello stesso stato doo u umero fto e costate d ass. Nel ostro caso, dato u certo stato cu l sstema s trova u certo state, c vogloo semre 3 ass erché l sstema tor ello stesso stato. La cosa rsulta evdete raresetado acora ua volta grafcamete la matrce [P]: s 3 / s s / s 4 Suoamo ad esemo d artre dallo stato s : l uca ossbltà è quella d assare ello stato s ; dallo stato s, c è u 50% d ossbltà d assare ad s 3 ed u altro 50% d assare ad s 4 ; og caso, erò, sa da s 3 sa da s 4, l uca ossbltà è d assare ad s, er cu c soo volut 3 ass er torare allo stato d arteza e ce e vorrao evdetemete altr 3 er torarv acora. E facle verfcare che lo stesso rsultato s ottee artedo da uo qualsas degl altr 3 stat. Il fatto che la catea sa erodca d erodo 3 mlca come cosegueza fodametale che [ P] [P(4)] [P(7)] [P(0)]... ossa geerale che [ P( )] [ P( + 3 )] co 0,,..., La secoda cosegueza è evdetemete l fatto er cu o essta ua soluzoe astotca, l che sgfca che tale catea o è regolare. 5 Autore: Sadro Petrzzell

16 Aut d Teora de Segal - Catolo METODO DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ ASINTOTICHE Fo ad ora abbamo effettuato, ove ossble, l calcolo delle robabltà (d stato) astotche calcolado rma le robabltà d stato al geerco asso e o calcolado l lmte er. Esste vece u metodo molto ù mmedato er l calcolo d queste robabltà. Tale metodo è alcable solo alle catee d Marov che sao comletamete regolar: la regolartà serve a garatre l essteza delle robabltà astotche, metre la comleta regolartà serve a garatre l dedeza d tal robabltà dalle robabltà d stato zal. Vedamo d che s tratta. Abbamo detto che l vettore delle robabltà d stato al geerco state t è legato a quello dell state recedete dalla relazoe [ ()] [P][( )] Per calcolare le robabltà astotche, dobbamo calcolare l lmte er : qud E abbastaza ovvo che, se oamo [ ] relazoe d rma dveta lm[ ( )] lm[ P][ ( )] [ P] lm[ ( )] π lm[ ( )] [ π] [ π ][P ], rsulta ache [ ] π lm[ ( )], er cu la Questa relazoe è u sstema d equazo lear le cu cogte soo le robabltà astotche [ π, π,..., π N ], dove ovvamete N, che è l umero degl stat ossbl er l sstema, uò essere sa fto sa fto umerable. Allora, a lvello aaltco, ossamo determare le robabltà astotche della ostra catea laddove esstoo, rsolvedo semlcemete quel sstema. A lvello umerco, vece, ossa usado u PC, tale rocedmeto è ovvamete valdo solo quado N è u umero fto. Osservamo oltre come le N equazo raresetate da quella relazoe matrcale o sao erò suffcet er la determazoe delle robabltà astotche: fatt, s trova che ua d esse deve essere ecessaramete ua combazoe leare delle altre, l che sgfca che quel sstema forsce soluzo. Allora, er determare le robabltà astotche, s usa ua ulterore equazoe che è la cosddetta codzoe d ormalzzazoe: essa dce che quelle robabltà astotche soo legate dalla relazoe N π ed è ovvo che sa così, quato, a regme, l sstema dovrà ecessaramete trovars uo degl stat ossbl. Autore: Sadro Petrzzell 6

17 Le catee d Marov Esemo Suoamo d avere ua catea d Marov temo-dscreta (DTMC) a sol stat e suoamo che la sua matrce delle robabltà d traszoe ad u asso sa la seguete: / / [ P ] / 4 3/ 4 Questa catea è stata gà cosderata recedeza ed aalzzata co altre tecche. Per trovare le robabltà astotche, dobbamo rsolvere l sstema raresetato dalla relazoe π π π / / / / π e dalla codzoe d ormalzzazoe. Scrtto forma scalare, l sstema rsulta essere l seguete: 3 π π + π π π + π 4 4 π + π Rsolvedo, s trova π π / / e questo è lo stesso rsultato trovato recedeza a artre dalle robabltà d stato. 7 Autore: Sadro Petrzzell

18 Aut d Teora de Segal - Catolo Esemo: sstema multrocessore Negl esem recedet abbamo semre suosto d cooscere a ror la matrce delle robabltà d stato della catea d Marov esame. I quest altro esemo, vece, rocedamo modo dverso: artamo da u sstema cocreto, verfchamo che esso sa modellable tramte ua catea d Marov e, caso affermatvo, adamo a valutare arametr caratterstc della catea. Il sstema che redamo esame è u sstema multrocessore che schematzzamo el modo seguete: M M M m Rete d tercoessoe memore-rocessor P P P Abbamo duque rocessor P,P,...P, qual, tramte ua oortua rete d tercoessoe, soo grado d accedere ad ua qualsas tra m memore M,M,...,M m. Questa rete d tercoessoe è grado d accettare ua qualsas combazoe d rcheste de rocessor verso le memora, er cu o c soo lmt da questo uto d vsta. Così come accade e sstem real, s assume la reseza d u cloc che scrozz le vare oerazo: cò sgfca che l temo è dscretzzato. Faccamo l otes che cascu rocessore facca le rore rcheste d accesso alla memora dedetemete da cò che fao gl altr rocessor e suoamo oltre che, er cascu rocessore, sao fsse le robabltà d rchedere l accesso ad ua determata memora. Quado o ù rocessor rchedoo l accesso ad ua stessa memora (stuazoe d collsoe), è ovvo che solo ua rchesta ossa essere soddsfatta; ossamo allora fare due otes sulla oltca d gestoe d ua geerca collsoe: suoamo rmo luogo, che, metre ua delle rcheste erveute vee soddsfatta, le altre vegao oste attesa d essere servte; secodo luogo, suoamo che u rocessore, che o abba vsto esaudta la rora rchesta d accesso a memora (coè qud che o abba rcevuto dat rchest o o abba otuto scrvere dat vat), rmaga bloccato f quado la rchesta o vee esaudta. Queste soo duque le otes sul fuzoameto del sstema esame. Il asso successvo, come detto, cosste el care se u sffatto sstema uò essere modellato come ua catea d Marov. A questo scoo, l rocedmeto da segure è l seguete: bsoga stablre come defre lo stato del sstema e successvamete bsoga verfcare se l evoluzoe dello stato deda solo dall state d osservazoe oure o; caso affermatvo, l sstema sarà ua catea d Marov. E charo allora che è oortuo rcercare ua defzoe dello stato del sstema tale da oter retrare ella classe delle catee d Marov. Per semlctà, mettamoc el caso cu m, er cu abbamo solo due rocessor e due memore. Co questa oszoe (che eraltro è geeralzzable), ossamo esare d defre lo stato del sstema base al umero d rcheste d servzo er cascua memora: Autore: Sadro Petrzzell 8

19 Le catee d Marov stato s (,): abbamo rchesta d servzo er cascua memora; stato s (0,): abbamo rcheste d servzo etrambe er M, er cu samo ua stuazoe d collsoe; stato s 3 (,0): abbamo rcheste d servzo etrambe er M, er cu samo acora ua stuazoe d collsoe; Nell dvduare quest 3 stat abbamo evdetemete escluso l caso cu o c sao rcheste d servzo a memora: l motvo, dervate dalle stuazo real, è che l umero d rcheste a memora da arte d u rocessore è geeralmete molto elevato, er cu è lausble suorre che, cascu state dscreto, cascu rocessore facca ua rora rchesta d accesso alla memora. Per cotuare la ostra aals, ossamo defre le robabltà che cascua memora rceva ua rchesta d servzo: q robabltà che c sa rchesta d accesso alla memora M ; q robabltà che c sa rchesta d accesso alla memora M ; E evdete che queste robabltà rescdoo da quale rocessore facca la rchesta d servzo. Adesso ossamo traccare l dagramma d traszoe d stato del sstema così modellato: dobbamo coè valutare le robabltà che l sstema ass da uo stato all altro tra quell dvduat. Ad esemo, cosderamo lo stato (,) cu cascua memora ha ua rchesta d servzo, l che sgfca, altre arole, che rocessor hao fatto rcheste dverse. Per assare, ad esemo, ello stato (,0), è ecessaro che, ell state successvo, c sao due rcheste etrambe alla memora M e questo avvee co robabltà q q q ; aalogamete, er assare da (,) a (0,), è ecessaro che c sao due rcheste etrambe alla memora M e questo avvee co robabltà q q q. Stuazoe dversa s reseta, vece, er assare da (,0) a (,): fatt, dre che l sstema s trova ello stato (,0) equvale a dre che u rocessore è stato servto, ossa sta accadedo alla memora M, metre l altro è attesa. Allora, l assaggo da (,0) a (,) s ha solo se l rocessore che è sotto servzo cessa d accedere alla memora M e rchede l accesso ad M. Qud, la robabltà d traszoe da (,0) a (,) è q, ossa la robabltà che c sa ua rchesta er M. Aalogamete, er assare da (0,) a (,), c dovrà essere ua sola rchesta er M, er cu la robabltà è q. I base a queste cosderazo, s casce ache erché o è ossble ua traszoe da (,0) a (0,) o vceversa: fatt, se ua memora ha rcevuto due rcheste, er cu ua vee esaudta metre l altra è attesa, all state successvo c sarà comuque ua rchesta alla stessa memora, metre l altra otrebbe rguardare la stessa memora oure l altra. Mettedo seme queste cosderazo, s rcava l seguete dagramma d traszoe d stato: q q q (,) q (,0) q q q (0,) q 9 Autore: Sadro Petrzzell

20 Aut d Teora de Segal - Catolo S ota che la robabltà che l sstema, essedo ello stato (,), rmaga tale stato vale q q : fatt, er assare da (,) ad (,) è ecessaro che due rocessor, ua volta esaurto l servzo rchesto, faccao uovamete due rcheste dstte: s tratta duque della robabltà coguta d due evet, d cu l rmo corrsode a P che rchede servzo ad M e P che rchede servzo ad M ed l secodo corrsodete a P che rchede servzo ad M e P che rchede servzo ad M ; etramb gl evet hao robabltà q q, er cu la robabltà coguta è la loro somma, ossa auto q q. A questo uto, ossamo dedurre faclmete che l sstema è ua catea d Marov: fatt, l evoluzoe del sstema dal asso geerco N al asso successvo N+ dede solo dal asso N, quato cascu rocessore effettua la rora rchesta (asso N+) d accesso a memora solo base a quello che è successo ell ultma rchesta (asso N). Abbamo duque a che fare co ua catea d Marov temo-dscreta, er la quale ossamo mmedatamete costrure la matrce d traszoe ad u asso. Ifatt, drettamete er sezoe del dagramma traccato oco fa, abbamo che P qq q q q q 0 q 0 q s s s 3 (,) (0,) (,0) Questa matrce c cosete d calcolare, se esste, la soluzoe astotca del sstema, ossa le robabltà d stato astotche (coè er t ). Dobbamo fatt verfcare se ammette soluzoe l sstema raresetato dalle seguet equazo: [ π] [ π] 3 π [P] Scrvedo le 4 equazo er esteso, abbamo quato segue: π π π π 3 π q q π q π q + π + π 3 + π + π + π q q + π 0 + π Faccamo adesso l otes che le robabltà d accesso a memora sao ugual, er cu q q 0.5. Co questa oszoe s verfca faclmete che l sstema ammette soluzoe e tale soluzoe è uca, l che sgfca che la catea è comletamete regolare. Facedo cot, s trova che Come è ovvo che sa, la somma d queste tre robabltà è ar ad. π π π π 3 0 q 3 q Autore: Sadro Petrzzell 0

21 Le catee d Marov L utltà de calcol fatt è o tato el calcolo delle robabltà astotche, quato el fatto che queste ultme c cosetoo d valutare alcu dc d restazoe del sstema. Ad esemo, ossamo calcolare l umero d rocessor che, medamete, cascu cclo d cloc, stao elaborado dat, a frote del rmaete umero d rocessor che vece soo attesa d essere servt. Il dscorso da fare è semlce. Itato, la varable N che c dà l umero d rocessor elaborazoe durate l geerco cclo d cloc è ua varable aleatora. No dobbamo calcolare la meda d questa varable aleatora: E[N]. Per defzoe, tale meda è la somma esata de valor assumbl da N, dove coeffcet d eso soo le vare robabltà: E[N] (N ) I questo caso, cas ossbl soo 3: se l sstema s trova ello stato s (,), etramb rocessor stao elaborado dat, er cu l umero d rocessor elaborazoe è ; se vece l sstema s trova ello stato s (0,) o ello stato s 3 (,0), allora c è u solo rocessore elaborazoe e l altro è attesa. D cosegueza, ossamo scrvere che E[N] (N ) (s) + (s ) + (s3) A o teressa ovvamete ua valutazoe codzo d regme, er cu usamo le robabltà astotche calcolate oco fa: [N] π + π + π.5 E 3 Il rsultato otteuto è eraltro abbastaza tutvo: fatt, qualuque stato l sstema s trov, c è semre u rocessore sotto servzo, er cu E[N] deve essere maggore d ; aalogamete, qualuque stato l sstema s trov, o c otrao ma essere rocessor sotto servzo, er cu E[N] deve essere more d. E teressate osservare che rsultat otteut dedoo da valor che abbamo assegato a q e q, che artcolare soo state oste ugual. U modo ossble d rocedere è quello d massmzzare E[N] rsetto a uo de due valor ( modo da massmzzare l oeratvtà del sstema), dal che rsulterà o fssato ache l altro vsto che q +q. DEFINIZIONI VARIE SULLE CATENE DI MARKOV Per comletare l ostro studo sulle catee d Marov temo-dscrete, forremo adesso, seza dmostrarl, ua sere d rsultat abbastaza mortat. Negl esem recedet, abbamo vsto che è ossble dare ua raresetazoe grafca molto comoda della matrce delle robabltà d traszoe ad u asso: er esemo, se la catea d Marov è a due sol stat, er cu tale matrce è del to la sua raresetazoe grafca è [ P] Autore: Sadro Petrzzell

22 Aut d Teora de Segal - Catolo stato s stato s Soo qu dcat due stat ossbl er la catea e le robabltà che la catea ass da uo stato all altro u solo asso. Sulla base d questa raresetazoe grafca è ossble comredere meglo la seguete defzoe: Def. Ua catea d Marov s dce rrducble quado, dato uo stato cu la catea s trova, da esso è ossble raggugere uo qualsas d tutt gl altr stat I term cocret, cò sgfca che essua delle robabltà d traszoe ad u asso è ulla: l sstema, artedo da u certo stato, uò assare qualuque altro stato u uco asso. Semre rguardo gl stat d ua catea d Marov, cosderamo adesso ua sere d mortat quattà: la rma, che dchamo co f (), è defta come la robabltà che l rmo rtoro allo stato s avvega ass doo aver lascato lo stesso stato s. Qud, altre arole, suoedo che la catea, u certo state, s trov ello stato s, la quattà f () rareseta la robabltà che c voglao ass (ossa tervall d temo) erché la catea rtor ello stato s. Idchamo vece co f la robabltà che c sa u rtoro allo stato s. I altre arole, metre co f () o dchamo quat ass soo ecessar erché s rtor allo stato d arteza, co f o c reoccuamo del umero d ass ecessar, ma c reoccuamo solo del rtoro allo stato s. E abbastaza tutvo comredere come f () e f sa legate dalla relazoe f f ( ) Ifatt, è charo che l rtoro allo stato s uò avvere doo asso, doo ass, doo 3 ass fo all fto (l che equvarrebbe a dre che o avvee ma). Evdetemete, essedo f ua robabltà, abbamo solo due cas: se f, allora o samo cert che c sa u rtoro allo stato s, a rescdere o dal umero d ass ecessar; s dce allora che lo stato s è uo stato rcorrete; se, vece, f <, allora c è ua certa robabltà che c sa questo rtoro ma c è ache ua robabltà o ulla che esso o c sa; questo caso, lo stato s è detto stato trastoro. Osservamo che, er ua catea rrducble, ella quale coè da og stato sa semre ossble raggugere uo stato qualsas u uco asso, rsulta ovvamete f. Autore: Sadro Petrzzell

23 Le catee d Marov U altro cocetto legato a quato aea detto è quello del temo medo d rtoro allo stato s : fatt, metre rma c samo occuat della robabltà d torare ello stato s oure della robabltà che er torare a s c volessero ass, uò ache teressarc calcolare l umero medo d ass ecessar er torare allo stato s, artedo ovvamete semre da s. Tale umero medo d ass rede auto l ome d temo medo d rtoro allo stato s ed è evdetemete defto medate la relazoe Ache questo caso, cas ossbl soo due: M f ( ) se M, sgfca che c vogloo ft ass er torare allo stato s, ossa sgfca, ratca, che o c è ossbltà d rtoro a tale stato; s dce allora che lo stato s è uo stato rcorrete ullo; se, vece, M <, allora c è u umero medo fto d ass ecessar er torare ad s ; questo caso, lo stato s è detto stato rcorrete o ullo. L ultma defzoe che damo è la seguete: dato semre l geerco stato s, s defsce temo d ermaeza tale stato l tervallo d temo durate l quale la catea ermae tale stato, ossa, altre arole, l tervallo d temo che tercorre tra l state cu la catea assa tale stato e l state cu camba stato. S tratta evdetemete d ua varable aleatora, che dchamo co T, er la quale s trovao le seguet caratterstche statstche: La quattà ( T ) P ( T ) ( ) [ ] E T P è la robabltà che l sstema, ua volta guto ello stato, v rmaga er ( ) ass cosecutv. E evdete che la varable aleatora T J rsulta essere ua varable aleatora geometrca (qud seza memora), da cu scatursce l esressoe rortata er la sua meda. Geeralmete, l utà d msura del temo d ermaeza uo stato è lo slot, che o è comuque somo d asso. Teorema (er catee d Marov omogeee e rrducbl) Suoamo d avere ua catea d Marov omogeea e rrducble. E ossble dmostrare, er ua catea d questo to, che suo stat soo o tutt trastor o tutt rcorret ull o tutt rcorret o ull. I altre arole, se o osservamo che uo stato della catea è trastoro o rcorrete ullo o rcorrete o ullo, ossamo star cert che ache tutt gl altr soo trastor o rcorret ull o rcorret o ull. Ioltre, se la catea è ache erodca, s dmostra che tutt gl stat hao lo stesso erodo (l che sgfca che è costate, er cascu asso, l umero mmo d stat ecessar er torare el asso cosderato). 3 Autore: Sadro Petrzzell

24 Aut d Teora de Segal - Catolo Teorema (er catee d Marov omogeee, rrducbl e o erodche) Data ua catea d Marov omogeea, rrducble e o erodca, s dmostra che le π lm P X esstoo semre e soo dedet dalle robabltà (d stato) astotche ( ) robabltà d stato zal. I artcolare, s dmostra quato segue: se tutt gl stat soo rcorret ull, o è ossble rcavare ua soluzoe astotca, dato che soo ecessar ft ass er torare ello stato d arteza, ossa tale stato o vee ma ragguto; se tutt gl stat soo rcorret o ull, allora π M Caso artcolare Se l umero d stat della catea omogeea, rrducble e o-erodca, è fto, s tratta d stat tutt rcorret o ull. Catee d Marov temo-cotue INTRODUZIONE Rredamo velocemete la defzoe data d rocesso stocastco marovao: u rocesso stocastco è marovao quado solo l state scelto d osservazoe determa l evoluzoe futura del rocesso, metre o cotao gl stat recedet quello d osservazoe. Abbamo detto che s defsce artcolare catea d Marov u rocesso marovao che goda della roretà d essere a valor dscret: a quest valor dscret o damo sesso l ome d stat del rocesso (o ache stat del sstema ). Le catee d Marov, come tutt rocess stocastc, ossoo essere d due t: rma c samo occuat delle catee d Marov temo-dscrete, metre adesso c occuamo delle catee d Marov temo-cotue (brevemete CTMC). Il rocesso telegrafco casuale U esemo tco d catea d Marov temo-cotua è quello che o cooscamo come rocesso telegrafco casuale: s tratta d u rocesso stocastco, cotuo el temo, che uò assumere solo gl stat + e -. Verfchamo effettvamete che s tratt d ua catea d Marov. Cosderamo ua geerca realzzazoe d questo rocesso: Autore: Sadro Petrzzell 4

25 Le catee d Marov + t - state d osservazoe Fssamo u geerco state t che redamo come state d osservazoe: tale state, l sstema s troverà uo de due ossbl stat e suoamo che s tratt dello stato +. C teressa verfcare se l evoluzoe successva del rocesso vega fluezata o meo dagl stat che l sstema ha assuto rma dell state d osservazoe. Per fare questo c rcordamo d ua mortate caratterstca del rocesso telegrafco casuale: s defsce temo d attesa del rocesso l temo che tercorre tra l state cosderato ed l rmo cambo d stato che s verfca doo tale state; s tratta d ua varable aleatora e saamo artcolare che essa ha dstrbuzoe esoezale: questo erché, er otes, cambamet d stato del rocesso telegrafco casuale avvegoo quado s verfca u eveto d Posso e la dstrbuzoe del rocesso d Posso è roro d to esoezale. La caratterstca della dstrbuzoe esoezale è quella d essere seza memora: cò sgfca, questo caso, che la robabltà che l sstema camb stato dede effettvamete solo dallo stato cu l sstema s trova all state d osservazoe, metre o dede dagl stat recedet. Possamo ercò cocludere che certamete l rocesso telegrafco casuale è u esemo d catea d Marov temo-cotua. Le robabltà astotche INTRODUZIONE Così come abbamo fatto er le catee d Marov temo-dscrete, l obbettvo rcale che c oamo è quello d valutare le robabltà astotche delle catee d Marov temo-cotue: l esressoe della geerca robabltà astotca è π t ( ) lm P X( t) ed essa rareseta la robabltà che, a regme, l sstema s trov ello stato. 5 Autore: Sadro Petrzzell

26 Aut d Teora de Segal - Catolo LE PROBABILITÀ DI TRANSIZIONE AD UN PASSO Idchamo co X(t) la ostra geerca catea d Marov temo-cotua. Fssamo degl stat successv t < t <... < t < t + ; corrsodeza d cascuo d tal stat, estraamo dal rocesso ua varable aleatora; dchamo tal varabl aleatore co X( t ), X( t ),..., X( t ), X( t + ) ; valutamo allora quato vale la quattà ( ( ) ( )... ( ) ( ) ) P X t x X t x X t x X t x + + dove ovvamete x, x,..., x, x + soo alcu tra ossbl stat del sstema. Esrmedola term d robabltà codzoate, abbamo che ( ( ) ( )... ( ) ( ) ) P X t x X t x X t x X t x + + ( ( + ) + ( )... ( ) ( ) ) ( ( )... ( ) ( ) ) P X t x X t x X t x X t x P X t x X t x X t x Adesso, sfruttado l fatto che abbamo a che fare co ua catea d Marov, ossamo semlfcare quella robabltà codzoata, restrgedola solo all state t (coè l state d osservazoe): ( ( ) ( )... ( ) ( ) ) P X t x X t x X t x X t x + + ( ( + ) + ( ) ) ( ( )... ( ) ( ) ) P X t x X t x P X t x X t x X t x Adesso retamo lo stesso dscorso er l terme P( X( t ) x... X( t ) x X( t ) x ) esrmedolo medate le robabltà codzoate, abbamo che ( ( ) ( )... ( ) ( ) ) P X t x X t x X t x X t x + + : ( ( + ) + ( ) ) ( ( ) ( )... ( ) ) ( ( )... ( ) ) P X t x X t x P X t x X t x X t x P X t x X t x e qud, usado la roretà d Marov, ossamo scrvere che ( ( ) ( )... ( ) ( ) ) P X t x X t x X t x X t x + + ( ( + ) + ( ) ) ( ( ) ( ) ) ( ( )... ( ) ) P X t x X t x P X t x X t x P X t x X t x Procededo questo modo er tutte le robabltà assolute, otteamo l seguete rsultato fale: ( ( ) ( )... ( ) ( ) ) P X t x X t x X t x X t x + + ( ( ) ) ( ( + ) + ( ) ) P X t x P X t x X t x I erfetta aaloga a quato abbamo fatto er le catee d Marov temo-dscrete, o dremo che ua catea d Marov temo-cotua è omogeea quado l terme P X( t + ) x + X( t ) x o dede dalla quattà t + t. ( ) 0 Autore: Sadro Petrzzell 6

27 La geerca quattà P( X( t + ) x + X( t ) x ) Le catee d Marov rede semre l ome d robabltà d traszoe ad u asso e rareseta la robabltà che l sstema ass dallo stato x allo stato x + ell tervallo d temo [ t, t + ]. Ovvamete, er asso s tede l tervallo d temo che tercorre tra due stat successv d osservazoe. Vedamo adesso d semlfcare u o' le ostre otazo: rmo luogo, azché dcare co x + e x gl stat cu l sstema s trova egl stat t + e t, ossamo ù comodamete dcarl co e co, er cu la ostra geerca robabltà d traszoe ad u asso dveta ( ( + ) ( ) ) P X t X t Ioltre, se d ora o cosderamo solo catee d Marov (temo-cotue) omogeee, abbamo rma detto che quella robabltà codzoata dede solo dall amezza dell tervallo [ t, t + ] e o dall state zale e da quello fale: ossamo allora orre geercamete s t e t + s t +, er cu abbamo P X( s + t) X( s) Detto questo, oamo fe er semlctà Qud, ( ) ( ) ( t ) P X ( s + t ) X ( s ) ( t) è la robabltà che l sstema, u qualsas tervallo d temo d amezza t, ass dallo stato allo stato. Vedamo due tutve roretà d ( t) che sfrutteremo el seguto: la rma roretà è che ( 0) 0 Ifatt, ( 0 ) rareseta la robabltà che l sstema, u tervallo d temo d amezza 0, ass dallo stato allo stato ; è charo che cò è mossble, er cu quella robabltà è ulla; la secoda roretà è vece che ( 0) Ifatt, ( 0 ) rareseta la robabltà che l sstema, u tervallo d temo d amezza 0, ass dallo stato allo stato, ossa rmaga ello stato ; è charo che questo è certo, quato u tervallo d amezza 0 o c ossoo essere cambamet d stato, er cu quella robabltà è utara. 7 Autore: Sadro Petrzzell

28 Aut d Teora de Segal - Catolo TEMPO DI PERMANENZA IN UNO STATO S defsce temo d ermaeza uo stato l temo che tercorre tra due successv cambamet d stato, ossa, altre arole, l temo che tercorre dal mometo cu l sstema assa u geerco stato al mometo cu esso camba uovamete stato. S tratta, ratca, d quello che el rocesso telegrafco casuale abbamo defto temo d terarrvo. Az, roro quato saamo sul rocesso telegrafco casuale c è molto utle adesso: fatt, saamo che l temo d terarrvo, el rocesso telegrafco casuale, è ua varable aleatora co dstrbuzoe esoezale (qud seza memora); questo è u rsultato d carattere assolutamete geerale: data ua qualsas catea d Marov omogeea e temo-cotua, l temo d ermaeza uo stato è ua varable aleatora co dstrbuzoe esoezale. Vedamo d verfcare questa roretà. Idchamo co T l temo d ermaeza del sstema el geerco stato. Trattados d ua varable aleatora, la sua dstrbuzoe cumulatva è defta come ( ) F ( t ) T P T t Fssato u certo stato e u certo temo t, essa rareseta la robabltà che l sstema rmaga ello stato er u temo o suerore a t. Voglamo valutare quato vale quella fuzoe. La rma cosa che ossamo dre è evdetemete che Al fe d valutare P( T t) ( ) ( ) FT P T t P T > t > faccamo l dscorso seguete: la quattà P( T > t + s T > s) rareseta la robabltà che l sstema s matega ello stato durate u temo maggore d t+s, saedo che è gà rmasto tale stato er u temo ar ad s; dre che l sstema è ello stato gà da u temo ar ad s equvale a dre che X( τ ) τ 0,s er cu ossamo scrvere che [ ] ( > + > ) ( > + ( τ ) τ [ 0,s] ) P T t s T s P T t s X Ora, se sceglamo l state s come state d osservazoe, ossamo sfruttare la roretà d Marov er dre che l uca formazoe che er o cota è l fatto che, all state ts, l sstema s trovasse ello stato (metre o c teressa quello che è accaduto rma dell state s): qud ( > + > ) ( > + ( ) ) P T t s T s P T t s X s Ioltre, è evdete che l eveto er cu T > t + s equvale all eveto er cu X( t + s), ossa all eveto er cu, all state t+s, l sstema s trov acora ello stato : qud ( > + > ) ( ( + ) ( ) ) P T t s T s P X t s X s e acora, data l omogeetà, ossamo scrvere che Autore: Sadro Petrzzell 8

29 Le catee d Marov Ma P( X( t) X( ) ) P( T > t) ( > + > ) ( ( ) ( 0) ) P T t s T s P X t X 0, er cu ossamo cocludere che ( > + > ) ( > ) P T t s T s P T t A questo uto, l uca varable aleatora che soddsfa quest ultma codzoe rsulta essere quella co dstrbuzoe esoezale, l che sgfca che ( ) F P T t e T ν t N.B. La reseza del edce ella esressoe d quella fuzoe serve ad dcare la dedeza del arametro ν dallo stato cosderato I recedeza, abbamo gà studato qual soo le caratterstche statstche d ua varable aleatora co dstrbuzoe esoezale: rcordamo artcolare che l suo valore medo E[ T ] ν. Il valor medo del temo d ermaeza ello stato è duque ν : essedo questo u temo, è charo allora che ν rareseta ua frequeza; s tratta ercò del umero d volte cu l sstema assa ello stato ell utà d temo. LE FREQUENZE DI TRANSIZIONE DI STATO A questo uto, usado quello che abbamo detto fo ad ora e usado ua sere d relazo che c accgamo a rcavare, arrveremo a valutare le robabltà astotche. Cosderamo tato u tervallo d temo d amezza geerca δ: abbamo trovato rma che la fuzoe d dstrbuzoe del temo d ermaeza è data da ( ) F P T t e T νt che o equvale ache a Allora, ossamo scrvere che ( ) F P T > t e T P νδ ( T > δ) e νt Se suoamo che δ sa ccolo, ossamo svluare sere quell esoezale a scrvere che P ( T > δ) ν δ + o( δ) dove l terme o(δ) dca degl ftesm d orde suerore. 9 Autore: Sadro Petrzzell

30 Aut d Teora de Segal - Catolo No voglamo calcolare le robabltà d traszoe, la geerca delle qual è ( δ ) ( δ) P X ( t + ) X ( t ) I base a quato vsto el recedete aragrafo, scrvamo che ( ) ( δ) P T > t + o( δ) ν δ + o( δ) S uò oltre dmostrare, acora ù geerale, che ( δ ) ( δ) ( ) ~ q dove abbamo dcato co ~ q la robabltà che l sstema, ua volta uscto dallo stato, ass ello stato ; faccamo subto osservare come s tratt d qualcosa d dverso dalle robabltà d traszoe ad u asso: fatt, metre quelle raresetao la robabltà che l sstema ass drettamete da a, l terme ~ q revede ache la ossbltà che l sstema, uscedo da, ass er altr stat rma d arrvare a. Quella esressoe d ( δ ) uò essere ulterormete modfcata teedo coto che Ifatt, da quest ultma relazoe s deduce che ( δ) ν δ + o( δ) ( δ) ν δ o( δ) er cu ( ) ( δ) ν δ o( δ) ~ q ν δ ~ q o( δ) Geeralmete s oe ν q~ γ, er cu ossamo cocludere che ( ) ( δ) P X( t + δ) X( t) δγ o( δ) Charamete, s oe ache ν dalle seguet relazo: q~ γ. Il sgfcato cocreto de arametr γ e γ s deduce lm ( δ ) δγ lm δ lm ( δ ) δγ lm δ 0 δ δ 0 o( δ) δγ lm γ δ δ o( δ) γ δ δ 0 δ 0 δ 0 Il terme γ rede l ome d frequeza d traszoe dallo stato allo stato : esso rareseta fatt l umero medo d volte cu, ell utà d temo, l sstema assa dallo stato allo stato. Autore: Sadro Petrzzell 30

31 Le catee d Marov DETERMINAZIONE DELLE PROBABILITÀ ASINTOTICHE Premesso tutto questo, adamo a valutare le cosddette robabltà d stato, la geerca delle qual è P( X( t) ) : ote queste robabltà, facedo l lmte er t, troveremo le robabltà astotche. Itato, oamo er comodtà ( t) P X( t) ( ) ( δ ) ( t + δ) P X( t + ) Usado l teorema delle robabltà total, ossamo scrvere che ( ) ( ) ( ) ( t + δ) P X( t + δ) P X( t + δ) X( t) P X( t) Il terme P( X( t + ) X( t) ) metre l terme ( ) δ è la geerca robabltà d traszoe ad u asso ( δ ), P X( t) è la geerca robabltà d stato ( t) : qud ( t + δ) ( δ) ( t) N.B. Faccamo osservare come quella sommatora sa estesa a tutt ossbl stat del sstema, cluso lo stato A questo uto, calcolamo l seguete lmte: lm ( δ ) ( ) t + t δ 0 δ Sosttuamo l esressoe d ( t + δ ) trovata rma: Searamo due art quel lmte: lm ( ) ( ) t + δ t lm δ 0 δ δ 0 ( δ) ( t) ( t) lm ( ) ( ) ( δ) ( t) δ lm lm ( ) t + t t δ 0 δ δ 0 δ δ 0 δ Adesso, tramo fuor dalla sommatora l terme che s ottee er : δ lm ( δ ) ( ) t + t lm δ ( δ) ( t) + ( δ) ( t) lm ( ) t δ δ 0 δ 0 δ 0 δ 3 Autore: Sadro Petrzzell

32 Aut d Teora de Segal - Catolo Mettamo seme l terme er co l altro terme d cu s comoe quel lmte: lm ( ) ( ) ( δ) ( t) t + δ t lm + lm δ 0 δ δ 0 δ δ 0 Semre el secodo terme, l terme dal lmte: ( δ ) ( ) ( t) lm ( ) ( ) ( δ) ( t) t + δ t lm + ( t) lm δ 0 δ δ 0 δ δ 0 Aggustamo adesso ache l rmo terme del lmte: δ ( t) o dede da δ, er cu ossamo ortarlo fuor lm ( ) ( ) ( ) lm ( ) t + δ t δ t + ( t) lm δ 0 δ δ 0 δ δ 0 ( ( δ) ) δ ( ( δ) ) δ A questo uto, è evdete che lm ( δ ) ( ) ( ) t + t d t δ 0 δ dt er cu ossamo scrvere che d ( t) ( t) lm ( δ ) + ( t) lm dt δ 0 δ δ 0 ( ( δ) ) Questa è ua equazoe dfferezale ella cogta (t). Voglamo rovare a rsolverla. Per rma cosa, rcordadoc che ( δ) lm γ δ 0 δ ( δ) lm γ δ 0 δ δ ossamo rscrverla ella forma d dt (t) γ (t) + γ (t) e qud ache ella forma d dt ( t) γ ( t) La rsoluzoe aaltca d questa equazoe o semre è agevole. Tuttava, ossamo fare u ragoameto d questo to: el caso cu l rocesso evolva verso ua codzoe fale d equlbro, è charo che, er t, o c sarao varazo delle robabltà d stato, le qual 3 Autore: Sadro Petrzzell

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