Modelli con varabili binarie (o qualitative)

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1 Modell con varabl bnare (o qualtatve E( Y X α + βx + ε quando Y è una varable benoullana Y 1 0 s ha l modello lneare d probabltà Pr( Y 1 X α + βx + ε dove valor stmat della Y assumono l sgnfcato d probabltà. Con la stma OLS tale modello non è effcente. Inoltre (e soprattutto, poché l valore atteso è una probabltà, le stme possono produrre valor non contenut n [0, 1]. Modello lneare d probabltà G ear Rato Car tpe Pr(Y1 - m odello lneare d probabltà È necessaro allora rcorrere ad una funzone tale che valor stmat sano compres n [0, 1].

2 I modell che usano tal funzon sono not come Logt e Probt, dove le probabltà non sono pù funzon lnear delle caratterstche. Il prmo s rfersce alla funzone logstca: Pr( Y 1 X 1 e βx Y1 X Independent varable Il Logt usa l rapporto tra le probabltà complementar della funzone logstca detto odd: Pr( Y 1 X x Pr( Y 0 X 1 x. S chama logt l logartmo dell'odd: Logt( P x log x β X + ε

3 Modello logt Gear Rato Pr(foregn Ftted values Car tpe Il modello Probt nvece usa la funzone d rpartzone della normale stand.: 1 z 2 Pr( Y 1 X F( Z exp( ε 2 dε 2π coè Y 1 X F( α + βx + ε Pr(. Entramb le funzon producono stme nell'ntervallo [0, 1] con qualche pccola dfferenza che dpende dalla dstrbuzone d ε, che nel caso del probt ε N (0,1 e nel caso logt ε è una dstrbuzone log. stand. con meda 0 e var. π²/3. Metod d stma Bsogna stmare le probabltà d una varable bernoullana, la cu dstrbuzone è: f ( x, β x [1 x ] dove P ( x Pr( Y 1 X con osservazon ndpendent. Allora la sua funzone d verosmglanza è: L(β f ( x x [1 x ].

4 Bsogna massmzzare questa funzone: max : x [1 x ] è pù comodo però massmzzare l logartmo della funzone d verosmglanza: Log( L( β ln[ x ] + (1 ln[1 x ] Nel caso d Y1 s ha: Log( L( β ln[ x ] ln[1 + exp( βx ] mentre con Y0 s ha: Log( L( β (1 ln[1 x ] ln( βx ln[1 + exp( βx ] Dopo la stma de parametr del modello logt s ottengono le probabltà d Y1 X con Pr( Y 1 X x log β X + ε P x ( 1 e mentre per la sgnfcatvtà delle stme de parametr s rcorre al test Wald che con H o :β0 è W~>N(0,1. Per la verfca del modello stmato l test pù usato è l rapporto d verosmglanza (LogLkelhood Rato LR ~ χ², una statstca che s dstrbusce come una Ch-quadro: s accetta l modello stmato se LR è molto elevato e l suo P-value è molto pccolo, consderando relatv grad d lbertà. Interpretazone delle stme d β. x β X +ε e Dato l odds x la relazone tra varable dpendente e varable esplcatva è non-lneare. Calcolando exp(β ottenamo la msura dell ncremento della probabltà Y1 X all aumento untaro della X. βx

5 1 Ne rsultat delle stme altra cosa da consderare sono gl odds 1 gl odds rato (appross. rscho relatvo. e Consderamo l caso (esempo 1 n cu la varable bnara sa la scelta d prosegure, come lavoro, nell attvtà d rcerca e l regressore è l sesso (F o M. Prma d tutto vedamo che l modello con la sola ntercetta è ln(odds e l odds è , coè 128/187 n cu 128 soggett decdono d far rcerca. Se s decde po d mettere l regressore nel modello s nota che LR25.65, sgnfca che l modello con l regressore è mglore. L equazone stmata è ln ( ODDS Gender. A questo punto possamo ora prevedere le possbltà con cu soggett scelgono la a+ bx rcerca. Dato che l odds è ODDS e, nel nostro esempo se samo d (0.847 fronte a una donna (gender0 allora ODDS e e 0.429, (1.37 mentre per gl uomn s ha (gender1 ODDS e e , e sgnfca che masch hanno volte possbltà n pù d decdere d fare rcerca. Trasformando quest n probabltà, coè ˆ ODDS Y 0.30, l 30% delle donne decde d far rcerca e ODDS ˆ ODDS Y 0.59 ODDS 2.448, l 59% degl uomn decde d far rcerca Se po s guarda l odds rato, coè exp(β e 3.376, s conclude che le possbltà d far rcerca per masch sono volte pù alte rspetto alle femmne, coè 1.448/ Esempo 1: use logstc.dta, clear. tab decson decson Freq. Percent Cum stop contnue Total tabodds decson cases controls odds [95% Conf. Interval] logt decson

6 Iteraton 0: log lkelhood Logstc regresson Number of obs 315 LR ch2( Prob > ch2. Log lkelhood Pseudo R decson Coef. Std. Err. z P> z [95% Conf. Interval] _cons logt decson gender Iteraton 0: log lkelhood Iteraton 1: log lkelhood Iteraton 2: log lkelhood Iteraton 3: log lkelhood Logstc regresson Number of obs 315 LR ch2( Prob > ch Log lkelhood Pseudo R decson Coef. Std. Err. z P> z [95% Conf. Interval] gender _cons scalar LR-2*(e(ll_0-e(ll. ds LR tabodds decson gender gender cases controls odds [95% Conf. Interval] female male Test of homogenet (equal odds: ch2( Pr>ch Score test for trend of odds: ch2( Pr>ch logt decson gender, or Iteraton 0: log lkelhood Iteraton 1: log lkelhood Iteraton 2: log lkelhood Iteraton 3: log lkelhood Logstc regresson Number of obs 315 LR ch2( Prob > ch

7 Log lkelhood Pseudo R decson Odds Rato Std. Err. z P> z [95% Conf. Interval] gender Esempo 2: logt foregn gear_rato Iteraton 0: log lkelhood Iteraton 1: log lkelhood Iteraton 2: log lkelhood Iteraton 3: log lkelhood Iteraton 4: log lkelhood Iteraton 5: log lkelhood Logstc regresson Number of obs 74 LR ch2( Prob > ch Log lkelhood Pseudo R foregn Coef. Std. Err. z P> z [95% Conf. Interval] gear_rato _cons Logstc regresson Number of obs 74 LR ch2( Prob > ch Log lkelhood Pseudo R foregn Odds Rato Std. Err. z P> z [95% Conf. Interval] gear_rato