è detta soluzione di una ODE se essa riduce l equazione ad una identità quando viene sostituita nell equazione.

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1 EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE Itroduzoe Ua equazoe derezale è u equazoe ce covolge ua o pù dervate d ua uzoe cogta. Se tutte le dervate soo calcolate rspetto ad ua sola varable dpedete l equazoe s drà equazoe derezale ordara ODE. Quado soo preset dervate rspetto a pù varabl dpedet avremo vece ua equazoe derezale alle dervate parzal PDE. Ua equazoe derezale avrà orde se è l orde massmo delle dervate ce v compaoo. La orma geerale d ua ODE d orde è: F... dove è la uzoe cercata. Ua uzoe è detta soluzoe d ua ODE se essa rduce l equazoe ad ua dettà quado vee sosttuta ell equazoe. Ua equazoe derezale ordara a te soluzo come mostrato el seguete esempo: c 3 3 coè la soluzoe geerale cotee ua costate arbtrara c. Og volta ce s ssa u valore per c otteamo ua soluzoe partcolare. La soluzoe geerale d ua ODE d grado coterrà costat arbtrare. Il graco d og soluzoe partcolare è detto curva tegrale della ODE. Per solare ua soluzoe partcolare dobbamo aggugere delle codzo ce soo ote come codzo zal. Per esempo se ell equazoe precedete voglamo ce sa coe s avra : c 3 5 c e qud la soluzoe cercata e : Il problema d cercare ua soluzoe partcolare d ua ODE co certe codzo zal e detto problema d Cauc problema a valor zal: IVP.

2 . ODE d orde La orma geerale d ua equazoe derezale ordara d prmo orde è: F dove è la uzoe cogta. Per semplctà assumamo ce l equazoe sa scrtta ella orma: co la codzoe quado : L terpretazoe geometrca della soluzoe è data dal atto ce og soluzoe partcolare è rappresetata da ua curva el pao e preso u puto arbtraro P possamo calcolare ce deve essere uguale alla pedeza della tagete alla curva desderata el puto P. Campo d drezoe taα α P P. Equazo derezal tegrabl Ua equazoe derezale ordara s dce tegrable per quadrature se la sua soluzoe geerale è esprmble ua orma esplcta o mplcta ce può coteere quadrature coè tegral det d qualce uzoe cogta. Ua quadratura può o essere esprmble term d uzo elemetar ma cò odmeo ace tal caso l tegrazoe della ODE s

3 rtee completata. Sortuatamete pero le pù semplc equazo derezal ordare o sempre soo tegrabl per quadrature ed è qud ecessaro rsolverle co altr metod. Esstoo comuque alcue class d uzo tegrabl per quadrature ce adamo ad llustrare. U tpo d equazo derezal tegrabl è dato dalle equazo derezal a varabl separabl la cu orma geerale è: d d ϕ I questo caso la soluzoe geerale è data da: d ϕ d c Esempo Cosderamo l equazoe derezale: d d dove poedo e ϕ s avra : d d e la soluzoe geerale sarà data da: d c d l c c e c ± e e Poedo c C ±e s a: C e 3

4 3. Equazo derezal lear Ua equazoe derezale ordara è detta leare se F è ua uzoe leare ella uzoe cogta e elle sue dervate coe e del tpo: a b g Dvdedo per a s ottee: dove: p b g p a a Se l equazoe è detta omogeea leare. Per rsolvere ua equazoe o omogeea.e. s rsolve dapprma l equazoe omogeea assocata: p z z Separado le varabl s ottee: dz dz p z p d d z la cu soluzoe è: l z p d C z ce p d cz dove C c ±e e z è otteuta da z se c. z è ua soluzoe partcolare della. Dopo aver trovato z s cerca la soluzoe della ella orma: 4

5 z ϕ 3 cu ϕ è da determare. Sosttuamo la 3 ella p : ϕ z ϕ z pϕ z ϕ z z p z ϕ Pocé z soddsa la l espressoe paretes è ulla. Da questo segue: ϕ ϕ d c z z Sosttuedo la quattà appea trovata ella 3 otteamo: z d cz z Questa è la soluzoe geerale della. Poedo c s ottee l prmo terme ce è qud ua soluzoe partcolare. Questo metodo è u applcazoe d u metodo geerale oto come metodo d varazoe delle costat d Lagrage. Qud la soluzoe geerale d ua ODE leare o omogeea è la somma d ua soluzoe partcolare della ODE o omogeea e della soluzoe geerale della ODE omogeea assocata. 4. Fuzoe espoezale Cosderamo l equazoe: d d costate dalla quale separado le varabl s ottee: d l 4 d c Ce 5

6 co C c ±e. Se è ota ua codzoe zale s a: d d Da cu: Ce C e e sosttuedo l valore appea calcolato per C ella 4 s a detva: e Se > e questa espressoe rappreseta ua crescta espoezale ad esempo la > rproduzoe batterologca se < vece rappreseta l decadmeto espoezale ad esempo l decadmeto radoattvo. 5. Problema d Cauc -D Sa : I R R I R cercamo ua uzoe : I R dervable I tale ce: I 5 co I. Se t tale problema è detto problema a valor zal. Suppoamo ce sao vercate le potes del teorema d essteza ed uctà della soluzoe. 6

7 Teorema d essteza ed uctà Sa D R u domo ed Lpsctz: : D R ua uzoe cotua ce sodds la codzoe d u v L u v Comuque s scelgao u v D e qualce costate L > segue ce: u D [ δ δ ] δ > : u u u u a soluzoe uca tale tervallo. o Spesso trovare ua soluzoe della 5 per va aaltca è u operazoe puttosto dcle e se ace osse possble trovare tale soluzoe potrebbe comuque rsultare dcoltoso otteere ua espressoe esplcta. Per tal rago s rcorre a metod umerc. 6. Metod umerc Cosderamo ua successoe d od { } : I co... co puto della codzoe zale ed passo della dscretzzazoe. Suppoamo Se a e b soo gl estrem d I s a: b a. Svluppo sere d Talor d attoro ad Idcado co la soluzoe vera e co la soluzoe approssmata e suppoedo ce sa sucetemete regolare s a: 7

8 Trocado la sere al -esmo terme otteamo:... T ; co: T ;...! Pocé pero è rcesto l calcolo delle dervate tale metodo o e coveete. 7. Metod ad u passo. I metod umerc per la rsoluzoe d ua ODE possoo essere ad u passo o a pù pass. Dezoe U metodo umerco s dce ad u passo oe-step metods se per dpede solo da. Pertato e metod ad u passo per calcolare la soluzoe ad u dato passo s utlzza l ormazoe otteuta al passo precedete: φ ; Il prmo metodo ad u passo ce llustramo e l metodo d Eulero. a. Metodo d Eulero Se el procedmeto vsto al paragrao precedete poamo otteamo: oto come metodo d Eulero avat o esplcto. Ma è possble otteere ace la relazoe: ce rappreseta vece l metodo d Eulero all detro o mplcto. 8

9 Dezoe U metodo s dce esplcto se dpede solo da valor a pass precedet metre s dce mplcto se dpede da se stesso attraverso. Quest ultm metod rcedoo la soluzoe d ua equazoe o leare se è o leare. b. Metodo de Trapez Osservamo ce se è ua uzoe cotua rspetto ad e s tegra tra ed la s a: ' ' τ dτ τ τ dτ Approssmado l tegrale tra e co la ormula del trapezo s a: [ ] ella quale s è posto. Tale metodo e mplcto. c. Metodo d Heu E espresso dalla relazoe: [ ] la quale s ottee applcado l metodo de trapez ed utlzzado l metodo d Eulero avat per calcolare. 8. Aals de metod ad u passo Idcado come prma co la soluzoe vera e co la soluzoe approssmata s a: 9

10 ; φ ; ε φ dove ε rappreseta l errore al passo. Rscrvamo tale errore ella orma: τ ε ella quale la quattà τ è detta errore d trocameto locale. S desce vece errore d trocameto globale la quattà: ma N τ τ La uzoe cremeto φ caratterzza completamete l metodo ad u passo ed è tale ce: ; lm φ pertato pocé: lm s a: lm τ da cu: lm τ ce dà la cossteza del metodo umerco co l problema d Cauc. Dezoe U metodo s dce cosstete quado lm τ. S dce cosstete d orde p se: p Ο τ per

11 Eserczo Dmostrare la cossteza de metod d Eulero e Heu. 9. Zero-stabltà U metodo umerco del tpo φ ; s dce zero-stable se: R C> : z Cε [ ] dove z ed soo le soluzo del problema perturbato e d quello o perturbato: z z [ φ z; δ z δ ] φ ; co δ ε. Tale stabltà rguarda l comportameto del metodo umerco quado. Se l metodo e zero-stable la soluzoe è poco sesble alle perturbazo de dat. Dezoe U metodo s dce covergete se C dove C è u tesmo rspetto ad e tal caso s dce covergete d orde p se C > tale ce: C p C. Teorema d covergeza Sa soluzoe d: ed la soluzoe approssmata data da φ ;. Suppoamo oltre ce φ sa lpsctzaa ella secoda varable: φ u; φ v; L u v [ a b] co: b a b a < u v<.

12 Sa e: τ τ φ ; τ ma Allora: e τ L L [ e ] co:... Dmostrazoe: Cosderamo la quattà e coe l errore globale data da: e Sosttuedo e co rspettv valor dat dalle potes del teorema d ottee: e φ ; τ φ ; e [ φ ; φ ; ] τ Passado a valor assolut e teedo coto ce dalle potes segue la dsuguaglaza φ ; φ ; L e e ce τ ma τ s a: da cu segue: e L e τ e L e τ e L e τ L e τ[ L] e L e L τ L Ma teedo coto ce α ep α co α> e e semplcado s a: τ e [ ep L ] L coe la tes.

13 S a l seguete teorema per la covergeza d u metodo ad u passo. Teorema La-Rctmer U metodo ad u passo è covergete se e solo se è cosstete e zero-stable. o Usado gl svlupp d Talor s puo vedere ce l metodo d Eulero esplcto a orde d covergeza uo metre metod de trapez e d Heu ao orde due. Aalzzamo pù dettaglo l errore del metodo d Eulero esplcto per vedere ce modo e possble lmtare tale errore.. Iterpretazoe geometrca degl error per metod ad u passo Sa la soluzoe dell equazoe derezale: e sa ua approssmazoe ad qualce puto. rappreseta l errore globale coè la quattà ce voglamo teere lmtata da ua certa accuratezza errore ce come vsto è dcle da stmare. Quello ce voglamo are è cotrollare l errore globale cotrollado l errore locale. Sa u ua curva tegrale d ce passa per coè ce soddsa: u u u L errore locale è dato dalla dereza u e c dce quato bee può essere seguta la curva u co u passo. Se la soluzoe approssmata e calcolata da φ ; : s a l graco seguete: 3

14 u u τ Iatt l errore globale e l errore locale soo correlat dalla seguete espressoe: [ u ] [ u ] L errore globale a qud due compoet: u ce msura quato dstao le due curve tegral e u. Tale msura dpede qud dalla equazoe derezale ordara ed è legata alla stabltà del problema. u ce msura quato bee l metodo rsolve: u u u Tale msura qud è legata al metodo e può essere resa pccola aumetado l accuratezza del metodo o decrescedo l passo o aumetado l orde del metodo. Rcavamo la quattà u : u u φ u ; τ 6 Teedo coto ce u l approssmazoe può essere scrtta el modo seguete: u φ u ; 4

15 l cu lato destro può essere sosttuto ella 6 co l lato sstro otteedo: u τ u τ 7 Suppoamo d utlzzare due metod: uo d orde p e l altro d orde q. Vedamo ce modo è possble stmare l errore locale partedo per etramb metod da : φ ; ~ φ ; p q avedo supposto p< q. S a: u u φ u ; τ u φ ~ u u ; τ Ragoado come sopra otteamo: qud: ~ ~ τ ~ q τ ovvero τ O τ ~ ~ l ce sgca sosttuedo ella 7: u ~. Assoluta stabltà Tale tpo d stabltà rguarda la propagazoe degl error accumulat a pass precedet. U metodo s dce assolutamete stable se per ssato problema test: è lmtato per t. Cosderamo l 5

16 t 8 dove t > e C. La soluzoe sarà del tpo. t t e. Se Re < lm t t Dezoe U metodo umerco s dce assolutamete stable se soluzoe umerca della 8 è tale ce: per t 9 Pocé è uzoe d deamo regoe d assoluta stablta l seme: regoe d assoluta stabltà { z C: è vera la 9} Vedamo allora le rego d A-stablta d alcu metod e studamo sotto qual codzo ess rsultao stabl.. Metodo d Eulero avat esplcto Applcamo l metodo al problema test: Da cu: qud la 9 è vera se <. Se cosderamo l seme de put: dove C - è deto el modo seguete: { z C : z } 6

17 C { z C : Re z < } otteamo l bordo d u cerco d cetro - e raggo. Per quato detto precedeza qud la regoe d assoluta stabltà A è data da put ter a tale cerco come mostrato ella seguete gura: Im z - Re z Re C - co < <.. Metodo d Eulero all detro mplcto I questo metodo l valore approssmato è dato dall espressoe: questo caso la 9 è vera se >. Se cosderamo l seme de put: { z : z } otteamo l bordo d u cerco d cetro e raggo. La regoe A d assoluta stabltà è data da: { z C : z > }. Gracamete: 7

18 8.3. Metodo de trapez Il valore approssmato è dato dall espressoe: da cu otteamo: I questo caso la 9 è vera se < coe se < Re C -..4 Metodo d Heu Il valore approssmato è dato dall espressoe: La 9 è vera se <. Dremo ce u metodo e A-stable se C C A. Im z Re z

19 I metod d Eulero esplcto ed Heu soo codzoatamete assolutamete stabl; l metodo de trapez ed l metodo d Eulero mplcto soo vece A-stabl. S possoo avere metod mplct stabl o codzoatamete stabl ma o s possoo avere metod esplct codzoatamete stabl.. Metod d Ruge-Kutta Tutt metod ad u passo possoo essere dedott come gà detto dallo svluppo sere d Talor: T ; dove: T ;...! Il calcolo delle dervate d però può essere oeroso. D altrode metod vst precedeza soo d basso orde. U buo compromesso tra la semplctà de metod d basso orde e la sere d Talor trocata ad u alto orde è dato da metod d Ruge-Kutta. Rspetto a metod mult-step ce vedremo pù avat s a lo svataggo ce occorroo molte valutazo della per raggugere la stessa accuratezza. L dea de metod d Ruge-Kutta è d costrure ormule del tpo: φ ; co φ cocdete co T per u certo umero d term seza l utlzzo esplcto delle dervate. Per u metodo d orde : φ ; A ϑ γ... A ϑ γ metre per l metodo d Eulero ce può essere terpretato come Ruge-Kutta del prmo orde l puto ϑ γ. Ne metod d Ruge-Kutta del secodo orde vece s ao put: α α 9

20 qud: [ ] A A α α Espadamo α α attoro al puto : O α α α α da cu segue: ] [ A A α α e da cu s rcava: ; A A A α φ ma: ; T qud acé s abba T φ devoo valere le codzo: α A A A ce dao luogo ad ua amgla d metod d Ruge-Kutta del secodo orde. I pù ot tra tal metod soo quello d Eulero modcato d Heu e d Ralsto. Nel metodo d Eulero modcato s ao seguet valor: α A A per cu: l ce è equvalete a calcolare co Eulero esplcto:

21 calcolare la pedeza: ed utlzzarla per tutto l tervallo: Il metodo d Heu vece prevede seguet valor: per cu: α A A [ ] ed è utlzzato per redere esplcto l metodo de trapez. Il metodo d Ralsto e e dato da seguet valor: per cu: dove: α 3 4 A A 3 3 [ ] 3 3 e 4 4 Tale metodo dà l mmo errore d trocameto. 3

22 I geerale metod d Ruge-Kutta esplct soo caratterzzat dall espressoe: dove: m c α β ll per... m l Il umero m caratterzza l umero d stad del metodo ce rmae comuque ad u passo. Il metodo pù oto è quello del quarto orde: dove: Metod d orde maggore o soo coveet pocé rcedoo u umero troppo grade d valutazo della uzoe. Propreta U metodo d R-K esplcto ad m stad o puo avere orde maggore d m. Ioltre o esstoo metod d R-K esplct ad m stad d orde maggore o uguale a Metod d Ruge-Kutta a passo varable Essedo metod ad u passo è semplce redere tale passo adattvo coè tale da rdurre l errore. Per rdurre l errore è ecessaro poterlo stmare. L operazoe d stma può essere computa due mod:

23 usare lo stesso metodo ma co due pass deret e ; usare due metod d orde derete ma co lo stesso umero d stad. Metodo d orde p. Partedo dal dato esatto: suppoamo ce l errore locale sa more d ε. S a: p φ ϑ p dove φ è ua uzoe cogta. Rpetedo lo stesso calcolo ma co passo a partre da s a: p ˆ φ ϑ p Sottraedo tra loro le due espresso appea otteute e cosderado due pass e rspettvamete otteamo: ˆ p p p φ ϑ da cu segue: ~ ˆ ξ p Se ξ < ε s prosegue altrmet s dmezza l passo. I geerale l passo s raddoppa se ε ξ <. p Come vsto el paragrao usado due scem d orde p e p la dereza ra le soluzo approssmate dà ua stma dell errore d trocameto locale per lo scema d orde erore. 3

24 4. Metod multstep Per otteere metod multstep tegramo ua equazoe derezale ordara tra otteedo: t t t t t t dt t e t e suppoedo la suddvsoe uorme dell tervallo applcamo ua quadratura d Newto- Cotes utlzzamo q put t q t q... t e costruamo l polomo d Lagrage tegrado po t ] [ t : dove: p q q t L L q l l l l Itegrado l polomo s a: q βq dove: t l l tl l e βq L t dt d t l l l q I valor assut da e q determao var metod multstep: - se otteamo metod d Adams-Basort esplct; - se otteamo metod d Adams-Moulto mplct; - se otteamo l metodo d Nström. 4

25 4. Metod d Adams-Basort esplct Soo caratterzzat da. La dveta: q βq e se q allora otteamo l metodo d Eulero esplcto caratterzzato dall espressoe: 4. Metod d Adams-Moulto mplct Soo caratterzzat da. La dveta: q β q sebbee sa preerble scrverla el modo seguete: q βq Se q allora otteamo l metodo d Eulero mplcto caratterzzato dall espressoe: metre se q otteamo l metodo d Cra-Ncolso metodo de trapez caratterzzato da: 5

26 4.3 Metodo d Nström E caratterzzato da. La dveta: q βq e se q otteamo l metodo del puto medo caratterzzato dall espressoe: t 5 Metod Predctor-Corrector Rsolvedo u problema d Cauc o leare co uo scema mplcto è rcesta ad og passo la rsoluzoe d ua equazoe o leare. A questo scopo s possoo utlzzare metod d puto sso l metodo d Newto o l metodo delle secat. Cò però rcederà u valore zale sucetemete vco alla soluzoe sa per problem d covergeza sa per mmzzare l umero d terazo. Co puo essere otteuto utlzzado coppa u metodo esplcto ed u metodo mplcto. Il metodo esplcto predctor orra u buo dato zale per l metodo mplcto corrector ce è geeralmete pù stable. U esempo d tale metodo è quello d Heu: [ t t ] cu l predctor è l metodo d Eulero avat metre l corrector è l metodo d Crac- Ncolso: Predctor ~ t Corrector [ t t ~ ] 6

27 L orde d covergeza totale del metodo sarà q se l predctor a orde q ed l corrector a orde q. I geere s utlzzao metod d Adams coppa per otteere metod PC d orde par a quello del corrector. 6 Metod BDF Bacward Deretatg Formula E ua amgla d scem complemetar a quell d Adams. Metre e metod d Adams s usa ua quadratura per approssmare l tegrale e BDF s approssma la. Se s ao q put e s coosce ua approssmazoe della soluzoe e put q... è possble determare u p P q la cu dervata terpola la. Calcolamo la dervata uo de od t : p t t Se l metodo è esplcto se l metodo sarà mplcto. I geerale: q α metodo esplcto q α metodo mplcto dove coecet soo dat dalle dervate del polomo d Lagrage. Ad esempo: q metodo d Eulero avat q metodo del puto medo q 3 stable 7 Metod LMM Lear Multstep Metod 7

28 Ua geeralzzazoe de metod multstep ce clude metod d Adams e metod BDF è data dalla amgla de metod multstep lear. U metodo multstep leare a la orma: q α q β 8 Equazo alle dereze lear Per ua aals de metod multstep è ecessaro svluppare u po d ozo teorce sulle equazo alle dereze lear. Ua equazoe ella orma: a b z a z... az az è detta equazoe leare alle dereze d orde dove a a... a b soo uzo d essedo apparteete all seme de umer ter cosecutv. Comcamo co l cosderare l caso d ua equazoe omogeea: a z a z... az az... Se a allora s può trovare ua soluzoe per og scelta de valor zal z z... z e tale soluzoe è uca. Se z co... s a l uca soluzoe z. Caramete ua soluzoe è data da ua qualuque successoe ce verc l equazoe data. Pocé tal equazo soo collegate alla soluzoe delle equazo derezal ordare l dce dscreto della successoe sosttusce la varable dpedete cotua t delle equazo derezal ordare. Se due successo { }{ } z soo soluzo allora ace A Bz è soluzoe co A e B costat arbtrare. La soluzoe geerale può essere scrtta come { z } dove { } è la soluzoe dell equazoe omogeea e z ua soluzoe partcolare dell equazoe o omogeea ce può essere trovata rsolvedo rspetto ad u partcolare valore zale. 8

29 Ie due soluzo soo learmete dpedet se A B : A B > : A Bz I aaloga alle ODE lear s cercao soluzo della orma: Per cu sosttuedo ell equazoe s a: z. Dvdedo per s a: a a... a a. a a... a a coe e ua radce del polomo caratterstco: p a a a... a Se r r soo gl zer d p allora: r... e soluzoe della equazoe. γ r γ r... γ r z Esempo z 6z z p 6 r r 3 γ 3 z γ co γ γ costat. Se ua radce a molteplcta m allora: { }{ } { m r r... r } soddsao l equazoe alle dereze. Esempo p 3 3 z 3 γ γ γ 3 γ 43 γ

30 9 Covergeza Per metod multstep l aals della covergeza è pù complcata rspetto a metod ad u passo quato: la soluzoe approssmata è luezata ace dagl error e valor d parteza: e per.... Tal valor s dcoo cosstet se: lm... metod multstep possoo essere stabl. Per mostrare cò cosderamo l problema test: la cu soluzoe è e. Aalzzamo l comportameto d qualce metodo multstep el caso <. Cosderamo l metodo del puto medo: la cu equazoe alle dereze assocata è: le cu soluzo soo: r e r La soluzoe geerale d tale equazoe è: βr βr Rcavamo β e β : 3

31 ββ e βr βr da cu segue: β e r O e r e 3 3 β O Osservamo ce: Per β β Per > r > r ed l terme domate è > β r Per < < r < r < ed l terme domate è β r Pertato per < la soluzoe dverge da quella vera. Questo accade percé la ODE a ua sola soluzoe metre l equazoe alle dereze d orde a soluzo d cu ua corrspode alla soluzoe vera. Percé s abba covergeza è qud ecessaro ce le altre soluzo rmagao lmtate. Aalzzamo qud l comportameto delle equazo alle dereze relatvamete al problema della stabltà. Dezoe L equazoe alle dereze: amz m m Z... co coecet a... a costat è detta stable se tutte le sue soluzo soo lmtate. Per cercare delle codzo aclmete vercabl per stablre la covergeza d u metodo multstep partamo dall errore locale d dscretzzazoe: 3

32 t α β Abbamo vsto ce l metodo è cosstete se τ per. E detto d orde p se p τ θ. Se è sucetemete derezable s può esprmere τ come: p p τ C C... C p... Iatt espadedo e toro ad s a: ce dà τ se poamo: C C... C α... α! α... α α α... α α β... β... β α β! β... β Se C C... C p C p allora l metodo è d orde p. Vedamo qual soo le propretà d u metodo covergete: se l metodo multstep coverge C deve essere ullo. Iatt sa dato l problema: avete soluzoe. Allora segue ce: 3

33 33 α Fssamo e deamo ed tal ce co. Suppoamo ce l metodo sa covergete ma o alla soluzoe. S a: per ϕ co ssato e lm ϕ Qud: ϕ α α Ma: ϕ α per cu la dveta: α α da cu segue ce C. Mostramo adesso ce u metodo covergete alla soluzoe a almeo orde. Iatt sa dato l problema:

34 la cu soluzoe è. Allora e segue ce: α β Ua soluzoe è data da: M co M β α Se e segue ce M e pocé la soluzoe è s a: poedo M β α ma pocé: C β α C U metodo ce è almeo d orde è detto cosstete. Allora ua codzoe ecessara per la covergeza è la cossteza ma essa o è sucete. Solo se ace la codzoe della radce è soddsatta s a covergeza. Iatt se l metodo è covergete lo sarà pure per l problema: la cu soluzoe è. Ne segue ce: α 34

35 la quale è soddsatta da m dove r è soluzoe del polomo caratterstco. Acé s m r abba covergeza s deve avere: Ma r per cu: r Se r o è uo zero semplce ma a molteplctà m: q r co... q m Per s a: q r q ma qud: r < La codzoe della radce è: r se r è uo zero semplce del polomo caratterstco. r < se r o è uo zero semplce del polomo caratterstco. 35

36 Per u metodo cosstete l polomo caratterstco a ua radce r detta radce prcpale. Iatt tal caso: C α p I metod: e 4 3 ao p e qud soddsao l crtero della radce soo cosstet e qud coverget eppure o soo buo da utlzzare pratca. Iatt abbamo gà vsto ce per metod multstep o basta la sola covergeza pocé le equazo alle dereze ao soluzo pù rspetto alla equazoe derezale ordara. Tal soluzo dette parastce devoo rmaere pccole rspetto alla radce prcpale e cò porta al cocetto d stabltà relatva. Applcado allora u metodo multstep al problema test: la cu soluzoe è e s a: m γ e m γ r m... γ r m θ p soluzoe del problema test: m e m Questo sgca ce m è ua buoa approssmazoe d m se: 36

37 γ ~ γ ~ per... r per... << e S ot ce l puto è soddsatto se valor d parteza soo buo metre l puto è legato alla stabltà relatva. U metodo multstep s drà relatvamete stable se: r > r per... L tervallo d stabltà relatva è l pù grade tervallo α β co α β tale ce l metodo è relatvamete stable α β. Se è grade dovrà essere pccolo. Co tale tpo d stabltà s cotrolla l errore relatvo. Iatt: m m m γ γ r γ r... γ γ r r r m Assoluta stablta Spesso è mportate are u aals d stabltà teedo l passo ssato e cò permette d cotrollare l errore assoluto. U metodo è assolutamete stable se gl error a pass precedet o aumetao. Tale cocetto s applca ace a metod oe-step come abbamo gà vsto el paragrao. Applcado l metodo multstep: α β al problema test: 37

38 t t t> s a: α β ce può essere scrtto ace: α β Per s a: α β t e sottraedo membro a membro queste due espresso otteamo: α β l t Qud gl error soddsao ua equazoe alle dereze le cu soluzo soo: l m m m t µ r... µ r β Dremo ce u metodo multstep soddsa la codzoe assoluta delle radc se esste u > tale ce: r <... 38

39 Pertato codzoe ecessara e sucete acé u metodo multstep sa assolutamete stable ovvero acé per t è ce esso sodds la codzoe assoluta delle radc. L assoluta stabltà mplca la zero stabltà metre o è vero l vceversa. 39