Esercitazioni di Fisica Generale con elementi di Fisica Tecnica

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1 Esercitazioni di Fisica Generale con elementi di Fisica Tecnica Secondo Modulo A.A /16 -

2 1 COSTANTI FONDAMENTALI Nome Simbolo Valore Unità di misura Costante gravitazionale G 6, N m 2 /kg 2 Costante elettrica K e 8, N m 2 /C 2 Costante dielettrica del vuoto ε 0 8, C 2 /N m 2 Carica dell'elettrone e 1, C Massa a riposo dell'elettrone m e 9, Kg Massa a riposo del protone m p 1, Kg Massa a riposo del neutrone m n 1, Kg Costante di Bohr (distanza p-e) a 0 0, m Velocità della luce nel vuoto c 2, m/s Permeabilità magnetica del vuoto µ 0 1, m Kg/C 2 Raggio classico dell'elettrone r e 2, m Numero di Avogadro N A 6, mol -1 Costante di Faraday F 9, C/mole Costante di Boltzmann K 1, J/K Costante dei gas perfetti R 8,314 J/mole K Costante di Stefan-Boltzmann S 5, J/m 2 s K Costante di Planck H 6, J s - 2/16 -

3 2 CALORE, ENERGIA TERMICA E TRASPORTO DI CALORE 2.1 ESERCIZIO L'Ossigeno allo stato elementare si trova in forma molecolare. Una molecola di Ossigeno è formata da due atomi (O 2 ). Sapendo che il peso atomico dell Ossigeno è 16 u.m.a., che la costante dei gas perfetti R = J/(mol K) e che il numero di Avogadro N A = mol -1, calcolare: a) la massa molare di O 2 b) la velocità quadratica media v r.m.s. delle singole particelle in O 2 ad una temperatura T = 300 K (temperatura ambiente) c) v r.m.s. delle singole particelle in O 2 ad una temperatura T = 220 K (temperatura a 10 km di quota) Ricordare la definizione di u.m.a: la dodicesima parte della massa di un atomo di carbonio-12 ( 12 C), ovvero 1 u.m.a = kg. (a) La massa molare di un atomo (o molecola) è data da M = N A x massa di un atomo (o molecola) della sostanza in esame Sappiamo che 1 u.m.a. (unità di massa atomica) = 1/12 C 12 = massa del protone = 1.67 x kg. Perciò 16 u.m.a = 16 x 1.67 x kg = x kg. Poichè la molecola di O 2 è formata da due atomi di Ossigeno, M(O 2 ) = N A x 2 x x kg = x mol -1 x 2 x x kg = kg/mol. (b) v 2 r.m.s. = 3RT/M = (3 x J/(mol K) x 300 K) / kg/mol = J/kg = m 2 /s 2 v r.m.s. = ( m 2 /s 2 ) 1/2 = m/s (c) v 2 r.m.s. = 3RT/M = (3 x x 220)/0.032 J/kg = J/kg = m 2 /s 2 v r.m.s. = radq ( m 2 /s 2 ) = m/s 2.2 ESERCIZIO (a) Qual é l'energia interna U di 3 moli di un gas ideale monoatomico a 273 K? Si ricorda che la costante dei gas perfetti R = J/(mol K). (b) Sapendo che 1 caloria (cal) = Joule, calcolare a quante Kcal corrisponde l'energia interna precedentemente valutata. (a) U = J, (b) U = Kcal - 3/16 -

4 2.3 ESERCIZIO L'Azoto a temperatura ambiente è costituito da molecole biatomiche N 2 molto stabili e, per questo, viene utilizzato, ad esempio, nella conservazione degli alimenti (atmosfera inerte). Calcolare per una molecola di N 2 : a) la massa b) l'energia cinetica media E cin a temperatura ambiente T= 25 C c) l'energia potenziale gravitazionale U pot a una quota h = 300 m s.l.m sapendo che: il peso di una mole di molecole N 2 è 28 g N A = x K B = 1.38 x J/K accelerazione gravità g = 9.8 m/s 2 (a) m = kg, (b) E cin = J, (c) U pot = J 2.4 ESERCIZIO Il calore specifico medio del corpo umano c avg = 3.6 KJ/(kg C). Se la temperatura corporea di un uomo di 70 kg passa da 37 C a 39 C durante un'intensa attività fisica, calcolare l'incremento di energia termica nel corpo dovuto all'incremento di temperatura. Sappiamo che il calore specifico è dato da: c = E T m Dall'espressione sovrastante, moltiplicando entrambi i lati dell'uguaglianza per ( T m), ottengo: E = c x T m = 3.6 kj/(kg C) x (39-37) C x 70 kg = 504 kj 2.5 ESERCIZIO Il calore specifico del latte è c = 3.77 kj/(kg C). Quanto latte (espresso in ml) riesco a raffreddare passando da 15 C a 5 C se sottraggo 10 3 J di calore? Si supponga che la densità del latte sia uguale a quella dell'acqua. Scopo dell'esercizio è calcolare il volume di latte che riesco a raffreddare togliendo 10 3 J di calore nel passaggio di temperatura da 15 C a 5 C. Dal primo principio della termodinamica so che per un sistema chiuso la variazione di energia interna di un sistema è data da: - 4/16 -

5 E in - E out = U = m c V T In questo caso la variazione di energia interna coincide con la quantità di calore del sistema stesso. Quindi: U = Q = m c T Q = J = -1 kj (il segno è negativo perché é calore che viene sottratto) T = 5 -(15) = -10 C Dall'uguaglianza Q = m c T ricavo m = Q/(c x T) = -1 kj / 3.77 kj/(kg C) x (-10) C = kg Mi viene detto dal testo dell'esercizio di supporre che il latte abbia la stessa densità dell'acqua. So che 1 l acqua = 1 kg acqua. E quindi kg latte = l latte = 26 ml latte. 2.6 ESERCIZIO Una piastra di cottura elettrica di forma circolare ha una potenza di 1500 W. Quando viene accesa la piastra dissipa il 90% del calore generato attraverso la sua superficie di appoggio ed il restante 10% attraverso altre superfici. Supponendo che il flusso di calore attraverso la superficie sia costante calcolare: a) la quantità di calore dissipata dalla piastra in 2 ore in KWh b) il flusso di calore attraverso la superficie di appoggio in W/m2 La piastra ha un diametro di 180 mm. a) Q diss = 3 kwh b) q& = W/m ESERCIZIO Un blocco di alluminio di massa m all = 0.1 Kg e alla temperatura T all = 580 C viene immerso in un recipiente di vetro di massa m vetro = 0.2 Kg ed avente una temperatura pari a T vetro = 300 C. Il recipiente di vetro contiene una massa di acqua pari a m acqua = 0.5 kg alla temperatura di T acqua = 300 C. Trascurando gli scambi di calore con l'ambiente esterno, determinare la temperatura di equilibrio del sistema. Sono dati: c al = 880 J/kg C c vetro = 837 J/kg C c acqua = 4186 J/kg C - 5/16 -

6 Vetro Acqua Al Il calore ceduto dal blocco di alluminio Q al è pari alla somma del calore assorbito dal vetro (Q vetro ) e del calore assorbito dall'acqua (Q acqua ). Calcoliamo i tre contributi: Q al = m al c al (T al - T e ) Q vetro = m vetro c vetro (T e - T vetro ) Q acqua = m acqua c acqua (T e - T acqua ) Quindi: m al c al (T al - T e ) = m vetro c vetro (T e - T vetro ) + m acqua c acqua (T e - T acqua ). Risolvo il sistema per T e e, osservando che T vetro = T acqua ottengo T e m = al c al m T al al c + ( m al vetro + m c vetro vetro c vetro + m + m acqua ( ) + ( ) 300 = C ( ) = C c acqua acqua c ) T acqua vetro = = = 2.8 ESERCIZIO Si consideri un muro alto 3 m, largo 5 m e spesso 0.3 m. La sua conducibilità termica è k = 0.9 W/m C. Un giorno viene misurata la temperatura delle superfici interna ed esterna del muro e sono risultate essere, rispettivamente, di 16 C e 2 C. Calcolare il flusso di calore attraverso il muro. - 6/16 -

7 Si tratta di trasferimento di calore in stato stazionario, dato che la temperatura non varia, la conducibilità termica non varia e il trasferimento di calore avviene in una sola direzione (dalla parete più calda a quella più fredda). Applico la legge di Fourier per calcolare il flusso di calore: Q COND T = ka x L'area attraverso cui si verifica il flusso vale A = 3 m x 5 m = 15 m 2 Quindi: Q COND = 0.9 W/m C x 15 m 2 x (16-2) C / 0.3 m = 630 W 2.9 ESERCIZIO Un lago è ricoperto da una crosta di ghiaccio spessa 5 cm. La temperatura esterna è di -15 C. Calcolare il flusso di calore trasmesso per unità di superficie, supponendo che la temperatura dell'acqua a contatto con il ghiaccio sia di 0 C. La conducibilità termica dell'acqua vale k = 1.8 W/m C. q& cond = 540 W/m ESERCIZIO Le pareti di un edificio sono in cemento (k = 1.1 W/m C). Il loro spessore è di 20 cm e la superficie totale è di 300 m 2. Supponendo il fenomeno in regime stazionario, se la differenza di temperatura tra la superficie interna ed esterna è di 15 C, qual è la quantità di calore scambiata in un giorno, espressa in Kcal? T T 1 Interno Esterno T 2 20 cm x - 7/16 -

8 Applico la legge di Fourier per calcolare il flusso di calore: Q COND T = ka x Q COND = 1.1 W/m C x 300 m 2 x 15 C / 0.2 m = W questa è la potenza termica scambiata per unità di tempo. In un giorno, dunque, la quantità di calore scambiata vale: W = J/s In 1 ora ci sono 60 x 60 s = 3600 s, quindi per sapere la quantità di calore scambiata in un giorno procedo con il calcolo seguente: J/s x 3600 s/h x 24 h/giorno = J/giorno = 2.14 x 10 6 kj/giorno Poichè 1 cal = 4.18 J Q = J/giorno / 4.14 J/cal = cal/giorno = kcal/giorno 2.11 ESERCIZIO Una pentola contiene 2 Kg di acqua ad una temperatura iniziale di 17 C. Si vuole portare l'acqua ad ebollizione tramite un fornello elettrico avente una potenza di 1500W. La pentola pesa 500 g ed il materiale di cui è fatta ha un calore specifico di 0.7 KJ/Kg C. Sapendo che il calore specifico dell'acqua è 4.18 KJ/Kg C e trascurando tutte le altre perdite di calore nella pentola, calcolare quanti minuti saranno necessari per far bollire l'acqua. t = 8 min 2.12 ESERCIZIO In un tubo a sezione rettangolare di un impianto di riscaldamento ad aria una parte passa in una zona non riscaldata. La sezione del tubo è 15 cm x 20 cm. L'aria calda entra nella sezione con una pressione di 100 KPa e una temperatura di 60 C a una velocità media di 5 m/s. La temperatura scende lungo il tratto a 54 C a causa delle perdite termiche. Calcolare il tasso di perdita di calore in condizioni stazionarie, sapendo che R A = 287 J Kg -1 K -1 e c p = KJ Kg -1 K -1. La perdita di calore è data da: = Q mcp T Se assumo che l'aria si comporta come un gas ideale, calcolo la densità all'ingresso della condotta applicando la legge dei gas perfetti: - 8/16 -

9 PV = n RT, da cui ricavo n/v = P/RT e quindi ρ in = P/ R A T in = 100 x 10 3 Pa / (287 J/kg K ( )K) = = 10 5 N/m 2 / (287 (N m /kg K) 333,15 K) = = 10 5 kg / m 3 = kg/m 3 Ricordiamo che la pressione è definita come forza per unita di superficie. In questo senso l'unità di misura della pressione, il Pascal, è equivalente a 1 Pa = 1N/m 2. D'altra parte sappiamo anche che l'energia e definita come forza per spostamento, per cui l'unità di misura dell'energia, il Joule, é equivalente a 1J = 1 N m. La portata di massa dell'aria è data dall'espressione: m = ρva (kg/s) Calcolo A A = (0.15 x 0.20) m 2 = 0.03 m 2 e quindi m = kg/m 3 x 5 m/s x 0.03 m 2 = kg/s E la perdita di calore sarà pari a Q = mc p T = kg/s x kj/kg K x 6K = kj/s = kw 2.13 ESERCIZIO Il tetto di una casa riscaldata elettricamente è lungo 6 m, largo 8 m e spesso 0.25 m. I mattoni di cui è fatto hanno una conducibilità termica k = 0.8 W/m C. La temperatura delle superfici interne ed esterne del tetto, misurate nel corso di una notte, sono risultate rispettivamente di 15 C e 4 C in un periodo di 10 ore. Calcolare: a) la quantità di calore disperso attraverso il tetto b) il costo di questa perdita di calore al proprietario della casa se il costo dell'elettricità è di 0.15 Euro al kwh. (a) Q loss = 16.9 KWh, (b) 2.5-9/16 -

10 2.14 ESERCIZIO Due piastre, ciascuna avente la faccia interna delle dimensioni di 400 cm 2 e che si trovano, rispettivamente, alle temperature di 170 C e 150 C, sono separate da una barra di rame (k rame = 379 W/m C) avente diametro di 25 mm e lunghezza di 150 cm e saldata alle estremità della piastra. Lo spazio tra le due piastre è riempito con lana di vetro (k lana_vetro = 0.02 W/m C), che isola anche la superficie laterale della barra. Calcolare la potenza termica che passa da una piastra all'altra. Supponendo nulla la dispersione del calore laterale, la potenza termica si calcola con l'espressione Q = T/R totale dove R totale è il valore della resistenza termica totale (dovuta, in questo caso, alla sola conduzione). So che 1/ R totale = 1/R rame + 1/R lana_vetro = R rame R lana_vetro / (R rame + R lana_vetro ) R rame = l barra_rame / (A rame x k rame ) R lana_vetro = l lana_vetro / (A lana_vetro x k lana_vetro ) A rame = 3.14 x r 2 = 3.14 x (0.025/2 m) 2 = ^2 = m 2 A lana_vetro = (0.2 x 0.2) m m 2 = m 2 R rame = 1.5 m / ( m 2 x 379 W/m C) = 7.91 C/W R lana_vetro = 1.5 m / ( m 2 x 0.02 W/m C) = C/W Quindi R tot = 7.91 x /( ) = / = C/W e Q = ( ) C / C/W = 2.54 W - 10/16 -

11 2.15 ESERCIZIO La parete di un forno è costituita da: cm di refrattario con k = 2.1 W/m C cm di isolante con k = 0.23 W/m C 3. 2 cm di lana minerale con k = 0.12 W/m C 4. 1 cm di acciaio con k = 58.1 W/m C La superficie della parete è di 20 m 2. La temperatura del refrattario è di 800 C e quella della lamiera di acciaio di 50 C. Calcolare (a) la potenza termica e (b) il flusso termico tra le due pareti del forno. (a) Q & = W, (b) q& = W/m ESERCIZIO Si consideri una lampadina ad incandescenza di 150 W. Il filamento della lampadina è lungo 5 cm e ha un diametro di 0.5 mm. Il diametro del bulbo di vetro è 8 cm. Calcolare il flusso di calore: a) sulla superficie del filamento b) sulla superficie del bulbo di vetro - 11/16 -

12 (a) q& fil = W/m 2,(b) q& bulbo = 7464 W/m ESERCIZIO Un circuito stampato delle dimensioni di 15 cm x 20 cm ha montati sulla sua superficie 120 chip, ciascuno dei quali dissipa 0.12 W. Considerando trascurabile il trasferimento di calore dalla faccia posteriore della scheda, calcolare: a) il calore dissipato dal circuito in 10 ore in kwh b) il flusso di calore sulla superficie del circuito in W/m 2 (a) Q diss = kwh, (b) q& = 480 W/m ESERCIZIO Calcolare il flusso di calore disperso attraverso una finestra nei seguenti tre casi: a) doppio vetro con spessore dell'intercapedine d'aria inferiore o uguale a 2 cm. In questo caso si può ritenere l'aria ferma all'interno dell'intercapedine. b) doppio vetro con spessore dell'intercapedine maggiore di 2 cm. All'interno si instaurano moti convettivi c) vetro singolo Lo spessore dei vetri è 5 mm, con conduttività k V = 1.4 W/m C. La temperatura esterna è di -5 C e la temperatura interna del locale è di 20 C. La conduttanza convettiva all'interno del locale h i = 8.14 W/m 2 C, all'esterno h e = W/m 2 C; quella all'interno dell'intercapedine (caso 2) è h = 6.98 W/m 2 C e, infine, la conduttività dell'aria è k a = W/m C. Si supponga un'area di 1 m /16 -

13 Interno, h i R A Esterno, h e R V R V a) la quantità di calore prodotta in questo primo caso vale Q = T/ R TOT dove la resistenza totale è la somma delle diverse resistenze convettive e conduttive: R TOT = 1/ h i A V (convezione sulla superficie interna) + 2 x x V / k V A V (conduzione vetri)+ x A / k A A A (conduzione aria intercapedine) + 1/ h e A V (convezione sulla superficie esterna) = = 1/8.14 C/W /1.4 C/W /0.023 C/W + 1/23.26 C/W = = C/W C/W C/W C/W = = C/W Q = T / R TOT = 25 C / C/W = 24 W. Il flusso sarà dunque uguale a q= 24 W/ 1 m 2 = 24 W/m 2 b) In questo caso si creano dei moti convettivi su entrambe le superfici di vetro all'interno dell'intercapedine. La quantità di calore prodotta in questo caso vale Q = T/ R TOT dove R TOT = 1/ h i A V (convezione sulla superficie interna) + 2 x x V / k V A V (conduzione vetri) + 2 x 1/ h A A A (convezione dell'aria intercapedine) + 1/ h e A V (convezione sulla superficie esterna) = = 1/8.14 C/W /1.4 C/W + 2 1/6.98 C/W + 1/23.26 C/W = = C/W C/W C/W C/W = = C/W Quindi: Q = T / R TOT = 25 W / C/W = 54.6 W. Il flusso sarà dunque uguale a q= 54.6 W/1 m 2 = 54.6 W/m 2 c)la quantità di calore prodotta in questo caso vale Q = T/ R TOT - 13/16 -

14 dove R TOT = 1/ h i A V (convezione superficie interna)+ x V / k V A V (conduzione vetro) + 1/h e A V (convezione superficie esterna) = = 1/8.14 C/W /1.4 C/W + 1/23.26 C/W = = C/W C/W C/W = = C/W Q = T / R TOT = 25 W/ C/W = W. Il flusso sarà dunque uguale a q= W/ 1 m 2 = W/m ESERCIZIO La parete esterna di un forno è alla temperatura di 50 C. Calcolare il flusso termico per unità di superficie disperso nell'ambiente, supposta l'aria alla temperatura di 20 C e una conduttanza convettiva pari a W/m 2 C. q& = 349 W/m ESERCIZIO In un tubo con diametro interno 50 mm e lungo 8 m scorre aria alla temperatura di 100 C e velocità di 20 m/s. Valutare in quale regime avviene il flusso dell'aria e spiegare perché. Per l'aria a 100 C si ha: densità ρ = kg/m 3 viscosità µ = 2.2 x 10-5 kg/ms L'aria può essere vista come un fluido. Sappiamo che il movimento di un fluido all'interno di un condotto può avvenire in due diverse condizioni: laminare o turbolento. Le condizioni di flusso sono regolate dal rapporto fra le forze inerziali (che sono determinate dalla velocità di scorrimento) e viscose (la viscosità è una grandezza fisica che quantifica la resistenza dei fluidi allo scorrimento). Il numero di Reynolds mi fornisce indicazione su questo bilancio e so che se il valore è > 4000 sono in regime turbolento, mentre se è compreso tra 0 e 2000 il moto è laminare. Se il numero di Reynolds è compreso tra 2000 e 4000 sono in regime di tansizione tra moto laminare e moto turbolento. Calcoliamo, dunque, il numero di Reynolds. N RE = (ρ v D) / µ Se eseguiamo il controllo dimensionale vediamo che è adimensionale. La lunghezza caratteristica del sistema, nel caso di un tubo, è il diametro. La lunghezza caratteristica, infatti, dipende dalla geometria che considero. Dunque N RE = (ρ v D) / µ = (0.916 kg/m 3 x 20 m/s x m) / kg/ms = Siamo dunque in regime di flusso turbolento. - 14/16 -

15 2.21 ESERCIZIO Il Sole riversa una gran quantità di energia radiante sul nostro pianeta. Come tutte le stelle può essere considerato, con buona approssimazione, un corpo nero. Infatti assorbe la radiazione incidente senza rifletterla e emette luce propria. Le misure più recenti compiute dai satelliti ci dicono che l'energia irraggiata dalla nostra stella per unità di tempo e di superficie (costante solare) vale 1367 W/m 2. Sapendo che il Sole dista dalla Terra 1.5 x 10 8 km e che il suo diametro vale d SOLE = 1.4 x 10 6 km, calcolare la temperatura del Sole. Il valore della costante di Stefan- Boltzmann è σ = W/m 2 K 4. Poichè il Sole è un corpo nero posso applicare la legge di Stefan-Boltzmann per calcolare la temperatura della stella. QIRR SOLE = A SOLE σ T 4 SOLE da cui si ricava che T 4 SOLE = QSOLE SOLEσ A K Il valore della costante solare mi dice che il Sole irraggia sulla Terra 1367 W/m 2. La superficie su cui questa potenza radiante viene diffusa è quella di una sfera che ha raggio pari alla distanza Terra-Sole. Trasformiamo la distanza in metri: d TERRA-SOLE = 1.5 x 10 8 km = 1.5 x m L'area della sfera con raggio pari alla distanza Terra-Sole vale: A sferats = 4 π (r Terra-Sole ) 2 = 4 x 3.14 x (1.5 x m) 2 = 2.83 x m 2 Quindi la potenza irraggiata dal Sole vale QIRR SOLE = 1367 W/m 2 x 2.83 x m 2 = 3.87 x W Calcolo ora l'area della superficie sferica del Sole: A sferas = 4 π (d Sole /2) 2 = 4 x 3.14 x (7 x 10 8 m) 2 = 6.16 x m 2 Ora posso calcolare la temperatura del Sole: T = 3.87 x W /(6.16 x m 2 x x 10-8 W/m 2 K 4 ) = 1.11 x K 4 4 SOLE da cui T = SOLE (1.11 x K 4 ) 1/4 = 5768 K - 15/16 -

16 2.22 ESERCIZIO Tutti sperimentiamo il sentire freddo in inverno e caldo in estate all'interno di ambienti chiusi anche se la temperatura viene mantenuta costante da un impianto di riscaldamento o di condizionamento. Il responsabile di queste sensazioni è il cosiddetto "effetto radiativo" legato allo scambio di calore per irraggiamento che avviene tra il nostro corpo e le superfici dei muri circostanti e del soffitto. Si consideri una persona in una stanza mantenuta alla temperatura costante di 22 C. Le superfici interne dei muri e del soffitto mostrano una temperatura media di 10 C in inverno e di 25 C in estate. Calcolare quanto calore viene scambiato per irraggiamento in inverno e in estate tra la persona e le superfici circostanti sapendo che: l'area di scambio è di 1.4 m 2 la temperatura corporea media è di 30 C l'emissività di una persona è Il valore della costante di Stefan-Boltzmann è σ = W/m 2 K 4. Ricordo che nel caso in cui il corpo si trovi racchiuso in una superficie a temperatura costante allora lo scambio radiativo fra le due superfici è dato da: Qrad = σ A S 4 4 ( T T ) S ambiente In inverno, dunque, avremo: Q inverno= 0.95 x 1.4 m 2 x ( x 10-8 ) W/m 2 k 4 x [( ) 4 -( ) 4 ] K = W mentre in estate Q estate = 0.95 x 1.4 m 2 x ( x 10-8 ) W/m 2 k 4 x [( ) 4 -( ) 4 ] K = 41 W 2.23 ESERCIZIO Calcolare (a) la quantità di calore scambiata per irraggiamento, per unità di tempo, tra due piastre piane e parallele, della superficie di 20 m 2, che si trovino, rispettivamente, alla temperatura di 1200 C e di 400 C. Si suppongano le superfici nere. (b) Si calcoli, infine, il flusso. Il valore della costante di Stefan-Boltzmann è σ = W/m 2 K 4 Risposte (a) Q & = 5108 kw, (b) q& = kw/m 2-16/16 -