LA TEORIA DELLA RELATIVITÀ GENERALE

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1 Fo h Eglsh so s blow af h Iala o. LA EOIA DELLA ELAIIÀ GENEALE I: Loao bo Maggo 99. Ggo. Agoso. -I. -Ioo. -Caolo : Pss Goa. Pa..: Foalso lgh ah a sf. Pa..: Goa ffal bas. Pa..: Goa ffal llo sao. Pag. Pag. Pag. Pag. Pag.7 Pag. -Caolo : L ga sal lla oa lla laà Gal. Pag.7 Pa..: Co o slla laà Gal. Pag.7 Pa..: Sl so o al ga sal. Pag.9 Pa..: Slla asfoao Lo laà Gal. Pag. Pa..: Il -o Moo-Ega l so Moo-Ega. Pag.5 Pa..5: Ioaa lasa. Pag.8 Pa..6: L Eqao lla goa. Pag.9 λ Pa..7: La lao a gν Γ ν. Pag. Pa..8: Il l Nwoao. Pag. Pa..9: Il so Caa a-chsoffl. Pag. -Caolo : L Eqao l Cao Gaaoal Es. Pa..: L Eqao l Cao Gaaoal Es. -Caolo : ss lass lla oa Es. Pa..: La a. Pa..: La solo Shwashl. Pa..: L qao gal l oo. Pa..: La flsso lla l a a l Sol. Pa..5: Calolo alao lla flsso o ofl aagoso alla G. Pa..6: La sso l lo a. -APPENDICI. A : La oa Dlla laà sa. A : Co o o l Uso Ufao Gaà Eloagso. -Bblogafa. Pag. Pag. Pag.5 Pag.5 Pag.6 Pag.7 Pag.8 Pag. Pag. Pag.5 Pag.5 Pag.7 Pag.87

2 La osa ù a all llga è la slà. Ioo. La oa lla laà Gal G è sso lla oa lla laà sa o Sal sosa A. ssaa a Es sga la Gaao. Il gaà haa l alao; o fa al Pa.. h lao o ss fo è alao oao gaà la a o è ù sl o lla. Iol la G sga la gaà o a aa llo sao o glo llo saoo sao-o aao ll oo h s aa alla aa all ga! sa al sao-o. E o o qao a so s o a sfa obo s aasso: ossà lla sfa s ha o sofoao a bo al oa l aasso aa ao. Poo q h al aa aasso ao è l ao gaaoal lla sfa obo. S oa laao allo sl aasso lo ssso a a a oà sbao oo lo fo sl aasso ao fhè aaos all aa aa sofoaa o à a ala a so la sfa obo. La aa lla G ha lo sao-o o ba s os; s q qs goo a l ao sg alla aa saao. S o la sfa è osì assa a sofoa ola l aasso alloa l bo à a saa soaa ò h hao bo o alla sssa o sbb ù ah la l. I G al o l Po Eqala soo ao gaaoal ò ss allao a a alao o è q ossbl sg sso assolo a alao a ao gaaoal. S ag fa l Asso Es a soa fa a ao gaa oa sl ao ll asso ol so so; s ò aglao l ao ll asso qso à a oas aa lba l ao gaaoal s l oo all o gallggà o asoa a gaà ohé l a l asso l ao qs lo gl sfggà s a soo. Dq a alao qlla aa ha allao l ffo lla gaà; ooaa a asso fo la soa all o ol h a fo sosso ao gaaoal gaao o sl ao oa ah ol h o a ss ao gaaoal a h l asso saa alao so l alo sgo soo l sol ll s sa. Co l so l aasso abbao ooo l oo aa llo saoo aao asao alla aa/ga. L qao soal h o q oso h s ao la osoa a aa/ga aa è l Eqao soal l Cao Gaaoal Es: 8 ν gν πgν Il o bo o a a aggo aa s ao l aash goh llo sao o aa/ga l à al aa/ga è aa al soo bo ol so oo-ga ν l qal o o al s oo è a so oooal alla sà ρ.

3 Fos solo ll oo h s qao l oo h sg osì o a al os o l ho a lo s ss lbo ah l qao Nwo sl ao gaaoal s a osoa a aash goh llo sao sa aa: a M a G ˆ M G ˆ fa l o bo ll la qao ossa ossa la aa soa lla oso saal l o è ao a aasa goa llo sao M l soo bo G ˆ foa sll à M! S alla sa asa ffal l 96 la G è s saa sa a ol o lssà qao ssa la olssà sa aaa h oal o aa oo q sos h osì a os osì a alol osg ossao oa a qao h sao s b sal alla alà qalh ola ha oao ù qalh o a fla a oa o aaaa w gls. I ss lass l Ca. soo oagga sso ooso ah s lì l ss l soso alol o sasggao o a so l alolo lla flsso lla l ll sll a oa l Sol a a lss l 99 la so sa fos a aho a al alo sao. E ssoo o sgao ala aagos alla G sga flsso lla l sso l lo a. Nll oo h s la G è sa a sla aglosa oa fso aaa ù aaa h fsa fos la ù blla h è a è alao o h o ofl ao o aaa. Pso h la G sa la lassa oa falsfabl alla Po o o ollo ao h a b sga ah fo a h ò o è l ssa a l foo sgao. E o sosa la alà ll ao goa lla aa sbb a sga o a la aa la asa; sì la asa a hé? Cosaa o qal a a sga a gsfa a lasbl. Nlla G la gaà è solo aaa Es lla sa oa Ca Ufa asso o oo a lao l oo aa G sga l aao gaaoal lò l oo oso a sga ah l fo ls ll là. Poo sa ssso ossa sa h l s o qao l ao ao a oasso qalh soo ll Uso al. Il laoo Es q o s saì o la G; gl fa oì l 955 lo osal o aa a ao! Io soal so h la foa gaà sa a aosoa foa h s oo osoh fo losah a l all os ga h oogoo l Uso h ossoo osas sb oo ao A.. Ifa oso A h l ga losaa oso a lo a oa lo-oso h è: πε

4 è saa a all ga gaaoal ofa a lo a a la assa ll Uso M U a saa U oè: GM U U S ha q: GM πε U U!! E o a oo aso ah l fao h s s osa l Uso o ooso a sol lo oso aoh foaal assa o N s ha baal h: MU N f q aoa lla sao s o foss h aogao h s ollo la a N N l aggo lasso ll lo oao saa N U 8 8 l aggo ll Uso! E la sgao ò fa soa o l qala a là gaà aa sosa è saa oa A. /l Pa... Dq l aao/lso alla-aalla ossa l osllao lo ll o alla-aalla l oos a loo ao logo alla osllao la ll Uso Bg Bag saso oao Bg Ch. No oa sao ll a lla oao oè la aa s sa oao a so o assa ll Uso a l aa lla foa gaà aaa h ao og goo aa la a fa qao l Uso s saa la gaà a osg o lso s A. a soo o ò a la fa sl a l là aaa lsa la gaà ah ssa aaa lsa; solo h qao la a è aa la gaà aa ssso gà a o ss lsa! Caolo : Pss Goa. Pa..: Foalso lgh ah a sf. la sfa l ho: Co fo alla fga oglao asa o a fola la sf a sfa Σ : P θ φ φ Σ ofa qaoal a Fg..: La sfa. θ

5 I ooa asa basa sa l oa Pagoa o al fola:. I so l ù aggol ooa sfh s ha olo baal a: ˆ ˆ Σ osθ s ϕ sθ s ϕ osϕ ˆ. o oa Σ è l o h s oos a la sf lla sfa. S h l oo soo fo aa θ ϕ. Oa l aso ù sl ho s abb: osθ ˆ sθ ˆ. q s h l oo soo fo solo aao θ s os. θ P θ Fg..: Il ho. L.. s ossoo q s foa ù gal o fo sa aa: ˆ ˆ ˆ Σ θ ϕ. ˆ ˆ θ.5 E oo h s ll..5 a o hao l ssso h hao ll.. a bsì hao al gh alloa ss s l..5 ossoo asa o ù sfa ho a al sf l o gh. Oa olo aa o ù all ooa asa f ffao lla.5 abo aao >>> oo al h s abba: ˆ ˆ ˆ f ˆ.6 o q la. l ssso gal a sf la.6 qlla gal a a. lgha ao s a a: B - A A B Fg..: Lgha ao.

6 Co fo alla fga. s B a A alloa à ; o solo; sso osoà all ao fso l s. Possao q s h: l a : l l l A B l AB l AB l AB [ ] l A B f.7 oao alsì alla ooso oal Fg.. h sla ss ag a qao la oa solo o q l o.8 è o ag a. aa a sf a: ao la. h q oao: ˆ ˆ Σ Σ ˆ. Σ Σ Fg..: Aola s a sf a. Oa o fo alla Fga. s abba ao a sf a Σ a a s ssa. E oo h s oglo sos h la a sa oo s Σ alloa s a h aa Σ oo ss fo l aao o : Oa saao alla.8 h la aa l o h s a a so al so aao à l o ag a al a. Pa alloa la aa l o Σ h s la sf Σ fos o ag alla sf sssa s la aa è ffaa sl aao lla a h sa s Σ alloa oa al o ag saà la ag lla a. al ala è aala slabl o aa o fo l aao lla a:. Alloa la ag alla a saà: Σ Σ Σ.9 Dq s o fo alla Fga. la.9 s h l o ag o Σ Σ sao sllo ssso ao qao ossoo a ooso a o ao fga. Oa al oo h l ooo oal a o olo ooo ol l so ll agolo a loo à o

7 slao aoa o h è oogoal a alloa o l o oal alla sf Σ ffo l ooo oal a Σ Σ s o oglo l so ˆ olo ao ò l olo l o oal: Σ Σ ˆ so oal. Σ Σ P qao gaa l aa a sf gal a saao alla goa la h l aa ao è aa al ooo la l so ll agolo a ss foao oao la fo ooo oal oaa q soa ossao alloa h l aola Σ aa a o Σ Σ Fg.. è: Σ Σ Σ a gao s o : Σ Σ Σ Σ. Σ Pa..: Goa ffal bas. b ˆ ˆ P ˆ Fg..5: o foaal. Abbao so o la.8 h l o è ag alla a. olo o so ˆ olo ao ao: ˆ so ag. Q s o la.8 abbao so h l oao ao fos o oogoal. Dao oa la. oo l so oal ˆ : ˆ ˆ so oal. P lo fao l so boal b ˆ oa l sg oo lao l ooo oal: b ˆ ˆ ˆ so boal.

8 ˆ ˆ ˆ o foaal o aao go.5 ˆ ˆ ˆ b o o o la.7 h la lgha ao è a a: B A s B A s B A s s s.6 a : s s. S oa l o.5 ffao abo aao >>> s o s aao so s aà: ] [ s s s s a : s s. Po: s s s s s s s s s oao osì l o foaal lla aaao sa: ˆ s s ˆ s s s o foaal o aao so s.7 ˆ ˆ ˆ s s s s s s b Fg..6: o foaal lla aaao sa. { { s ˆ s ˆ s b ˆ s s P

9 aa aggo aa: s è llo l è sll of. s è fo o CUAUA s. ρ s s è l AGGIO DI CUAUA..8 Eso l ho sl ao -: s s os os s s o s è l ao ofa s s q: s os s a : s s s s s os q: s s s s s os s a aoa: s s aa!! la oso: b ˆ s è // a ˆ s ; fa: ˆ b s ˆ s ˆ s ˆ s ˆ s ˆ s ˆ s s s s s s ˆ s ˆ s s ˆ s ˆ s Oa ossao h sso ˆ s so olo osa ˆ s o s asa a aao l olo ˆ s ossa lgo la sa sso o a osga è a aao solo oogoal allo ssso ˆ s q ossao h: ˆ s ˆ s alaos a oogoal s ha ah h s oa [ ˆ s ˆ s] // ˆ s q a ss oooal a ˆ s : s bˆ s ˆ s s ;.9 è la OSIONE s. s s ˆ s

10 è oa lga a aa oso ssso all sg: fol Fé: all ll.7 alla.8 s ha la sg: ˆ s ˆ s ρ s. Po s ha la.9: bˆ s ˆ s s. Iol all la ll.7 sas h: ˆ s bˆ s ˆ s q: s ˆ s s bˆ s ˆ s bˆ s ˆ s bˆ s ˆ s ˆ s ˆ s bˆ s ˆ s s ρ s bˆ s ˆ s s ρ s a l fol Fé: { ˆ s ˆ s ρ s bˆ s ˆ s s ˆ s bˆ s ˆ s s ρ s fol Fé. Cosà: oo h s o lgo a a oà oa a a alao agal a a alao fga a h alla fsa saao ss /. ao oa s l os qao o l foalso foa soso ofao ò. S ha: s s s s ˆ s s s s s ˆ s s s ˆ s ˆ s ˆ s a a a a ˆ s ˆ s s ρ s ρ Pa..: Goa ffal llo sao. a foa foaal: abbao so o la. h a sf è asabl o sg: ˆ ˆ Σ ˆ ossa: Σ Σ foa ffal: Σ Σ Σ Dfao alloa la ^ foa foaal Σ o sg: I Σ Σ E F G o E F G...

11 S oa s ffa abo aa >>>> * θ φ abao off E F G a II*: * * * * I * θ φ θ θ φ φ θ θ θ φ φ φ * * * * * * θ φ θ φ I θ φ θ φ lgha ao: S abba ao ;. q oaoo aoa aa aas ll sf a ao soolao la loo oa a a sol aao o la. è alloa ah l ssso a a s l ao. P la lgha s a a b s ha alloa oa: b b b s / [ a a a ] b / [ E F G ]. a aa A lla sf: / Co la. o h A A Oa al oo h al la sg à oal: alloa: EG F q: A a b a b a b s ha A A A EG F. -so : lgha a ofa: abbao gà so o la. h la sfa Fg.. s asa o la sg qao: osθ s ϕ ˆ s θ s ϕ ˆ osϕ ˆ. S oa osao la ofa qaoal assa Fg.. la sssa la s a oo φ9 a : osθ ˆ s θ ˆ... ˆ ho a θ oo o lla. a : θ s θ ˆ osθ ˆ osθˆ sθˆ E θ θ s θ os θ F θ os θ s θ osθ sθ G os θ s θ la. fos q os :

12 b b / θ θ s [ E F G ] E F G a [ ] a b θ b b / θ π [ E ] E C a a ω ω π a oè oo la ofa l ho!!! -so : sf lla sfa: osao s la osa sfa Fg.. h la. s asa o la sg qao: osθ s ϕ ˆ s θ s ϕ ˆ osϕ ˆ a : θ s θ s ϕ ˆ osθ s ϕ ˆ ϕ osθ osϕ ˆ s θ osϕ ˆ s ϕ ˆ E s ϕ F θ G ϕ la. s o: θ θ ϕ ϕ / A A θ A θ ϕ θ ϕ s EG F θϕ θ ϕ ϕϕ π osϕ π s ϕ θϕ π π θ ϕ s ϕθϕ oè oo la sf lla sfa h o oosao!!! soa foa foaal: sao q la. h fos o/so N oal alla sf: N ; s ha o oa: N N N N N a : N N.. S osì è alloa N ga slla sf q è sbl a aggo ago o sg : N N N N N.5 Possao oa f la soa foa foaal II: II N N L M N N N N N N oà II: so h s ha h: N sg h N N N N N N N N N N N N q: N N N N N N N N alloa:

13 L N M N N N a : II L M N N N N N aa oal: S s ha a sf S o a a C s P è o s C la.- fos l o aa fao aa ˆ s oal a C P la oo l o aa ˆ s slla oal N N è l so ˆ s lla.: ˆ s ˆ s N N la oo lgo N è: ˆ s N. Oa so h ˆ s N s ha: ˆ s N ˆ s N ˆ s N a : ˆ s N ˆ s N alloa: s s s s N N II ˆ s N ˆ s N qao l ao N è s s s s I oo la fo II s lo s ò ala ao la. qaao s ha oo I. so: aa oal lla sfa abbao gà so o la. h la sfa Fg.. s asa o la sg qao: osθ s ϕ ˆ s θ s ϕ ˆ osϕ ˆ a : θ s θ s ϕ ˆ osθ s ϕ ˆ ϕ osθ osϕ ˆ s θ osϕ ˆ s ϕ ˆ θθ osθ s ϕ ˆ sθ s ϕ ˆ θϕ s θ osϕ ˆ osθ osϕ ˆ ϕϕ osθ s ϕ ˆ sθ s ϕ ˆ osϕ ˆ N osθ s ϕ ˆ s θ s ϕ ˆ osϕ ˆ E θ θ s ϕ F θ ϕ G ϕ ϕ L θθ N s ϕ M θϕ N N N a : ϕϕ Lθ Mθϕ Nϕ!!! Eθ Fθϕ Gϕ a o al: l o ola a loo o ass alo asso o soo o al l oso a oal soo l a al. oa: è al o o al s solo s sosfao l oo: { L E M F M F N G.6

14 osao: è sa s II/I I II II I oè: I : I II II I I. Oa ollao I s ha: II II II II I : II I a: q: I I I II II. Esso oa: I I II L M I E F q: { L M E F M N F G oè l asso. sao oa l.6 l sg oo: { L E M F M F N G ollhao bo a bo: EG F EN GL FM LN M..7 L solo soo l a al. aa Gass aa a: o la.7 EG F oao: H K o: H a a K aa Gass. LN M H EG F qao Gass-Wga: N abbao so h soo la oogoal q ossao lal o bas s l loo a: Γ Γ bn } Γ Γ bn Gass Γ Γ bn.8 N N Wga N N { }

15 o Γ soo sbol Chsoffl ^ s. Abbao so o la. h: N N la.5 h N è sbl N N a s h N N N l qao Wga ossao s h: N N N N N N N N N N N N a saao ah h: N N N N a : q l.8 s slfao o o sg: { Γ Γ bn } Γ Γ bn Gass Γ Γ bn.9 N Wga N } Sao l.9 ù sl foa ENSOIALE ù oosa: Γ N. b oao b h o la. s è aa ao a fa so lla CONENZIONE DI EINSEIN soo s è o s sso è sosa la soaoa s qll. Ifa l Γ lla. è o q al aà alo saa o s ll qao.9 Gass. Il ENSOE MEICO g : ao ao la osa ologa s q saa sao fo o ù oos: ì ; I g g g g g g o: g E g g F g G : g g g g g g g EG F g g g. Iol: N N N : II N N N N N b b b b b b b o: b L b b M b N : b bb bb LN M b. b b Mollhao oa sala l q. Gass s ha: Γ b N Γ Γ Γ g Γ

16 Γ soo sbol Chsoffl ^ s. oao o h: al s qao Da ò s ha alloa: Γ g Γ g g δ fo g g s ; fa: soo fo oal s g Γ g g Γ δ Γ q: g o δ h è la Dla Ko δ fo. Γ gγ Γ.. S ha h: g Γ Γ osao: s ha fo g h: g a :. g Γ Γ g g g S ha o h: Γ. osao: g g g s ha la. h: Γ Γ Γ Γ Γ Γ s aa s lla. a o og ola s a l so gl hao alo al loo o a l asso Sg h: g g g Γ g.5 ol ollao la. Γ g Γ ab b g oo g g o ao fo oo: Γ g g Γ Γ δ g g δ ossa oo qs la s ha: δ a oo o l so o bo s ha: g Γ g Γ ga a qs la la. Γ Γ a: g Γ Γ g Γ g Γ Mollao sala l qao Wga.9 N s o: b N g ; oo oa: b b g s ha: b b g g g δ ; q N b o: b g b b g b sbol so a ^ ^ s: b b b b ^ s so ago.7

17 ρ g ^ s so ago.8 ρ è l so a a oaa ρ è l so a a so Oa: P la.7 s ha: ρ ρ ρ g g bb bb b b b b.9 ρ ρ ; ol s o gl l ooo q solo qao oo soo s a o soo: bb bb LN M b bb bb LN M b LN M b Noao h: K Gass.. EG F g g S ha h: Γ Γ Γ Γ Γ Γ. osao: Γ b N >>> Γ Γ b N bn Γ Γ Γ b N b N b b [ Γ Γ Γ bb ] [ Γ b b ] N o s è saa la q. Wga N b. Aaloga: [ Γ Γ Γ b b ] [ Γ b b ] N Oa l a l o o soo all o ao s solo s: ossa: [ Γ Γ Γ Γ Γ Γ bb bb ] [ Γ b b Γb b ] N ao h N soo la l qao qal a h: [ Γ Γ Γ Γ Γ Γ b b b b ]. [ Γ b b Γ b b ] La. a la.9 fos: Γ Γ Γ Γ Γ Γ oè l asso. Caolo : L ga sal lla oa lla laà Gal. Pa..: Co o slla laà Gal. S lgga ao l Ioo a ag.. Iol saao alla A. h la oao Lo a lla o l oo q s s ha ssa oao o o h oa a so s ho s oà a os fas lgo o lgo o aga ah lgo q la oao Lo o ags s lgo a sola ooaa q l ho oso slbb agl oh s ssa

18 fo oao q o al shaao qalh oo q ofao goa. S fa ssa al I abbao: η ol. alo ssa I alao lgo so al o s aà: { a : { a a : a o. a a. { S o abbao ah alo ssa I ol ao - oao a loà agola ω so a qllo l o aos l sg ssa asfoao: osω s ω s ω osω ω θ ω Fg..: D ss fo o oao so all alo. oao h baal a so s ω ω osω s ha : [ ω ] ω ω. s h ss aso... h soo l o ol s ò g a asfoao oal alla soa algba ν ν ;

19 qaa ffal ll qao ooa o lla. o sabb alo ssa fo al. Dq la sa alao l ss fo h ossoo alla a gaaoal ah fgh/ ossa al o la gaà a so sgo a oao ooo s h abao la a q la goa llo sao/sao-o. Da q l sga fola a oa lasa la gaao G. Pa..: Sl so o al ga sal. Qao abbao aao l qao Gass-Wga oo soa abbao so h N soo la oogoal q soo ssa fo ah loo a lo loal qao gaoo s o lla sf qao s o s ssa al a s sosa ss abao o. Eo q alo so ssa fo lo ll oo h s oa. I l qao sa l aolo slla goa gl aaao a a o ah. Oa aao o ù ll abo ll Uso q lla laà Gal ao ao ao l fao h l oso Uso aa soal q gl ao a aablà h gg alo fo a o so h o soso ah A. slla laà sa ss Uso aaa qasoal la fsa ffal sso è ah al qasoal; o! s ha oaaa q osao l assaggo a ssa al all alo alloa o Es ao a ola a osa l Uso ha qasoal basa; q gl l qao goh sa l aolo aao oa o gl o a aablà a qao alo la qaa oo è qlla oal. aà o la oo Es soo s qao oa ol alloa è sosa la soa s sso. oao q l al h sao: Eq. Gass foa ù oosa; o Γ qsa à ah la aa l so Γ.5 g so o g /-qasaa qao.6 g g g Γ g sbolo Chsoffl ^ s.7 Γ Γ Γ Γ Γ Γ so aa a so.8 Il so o g l aso s o sa l s al so Mows η al al - ; al so a sa s oè o s η ; fa s abb :

20 η obbo l ssa lo ooa. Passao a ss oo o lla laà sa A. l >>>> s ha: ν ν η η g ν ν o.9 gν η ν. h è l qao assaggo a ssa all alo. I fo so gl al l l ll alfabo o aso sa l η l l ll alfabo go ν gl sa g ν a fo gaà Abbao so o l.. h a sfa s ò asa a qao h oga l ooa asa lassh o ah fssao aggo fao aa agol θ ϕ : osθ s ϕ ˆ sθ s ϕ ˆ osϕ ˆ Σ θ ϕ Oa l aso s ff abao ssa ooa >>>> o l soo aga aslao oao so al o saao ll lassh qao assaggo a ssa all alo a ss ooa aao s la sssa asao gafa ass h s soo all og all fo oso o gao. Cò ò ll abo lla goa la o o la s oglao. Fg..: D s ss fo l. S oa o sogo o assa a ssa o qllo Fg.. a o lo sao è qalh oo ao aga alla gaà lla aa ll ga o soso laà Gal alloa la goa la o è ù sff

21 qlla la o la alla a è ù ao. Ifa ll oo h s l assa a ssa oal a o o o s ò ù a la asao Fg.. a l ssa o aà aso a ass asa l solo ll fso o Fg.. qao sso lo ssso ao o aa alloao all og l ass s a o ho ù ala foa laà oooalà. Fg..: Caso ssa ooa l. Aò q ssa qao assaggo a ssa lo a o lo ll abo ll fso qao aa o h saà gal qso o:. sa:. l qao oso ll ssso l sf gl ogg go s ha oa ˆ ˆ ˆ ˆ : ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ. ˆ ˆ ˆ ˆ ol oa: { { {

22 . alloa: ˆ ˆ ˆ ˆ.5 q soo l oo lla bas la. Ess oa a qaa oa al h fo: δ. o oa ao la.5 o è als laa la oo Es s ha: S oa oglao ffa abao bas la o ooa a a l so oa h: l l ollao ab b s ha: l l a è ah o h o l.: l l ; sg h: l l ossa: l l.6 la.6 è l qao l abao bas. Lgg asfoao ll oo -o: sa go o ssso o l ooa l lla bas ; lla bas l s aà : l l la.6: l l l l o: l l.7 h è la qao asfoao ll oo -o abao bas. Baal la sa sa è: l l {

23 Lgg asfoao ll oo -so: ll A. slla laà sa abbao oao h s o so ago qao ollo a loo l oo o. S abbao q o S: o sao ooaa oao o s asfoao l loo oo λ ν λ σ S S >>>> ν σ λ λ λ λ λ ν σ ν σ νσ λ S S S o o s ν σ ν σ ν σ asfoao l oo so ago. S o o sl so ago so. ao -o: s abba -o: ; aolo: σ σ.8 ν gl abao a all alo hè ss aao s qao alo o oo ssaa ss ooaa gl sss a. Mollhao oa l soo bo lla.8 la qaà aa σ σ [ ] ν ; b la qaà a l qa è la a oaa è so qao foa o: σ σ σ ; ν Γ ν νσ aa oaa.9 o Γ νσ Sbol Chsoffl osso aff gà oo o la.. Iol l ssa. oo s ù foa oal oosa h η a a foa al la qaa oa al h f. oà: ν δ ν : η q l off Γ νσ lla.9 ossao ah slo l sg oo: σ Γνσ η ν ν η σ η η h so lla.9 ò ss σ ν ah so oo ù sl sa off a η: Γνσ. σ ν Po gà ll A. slla laà sa abbao oao h a al aa o à so. S o h al aa è so ago gà solo l fao h gl a h la oogoo ogoo ao o so. Iol la. l aolo slla Goa è so aa o so h aa ao o so.

24 ao so: s ha h: σ λρ σ λ σ ρν νσ λ ρν σ λ ρ σ ρ λ Γ Γ Γ ;. fa σ λ soo solo l oo sa so ol δ : so λ σ σ λ a : σ σ λ ν ρ ν λ λ σ ν ρ νσ λ λ σ σ λ ρ λ σ σ λ ρ σ ρ λ σ λρ σ λ σ ρν νσ λ ρν σ λ ρ λ λ σ ρ σ ; Γ Γ Γ. qao : ν ν ν ν δ a : ν ν Pa..: Slla asfoao Lo laà Gal. ao ao la.9 o saao all A. slla laà sa h è Lo aa: δ δ δ δ η η η o: δ η δ η. Dffao oa la. so a ε : ε δ δ ε η η ; oa soao a qs la la sssa o ε saba o soaao s la sssa o ε δ saba oo: δ ε η >>>>> ε la solo è: a Λ asfoao Lo. Qsa a alla. fos: δ δ δ η η η Λ Λ. Iol la. foa ffal è: Λ.. alao oa gl l lla a Lo o l so Lo Λ : Dall asfoao Lo A.8 A. abbao h // s fsoo alla o oo: // // ; ol oa s ha h: // // shè:.5

25 la. s ha: Λ a lasao l alfabo o l oo saal o qao off oal qllo go o: Λ Λ la..6 l.5.7 q l lo ha sgo o hé Dal ofoo a l.6.7 s ha: Λ Λ δ fao osa la oalao lfa o l ssso: Λ Λ o l ooo δ so Lo lla.7 ha so solo la oo lla.6 qao lla.6 oaa solo. S la. Lo a è aa alla.: hao osì: Λ λ. Λ qlla sa la Alloa o l so o ah A. slla laà sa o solo l oo saal oal s ossoo asfoa o Lo a ah qao qaso lo fao: Λ δ Λ Λ Λ oao h l oo so s ogoo ollao ε δ ε qll o Pa..: Il -o Moo-Ega l so Moo-Ega. ssa slla Dla Da: fo la Dla Da sosfa la sg qao: f f δ Paa ssa ll gal h oaolo è a soaoa ah sso fos s la fo gaa f a ala aabl. S a qalh bo so slla asfoaa Fo a l so lla Dla Da. ssa s o sà aa/ga: s a ho ga q ah aa o sà ola [ J / ] a qlla oal oò oa soa s : ε δ

26 o la Dla Da gaas l gso alo oso. lla soaoa og P qao gaa la oso sà o aa/ga J s ha oa: J δ fa [ J / ] ollao [ / s] à oo a o ol al o qao. I oo: J δ oa: J ε. Oa la soaoa è s ; a l oal bsoga ga ah sl o: J δ J δ ; ollao oa ao oao so h l o oo è ao: J δ J è -o hè al è. Iol J δ δ δ ε. Poao oa ε s o J ao la qaga ah A.: J è l aaa s Lo..8 Iol Q a g J ε l -o oo-ga: Gà è sao aao al o ll abo lla laà sa A.. Oa ;o f / / a la oo soal qlla oal: E q:.9 E.. Oa Lo: Λ. *: I alà oso la assa o assa fa à ol [g/ ]

27 l ENSOE oo-ga: δ è la oo oal. δ fa fo all oo saal ll s oo ù ooso: δ. La a è ffa oo la soa è ffa ga. Co a s è soao sll all. Soao o ah sl o s abb ah q oo a ollao ao oao : δ Oa la. a la. a: E / δ S oa la sa ; ol è so o al Lo s asfoa o sg: δ δ Λ Λ.. Iol oo o fao a gg alla.8 a la qa ga s ha: δ δ δ δ qao ll la ga s oo ao la gola lla ao ooo h ha a sa a ssa. Dq G δ ossa: G o: f G δ δ δ o f è oa a foa. S l all soo lb alloa os q >>>>!!!

28 Pa..5: Ioaa lasa. E oa olo oa a a foa al so oo-ga qao o h l l woao lla gaao lasa a sa oo oa sggo osì oolg qao s s alla sao l ao o ao oa h. P slà oso oa oalao. η ρ U U a sà qalsas: ν ν ν g ρ U U. osao: oao o sbolo ~ l ga h s fsoo a ssa q; ol alla. s h a soo bo è ooo a qaà oo [g/ /s] a loà [/s] oa l ossao * a ag. 6 q: assa loà loà J fao oè a sso..5 Qao o la qaà // è qlla oso all o o la. alloa s aà a soo bo l ooo la.9 a l ossao * ag. 6 è a ρ q s ha ρ. asso: ~ ~ ~ ~ δ [Pa] ρ ossa ρ o [Pa].6 Esso oa so asfoaolo soo Lo aoo o la. o so alo ssa go ossa o q: δ Λ Λδ ; s oà: { δ ρ ρ ρ ~ o fa o oo h l so Lo s ha: Λ Λ o Λ o Λ δ sg h: ~ δ ~ ~ Λ Λδ ΛΛ Λ Λ ρ [ ] ρ ~ δ ~ ~ Λ Λ Λ Λ Λ Λ ρ Λ Λ ρ Λ Λ Λ Λ Λ Λ δ l ò al o l ρ [ l l l ] ρ [ ] l ρ [ ] ρ ρ l l

29 I l alolo saao as: Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ l ll l l ] [ ~ ~ ~ ~ ~ ρ δ δ ] [ ] [ ] [ l l ρ ρ ρ ρ ρ ρ. ohè s Nl aso : Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ ρ δ δ ~ ~ ~ ~ ~ ] ][ [ ] ][ [ ] ][ [ ρ δ δ ρ ] [ ρ ρ ρ ohè s. I oal: ρ δ l oo saal ρ η U U l oo a a bol η o ì U U. P lo a gaaoal qalsas η >>>> g : ν ν ν ρ U U g. Pa..6: L Eqao lla goa. U aaasa aa lba o ha ao s l so oo ò gaa q l a sé sé o a alao gaà s s o sosso l oo s aog h sa ao solo s gaa gl al ogg aoo h s ooo. P a alla aa lba q è oa ssa fo a ossa: aa lba ooa l.7 o η. Possao ò la.7 l sg oo:

30 ν ν λ Mollhao oa ab b ao oo l fao h: λ δ λ s aà: λ ν λ Γ ν aa lba ooa l.8 qao lla goa o goa q slla a è la oa a a a loalà l ala λ λ o Γν. ν Pa..7: La lao a gν λ Γ ν. Gà aao al lao oso o goo la.5. aao oa la sssa lao ao a alolo o: Saao gà h: gν η ; alhao oa a qs la ν λ : g ν η λ λ ν λ ν η λ ; oao oa h Γ ν ν λ sg h: g ν λ Γ ρ λ ρ ν η Γ ρ λν ρ η Γ ρ λ g ρν Γ ρ λν g ρ.9 g g λν λ Sl s alolao o a : ν g ν g g λν λ g λ ν νγλ ; fo oa a a o so oo g νσ al h: νσ σ g g ν δ s aà q: σ νσ gν g g λν λ Γ λ g. λ ν saa ò h oo abo a goo ao l Caolo. Pa..8: Il l Nwoao. Saao h l l woao <<: ì Cò qal a h / / << / / / ossa ao: / << /. Co ò la.8 : Γ o la oo ; ol sso al l l ao saoao g ν a η ν os alloa l a oal g ν soo ll alloa la.:

31 g ν Γ g ν h g η h o h << q: Γ η : h a : h. a : C. M GM Oa saao alla gaao Nwo h: a G ˆ a : a ˆ a: GM GM GM ˆ φ o φ q: a φ a qs la o la. g h: h φ os ; so h all fo h φ alloa os : g η h φ. φ qao Posso: fao oa o oà l flsso l o alao a : a GM GM S Φ ; s ha: Φ a a S ˆ S ˆ osθs GM GMΩ a : Φ a a S GM Ω πgm a: M ρ a : S Φ a πg ρ a S fo ho of D a _. S oè: a πgρ ˆ Asso so h s ha all aals aaa h alloa: φ a q: φ φ πgρ Eqao Posso. Pa..9: Il so Caa a-chsoffl. σ νσ gν g g λν λ Al aagafo.7 abbao osao h Γ λ g oè λ ν saa ò h oo al Ca. o la.5 ha a goa. Oa sabb ossbl sbb foa o aollosa sla la foa l so aa a-chsoffl a alol a aa oo aaloga ol Pa..7 a s o ao qao oo al Ca. o la. h q oao oa ha ù a goa o so l gh gl oa h alao q a gaaoal sà qalsas oao alsì h q al soo a qao alo sao-o saal o oal: λ λ λ λ λ η λ η λ Γν Γ η λ η λ ν Γν Γ ν ΓνΓ η Γ Γνη Γ ν ν Γ η Γ Γ νη.

32 ah σ λσ ν g λν a : g oao l ssso. λν Γ ab : σ σρ g ρ gρν g ν σρ g ρ g ρ g λν gλσ ν gλσ [ g ] gλσ [ g ] ν ρ ν ρ η σ η σ g [ Γ Γ Γ Γ ]. λσ ν η νη Oa saao h lla.9 ossa lla sg: λσ σ ν σρ ρ g λσ g δλ a : g g σρ λσ g g q o ah oo Γ g Γ s ha: σρ σρ σρ η η gλσ g g gλσ g Γλ gησ Γ σ gηλ.5 o è sao oa ffao olo aggsao gl h oaolo hao a ala gà ossa oo oa s so o ; è oa h ss ao s qao alo o oa saao h la loo o sa o. oao alla. la sssa a ga alla.5: λν gλν [ gν λ gλ ν g ν λ ] [ Γ η λ g ησ Γ η σ g ηλ ] Γ σ ν [ Γ η νλ g ησ Γ η νσ g ηλ ] Γ σ η σ η σ g [ Γ Γ Γ Γ ] oè: λσ ν η νη g g λν ν g g λ η σ η σ λν [ ] gησ [ ΓνλΓ Γ λγν ] λ ν ν λ.6 Co l so abbao fao ah alla f l Pa.. ao oà l so h soo fa a: λν -Sa λν ν λ -Asa λν λν -Clà Il so : λν λν λν λ ν λν g λν λν s fa a h:.7 g g g λν λν λν λν λ ν λν E o als la ala sssa al so o la aa Gass la. bsoal a ao l o so aa. L Ià Bah: oo ssa ooa loal al ao gaaoal o fo a Γ soo ll; fa la ffa a l qao lla goa o sao ab lo.7 qlla o sao fo ao alla gaà ossa la.8

33 sa oo lla oasa Γ ab. I ssa ooa loal al q la.6 fos ao ;η sssa alla sa η : g g λν ν g g λ λν ; η [ ].8 η λ ν ν λ q fa a s ha h: λν; η λην ; λ η ; ν Coao ollao o qs la ν oao aoa: ; η η ; η; ν λ ν o λν g s ha: ν h qal a s ah gl l soo sl: ; η η; η; ν >>> /: ν ν η δη ; g ;.9 Caolo : L Eqao l Cao Gaaoal Es. Pa..: L Eqao l Cao Gaaoal Es. S aa 6 qao alà qao l sss ogoo so ago ossa a ogo qal ò ass alo q 6 a al qao o soo la a loo ossa ogoo oo qll soo ao. Saao alla. h g o oao o la oa Nwo bas φ aa all.6 saao h aa o lasa: ρ ρ o oalao ; s ha o h: g g [ φ ] φ 8πGρ 8πG ossa: g 8πG ; ossao q sso soo h alga gaglaa l o: G 8πG a gaaoal sà qalsas: G 8 ν πg ν Dao oa q aolaà h G ν a: A fo G ν è so so h l so oo-ga ν lo è B ν G oss o a so l so o ò gaao g C G ν è so o ν Dso ν è osao ν ; alloa ah G ν sl lo soo G ν ; E a saoa bol o las s ha: G ν g

34 A B ogloo h G ν sa oooal al so aa.6 o glo la.8 als ooso a a so l so o. Iol la sa gl ol h l so aa sa asao al so all alao so aagafo sl so : C C g. G ν ν ν a o l.9 abbao ah so h: ν δν ; a : ν ; δ ν ; ; ν ; ollhao oa la. g : C C Gν C ν Cgν G ν ; Cν ; C; ν ; ν C; ν C ; ν C P la aolaà D o C o ; ν ; la soa è a sl ohé: ν ν G C gν g C C C 8πG q s ; ν s alla alao aa a ν a o o sao aoa l aso aa o lasa. Alloa: G ν C ν gν. Oa ga alla aolaà E alolao C : ss o las s ha s: << ossa: G << G a la. q soa: g ; ol g η so Mows q:. La. o ν g η fos: G C C ; ol a bol ossao s la.6 o Γ o a la.8: ab g g λν ν g g λ λν λν [ ] λ ν ν λ η λν ; sso l ao sao l a oal s allao: G g g g a : C g C g a C G g ν ν ν q: λν λν η λ ν η η η ν λ ν gν 8πGν. h soo l qao l ao gaaoal Es h sao: 8 ν gν πgν

35 h oo h la aa ν aa-ga ν llo ssso!!! llo sao-o è gal alla sa ν Coao oa o g s ha: 8πG ossa 8πG q: λ ν 8πG ν gνλ ala foa ll qao Es. Nl oo f q. Caolo : ss lass lla oa Es. Pa..: La a. ν S abba s o oo slfa. Dfao so o gal ao gaaoal sa sao sooo; sao sgfa h l so o o al o gao la sa foa l s aash o hao fo a off. Isooo sgfa h è a agl aa oaoal; saao fa h la oa o l ooo sala a o soo aa oao: o ò ooa oogoal qas owsa qas η ν gν F E D C. / ooa sfh: { s θ osϕ sθ s ϕ osθ X P θ φ θ φ X θ s θϕ F E D C θ s θϕ Dfao oa l alao la φ lao gl l o agoal s oo: φ E ; ss a ooaslao/alao la h a foa F aoa la foa qaaa q soa: F G C θ s θϕ o: E G D F Dfao C ; oao alloa la foa saa: B A θ s θϕ. C C o B F A G C A o ssa q la foa saa.:

36 B A θ s θϕ al ofoo o l ssso gal lla a.9 s h: g A g è oogoal s ha h: g A ν g θθ g ϕϕ s θ g B so g θθ g ϕϕ s θ g B. λ λρ gρ g ρν g ν Sao o h la.: Γ ν g g h l sol ν ρ qaà o ll soo: A s θ B θ θ Γ Γ θθ Γ ϕϕ Γ Γ θ Γθ A A A A θ ϕ ϕ ϕ ϕ B Γ ϕϕ s θ osθ Γ ϕ Γϕ Γ θϕ Γϕθ oθ Γ Γ. B Calolao oa l so λ ν λ ν lla.: λ λ Γλ Γ η λ η λ Γ λ λγ η Γ Γ λη oao h Γ λ λ è so s ah al fa a; q oal oao h: B B B A B B A B A A A B A A B θθ A ϕϕ s θ θθ B B A B B ν ν. A A A B A Pa..: La solo Shwashl. Saao gà h: B Iol l oo q ν A θ s θϕ θθ ;. oao ol h: A B la. s ha: A B A A B A B oè: A B A B os.. Po l so o g ν aossas al so Mows η ν ooa sfh ossa: l A l B a la.: A sao qs la ll ssso θθ s ha: B B B θθ θθ B B ; oo θθ s ha: B B B B B B a : B os.

37 GM Iol : g g B φ φ GM GM B [ ] A [ ] oè f: GM GM [ ] [ ] θ s θϕ Solo Shwashl.5 Pa..: L qao gal l oo. Saao q h B A θ s θϕ ao ol oo ν λ ν lla qao lla goa.8: Γ νλ ha alloa fao aa : A A θ θ θ A ϕ s θ ϕ A B A go oa: s.6 s θ osθ.7 ϕ ϕ ϕ θ oθ.8 B.9 B Oa so l ao è sooo oao θ π q l l.8.9 ao: ϕ [l l ] [l l B] a : ϕ J osa. B os sla. a :. Iso oa l.. la oo θ π saa a B lla.6 s ha: A J B ollao oa A : A A A B J [ A ] oè: B J A E osa. B Fao o ssa a la oo θ π saa a la... s o: E.

38 Saao h E foo E> all aal. So A è s oso s ha h la alla ò aggg solo s la.: J E. Usao o la. ll... s o: B ϕ JB. A J E.5 B B EB ϕ Saao oa h a bol: B φ J J E φ.7 qao: alo φ B φ La.7 ha a aaloga lla aa lassa Nwo..6 P ob gal φ; saao o h: { ϕ J J A E B lao s ha: A E ϕ J B J.8 o solo: / A ϕ ±.9 E / J B J Pa..: La flsso lla l a a l Sol. S ϕ ϕ b Δφ Fg..: La flsso lla l a a l Sol.

39 ; b è l aao o. All fo b s ϕ ϕ ϕ ϕ : S lsol os ϕ ϕ ; è la loà oo osa. Esso all fo AB so qs lao ll..5 s ha: J b. E. La. è baal; o la. ossao h: b ϕ ϕ a : ϕ ϕ ϕ ϕ a : b J ϕ ϕ / P s ha h / ϕ la.8 alloa : J la.9 B o fal assagg: / A ϕ ϕ. / [ ] B B La aao oal φ è: ϕ ϕ s l aggo l oss sbao s abb a aao a a π q o fo alla Fg.. s ha: ϕ ϕ ϕ π ; foo la. fos: B ϕ ϕ A / [ ]. B Usao oa gl sl alo o a obso: GM GM A... B... s ha: GM... B [ ] [ GM...] B GM... GM [ GM ] [ ][...] L la gaglaa è fabl a. La. alo: la solo gal s oga l gal saà GM GM ϕ ϕ A / [ ] [...] ossa: I. I. I. os l o s oà

40 GM ϕ ϕ s [ ]... q: GM GM ϕ oao la osa oalao s ha f: ϕ ; o 8 S 695 M S 97 g s ha: ϕ 75 oo aoo o a sal. I alà qao l 99 f ffaa a so Basl la sa al flsso lla l ll sll a a l Sol oaso a lss la so lla sa a llo ssso o gaa l slao. Pa..5: Calolo alao lla flsso o ofl aagoso alla G. Qso oo F fa la slla aao loà h la l sbs qao s aossa a a assa; al ago ao ofl aagoso alla a G. Essoo o ah al o ù o o sl h s basao s al soso a so Wåhl a h osao f al loa sao ah ù ofo a a sal. oao ao h Shwashl a so la.5: B A θ s θϕ ;. Saao o h gal: sso foo sg h: a la.: ϕ B A θ s θ ; ol osao l h agga aal so l Sol ossao alla l oo θ ϕ : B A ;.5 la loà lla l è loao alla assa l Sol ossà llo ssso al la.5 alla qal s aa h: B A / ; Dal Pa.. abbao alo A B ò l oo alol a o oo h o è ù ; q: GM GM GM B [ ] A [ ] [ ] GM agl sl s slla aabl s ha baal h: GM GM GM GM GM GM [ ] [ ] / [ ][ ] [ ] ossa: [ ] Agolo flsso < Sol Fo oa Fg..: L loà fo oa.

41 Co fo alla Fga. la a fo oa h è ù loaa alla assa M ha loà qlla ù a ha loà <. O a l Sol M Fg..: Sha alol. Oa o fo alla Fga. s ha: q. ho;.6 alhao oa l oao alla.6 oo: a : / slla sf lla assa M: Oa: GM GM [ ] a : GM GM GM. Calolao oa la ffa a a fo oa a saa al all qal la l ha loà sa a a : a : ;.7 ol s ha alo: ossa: la.7 a:.8 Po s alla Fga. alla.8 s ha:. La flsso oal sba a è osao h al ag è qas s gal a a h aa ossà M: ossà lla sf M : GM GM / GM GM 75 oo o oo al Pa..!!! / GM oè:

42 Pa..6: La sso l lo a. a a - a foosol Fg..: La sso l lo Mo. P a aola Mo sol s oa h l lo s sosa. I s ha h. Saao o gà h la.8: ϕ A ϕ J E B J B B a : E ; qs la B B a: E J B J J.9 / A S ha: ϕ ϕ a l.9 s ha: E / [ ] J B J ± ± [ B B ] [ B B ] ϕ ϕ [ ] / A /. [ B B ] La aao oal φ è: ϕ ϕ ϕ. I assa sso s abb: π π. La sso ll oba al: ϕ ϕ ϕ π. oao oa gl sl obso ag. 9: GM GM A... B... Abbao bsogo o slo al o ss obo. P B abbao alloa: GM G M B.... B al lla. B o à

43 Co al sl la a lla. ò s a a foa qaaa ; s ò oq oa h al qaà s alla ± q: [ B B ] [ B B [ B B ] ] C C ò ss aa sgo l l : [ B ] [ B ] C ; oa faoao al ao al oao: [ B B ] MG s o: C MG ; o al sla lla. s o: ϕ ϕ... [ MG s Ψ ] GM [ ] [ ] / ; fao oa:. s o: Ψ π ; ol basa aa fo Ψ lla. sos ll gal : π ϕ ϕ... [ MG ][ Ψ ] MG osψ. 6πMG P la. all aflo Ψ π q: ϕ ϕ ϕ π [a/] L o L slao o. 6πMG Sao oa h ± ± a L a oa ** soo s ha: ϕ L 6πMG oao la osa oalao al s ha: ϕ ; Mo L 9 L 55 a ϕ 8. Oa so solo Mo o 5 olo s ha ϕ s olo oo aoo o a sal so h l s Mo salgoo al 765 Cl l 9 alolò: ϕ ±

44 **: al osao sll llss: P Foo Fg..5: L llss. S ha la fo sssa llss h: PFP o è l à è la. Dq: a ; o fal alol oao h << o a / b a a saao ah h b a alla b a fo llss q ofoo: a. Cosao o ah l alo foo s ha h: PF PF osa; fa: PFP PF P PF PF [P P ]osa oa sa

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