Scambiatori di calore

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Scambiatori di calore"

Transcript

1 Appunti di ISIA ENIA Scmbitori di clore Introduzione... Progetto e scelt di uno scmbitore di clore... ipi più comuni di scmbitori di clore... Differenz medi di tempertur...3 Medi logritmic delle differenze di tempertur...5 Esempio numerico...9 Efficienz di uno scmbitore... Resistenz termic d incrostzioni (cenni)... oefficiente di scmbio termico vribile (cenni)... 3 Vrie sugli scmbitori di clore... 3 INRODUZIONE Uno scmbitore di clore è un dispositivo in cui si verific l trsmissione di clore tr due o più fluidi. E chiro che l trsmissione di clore vviene in conseguenz di un differenz di tempertur tr i fluidi in questione. Esistono vri tipi di scmbitori di clore, clssificbili in bse l tipo di processo di scmbio termico: il tipo più semplice di scmbitore è quello mescolmento diretto: si trtt di un contenitore in cui si mescolno direttmente un fluido cldo ed uno freddo: in questo cso, i due fluidi rggiungono l stess tempertur finle (che è un medi pest delle temperture di prtenz) ed il clcolo dell quntità di clore scmbit è molto semplice: bst uguglire l energi perdut dl fluido cldo e quell cquistt dl fluido freddo. ipici esempi sono i riscldtori dell cqu di limentzione, i desurriscldtori, i condenstori d iniezione; il tipo più comune di scmbitore è invece il cosiddetto recupertore, in cui un fluido è seprto dll ltro d un prete, ttrverso l qule fluisce il clore. i sono molti tipi di recupertori: si v d quello più semplice, costituito d due tubi cossili (con diversi metri qudri di superficie di scmbio), i condenstori ed gli evportori molto complessi (dove i metri qudri di scmbio termico sono miglii). r questi due tipi limite, c è poi il vsto cmpo degli scmbitori tubo e mntello: questo tipo è molto comune in qunto è spesso crtterizzto d un grnde superficie di scmbio e, contempornemente, un volume reltivmente piccolo. per cui si prl di scmbitore conttto diretto per cui si prl di scmbitore conttto indiretto o di scmbitore superficie

2 Appunti di isic ecnic PROGEO E SELA DI UNO SAMBIAORE DI ALORE Il progetto completo di uno scmbitore di clore si può scindere in 3 fsi principli: studio termico: quest fse preliminre, che è l unic di nostro interesse, rigurd principlmente il clcolo dell re dell superficie di scmbio termico necessri, fisste che sino le portte e le temperture dei fluidi; progetto meccnico: ci si interess qui lle temperture ed lle pressioni di esercizio, lle crtteristiche corrosive dei fluidi, lle diltzioni termiche degli stessi ed lle tensioni conseguenti, ll interdipendenz tr lo scmbitore e l impinto del qule esso f prte; progetto esecutivo: in quest ultim fse, le dimensioni e le crtteristiche fisiche dello scmbitore vengono trdotte in un pprecchitur che poss essere relizzt l minimo costo; si trtt quindi di scegliere i mterili, le gurnizioni ed ogni ccorgimento meccnico. Per relizzre l mssim economi, l mggior prte dei costruttori h dottto, per gli scmbitori, dei modelli normlizzti: sono cioè fissti, dlle norme, i dimetri dei tubi e le pressioni di esercizio, nonché l uso di disegni e procedimenti costruttivi. IPI PIÙ OMUNI DI SAMBIAORI DI ALORE Il tipo più semplice di scmbitore di clore tubo e mntello è mostrto nell figur seguente: igur - Schem di un semplice scmbitore di clore tubi cossili controcorrente Abbimo in prtic due tubi cossili: quello interno è il tubo proprimente detto, mentre quello esterno è il cosiddetto mntello. Uno dei due fluidi scorre nel tubo, mentre l ltro scorre nello spzio compreso tr i due tubi. i sono ovvimente due sezioni di ingresso e due sezioni di uscit. Dl punto di vist dello scmbio termico, non h importnz l scelt del fluido d fr scorrere nel tubo e di quello d fr scorrere nel mntello. uttvi, si preferisce fr scorrere il fluido cldo nel tubo interno, in qunto il fluido cldo sporc più di quello freddo ed il tubo interno è sicurmente più fcile d pulire rispetto l mntello.

3 Scmbitori di clore Il processo di scmbio termico vviene per convezione ttrverso i fluidi e per conduzione ttrverso le preti solide (le cui superfici, intern ed estern, sono in genere ricoperte d un deposito, detto fouling, dovuto l pssggio dei fluidi stessi). Dto che entrmbi i fluidi ttrversno lo scmbitore un sol volt, si prl di scmbitore di clore d un pssggio. Per umentre l re dell effettiv superficie di scmbio termico per unità do volume, l mggior prte degli scmbitori in commercio comprende più di un pssggio nei tubi e sono inoltre provvisti di difrmmi che determinno un movimento tortuoso ll esterno dei tubi. Non solo, m c è un ltr importnte clssificzione: nell figur si not che i due fluidi scorrono in versi opposti: quello cldo ( tempertur ) verso destr, mentre quello freddo ( tempertur ) verso sinistr. Si prl llor di scmbitore controcorrente. Se i due fluidi scorressero invece nello stesso verso, llor si prlerebbe di scmbitore d equicorrente. DIERENZA MEDIA DI EMPERAURA In generle, le temperture dei fluidi ll interno di uno scmbitore di clore non sono costnti, m vrino d punto punto, cus del flusso termico dl fluido più cldo quello più freddo. Di conseguenz, nonostnte l resistenz termic si costnte, l potenz termic q R vri lungo lo scmbitore, proprio perché ess dipende dll differenz di tempertur tr fluido cldo e fluido freddo. onsiderimo, come primo esempio, uno scmbitore di clore in equicorrente d un solo pssggio. Voglimo indgre sull ndmento dell tempertur sull superficie di scmbio termico. le ndmento è riportto nell figur seguente: igur - Distribuzione di tempertur in uno scmbitore di clore in equicorrente d un solo pssggio. Il pedice f contrddistingue il fluido freddo, mentre il pedice c il fluido cldo Nell prte sinistr del digrmm, bbimo l sezione di ingresso dello scmbitore, dove i due fluidi sono ll tempertur inizile rispettivmente di I (fluido cldo, curv in lto) e I (fluido freddo, curv in bsso). In corrispondenz di quest sezione, quindi, esiste l mssim differenz di 3

4 Appunti di isic ecnic tempertur (indict con ) tr i due fluidi. Mn mno che i due fluidi prendono scorrere (entrmbi d sinistr verso destr, visto che simo in equicorrente), essi scmbino potenz termic ttrverso un superficie sempre più grnde, per cui le rispettive temperture si vnno vvicinndo. Nell sezione finle dello scmbitore, le temperture finli sono, rispettivmente, U e U e quindi corrispondono ll minim differenz di tempertur b esistente tr i due fluidi. Un cos molto interessnte è che l tempertur U di uscit del fluido freddo non può mi uguglire l tempertur U di uscit del fluido cldo, prescindere dll lunghezz del percorso: inftti, come si osserv nell figur, gli ndmenti delle due temperture hnno entrmbe un vlore sinico finle che non consente l incrocio. Questo ftto rppresent uno svntggio dell equicorrente. Nell figur seguente è riportto quello che ccde nel cso di uno scmbitore di clore in controcorrente, sempre d un pssggio: igur 3 - Distribuzione di tempertur in uno scmbitore di clore in controcorrente d un solo pssggio L sezione sinistr è quell di ingresso del fluido cldo ( tempertur inizile I ), il qule scorre d sinistr verso destr, mentre l sezione destr è quell di ingresso del fluido freddo ( tempertur inizile I ), che scorre d destr verso sinistr. A seguito dello scmbio termico, si h un profilo di tempertur molto simile per i due fluidi e l situzione è profondmente divers rispetto l cso visto prim. Notimo che, l contrrio di prim, l tempertur U di uscit del fluido freddo può uguglire e perfino superre l tempertur U di uscit del fluido cldo: inftti, lungo lo scmbitore esiste un grdiente di tempertur fvorevole. Un ulteriore vntggio dello scmbitore in controcorrente è quello richiedere, per un ssegnt potenz termic, un superficie minore dell equicorrente. Un cso ssolutmente prticolre di scmbitore di clore è quello in cui uno dei due fluidi subisce un pssggio di stto. i sono llor due csi: il primo cso è quello di un condenstore, nel qule il fluido cldo è un vpore che condens. In questo cso, dto che l condenszione vviene, come è noto, tempertur costnte, per sottrzione di clore; tle clore (detto clore ltente di condenszione) interviene quindi riscldre l ltro fluido, quello più freddo. L ndmento delle tempertur è dunque il seguente: 4

5 Scmbitori di clore igur 4 - Distribuzione di tempertur in un condenstore d solo pssggio l ltro cso è quello di un evportore, nel qule il fluido freddo è un liquido che evpor. Ancor un volt, il pssggio di stto (evporzione) vviene tempertur costnte ed il clore (detto clore ltente di evporzione) necessrio tle pssggio di stto è fornito dl fluido più cldo, che quindi si rffredd durnte il percorso nello scmbitore. L ndmento delle temperture è dunque il seguente: igur 5 - Distribuzione di tempertur in un evportore d un pssggio Osservimo che, rispetto i due scmbitori considerti prim, dove non vveniv lcun pssggio di stto, desso il verso del moto dei due fluidi non più lcun importnz; nzi, il fluido che cmbi stto (rimnendo ll stess tempertur) può nche essere fermo 3. Medi logritmic delle differenze di tempertur Abbimo dunque cpito, di csi ppen esminti, che l differenz di tempertur tr i fluidi, ll interno di uno scmbitore, vri d punto 3 Questo è il motivo per cui, nei digrmmi di tempertur reltivi condenstore ed evportore, non è stto indicto lcun verso di percorrenz per i fluidi che rimngono tempertur costnte lungo tutt l superficie dello scmbitore. 5

6 Appunti di isic ecnic punto, per cui vri con ess l potenz termic scmbit. Simo llor interessti cpire come clcolre l potenz termic complessiv scmbit tr i due fluidi. Intnto, se l differenz di tempertur vri d punto punto, non bbimo ltr possibilità se non quell di comincire rgionre in termini infinitesimi, il che signific prtire dll equzione dq U da dove U è l conduttnz globle per unità di superficie 4. Dobbimo integrre quest equzione tutt l superficie di scmbio termico A. ccimo un serie di ipotesi semplifictive: in primo luogo, supponimo che U si costnte su tutt l superficie di scmbio termico; in secondo luogo, supponimo trscurbili le vrizioni di energi cinetic; infine, supponimo che il mntello dello scmbitore si dibtico, il che signific supporre che non ci sino flussi di clore che si disperdono verso l esterno. Sotto queste ipotesi, considerimo desso un elemento infinitesimo di re da: ttrverso tle elemento, pss un quntità di clore 5 dq dl fluido cldo quello freddo; tle quntità di clore dq può quindi essere vlutt si come pers dl fluido cldo si come cquisit dl fluido freddo: per il fluido cldo, bbimo che dq mdh mc Pd, dove m è l portt mssic (kg/h), h l entlpi specific, c P il clore specifico pressione costnte (kcl/kg ), l tempertur medi di mss ( ) del fluido 6 ; per il fluido freddo, invece, bbimo che dq ± m dh ± m c Pd, dove il segno positivo vle per l equicorrente (cioè per un pendenz positiv del grdiente di tempertur), mentre quello negtivo per l controcorrente (cioè per un pendenz negtiv del grdiente di tempertur). Uguglindo le due espressioni, possimo dunque scrivere che dq m c d ± m P c P d Adesso possimo indicre con e con m c P quell del fluido freddo: d ± d m c l cpcità termic orri (kcl/h ) del fluido cldo P Supponendo che queste due cpcità termiche orrie sino costnti lungo tutto lo scmbitore, l integrzione di quest uguglinz è semplicissim: scegliendo, per l integrzione, l sezione di ingresso (crtterizzt dlle temperture I e I ) ed un generic sezione (crtterizzt d e ), ottenimo che ( ) ( ) I I 4 Dto che considerimo un re di scmbio infinitesim, possimo ritenere che, su tle re, i due fluidi bbino, ciscuno, un tempertur costnte, il che signific che è nche costnte il vlore di U. 5 Prlre di quntità di clore (o energi) equivle prescindere dl tempo (nel qule cso prleremmo di potenz termic) 6 Il pedice st ovvimente per cldo, mentre il pedice usto dopo st per freddo 6

7 Scmbitori di clore dove bbimo eliminto l mbiguità di segno per il fluido freddo in qunto se ne tiene conto nell integrzione. Possimo or esplicitre l differenz di tempertur, tr fluido cldo e fluido freddo, nell generic sezione: ggiungendo e sottrendo il termine primo membro e rirrngindo, si ottiene che I I Adesso, dto che risult dq U da U da ( ) in corrispondenz dell generic sezione, possimo sostituire l espressione ppen ricvt per il : dq U da I I D ltr prte, il dq che compre in quest formul può essere vlutto, come ftto prim, si in bse l fluido cldo ( dq d ) si in bse quello freddo ( dq d ). Dto che secondo membro compre l vribile, sceglimo l espressione dq d : uguglindo, bbimo dunque che d U da I I Seprndo le vribili (che sono re e tempertur), bbimo dunque che d I I U da Quest equzione v integrt tutto lo scmbitore: l estremo inferiore di integrzione è l sezione di imbocco, dove A0 e I ; l estremo superiore di integrzione è invece l sezione di uscit, dove AA e U. Senz scendere nei dettgli nlitici, si trov che U I I I I I U A E possibile semplificre l rgomento del logritmo primo membro: 7

8 Appunti di isic ecnic ( ) ( ) I I U I I I U A Non solo, m è nche possibile eliminre del tutto le cpcità termiche orrie: inftti, vendo, risult nche che trovto prim che ( ) ( ) I I I I Quest relzione vle per l generic sezione dello scmbitore e quindi nche per quell di U I uscit, in corrispondenz dell qule risult quindi : sostituendo, tenendo conto nche che q ( ) ( ) e rirrngindo il tutto, ottenimo dunque che I I U I U I U I [( ) ( )] U U I I U A q D qui possimo dunque tirr fuori l quntità di clore q scmbit complessivmente: q [( ) ( )] U U I I U A U I U I Possimo nche osservre che min b U U e che mx I I, per cui risult q U A b b Quest relzione è nell clssic form q U A, dove però l differenz di tempertur h un espressione piuttosto compless: si definisce llor medi logritmic delle differenze di temperture lle estremità (brevemente MLD) l quntità b b (osservimo che quest definizione vle, in bse l procedimento seguito, si per l controcorrente si per l equicorrente). i sono lcuni csi prticolri che vl l pen citre: 8

9 Scmbitori di clore un cso semplice è quello in cui risult : in questo cso, se lo scmbitore è controcorrente, l differenz di tempertur tr i due fluidi (si ricordi il digrmm precedentemente riportto) è costnte lungo tutto lo scmbitore, il che comport che b ; un ltro cso semplice è quello in cui è mggiore di non più del 50% di b : se è così, il vlore di differisce dll medi ritmetic delle differenze di tempertur per meno dell %, per cui può essere ust l medi ritmetic, con conseguente semplificzione dei clcoli. A questo punto, è bene osservre che l uso dell MLD è comunque un pprossimzione, derivnte dl ftto che U generlmente non è costnte. E però bbstnz complicto tener conto delle vrizioni di U, per cui, nei progetti, si us clcolre U in un sezione medi, in genere equidistnte dlle estremità, e considerrl quindi costnte. Un ltro problem è quello del clcolo di per scmbitori di clore dll struttur compless. In questi csi, il metodo più usto consiste nel modificre l MLD con opportuni fttori di correzione. Per ottenere l effettiv differenz medi di tempertur in questi scmbitori, si deve moltiplicre l MLD clcolt per l controcorrente per l pproprito fttore di correzione: effettiv MLD ornimo dunque ll espressione q U A b b In quest espressione le incognite sono generlmente l quntità q e l tempertur di uscit o del fluido freddo o del fluido cldo; queste si può ggiungere nche A. i sono llor vrie possibilità: l prim è quell in cui si vuol clcolre l quntità q necessri d ottenere un prefisst tempertur di uscit per il fluido freddo (risp. per il fluido cldo): in questo cso, A è not, mentre l tempertur di uscit del fluido cldo (risp. del fluido freddo) si clcol tenendo conto che lo scmbio di clore è dibtico rispetto ll esterno; l second possibilità è che sino note A e q e si vogli clcolre l tempertur di uscit del fluido freddo o di quello cldo; un ltr possibilità ncor è quell in cui l incognit è l re A necessri d ottenere un determint tempertur di uscit per un ssegnt quntità di clore d scmbire. Esempio numerico onsiderimo uno scmbitore di clore relizzto con un tubo di dimetro esterno D est 5mm. Voglimo rffreddre 5000 kg/h di un soluzione di lcool etilico l 95% (per il qule c P 0.9 kcl/kg ) d e voglimo usre 750 kg/h di cqu liquid disponibile 0. Supponendo che il coefficiente di scmbio riferito ll superficie estern del tubo vlg 500 kcl/hm, voglimo clcolre l superficie di scmbio necessri nei seguenti 3 csi: 9

10 Appunti di isic ecnic equicorrente pur; controcorrente pur; scmbitore tubi e mntello con pssggi nel mntello e 7 pssggi nei tubi, con l lcool che scorre nel mntello e l cqu nei tubi. A prescindere dl tipo di scmbitore utilizzto, possimo sempre pplicre il bilncio dell energi tr le due correnti (supponendo trscurbili i termini cinetici e le dispersioni di clore verso l esterno): uguglindo l energi pers dl liquido cldo (lcool) e quell cquistt dl liquido freddo (cqu), bbimo che m c m c P ( ) ( ) U I dove, l posto dell generic sezione dello scmbitore, bbimo usto quell di uscit (mentre quell di ingresso è fiss nell formul). In quell equzione conoscimo tutti i vlori numerici (ricordimo che, per l cqu, risult c P kcl/kg ), slvo l tempertur di uscit del liquido freddo, che quindi può essere clcolt: mc m c P ( ) ( ) 0 36 P U U I I P Quindi, il clore ceduto dll lcool ll cqu provoc il riscldmento di quest ultim fino 36. L potenz termic trsmess dll lcool ll cqu è dunque U ( ) ( 66 40) q m c P I U I kcl h A questo punto, per il clcolo dell superficie di scmbio richiest, subentr il tipo di scmbitore. Inftti, dovendo pplicre l relzione q U A dobbimo cpire come clcolre. Si per l equicorrente si per l controcorrente, vle l definizione b b Nel cso dell equicorrente, bbimo che ( ) ( 66 0 ) ( ) ( 66 0 ) 0 q d cui scturisce che A 59m. U Nel cso dell controcorrente, invece, succede un cos prticolre, già precedentemente osservt: inftti, fcendo i conti si osserv che m c m c, nel qule cso ccde che b 30 : con questo vlore, l superficie di scmbio richiest h re 0 P P

11 Scmbitori di clore q A 39m U ome previsto, lo scmbitore in controcorrente richiede un re di scmbio minore rispetto d uno scmbitore in equicorrente. Pssimo infine l terzo tipo di scmbitore, ossi d uno scmbitore tubi e mntello con pssggi nel mntello e 7 pssggi nei tubi. In questo cso, è necessrio usre un opportuno fttore di correzione per modificre il vlore dell MLD clcolt per l controcorrente: effettiv MLD Appositi digrmmi forniscono, per il cso in esme, il vlore 0.97, d cui quindi si ricv che effettiv MLD on questo vlore, si ottiene che q A U effettiv 40.65m In reltà, potevmo risprmire un pssggio nel procedimento ppen seguito: inftti, sostituendo l espressione MLD in quell di A, ricvimo che effettiv A q U effettiv q U MLD q U MLD Si not che il termine tr prentesi è il vlore dell re di scmbio clcolto per l controcorrente, per cui bstv direttmente dividere tle vlore per il fttore di correzione: A A,controcorrente A questo punto, osservimo che il vlore del dimetro dello scmbitore, fornito dll trcci, non è stto usto. In effetti, not l superficie di scmbio richiest, esso serve solo determinre l lunghezz dello scmbitore: nel cso dell equicorrente pur o dell controcorrente pur, tle lunghezz è dt d L A πd nel cso dello scmbitore tubi e mntello invece, l formul è nlog, m bisogn tener conto del numero N di pssggi nei tubi: l lunghezz è dunque dt d A L N πd

12 Appunti di isic ecnic Sostituendo i vlori numerici, si trov qunto segue: 59 equicorrente pur L 75.6m controcorrente pur L 497m / 7 scmbitore tubi e mntello L 7.m EIIENZA DI UNO SAMBIAORE Abbimo visto che, per studire i vri tipi di scmbitori di clore, v ust l equzione q U A medi Quest espressione è conveniente qundo si conoscono le tempertur estreme (trmite le quli si può clcolre medi ), per cui ess è ust nel progetto di scmbitori con crtteristiche termiche fisste. i sono però molti csi in cui le temperture di uscit dei due fluidi non sono note, mentre si conosce solo il vlore di U. In questi csi, l unico modo di clcolre le tempertur di uscit e quindi l potenz termic scmbit è quello di ricorrere d un metodo per tenttivi, piuttosto noioso. Si è llor trovto il modo di eliminre del tutto ogni riferimento differenze medie di temperture di qulunque tipo. Vedimo come si procede. Per ottenere un espressione dell potenz termic scmbit che non comprend lcun tempertur di uscit, si consider l cosiddett efficienz dello scmbitore (simbolo: ε), definit come rpporto tr l potenz termic effettivmente scmbit nello scmbitore e l mssim potenz termic scmbibile. Quest ultim corrisponde ll potenz ottenibile d uno scmbitore di clore idele, ossi uno scmbitore in controcorrente vente un superficie di scmbio termico di re infinit: in tle scmbitore, non essendoci dispersioni di clore verso l esterno, l tempertur di uscit del fluido freddo è pri quell di ingresso del fluido cldo qundo m c > m c, mentre invece l tempertur di uscit del fluido cldo ugugli l tempertur di ingresso del fluido freddo qundo <. In ltri termini, l efficienz serve confrontre l potenz termic effettiv con quell mssim, che è limitt solo dl secondo principio dell termodinmic. Se è not l efficienz dello scmbitore, l potenz termic si può ricvre direttmente dll equzione seguente: q ε ε min ingresso P min P ( ) Quest relzione è molto importnte, in qunto esprime l potenz termic scmbit in funzione dell efficienz, dell cpcità termic orri minore ( min ) e dell differenz tr le temperture di ingresso, che sono sicurmente note. Ess sostituisce dunque l equzione bst sull MLD.,in,in RESISENZA ERMIA DA INROSAZIONI (ENNI) Durnte il funzionmento con l mggior prte dei liquidi e con lcuni gs, sull superficie di scmbio termico in uno scmbitore di clore si form un pellicol di depositi (ruggine,

13 Scmbitori di clore incrostzioni, limo, coke, etc): queste incrostzioni determinno evidentemente un umento dell resistenz termic. Dto che il costruttore non può, di solito, prevedere né l ntur dei depositi né l loro velocità di formzione, possono essere grntite solo le prestzioni di scmbitori puliti. Allor, l resistenz termic dei depositi può in genere essere ricvt o medinte prove o in bse ll esperienz. Se le prove vengono effettute sullo scmbitore pulito e ripetute in seguito, dopo che lo scmbitore h funzionto per un certo tempo, l resistenz termic dei depositi può essere determint con l seguente relzione: R d U In quest relzione, R d è l resistenz termic unitri delle incrostzioni ed è clcolt come differenz tr il reciproco dell conduttnz unitri U dello scmbitore pulito e il reciproco di quell (U d ) dello scmbitore con incrostzioni. Esistono pposite tbelle che trducono in prtic quell relzione. d U OEIIENE DI SAMBIO ERMIO VARIABILE (ENNI) Nei precedenti cpitoli bbimo più volte osservto che il coefficiente di scmbio termico convettivo dipende dlle proprietà fisiche del fluido, che sono loro volt vribili con l tempertur. Nel moto in condotti corti, specilmente se lminre, il coefficiente di trsmissione del clore dipende nche dll distnz dll sezione di imbocco. In questo cpitolo, studindo gli scmbitori di clore, bbimo invece sempre ritenuto uniforme il coefficiente di convezione: quest ipotesi è verifict nell mggior prte dei csi qundo i tubi sono lunghi e qundo si vlutno le proprietà del fluido fcendo riferimento ll medi ritmetic delle temperture di ingresso e di uscit. lvolt, però, le proprietà fisiche vrino notevolmente oppure lo scmbitore è precchio corto: in questi csi, non è possibile ritenere uniforme il coefficiente di scmbio termico, per cui lo studio termico dello scmbitore v ftto numericmente con il noto metodo delle differenze finite. VARIE SUGLI SAMBIAORI DI ALORE Uno scmbitore di clore, essendo un dispositivo in cui sono presenti sezioni di ingresso e di uscit ttrverso le quli pssno due o più fluidi, è un clssico esempio di sistem perto. Di conseguenz, un nlisi quntittiv di uno scmbitore di clore non può prescindere dll ppliczione delle leggi vlide per i sistemi perti. In generle, si può ritenere sempre vlid, per uno scmbitore di clore, l ipotesi di regime permnente (o stzionrio), in bse ll qule le proprietà del sistem, in ciscun punto, rimngono invrite nel tempo. Questo signific, come visto suo tempo, che vle il principio di conservzione dell mss: m & e m& u Quest relzione dice che l somm delle portte entrnti deve uguglire l somm di quelle uscenti. Nel cso semplice di uno scmbitore fluidi, vremo verosimilmente due portte in ingresso e due portte in uscit, per cui vremo m & m& m& m& cldo,in freddo,in cldo,out freddo,out 3

14 Appunti di isic ecnic onsiderimo, desso, uno scmbitore miscel, nel qule cioè lo scmbio di clore vviene per conttto diretto tr i fluidi interessti. Possimo pplicre il bilncio di energi che è rppresentto dl primo principio dell termodinmic (ovvimente per sistemi perti): l espressione più generle possibile di tle principio è IN w w gz m& Q& i h gz OU m& V.. h j i j de L& dθ de.. In primo luogo, possimo subito porre 0 il termine di generzione di energi V ll interno dθ del sistem, in qunto stimo fcendo l ipotesi di regime permnente. In secondo luogo, possimo nche trscurre i termini potenzili e cinetici, in qunto, come si può notre con qulche semplice esempio numerico, i loro contributi sono di grn lung inferiori quelli dti dll entlpi. on queste ipotesi, l equzione d pplicre divent l seguente: IN h m& i i Q& h jm& j L& Non è ncor finit, in qunto in uno scmbitore di clore non ci sono orgni meccnici in movimento, per cui è nullo ogni tipo di lvoro. Non solo, m dobbimo nche ricordrci che il termine Q & che compre nell equzione non è il clore scmbito tr i vri fluidi, m il clore che il sistem scmbi con l mbiente esterno: tle clore è nullo, in qunto le cmere di miscelzione sono sempre dibtiche. In conclusione, per uno scmbitore miscel, il bilncio di energi ssume l espressione h im& i IN Pssimo or d uno scmbitore superficie, che potrebbe essere schemtizzto, in un cso semplice, nel modo seguente: fluido OU OU h m& j j fluido fluido Lo scmbio di clore vviene in questo cso ttrverso l superficie del tubo interno, ll interno del qule scorre il fluido. Anche in questo cso, nell ipotesi di regime permnente, vle l equzione di conservzione dell mss. In prticolre, possimo fre due rgionmenti prlleli: 4

15 Scmbitori di clore se considerimo ciscun fluido come un sistem se stnte, l conservzione dell mss ci dice che m & m& & m & m& &,in,out m,in,out m d ltr prte, se sommimo membro membro queste due uguglinze, ottenimo m & & & &,in m,in m,out m,out Quest ultimo è un bilncio di mss reltivo l sistem complessivo formto di due fluidi. Anlogo discorso vle per il bilncio di energi: se considerimo il sistem nel suo complesso, bbimo lo stesso risultto visto per il generico scmbitore miscel, ossi h im& i IN OU h m& Dto che bbimo sezioni di ingresso e di uscit, possimo scrivere che m & & & &,inh,in m,inh,in m,outh,out m,outh,out j j D qui si ricv evidentemente che m& ( h h ) m& ( h ),in,out,out h,in Se invece considerimo ciscun fluido come un sistem sé, possimo effetture due ulteriori bilnci di energi: in generle, possimo scrivere che m& m&,in,in h h,in,in Q& m& Q& m&,out h,out,out h,out L& L& onsiderndo che non viene scmbito lvoro d nessun fluido ed inoltre che il clore ceduto dl fluido cldo è esttmente pri quello ssorbito dl fluido freddo (per cui Q & Q& ), quelle relzioni si riducono Q& m& h h Q& m& (,out,in ) ( h h ),in,out Autore: SANDRO PERIZZELLI e-mil: sndry@iol.it sito personle: succursle: 5

POTENZA CON ESPONENTE REALE

POTENZA CON ESPONENTE REALE PRECORSO DI MATEMATICA VIII Lezione ESPONENZIALI E LOGARITMI E. Modic mtemtic@blogscuol.it www.mtemtic.blogscuol.it POTENZA CON ESPONENTE REALE Definizione: Dti un numero rele > 0 ed un numero rele qulunque,

Dettagli

CORSO ZERO DI MATEMATICA

CORSO ZERO DI MATEMATICA UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PALERMO FACOLTÀ DI ARCHITETTURA CORSO ZERO DI MATEMATICA ESPONENZIALI E LOGARITMI Dr. Ersmo Modic ersmo@glois.it www.glois.it POTENZA CON ESPONENTE REALE Definizione: Dti un numero

Dettagli

Integrale Improprio. f(x) dx =: Osserviamo che questa definizione ha senso dal momento che per ogni y è ben definito l integrale b

Integrale Improprio. f(x) dx =: Osserviamo che questa definizione ha senso dal momento che per ogni y è ben definito l integrale b Integrle Improprio In queste lezioni riprendimo l teori dell integrzione in un vribile, l ide è di estendere l integrle definito nche in csi in cui l funzione integrnd o l intervllo di integrzione non

Dettagli

, x 2. , x 3. è un equazione nella quale le incognite appaiono solo con esponente 1, ossia del tipo:

, x 2. , x 3. è un equazione nella quale le incognite appaiono solo con esponente 1, ossia del tipo: Sistemi lineri Un equzione linere nelle n incognite x 1, x 2, x,, x n è un equzione nell qule le incognite ppiono solo con esponente 1, ossi del tipo: 1 x 1 + 2 x 2 + x +!+ n x n = b con 1, 2,,, n numeri

Dettagli

2. Teoremi per eseguire operazioni con i limiti in forma determinata

2. Teoremi per eseguire operazioni con i limiti in forma determinata . Teoremi per eseguire operzioni con i iti in form determint Vedimo dunque i teoremi che consentono il clcolo dei iti, ttrverso i quli si riconducono le situzioni rticolte semplici operzioni lgebriche

Dettagli

2 x = 64 (1) L esponente (x) a cui elevare la base (2) per ottenere il numero 64 è detto logaritmo (logaritmo in base 2 di 64), indicato così:

2 x = 64 (1) L esponente (x) a cui elevare la base (2) per ottenere il numero 64 è detto logaritmo (logaritmo in base 2 di 64), indicato così: Considerimo il seguente problem: si vuole trovre il numero rele tle che: = () L esponente () cui elevre l bse () per ottenere il numero è detto ritmo (ritmo in bse di ), indicto così: In prticolre in questo

Dettagli

Anno 5. Applicazione del calcolo degli integrali definiti

Anno 5. Applicazione del calcolo degli integrali definiti Anno 5 Appliczione del clcolo degli integrli definiti 1 Introduzione In quest lezione vedremo come pplicre il clcolo dell integrle definito per determinre le ree di prticolri figure pine, i volumi dei

Dettagli

Meccanica dei Solidi. Vettori

Meccanica dei Solidi. Vettori Meccnic dei Solidi Prof. Ing. Stefno Avers Università di Npoli Prthenope.. 2005-06 Lezione 2 Vettori Definizione: Un grndezz vettorile (o un vettore) è un grndezz fisic crtterizzt oltre che d un numero

Dettagli

Esercizi svolti Limiti. Prof. Chirizzi Marco.

Esercizi svolti Limiti. Prof. Chirizzi Marco. Cpitolo II Limiti delle funzioni di un vribile Esercizi svolti Limiti Prof. Chirizzi rco www.elettrone.ltervist.org 1) Verificre che risult: = Dobbimo provre che per ogni ε positivo, rbitrrimente piccolo,

Dettagli

Osserviamo che per trovare le costanti A e B possiamo anche ragionare così: se moltiplichiamo l equazione x + 1 (x + 2)(x + 3) = A.

Osserviamo che per trovare le costanti A e B possiamo anche ragionare così: se moltiplichiamo l equazione x + 1 (x + 2)(x + 3) = A. 88 Roberto Turso - Anlisi 2 Osservimo che per trovre le costnti A e B possimo nche rgionre così: se moltiplichimo l equzione + ( + 2)( + 3) = A + 2 + B + 3 per + 2, dopo ver semplificto, ottenimo + + 3

Dettagli

B8. Equazioni di secondo grado

B8. Equazioni di secondo grado B8. Equzioni di secondo grdo B8.1 Legge di nnullmento del prodotto Spendo che b0 si può dedurre che 0 oppure b0. Quest è l legge di nnullmento del prodotto. Pertnto spendo che (-1) (+)0 llor dovrà vlere

Dettagli

Esponenziali e logaritmi

Esponenziali e logaritmi Esponenzili e ritmi ESPONENZIALI Potenze con esponente rele L potenz è definit: se > 0, per ogni R se 0, per tutti e soli gli R se < 0, per tutti e soli gli Z Sono definite: ( ) ( ) ( ) 7 7 Non sono definite:

Dettagli

{ 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10,11,12, }

{ 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10,11,12, } Lezione 01 Aritmetic Pgin 1 di 1 I numeri nturli I numeri nturli sono: 0,1,,,4,5,6,7,8,,10,11,1, L insieme dei numeri nturli viene indicto col simbolo. } { 0,1,,, 4,5,6,7,8,,10,11,1, } L insieme dei numeri

Dettagli

Equazioni 1 grado. Definizioni Classificazione Risoluzione Esercizi

Equazioni 1 grado. Definizioni Classificazione Risoluzione Esercizi Equzioni grdo Definizioni Clssificzione Risoluzione Esercizi Mteri: Mtemtic Autore: Mrio De Leo Definizioni Prendimo in esme le due espressioni numeriche 8 entrmbe sono uguli 7, e l scrittur si chim uguglinz

Dettagli

Equazioni di 2 grado. Definizioni Equazioni incomplete Equazione completa Relazioni tra i coefficienti della equazione e le sue soluzioni Esercizi

Equazioni di 2 grado. Definizioni Equazioni incomplete Equazione completa Relazioni tra i coefficienti della equazione e le sue soluzioni Esercizi Equzioni di grdo Definizioni Equzioni incomplete Equzione complet Relzioni tr i coefficienti dell equzione e le sue soluzioni Esercizi Mteri: Mtemtic Autore: Mrio De Leo Definizioni Un equzione è: Un uguglinz

Dettagli

Integrali dipendenti da un parametro e derivazione sotto il segno di integrale.

Integrali dipendenti da un parametro e derivazione sotto il segno di integrale. 1 Integrli dipendenti d un prmetro e derivzione sotto il segno di integrle. Considerimo l funzione f(x, t) : A [, b] R definit nel rettngolo A [, b], essendo A un sottoinsieme perto di R e [, b] un intervllo

Dettagli

dr Valerio Curcio Le affinità omologiche Le affinità omologiche

dr Valerio Curcio Le affinità omologiche Le affinità omologiche 1 Le ffinità omologiche 2 Tringoli omologici: Due tringoli si dicono omologici se le rette congiungenti i punti omologhi dei due tringoli si incontrno in un medesimo punto. Principio dei tringoli omologici

Dettagli

1 Integrale delle funzioni a scala

1 Integrale delle funzioni a scala INTEGRALE DELLE FUNZIONI DI UNA VARIABILE Teori di Riemnn 1 Integrle delle funzioni scl (1.1) Definizione Si dice suddivisione di un intervllo chiuso e limitto [, b] un sottoinsieme {,..., n } di [, b]

Dettagli

C A 10 [HA] C 0 > 100 K

C A 10 [HA] C 0 > 100 K Soluzioni Tmpone Le soluzioni tmpone sono soluzioni in cui sono presenti un cido debole e l su bse coniugt sotto form di sle molto solubile. Hnno l crtteristic di mntenere il ph qusi costnte nche se d

Dettagli

ESPONENZIALI E LOGARITMI

ESPONENZIALI E LOGARITMI Esponenzili e logritmi ESPONENZIALI E LOGARITMI Potenze Fino d or si sono definite le potenze d esponenete intero e rzionle (si positivi che negtivi). Ripssimo le definizioni e i concetti che li rigurdno:

Dettagli

26/03/2012. Integrale Definito. Calcolo delle Aree. Appunti di analisi matematica: Il concetto d integrale nasce per risolvere due classi di problemi:

26/03/2012. Integrale Definito. Calcolo delle Aree. Appunti di analisi matematica: Il concetto d integrale nasce per risolvere due classi di problemi: ppunti di nlisi mtemtic: Integrle efinito Il concetto d integrle nsce per risolvere due clssi di prolemi: Integrle efinito lcolo delle ree di fig. delimitte d curve clcolo di volumi clcolo del lvoro di

Dettagli

Lezione 1 Insiemi e numeri

Lezione 1 Insiemi e numeri Lezione Insiemi e numeri. Nozione di insieme, sottoinsieme, pprtenenz Con l prol insieme intendimo un collezione di oggetti detti suoi elementi. Ogni insieme è denotto con lettere miuscole e i suoi elementi

Dettagli

Integrali de niti. Il problema del calcolo di aree ci porterà alla de nizione di integrale de nito.

Integrali de niti. Il problema del calcolo di aree ci porterà alla de nizione di integrale de nito. Integrli de niti. Il problem di clcolre l re di un regione pin delimitt d gr ci di funzioni si può risolvere usndo l integrle de nito. L integrle de nito st l problem del clcolo di ree come l equzione

Dettagli

Integrali. all integrale definito all integrale indefinito. Integrali: riepilogo

Integrali. all integrale definito all integrale indefinito. Integrali: riepilogo Integrli ll integrle deinito ll integrle indeinito Indice dell lezione Integrle Deinito Rettngoloide Integrle deinito come re del rettngoloide Esempi e propriet Primitiv Teorem ondmentle del clcolo integrle

Dettagli

L equilibrio della variazione di entalpia del sistema aria+garza risulta quindi: Dalla definizione di mixing ratio :

L equilibrio della variazione di entalpia del sistema aria+garza risulta quindi: Dalla definizione di mixing ratio : Strumenti di misur dell umidità relti: psicrometro bulbo bgnto e entilto. Deduzione dell equzione psicrometric. Tempertur del bulbo bgnto e umidità relti. Relzione con il punto di ruggid. Lo psicrometro

Dettagli

{ 3 x y=4. { x=2. Sistemi di equazioni

{ 3 x y=4. { x=2. Sistemi di equazioni Sistemi di equzioni Definizione Un sistem è un insieme di equzioni che devono essere verificte contempornemente, cioè devono vere contempornemente le stesse soluzioni. Definimo grdo di un sistem il prodotto

Dettagli

FLESSIONE E TAGLIO (prof. Elio Sacco)

FLESSIONE E TAGLIO (prof. Elio Sacco) Cpitolo FLESSIONE E TALIO (prof. Elio Scco). Sollecitzione di flessione e tglio Si esmin il cso in cui l risultnte delle tensioni genti sull bse dell trve x = L consist in un forz tglinte V, tlechev e

Dettagli

8 Controllo di un antenna

8 Controllo di un antenna 8 Controllo di un ntenn L ntenn prbolic di un rdr mobile è montt in modo d consentire un elevzione compres tr e =2. Il momento d inerzi dell ntenn, Je, ed il coefficiente di ttrito viscoso, f e, che crtterizzno

Dettagli

FUNZIONI CONTINUE A TRATTI E LORO INTEGRALI

FUNZIONI CONTINUE A TRATTI E LORO INTEGRALI FUNZIONI CONTINUE A TRATTI E LORO INTEGRALI Considerimo un funzione f : I R, dove I è un intervllo di R. Si c un punto interno I in cui f è discontinu. Diremo che c è un punto di discontinuità di prim

Dettagli

Un carrello del supermercato viene lanciato con velocità iniziale

Un carrello del supermercato viene lanciato con velocità iniziale Esempio 44 Un utomobile procede lungo l utostrd ll velocità costnte di m/s, ed inizi d ccelerre in vnti di m/s.5 proprio nell istnte in cui super un cmion fermo in un re di sost. In quel preciso momento

Dettagli

PROGRAMMAZIONE DI FISICA PRIMO BIENNIO CLASSI SECONDE

PROGRAMMAZIONE DI FISICA PRIMO BIENNIO CLASSI SECONDE PROGRAMMAZIONE DI FISICA PRIMO BIENNIO CLASSI SECONDE Nel pino di lvoro sono indicte con i numeri d 1 5 le competenze di bse che ciscun unit' didttic concorre sviluppre, secondo l legend riportt di seguito.

Dettagli

Lezione 14. Risoluzione delle equazioni algebriche.

Lezione 14. Risoluzione delle equazioni algebriche. Lezione Prerequisiti: Lezioni 8,. Risoluzione delle equzioni lgebriche. Si F un cmpo, e si K un chiusur lgebric di F. Si f ( ) F[ ] non costnte. Studimo i metodi di risoluzione per l equzione f ( ) = 0,

Dettagli

b a 2. Il candidato spieghi, avvalendosi di un esempio, il teorema del valor medio.

b a 2. Il candidato spieghi, avvalendosi di un esempio, il teorema del valor medio. Domnde preprzione terz prov. Considert, come esempio, l funzione nell intervllo [,], il cndidto illustri il concetto di integrle definito. INTEGRALE DEFINITO, prendendo in esme un generic funzione f()

Dettagli

E U Q A U Z A I Z O I N O I N DI SE S C E O C N O DO

E U Q A U Z A I Z O I N O I N DI SE S C E O C N O DO EQUAZIONI DI ECONDO GRADO Riepilogo delle soluzioni in bse l segno di < φ : b > : b b Prof I voi, EQUAZIONI DI ECONDO GRADO EQUAZIONI PURE DI ECONDO GRADO : EEMPI ) ) ) 7 7 ) > φ (impossibile) ) impossibil

Dettagli

Anno 1. Numeri reali: proprietà e applicazioni di uso comune

Anno 1. Numeri reali: proprietà e applicazioni di uso comune Anno Numeri reli: proprietà e ppliczioni di uso comune Introduzione L insieme dei numeri rzionli è composto d numeri che si ottengono dl rpporto tr due numeri interi. Tle rpporto, o frzione, è sempre ssociile

Dettagli

La parabola LA PARABOLA È IL LUOGO DEI PUNTI DEL PIANO EQUIDI- STANTI DA UN PUNTO DETTO FUOCO E DA UNA RETTA CHE NON LO CONTIENE DETTA DIRETTRICE.

La parabola LA PARABOLA È IL LUOGO DEI PUNTI DEL PIANO EQUIDI- STANTI DA UN PUNTO DETTO FUOCO E DA UNA RETTA CHE NON LO CONTIENE DETTA DIRETTRICE. L prol In figur è trccito il grfico di un prol con sse di simmetri verticle. Si vede suito dl grfico ce: l curv è simmetric rispetto l suo sse di simmetri il suo punto più in sso è il vertice il vertice

Dettagli

Serie di Potenze. Introduciamo il concetto di convergenza puntuale ed uniforme per successioni. { 0 se 1 < x < 1

Serie di Potenze. Introduciamo il concetto di convergenza puntuale ed uniforme per successioni. { 0 se 1 < x < 1 Serie di Potenze Introducimo il concetto di convergenz puntule ed uniforme per successioni di funzioni. Definizione 1 Si I un intervllo di R. Si dt l vrire di n N l funzione f n : I R. Dicimo che l successione

Dettagli

Liceo Scientifico Statale Leonardo da Vinci Via Possidonea Reggio Calabria Anno Scolastico 2008/2009 Classe III Sezione G

Liceo Scientifico Statale Leonardo da Vinci Via Possidonea Reggio Calabria Anno Scolastico 2008/2009 Classe III Sezione G Liceo Scientifico Sttle Leonrdo d Vinci Vi Possidone 14 8915 Reggio Clbri Anno Scolstico 008/009 Clsse III Sezione G Dirigente scolstico: Preside Prof. ss Vincenzin Mzzuc Professore coordintore del progetto:

Dettagli

Corso di Componenti e Impianti termotecnici IL PROGETTO TERMOTECNICO PARTE SECONDA

Corso di Componenti e Impianti termotecnici IL PROGETTO TERMOTECNICO PARTE SECONDA IL PROGETTO TERMOTECNICO PARTE ECONDA 1 I ponti termici Il ponte termico può essere definito come: un elemento di elevt conduttività inserito in un prete o elemento di prete di minore conduttività. I ponti

Dettagli

m kg M. 2.5 kg

m kg M. 2.5 kg 4.1 Due blocchi di mss m = 720 g e M = 2.5 kg sono posti uno sull'ltro e sono in moto sopr un pino orizzontle, scbro. L mssim forz che può essere pplict sul blocco superiore ffinchè i blocchi si muovno

Dettagli

Differenziale. Consideriamo la variazione finita, x della variabile indipendente a cui corrisponde una variazione finita della funzione f x, f x y

Differenziale. Consideriamo la variazione finita, x della variabile indipendente a cui corrisponde una variazione finita della funzione f x, f x y Differenzile Considerimo l vrizione finit, dell vriile indipendente cui corrisponde un vrizione finit dell funzione f, f y Δf 1 Δ 2 L vrizione dell vriile dipendente puo' essere molto piccol, infinitesim

Dettagli

Le equazioni di grado superiore al secondo

Le equazioni di grado superiore al secondo Le equzioni di grdo superiore l secondo ITIS Feltrinelli nno scolstico 007-008 R. Folgieri 007-008 1 Teorem fondmentle dell lger Ogni equzione lgeric di grdo n h sempre n soluzioni, che possono essere

Dettagli

fattibile con le tecniche elementari che imparerai in seguito. Ad esempio il polinomio

fattibile con le tecniche elementari che imparerai in seguito. Ad esempio il polinomio Scomposizione di un polinomio in fttori Scomporre in fttori primi un polinomio signific esprimerlo come il prodotto di due più polinomi non più scomponibili Ad esempio 9 = ( 3) fttore 1 ( + 3) fttore +

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2002 Sessione straordinaria

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2002 Sessione straordinaria ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS DI RDINAMENT 00 Sessione strordinri Il cndidto risolv uno dei due problemi e 5 dei 0 quesiti in cui si rticol il questionrio. PRBLEMA Con riferimento un sistem monometrico

Dettagli

Siano α(x), β(x) due funzioni continue in un intervallo [a, b] IR tali che. α(x) β(x).

Siano α(x), β(x) due funzioni continue in un intervallo [a, b] IR tali che. α(x) β(x). OMINI NORMALI. efinizione Sino α(), β() due funzioni continue in un intervllo [, b] IR tli che L insieme del pino (figur 5. pg. ) α() β(). = {(, ) [, b] IR : α() β()} si chim dominio normle rispetto ll

Dettagli

Equazioni parametriche di primo grado

Equazioni parametriche di primo grado Polo Sivigli Equzioni prmetriche di primo grdo Premess Come si s dll lgebr elementre, si chim equzione un uguglinz fr due espressioni letterli che si verific soltnto ttribuendo prticolri vlori lle lettere,

Dettagli

Esercitazione 2-15 Ottobre Equilibrio idrostatico

Esercitazione 2-15 Ottobre Equilibrio idrostatico Esercitione di Meccnic dei fluidi con Fondmenti di Ingegneri Chimic Esercitione 2-15 Ottobre 2015 Equilibrio idrosttico È stt ricvt leione l equione fondmentle dell sttic dei fluidi pesnti e incomprimibili,

Dettagli

INTEGRALI IMPROPRI. f(x) dx. e la funzione f(x) si dice integrabile in senso improprio su (a, b]. Se tale limite esiste ma

INTEGRALI IMPROPRI. f(x) dx. e la funzione f(x) si dice integrabile in senso improprio su (a, b]. Se tale limite esiste ma INTEGRALI IMPROPRI. Integrli impropri su intervlli itti Dt un funzione f() continu in [, b), ponimo ε f() = f() ε + qundo il ite esiste. Se tle ite esiste finito, l integrle improprio si dice convergente

Dettagli

Acidi Deboli. Si definisce acido debole un acido con K a < 1 che risulta perciò solo parzialmente dissociato in soluzione. Esempi di acidi deboli:

Acidi Deboli. Si definisce acido debole un acido con K a < 1 che risulta perciò solo parzialmente dissociato in soluzione. Esempi di acidi deboli: Acidi Deboli Si definisce cido debole un cido con < 1 che risult perciò solo przilmente dissocito in soluzione. Esempi di cidi deboli: Acido cetico (H OOH) 1.75 1-5 Acido scorbico (vitmin ) 1 6.76 1-5.5

Dettagli

" Osservazione. 6.1 Integrale indefinito. R Definizione (Primitiva) E Esempio 6.1 CAPITOLO 6

 Osservazione. 6.1 Integrale indefinito. R Definizione (Primitiva) E Esempio 6.1 CAPITOLO 6 CAPITOLO 6 Clcolo integrle 6. Integrle indefinito L nozione fondmentle del clcolo integrle è quell di funzione primitiv di un funzione f (). Tle nozione è in qulche modo speculre ll nozione di funzione

Dettagli

Progettazione strutturale per elementi finiti Sergio Baragetti

Progettazione strutturale per elementi finiti Sergio Baragetti Progettzione strutturle per elementi finiti Sergio Brgetti Fcoltà di Ingegneri Università degli Studi di Bergmo Il metodo degli Elementi Finiti permette di risolvere il problem dell determinzione dello

Dettagli

IRRAGGIAMENTO: APPLICAZIONI ED ESERCIZI

IRRAGGIAMENTO: APPLICAZIONI ED ESERCIZI Elis Gonizzi N mtricol: 3886 Lezione del -- :3-:3 IRRAGGIAMENO: APPLICAZIONI ED EERCIZI E utile l fine di comprendere meglio le ppliczioni e gli esercizi ricordre cos si intend con i termini CORPI NERI

Dettagli

Teoria in pillole: logaritmi

Teoria in pillole: logaritmi Teori in pillole: logritmi EQUAZIONI ESPONENZIALI Un'equzione si dice esponenzile qundo l'incognit compre soltnto nell'esponente di un o più potenze. L'equzione esponenzile più semplice (elementre) è del

Dettagli

8. Prodotto scalare, Spazi Euclidei.

8. Prodotto scalare, Spazi Euclidei. 8. Prodotto sclre, Spzi Euclidei. Ricordimo l definizione di prodotto sclre di due vettori del pino VO 2 (vle in modo del tutto nlogo nche in VO 3 ). Definizione: Sino v, w VO 2 e si θ l ngolo convesso

Dettagli

Compitino di Fisica II del 14/6/2006

Compitino di Fisica II del 14/6/2006 Compitino di Fisic II del 14/6/2006 Ingegneri Elettronic Un solenoide ssimilbile d un solenoide infinito è percorso d un corrente I(t) = I 0 +kt con k > 0. Se il solenoide h un lunghezz H, rggio, numero

Dettagli

Anno 2. Potenze di un radicale e razionalizzazione

Anno 2. Potenze di un radicale e razionalizzazione Anno Potenze di un rdicle e rzionlizzzione Introduzione In quest lezione impreri utilizzre le ultime due tipologie di operzioni sui rdicli, cioè l potenz di un rdicle e l rdice di un rdicle. Successivmente

Dettagli

Integrale definito. Introduzione: il problema delle aree

Integrale definito. Introduzione: il problema delle aree Integrle definito Introduzione: il prolem delle ree Il prolem delle ree è uno dei tre grndi prolemi che ci sono stti trmndti dgli ntichi, che lo definivno come il prolem dell qudrtur del cerchio: trovre,

Dettagli

BREVE APPENDICE SULLE UNITA' LOGARITMICHE

BREVE APPENDICE SULLE UNITA' LOGARITMICHE BREVE APPENDICE SULLE UNITA' LOGARITMICHE Per esprimere gudgni e ttenuzioni, nonché cifre di rumore e rpporti segnle-rumore si usno frequentemente le unità logritmiche. Come risultto, l grndezz in questione

Dettagli

Esponenziali e logaritmi

Esponenziali e logaritmi Teori in sintesi ESPONENZIALI Potenze con esponente rele Esponenzili e ritmi L potenz è definit: se, per ogni R se, per tutti e soli gli R se, per tutti e soli gli Z. Sono definite: 7 7. Non sono definite:.

Dettagli

Il dominio della funzione, cioè l'insieme dei valori che si possono attribuire a x è tutto R ;

Il dominio della funzione, cioè l'insieme dei valori che si possono attribuire a x è tutto R ; CAPITOLO ESPONENZIALI E LOGARITMI ESPONENZIALI Teori in sintesi Potenze con esponente rele L potenz è definit: se > 0, per ogni R se 0, per tutti e soli gli R se < 0, per tutti e soli gli Z. + Sono definite:

Dettagli

SUGLI INSIEMI. 1.Insiemi e operazioni su di essi

SUGLI INSIEMI. 1.Insiemi e operazioni su di essi SUGLI INSIEMI 1.Insiemi e operzioni su di essi Il concetto di insieme è primitivo ed è sinonimo di clsse, totlità. Si A un insieme di elementi qulunque. Per indicre che è un elemento di A scriveremo A.

Dettagli

LEZIONE 6 ARGOMENTO: VALUTAZIONE ECONOMICA DELLE RISORSE. Argomento. Valutazione di progetti e/o scelte pubbliche

LEZIONE 6 ARGOMENTO: VALUTAZIONE ECONOMICA DELLE RISORSE. Argomento. Valutazione di progetti e/o scelte pubbliche 1 LEZIONE 6 ARGOMENTO: VALUTAZIONE ECONOMICA DELLE RISORSE Argomento. Vlutzione di progetti e/o scelte pubbliche 1) Economi del benessere ovvero come misurre il benessere e le sue vrizioni 2) I fondmenti

Dettagli

Esponenziali e logaritmi

Esponenziali e logaritmi Prof Emnuele ANDRISANI Teori in sintesi ESPONENZIALI Potenze con esponente rele L potenz è definit: se 0, per ogni R se 0, per tutti e soli gli R se 0, per tutti e soli gli Z Esponenzili e ritmi Sono definite:

Dettagli

1. Elementi di analisi funzionale Esercizi

1. Elementi di analisi funzionale Esercizi . Elementi di nlisi funzionle Esercizi http://www.cirm.unibo.it/~brozzi/mi/pdf/mi-cp.-ese.pdf.. Spzi vettorili.. Spzi vettorili normti.-. Dimostrre l diseguglinz tringolre in C n reltivmente ll norm (

Dettagli

INTERVALLI NELL INSIEME R

INTERVALLI NELL INSIEME R INTEVALLI NELL INSIEME Lo studio dell topologi (1) (dl greco "nlysis situs" ossi "studio del luogo") dell'insieme è di fondmentle importnz per gli rgomenti e i prolemi di nlisi infinitesimle. Il "luogo"

Dettagli

IL CALCOLO LETTERALE: I MONOMI Conoscenze. per a = - 2 vale:

IL CALCOLO LETTERALE: I MONOMI Conoscenze. per a = - 2 vale: IL CALCOLO LETTERALE: I MONOMI Conoscenze. Complet.. Un espressione letterle è.... Per clcolre il vlore numerico di un espressione letterle isogn...... c. Non si possono ssegnre lle lettere che compiono

Dettagli

ESPONENZIALI E LOGARITMI

ESPONENZIALI E LOGARITMI ESPONENZIALI E LOGARITMI RICHIAMI DI TEORIA dom f Im f grfico Funzioni esponenzili y=^ con > Funzioni esponenzili y=^ con

Dettagli

Ellisse riferita al centro degli assi

Ellisse riferita al centro degli assi Appunti delle lezioni tenute in clsse: ellisse e iperole Ellisse riferit l centro degli ssi Dti due punti F ed F detti fuochi, l ellisse è il luogo geometrico dei punti P del pino per cui è costnte l somm

Dettagli

TEST DI MATEMATICA. Funzioni in una, Funzioni in due variabili Integrali Equazioni differenziali. 1) Il valore del limite seguente. e e. e 1.

TEST DI MATEMATICA. Funzioni in una, Funzioni in due variabili Integrali Equazioni differenziali. 1) Il valore del limite seguente. e e. e 1. TEST DI MATEMATICA Funzioni in un, Funzioni in due vriili Integrli Equzioni differenzili ) Il vlore del limite seguente e e e lim è ) Il vlore del limite seguente 5 lim 5 è : ) L derivt prim dell funzione

Dettagli

Integrale Definito. Appunti di analisi matematica: Il concetto d integrale nasce per risolvere due classi di problemi: Integrale Definito

Integrale Definito. Appunti di analisi matematica: Il concetto d integrale nasce per risolvere due classi di problemi: Integrale Definito Appunti di nlisi mtemtic: Integrle Deinito Il concetto d integrle nsce per risolvere due clssi di prolemi: Integrle Deinito Clcolo delle ree di ig. delimitte d curve clcolo di volumi clcolo del lvoro di

Dettagli

Il moto rettilineo uniformemente accelerato è un moto che avviene su una retta con accelerazione costante. a = costante

Il moto rettilineo uniformemente accelerato è un moto che avviene su una retta con accelerazione costante. a = costante Prof.. Di Muro Moto rettilineo uniformemente ccelerto ( m.r.u.. ) Il moto rettilineo uniformemente ccelerto è un moto che iene su un rett con ccelerzione costnte. Dll definizione di ccelerzione t t t t

Dettagli

Variabile casuale uniforme (o rettangolare)

Variabile casuale uniforme (o rettangolare) Vribile csule uniforme (o rettngolre) Le crtteristic principle è che le sue relizzzioni sono equiprobbili Si pplic nelle situzioni in cui il fenomeno: Assume vlori in un intervllo limitto [,b] L probbilità

Dettagli

ELEMENTI DI DINAMICA DEI FLUIDI

ELEMENTI DI DINAMICA DEI FLUIDI Corso di Fisic tecnic e mbientle.. 011/01 - Docente: Prof. Crlo Isetti ELEMENTI DI DINAMICA DEI FLUIDI 6.1 GENERALITÀ Il moto più semplice cui si f riferimento è in genere il moto stzionrio, che è crtterizzto

Dettagli

I radicali. Cos è un radicale? ESERCIZIO 2.1. Determina le C.E. dei seguenti radicali e delle seguenti espressioni contenenti radicali.

I radicali. Cos è un radicale? ESERCIZIO 2.1. Determina le C.E. dei seguenti radicali e delle seguenti espressioni contenenti radicali. I rdicli Cos è un rdicle? Il simbolo si chim rdicle e si legge rdice ennesim di. - n si chim indice dell rdice e deve essere un numero nturle mggiore di zero. Qundo l indice si sottintende e il rdicle

Dettagli

IL CALCOLO LETTERALE: I MONOMI Conoscenze. per a = - 2 vale:

IL CALCOLO LETTERALE: I MONOMI Conoscenze. per a = - 2 vale: IL CALCOLO LETTERALE: I MONOMI Conoscenze. Complet.. Un espressione letterle è un scrittur in cui compiono operzioni tr numeri rppresentti, tutti o in prte, d lettere. Per clcolre il vlore numerico di

Dettagli

Lezione 16 Derivate ed Integrali

Lezione 16 Derivate ed Integrali Lezione 16 Derivte ed Integrli Frnk Sullivn 1 Dicembre 11 1 Prim Or Compiti di letture ed esercizi per 3 Dicembre Durnte l lezione di oggi pplicheremo le regole per differenzire funzioni l clcolo di integrli.

Dettagli

I costi dell impresa. Litri di benzene per unità di tempo. Linea di isocosto

I costi dell impresa. Litri di benzene per unità di tempo. Linea di isocosto 7 I costi dell impres 7.1. Per l combinzione di equilibrio dei due input, si ved il grfico successivo. L pendenz dell line di isocosto e` pri ll opposto del rpporto tr i prezzi dei fttori: -10 = 2 = -5.

Dettagli

Il lemma di ricoprimento di Vitali

Il lemma di ricoprimento di Vitali Il lemm di ricoprimento di Vitli Si I = {I} un fmigli di intervlli ciusi contenuti in R. Diremo ce l fmigli I ricopre l insieme E nel senso di Vitli (oppure ce I è un ricoprimento di Vitli di E) se per

Dettagli

Progettazione strutturale per elementi finiti Sergio Baragetti

Progettazione strutturale per elementi finiti Sergio Baragetti Progettzione strutturle per elementi finiti Sergio Brgetti Fcoltà di Ingegneri Università degli Studi di Bergmo Il metodo degli Elementi Finiti permette di risolvere il problem dell determinzione dello

Dettagli

P8 Ponti radio terrestri e satellitari

P8 Ponti radio terrestri e satellitari P8 Ponti rdio terrestri e stellitri P8.1 Un collegmento in ponte rdio 11 GHz impieg due ntenne prboliche uguli venti gudgno G 40 db ed efficienz η 0,5. Gli pprti di ricetrsmissione sono collegti lle rispettive

Dettagli

Scheda Sei ESPONENZIALI E LOGARITMI. 0,+. Inoltre valgono le

Scheda Sei ESPONENZIALI E LOGARITMI. 0,+. Inoltre valgono le Sched Sei ESPONENZIALI E LOGARITMI L funzione esponenzile Assegnto un numero rele >0, si dice funzione esponenzile in bse l funzione Grfici dell funzione esponenzile Se = l funzione esponenzile è costnte:

Dettagli

Erasmo Modica. : K K K

Erasmo Modica.  : K K K L insieme dei numeri reli L INSIEME DEI NUMERI REALI Ersmo Modic helthinsurnce@tin.it www.glois.it Per introdurre l insieme dei numeri reli si hnno disposizione diversi modi. Generlmente l iennio si preferisce

Dettagli

Problema Q & SOLUZIONE

Problema Q & SOLUZIONE Problem 2..2.2 Un portt di,00 0 4 m / di ri umid, inizilmente ll tempertur di 2,0 C con umidità reltiv del 60% viene rffreddt e deumidifict. L tempertur in ucit è di 0,0 C ed il grdo igrometrico del 00%

Dettagli

Problemi di collegamento delle strutture in acciaio

Problemi di collegamento delle strutture in acciaio 1 Problemi di collegmento delle strutture in cciio Unioni con bulloni soggette tglio Le unioni tglio vengono generlmente utilizzte negli elementi compressi, quli esempio le unioni colonn-colonn soggette

Dettagli

INTEGRALI IMPROPRI. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Integrali impropri cap10.pdf 1

INTEGRALI IMPROPRI. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Integrali impropri cap10.pdf 1 INTEGRALI IMPROPRI c Pol Gervsio - Anlisi Mtemtic - A.A. 6/7 Integrli impropri cp.pdf Abbimo visto che l integrle di Riemnn è definito per funzioni limitte e su intervlli limitti. Si or I R un intervllo

Dettagli

Macchine elettriche in corrente continua

Macchine elettriche in corrente continua cchine elettriche in corrente continu Generlità Può essere definit mcchin un dispositivo che convert energi d un form un ltr. Le mcchine elettriche in prticolre convertono energi elettric in energi meccnic

Dettagli

Proiettività della Retta e del Piano.

Proiettività della Retta e del Piano. Introduzione. In queste note proponimo l clssificzione delle proiettività per l rett proiettiv ed il pino proiettivo su un corpo lgebricmente chiuso. Nel cso dell rett studieremo nche il cso del corpo

Dettagli

COME SOPRAVVIVERE ALLA MATEMATICA. 1. La funzione matematica e la sua utilità in economia

COME SOPRAVVIVERE ALLA MATEMATICA. 1. La funzione matematica e la sua utilità in economia COME SOPRAVVIVERE ALLA MATEMATICA di Giuli Cnzin e Dominique Cppelletti Come potrete notre inoltrndovi nel corso di Introduzione ll economi, l interpretzione dell teori economic non presuppone conoscenze

Dettagli

Esercitazione di Matematica sulle equazioni di secondo grado (o ad esse riconducibili) nel campo reale

Esercitazione di Matematica sulle equazioni di secondo grado (o ad esse riconducibili) nel campo reale Esercitzione di Mtemtic sulle equzioni di secondo grdo (o d esse riconducibili) nel cmpo rele 1. Risolvere, nel cmpo rele, le seguenti equzioni di secondo grdo: () 81x 0; (b) (x 1) 7x ; (c) 7x x 0; (d)

Dettagli

La parabola con asse parallelo all ady

La parabola con asse parallelo all ady L prbol con sse prllelo ll dy I Prbol con vertice nell origine degli ssi crtesini I disegni degli esercizi dll 1 l 3 dell sched di lbortorio, sono i seguenti: Quindi il segno del coefficiente di x determin

Dettagli

Strumenti Matematici per la Fisica

Strumenti Matematici per la Fisica Strumenti Mtemtici per l Fisic Strumenti Mtemtici per l Fisic Approssimzioni Notzione scientific (o esponenzile) Ordine di Grndezz Sistem Metrico Decimle Equivlenze Proporzioni e Percentuli Relzioni fr

Dettagli

FUNZIONI IPERBOLICHE

FUNZIONI IPERBOLICHE FUNZIONI IPERBOLICHE Umberto Mrconi Diprtimento di Mtemtic Pur e Applict Pdov Premess Si [, [, fissto. Voglimo cpire cos signific: w dw perché l funzione integrnd è illimitt. Se considerimo, per b [, [,

Dettagli

Integrale Definito. Appunti di analisi matematica: Il concetto d integrale nasce per risolvere due classi di problemi: Integrale Definito

Integrale Definito. Appunti di analisi matematica: Il concetto d integrale nasce per risolvere due classi di problemi: Integrale Definito Appunti di nlisi mtemtic: Integrle Deinito Il concetto d integrle nsce per risolvere due clssi di prolemi: Integrle Deinito Clcolo delle ree di ig. delimitte d curve clcolo di volumi clcolo del lvoro di

Dettagli

PRODOTTI NOTEVOLI. Esempi

PRODOTTI NOTEVOLI. Esempi PRODOTTI NOTEVOLI In lger ci sono delle regole per eseguire in modo più reve e più veloce l moltipliczione tr prticolri polinomi. Queste regole (o meglio formule si chimno prodotti notevoli. Anlizzimo

Dettagli

TITOLAZIONI ACIDO-BASE

TITOLAZIONI ACIDO-BASE TITOLAZIONI ACIDO-BASE Soluzioni stndrd Le soluzioni stndrd impiegte nelle titolzioni di neutrlizzzione sono cidi forti o bsi forti poiché queste sostnze regiscono completmente con l nlit, fornendo in

Dettagli

Cinematica ed equilibrio del corpo rigido

Cinematica ed equilibrio del corpo rigido omportmento meccnico dei mterili rtteristiche di sollecitione inemtic ed equilirio del corpo rigido rtteristiche di sollecitione efiniione delle crtteristiche Esempio 1: trve rettiline Esempio : struttur

Dettagli

Superfici di Riferimento (1/4)

Superfici di Riferimento (1/4) Superfici di Riferimento (1/4) L definizione di un superficie di riferimento nsce dll necessità di vere un supporto mtemtico su cui sviluppre il rilievo eseguito sull superficie terrestre. Tle superficie

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2002 Sessione ordinaria

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2002 Sessione ordinaria ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO Sessione ordinri Il cndidto risolv uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si rticol il questionrio. PROBLEMA In un pino, riferito d un sistem

Dettagli

Richiami sui vettori. A.1 Segmenti orientati e vettori

Richiami sui vettori. A.1 Segmenti orientati e vettori A Richimi sui vettori Richimimo lcune definizioni e proprietà dei vettori, senz ssolutmente pretendere di drne un trttzione mtemticmente complet. Lvoreremo sempre in uno spzio crtesino (euclideo) tre dimensioni,

Dettagli

Titolazione Acido Debole Base Forte. La reazione che avviene nella titolazione di un acido debole HA con una base forte NaOH è:

Titolazione Acido Debole Base Forte. La reazione che avviene nella titolazione di un acido debole HA con una base forte NaOH è: Titolzione Acido Debole Bse Forte L rezione che vviene nell titolzione di un cido debole HA con un bse forte NOH è: HA(q) NOH(q) N (q) A (q) HO Per quest rezione l costnte di equilibrio è: 1 = = >>1 w

Dettagli