Don Bosco 2014/15, Classe 3B - Primo compito in classe di Fisica

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1 Don Bosco 014/15, Classe B - Primo compito in classe di Fisica 1. Enuncia il Teorema dell Energia Cinetica. Soluzione. Il lavoro della risultante delle forze agenti su un corpo che si sposta lungo una traiettoria è pari alla variazione di energia cinetica di quel corpo lungo quella traiettoria. In simboli: L R = E C. Quando una forza si dice conservativa? Illustra con degli esempi il motivo per cui la forza d attrito non è una forza conservativa ma la forza peso sì. Soluzione. Una forza si dice conservativa se il lavoro che essa compie su un corpo che si sposta lungo una traiettoria non dipende dalla traiettoria, ma solo dal punto di partenza A e dal punto di arrivo B della traiettoria. Equivalentemente, una forza si dice conservativa se il lavoro che essa compie su un corpo che si sposta lungo un circuito è nullo. La forza peso è una forza conservativa. Consideriamo ad esempio un corpo che si sposta da un punto A ad un punto B, con A posto più in alto di B (come in figura). Consideriamo due traiettorie distinte (la traiettoria AB, segnata con una linea continua, e la traiettoria ACDEFGB, segnata con una linea tratteggiata), e osserviamo che il lavoro della forza peso non cambia a seconda della traiettoria scelta. Per semplicità, supponiamo che AB = F G = h e DC = EF = k. D L DE = 0 E A L CD = mgk L AC = 0 C FP L EF = mgk F FP L AB = mgh L F G = mgh B L F B = 0 G Lavoro compiuto da F P lungo la traiettoria AB: L FP = L AB = mgh. Lavoro compiuto da F P lungo la traiettoria ACDEFGB: L FP = L AC + L CD + L DE + L EF + L F G + L GB = = 0 mgk mgk + mgh + 0 = = mgh. La forza d attrito invece non è una forza conservativa. Consideriamo ad esempio un corpo che si sposta da un punto A ad un punto B lungo due traiettorie distinte (in figura la situazione è vista dall alto: il corpo si sposta sul piano del foglio nel primo caso seguendo la traiettoria AB, segnata con una linea continua, e nel secondo caso seguendo la traiettoria ACDB, segnata con una linea tratteggiata), e osserviamo che il lavoro della forza d attrito cambia a seconda della traiettoria scelta. Per semplicità, supponiamo che il quadrilatero ABDC sia un quadrilatero di lato l. A L AC = F A l C FA FA L AB = F A l L CD = F A l B L DB = F A l D 1

2 Lavoro compiuto da F P lungo la traiettoria AB: Lavoro compiuto da F P lungo la traiettoria ACDB: L FA = L AB = F A l. L FP = L AC + L CD + L DB = = F A l F A l F A l = = F A l.. Vero o falso? Correggi le affermazioni errate. (a) Il lavoro è una grandezza scalare. Vero. (b) Il lavoro di una forza avente intensità diversa da zero, applicata ad un corpo in movimento lungo una traiettoria non nulla, è sempre diverso da zero. Falso. Se la forza è perpendicolare allo spostamento, qualunque sia l intensità della forza e il valore dello spostamento, il lavoro è zero. (c) Una forza è conservativa se compie lavoro nullo lungo un percorso chiuso. Vero. (d) Il lavoro della forza d attrito è sempre negativo. Vero. La forza d attrito infatti è sempre parallela e discorde allo spostamento. (e) L energia potenziale di una molla elastica è direttamente proporzionale alla lunghezza della compressione (o dilatazione) della molla. Falso. L energia potenziale di una molla elastica è data da E P E = 1 k x, ove k è la costante elastica della molla e x è la lunghezza della compressione (o dilatazione) della molla. Quindi l energia potenziale elastica è proporzionale al quadrato di questa lunghezza. (f) La potenza si può esprimere in kg m s. Falso. Infatti [ L [P ] = = t] J s = N m s = kg m s m kg m = s s. 4. Gigi spinge a velocità costante una cassa su un piano orizzontale in presenza di attrito. (a) Calcola il lavoro della risultante. (b) Calcola il lavoro della forza peso. (c) Che relazione c è tra il lavoro della forza d attrito e il lavoro della forza esercitata da Gigi? F Soluzione. Sia F la forza esercitata da Gigi e F A la forza d attrito. Se la cassa si muove a velocità costante, per il Primo Principio della Dinamica la risultante delle forze che agiscono sul corpo deve essere nulla. Quindi R = 0, e più precisamente F = F A. (a) L R = 0 perchè R è nulla 1. (b) L FP = 0 perchè F P è perpendicolare allo spostamento. (c) Siccome F = F A, ma F è concorde e F A è discorde allo spostamento, L F = L FA. 1 Si può arrivare alla stessa conclusione tramite il Teorema dell Energia Cinetica: L R = E C = E C E C1 = 1 m v 1 m v 1 = 0, dove l ultimo passaggio è giustificato dal fatto che, poichè la cassa si muove a velocità costante, v 1 = v. Si può arrivare alla stessa conclusione considerando che Ma, poichè L R = 0 (si veda punto a): L R = L FA + L F + L FP + L N L R = L FA + L F L R = L FA + L F 0 = L FA + L F L F = L FA.

3 5. Una cassa di massa m = kg, inizialmente ferma, viene trascinata per mezzo di una corda che forma un angolo di 0 con il terreno. L intensità della tensione T della corda è pari a 8 N. Tra la cassa e il piano è presente attrito con coefficiente µ = 0, 1. Calcolare la velocità della cassa dopo che questa ha percorso m. Svolgere il problema sia con argomentazioni di tipo cinematico, sia con argomentazioni di tipo energetico. F F 0 F // Soluzione. Le forze agenti lungo la direzione perpendicolare al piano si annullano, quindi vale la relazione: F P = N + F. La risultante rimane così determinata dalle forze agenti lungo la direzione parallela al piano. Orientando il sistema di riferimento verso destra, si ha che R = F // F a. METODO 1 (cinematico). Per l analisi cinematica è necessaria l accelerazione del corpo, che possiamo ricavare ricorrendo al Secondo Principio della Dinamica: R = m a Iniziamo col trovare il valore di R. R = F // F... Considerando il triangolo con angoli di 0, 60 e 90 formato da F, F // e F, si può ricavare che F P// = F. F µ N =... Da F P = N + F si ricava che N = F P F. F µ (F P F ) = = F µ (m g F ) =... Considerando il triangolo con angoli di 0, 60 e 90 formato da F, F // e F, si può ricavare che F P = 1 F. Per il Secondo Principio della Dinamica, dunque, F µ (m g 1 F ) = 5, 4 N. R = m a R m =, 7 m/s. Possiamo ora procedere con l analisi cinematica. In presenza di forze, il moto è rettilineo uniformemente accelerato, perciò le equazioni del moto sono: s = 1 a t + v 0 t + s 0 v = a t + v 0 Sostituendo i parametri, 7 m/s, v 0 = 0 m/s e s 0 = 0 m, nel nostro caso le equazioni del moto diventano: s = 1, t v = 1, t

4 L istante preso in esame dà come condizione: s = m. Sostituendo questo valore possiamo ricavare i valori delle altre incognite v e t relativi a quell istante: = 1, t v =, 7 t t =, v =, 7 t t = 1, 5 s v = 4 m/s METODO (energetico). Dal Teorema dell Energia Cinetica: L R = E C Poichè la risultante R è parallela e concorde allo spostamento, possiamo dire che R l = E C R l = 1 m v 1 m v 1 Se consideriamo il lavoro compiuto dalla risultante R lungo i metri percorsi dal corpo, si ha che l = m e che v è la velocità del corpo dopo che questo ha percorso m, l incognita del problema. Sostituendo gli altri valori noti, ovvero R = 5, 4 N (ricavato in precedenza), v 1 = 0 m/s (il corpo è inizialmente fermo), e m = kg si ottiene: 5, 4 = 1 v v = 16, v = 4 m/s 6. Un corpo di massa M= kg è appoggiato su un tavolo, ed è legato per mezzo di una corda ad un corpo di massa m=1 kg che penzola dal bordo del tavolo. Inizialmente il sistema formato dai due corpi è fermo. Supponi che l attrito tra il corpo appoggiato sul tavolo e la superficie del tavolo sia trascurabile. (a) Calcola la tensione della corda. (b) Calcola di quanto deve scendere il corpo di massa m per acquistare una velocità pari a m/s. Svolgi il problema utilizzando argomentazioni di tipo energetico. T A A TB B Soluzione. Come sappiamo, la tensione che agisce ai capi del filo ha la stessa intensità. Quindi T A = T B = T. Le casse inoltre sono legate tra loro, quindi hanno la stessa accelerazione (accelerazione del sistema): a A = a B = a. Prima di procedere, si noti che in generale F PB T. Se così non fosse, il sistema, che inizialmente è fermo, rimarrebbe in equilibrio e le casse non si muoverebbero. Orientiamo il sistema di riferimento verso destra, per la cassa sul tavolo, e poi verso il basso, per la cassa che penzola dal tavolo. (a) Per calcolare T è necessario impostare un sistema formato dalle due relazioni forniteci dal Secondo Principio della Dinamica applicato alle due casse: 4

5 RA = M a R B = m a F PB T = m a T = m a M m a M a + m a() = T = M T = 1 9, 8 = 6, 5 N + 1 (b) Per il Teorema dell Energia Cinetica applicato al corpo di massa m, L RB = E C... Considerando che tale forza è parallela e concorde allo spostamento,... R B l = E C R B l = 1 m v 1 m v 1... La risultante delle forze che agiscono sul corpo di massa m è data da: R B = F PB T = m g T = 1 9, 8 6, 5 =, N. Dunque..., l = 1 m v 1 m v 1... Considerando che il sistema è inizialmente fermo (v 1 = 0), che m = 1 kg, e imponendo che v = m/s:..., l = 1 () l = = 0, 6 m., 5

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