Compito del 14 giugno 2004

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1 Compito del 14 giugno 004 Un disco omogeneo di raggio R e massa m rotola senza strisciare lungo l asse delle ascisse di un piano verticale. Il centro C del disco è collegato da una molla di costante elastica k al punto materiale P di massa M, che è vincolato a muoversi lungo l asse delle ordinate. Sul centro del disco agisce inoltre una forza orizzontale costante F = F e 1. Prendendo come coordinate libere l ascissa x del centro C del disco e l ordinata y del punto P, si chiede di determinare: 1) Le equazioni del moto del sistema. ) Le configurazioni di equilibrio e la loro stabilità. 3) Le frequenze delle piccole oscillazioni attorno alle posizioni di equilibrio. 4) La reazione vincolare che agisce sul punto P. 5) (Facoltativa) Date le condizioni iniziali ẋ(0) = ẏ(0) = 0, x(0) = F k, y(0) = R, la quota minima raggiunta dal punto P. y P y C F k C k1 R x H x 1

2 1) Equazioni del moto del sistema. Per ricavare le equazioni del moto scriviamo innanzitutto la lagrangiana del sistema in esame: L = T V, dove T è l energia cinetica e V l energia potenziale. Il sistema ha due gradi di libertà, corrispondenti alle due coordinate libere x e y, pertanto si hanno due equazioni del moto: dt ẋ dt ẏ L x = 0 L y = 0. L energia cinetica totale è la somma dell energia cinetica T P del punto materiale P di massa M e dell energia cinetica T disco del disco di massa m: T = T P + T disco = 1 Mv P + 1 mv C ω j I C, jh ω h, j,h=1 dove I C è la matrice d inerzia del disco rispetto al suo baricentro C e ω è la velocità angolare. Calcoliamo ora i termini che compaiono nell espressione di T. Il vettore posizione del punto P è x P = P O = y e, pertanto la velocità di P è v P = x P = ẏ e, da cui segue v P = ẏ. Il vettore posizione del punto C, baricentro del disco, è x C = C O = x e 1 + R e, pertanto la velocità di C è v C = x C = ẋ e 1, da cui segue v C = ẋ. La matrice d inerzia del disco, rispetto al suo baricentro C e alla base solidale { k 1, k, k 3 } considerata, è: ( 1 I C = mr diag 4, 1 4, 1 ). L elemento di matrice I C,33 è quindi I C, 33 = mr.

3 La velocità angolare ω, rispetto alla terna solidale { k 1, k, k 3 }, è ω = θ k 3 = ω 1 = ω = 0 e ω 3 = θ. Ricordando la condizione di puro rotolamento si ha quindi θ = ẋ R, ω 3 = ẋ R. Riunendo i risultati trovati si ha che l energia cinetica T è: T = 1 Mẏ + 1 mẋ + 1 ω 3 I C,33 ẋ = 1 Mẏ + 1 mẋ + 1 mr R = 3 4 mẋ + 1 Mẏ. L energia potenziale del sistema è data dalla somma di tre termini: il primo corrispondente alla forza elastica f el = k(c P), il secondo associato alla forza peso f peso = (M + m) g e il terzo dovuto alla forza costante F: V = k (C P) + Mgy P + mgy C F x C. Calcoliamo ora i termini che compaiono nell espressione di V. Per il teorema di Pitagora si ha: (C P) = x + (y R) = x + y Ry + R. Dalle espressioni di x P = y e e x C = x e 1 + R e segue y P = y e y C = R. Ricordando che il prodotto scalare di due vettori è dato dalla somma dei prodotti delle componenti omonime, si ha: F x C = F e 1 (x e 1 + R e ) = Fx. 3

4 Riunendo i risultati trovati si ha: V = k (x + y Ry + R ) + Mgy + mgr Fx. I termini costanti contenuti nell espressione dell energia potenziale possono essere trascurati, in quanto il loro contributo alle equazioni del moto è nullo (si tenga presente che la lagrangiana L = T V compare nelle equazioni del moto solo tramite le sue derivate rispetto alle coordinate libere). L espressione di V si riduce quindi alla forma seguente: La lagrangiana del sistema è V = k (x + y ) + (Mg kr)y Fx. L = T V = 3 4 mẋ + 1 Mẏ k (x + y ) (Mg kr)y + Fx. Per scrivere le equazioni del moto occorre innanzitutto calcolare le seguenti derivate parziali di L: L x = kx + F, L y = ky (Mg kr), L ẋ = 3 mẋ, L ẏ = Mẏ. Le derivate totali rispetto al tempo che compaiono nelle equazioni di Lagrange sono: = 3 dt ẋ mẍ e = Mÿ. dt ẏ Sostituendo le espressioni precedenti nelle equazioni del moto si ha infine: L dt ẋ x = 0 = 3 mẍ + kx F = 0 L = 0 = Mÿ + ky + Mg kr = 0. dt ẏ y ) Configurazioni di equilibrio e stabilità. Le posizioni d equilibrio sono le soluzioni del sistema di equazioni ottenuto uguagliando a zero le derivate parziali dell energia potenziale V rispetto alle coordinate libere x, y: V x = kx F = 0 V = ky + Mg kr = 0, y 4

5 da cui segue x = F k y = R Mg k. Per studiare la stabilità della posizione d equilibrio trovata, scriviamo la matrice hessiana H dell energia potenziale V, cioè la matrice formata dalle derivate seconde parziali di V : V x = k, V y = k, V x y = V y x = 0. La matrice hessiana è quindi H = ( k 0 0 k ), e risulta indipendente dai valori delle coordinate libere x, y. Il determinante di H è sempre positivo, in quanto si ha deth = k > 0. Essendo inoltre V xx = k > 0, la posizione d equilibrio trovata (x = F k, y = R Mg k ) è stabile. 3) Frequenza delle piccole oscillazioni attorno alla posizione d equilibrio. Per determinare la frequenza ω delle piccole oscillazioni attorno alla posizione d equilibrio, risolviamo l equazione secolare det(c λa) = 0, dove C è la matrice hessiana di V, calcolata nella configurazione d equilibrio considerata, λ = ω e A è la matrice formata dai coefficienti (calcolati nella posizione d equilibrio) della forma quadratica che esprime l energia cinetica T, a meno di un fattore 1/. Dalla definizione delle matrici A e C risulta quindi: A = ( 3 m 0 0 M k 0 C = e 0 k ) (, essendo T = 1 3 mẋ + Mẏ + 0ẋẏ ). 5

6 La matrice C λa è dunque ( k 0 3 C λa = mλ 0 0 k 0 Mλ ( k 3 = mλ 0 ). 0 k Mλ ) L equazione secolare det(c λa) = 0 risulta pertanto k 3mλ 0 ( 0 k Mλ = k 3 ) mλ (k Mλ) = 0, da cui segue λ 1 = k 3 m e λ = k M. Le frequenze delle piccole oscillazioni attorno alla posizione d equilibrio stabile sono quindi k k ω 1 = 3 m e ω = M. 4) Reazione vincolare su P. Per calcolare la reazione vincolare Φ P che agisce su P, scriviamo la seconda legge del moto di Newton per il punto materiale P, vincolato a muoversi lungo l asse delle ordinate: F + Φ P = M a P. Il risultante F delle forze attive che agiscono su P è F = M g k(p C). Posto si ha g = g e e P C = x e 1 + (y R) e, F = Mg e k [ x e 1 + (y R) e ]. L accelerazione di P è la derivata seconda rispetto al tempo del vettore posizione x P = P O = y e : a P = x P = ÿ e. 6

7 Riunendo i risultati precedenti si ha: Mg e + kx e 1 k(y R) e + Φ P = Mÿ e. Risolvendo rispetto a Φ P l equazione ottenuta e riunendo a fattore comune i versori e 1, e della base associata al riferimento cartesiano, si ha: Φ P = kx e 1 + [Mÿ + Mg + k(y R)] e. Dalla seconda equazione del moto trovata al punto 1), Mÿ+ky+Mg kr = 0, segue che la componente di Φ P rispetto a e è nulla, pertanto la reazione vincolare si riduce a: Φ P = kx e 1. 5) Quota minima raggiunta da P. La lagrangiana del sistema non dipende esplicitamente dal tempo t, pertanto l hamiltoniana H = T + V è un integrale primo del moto. L espressione di H in un generico istante t è H = T + V = 3 4 mẋ + 1 Mẏ + k (x + y ) + (Mg kr)y Fx. All istante iniziale t = 0 si ha per ipotesi Il valore corrispondente di H è ẋ(0) = ẏ(0) = 0, x(0) = F k, y(0) = R. H(0) = F k + kr + MgR kr F k = MgR F k kr. Le due equazioni del moto trovate al punto 1) sono disaccoppiate, nel senso che ciascuna di esse contiene solo una coordinata lagrangiana: o la variabile x, che individua la posizione del disco, o la variabile y, che individua la posizione del punto P. Da tale osservazione segue che il disco, inizialmente fermo nella posizione x(0) = F/k (coincidente con il valore della coordinata x all equilibrio), persiste in tale posizione anche negli istanti di tempo successivi, cioè vale la condizione x(t) = F k e ẋ(t) = 0 t > 0. 7

8 Ciò è possibile anche se il valore iniziale della variabile y non coincide con quello all equilibrio e quindi il punto P non rimane fermo nella posizione iniziale ma oscilla lungo l asse y. L espressione di H in un generico istante t diventa quindi H = 1 Mẏ + k F k + y + (Mg kr)y F k = 1 Mẏ + k y + (Mg kr)y F k. P oscilla tra i punti d arresto y min e y max, in cui la velocità del punto materiale è nulla, cioè ẏ = 0. Le posizioni limite tra cui oscilla P possono essere determinate imponendo la condizione ẏ = 0 e uguagliando l espressione di H in un generico istante t a quella per t = 0: H(t) = H(0) = k y + (Mg kr)y F da cui segue k y + (Mg kr)y che può essere scritta nella forma k = MgR F ) (MgR kr = 0, ky + (Mg kr)y (MgR kr ) = 0. Le soluzioni dell equazione precedente sono: y 1, = 1 k k kr, { (Mg kr) ± } (Mg kr) + k(mgr kr ). Semplificando l espressione trovata, le soluzioni risultano y min = R Mg k e y max = R, e rappresentano la quota minima e massima raggiunta da P. 8

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