Corso di Onde e Oscillazioni (Calo Pagani) Esercizi e temi d esame sull oscillatore armonico

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1 Corso di Onde e Oscillazioni (Calo Pagani) Esercizi e emi d esame sull oscillaore armonico 4-marzo4 1. Una massa M = 5. kg è sospesa ad una molla di cosane elasica k = 5. N/m ed oscilla vericalmene. All isane iniziale la velocià della massa è massima ed è pari a. m/s. Dopo 5 periodi di oscillazione si osserva che la velocià massima si è ridoa al 1% del valore iniziale. Si deermini: a) la posizione della massa all isane iniziale, dopo aver indicao e giusificao il sisema di riferimeno adoao per la descrizione del problema; [x() =, asse x direa come v() b) l equazione differenziale che regge il moo, calcolando i valori di ue le grandezze che vi compaiono; [ Mx bx kx ; x x x ; M = 5. kg ; b = kg/s, k = 5 N/m ; o = 1 s ; = s c) la legge oraria, x = x(), che descrive il movimeno della massa, sempre calcolando i valori di ue le grandezze che vi compaiono; [ x( ) e sin( ) ; = o = 1 s ; = s ; x m = cm d) come cambia la frequenza di oscillazione della massa se alla molla k 1 viene collegaa in parallelo una molla di cosane elasica k = 15 N/m. [ = = 3.18 Hz. Una massa oscillane di 3 g è collegaa ad una molla con cosane elasica k=1 N/m. Sapendo che all isane =: i) la massa si sa sposando da x posiiva verso la posizione di equilibrio, ii) l energia oale è pari a 1, J, iii) l energia cineica è pari a 6, J, e iv) l energia del sisema diminuisce del 5% ogni 5 cicli complei di oscillazione, deerminare: a) la posizione della massa all isane iniziale; [x()=,58 m b) la legge oraria del moo, indicando il valore e le unià di misura di ui i parameri che in essa compaiono; [ x( ) x e cos( ) ; x m =,41m, = s, = s, =,886 rad m c) l energia del sisema e l ampiezza dell oscillazione all isane =3 s. [3.75 J,.5 m 3. Un oscillaore armonico smorzao è cosiuio da una massa di.6 kg collegaa a una molla con cosane elasica 1. N/m. All isane iniziale la massa ransia per un esremo di oscillazione e la sua accelerazione in queso puno vale a =. m/s. Dopo ceno oscillazioni complee l ampiezza di oscillazione risula essere dimezzaa. Deerminare a) la legge oraria, indicando il valore di ue le grandezze che vi compaiono; -3 [ x( ) xm e cos( ); xm.1 m; 4.5 s ; 4.8 s b) la variazione percenuale dell ampiezza del moo armonico in un ciclo di oscillazione; [ A/A =,69% c) la posizione e la velocià della massa all isane = 1 s. [ x(1s) =.115 m; v (1s) = m/s 4. Un oscillaore armonico smorzao è cosiuio da una massa M = 5. kg collegaa ad una molla ed è reo dall equazione x x x con = s e = 1. s. Sapendo che all isane iniziale la massa ransia per il puno di equilibrio con velocià v = 1. m/s, deerminare: a) la legge oraria, indicando il valore di ue le grandezze che vi compaiono con re cifre significaive; [ x ( ) e sin( ); xm 16.1cm ; 1. s ; 6. s b) la frequenza ed il periodo del moo armonico smorzao (sempre con 3 cifre); [ =.987 Hz, T=1.13 s c) l energia oale del sisema all isane iniziale; [ E () =.5 J d) l energia del sisema all isane = 1.3 s e la sua disribuzione ra poenziale e cineica. [ E (1.3) = 186 mj, U(1.3) = 18 mj, K(1.3) = 4 mj 1

2 5. Una massa M = 5. kg è collegaa a due molle conrappose e compie un moo oscillaorio smorzao con periodo T =. s. Sapendo che: i) le cosani elasiche k 1 e k delle due molle sono legae dalla relazione k = k 1, ii) all isane = la velocià della massa è v() = m/s e l energia oale del sisema è E() = 1 J, iii) l ampiezza dell oscillazione A() si aenua con una cosane di empo = 1 s, deerminare: a) le cosani elasiche k 1 e k delle due molle [ k 1 = 16.5 N/m, k = 3.9 N/m b) l equazione del moo indicando il valore di ui i parameri che in essa compaiono con le rispeive cifre significaive; [ M x k x o x x x, b= 1 kg/s, k = 49.4 N/m, =.1 s, = s, ovvero c) la legge oraria indicando il valore di ui i parameri che in essa compaiono con le rispeive cifre significaive; [ x( ) e sin( ), x m =.64 m d) la posizione della massa oscillane all isane =7/4 T. [ x() = -.45 m 6. Un cilindro di massa m c = kg e raggio R c = 1 cm, roola senza srisciare con il perno cenrale collegao ad una molla con cosane elasica k= 3 N/m. L energia iniziale del sisema è equamene disribuia ra poenziale e cineica, e ciascuna vale 1.5 J. Il sisema non è dissipaivo e all isane iniziale sia la posizione che la velocià sono > ( I 1 c m crc ). Deerminare: a) la legge del moo del cenro di massa, indicando il valore di ue le grandezze che in essa compaiono [ m x k x ; eq x x ; k 3N m ; meq 1.5mc 3kg ; 1s b) la legge oraria, indicando il valore di ue le grandezze che in essaa compaiono [ x( ) sin( ) cos( ) xm.41m ; 4 c) la frequenza e il periodo del moo. [ =.159 Hz, T = 6.8 s 7. Un corpo di massa m =. kg si muove lungo l asse x soo l azione di una forza elasica F el = - k. x, con k =. N/m, ed una forza di smorzameno viscoso F sm = -b. dx/d con b = 5. kg/s. All isane = il corpo si rova nel puno x = 9 cm ed ha velocià nulla. Si deermini: a) l energia oale del sisema all isane iniziale [ E =,81 J b) la legge del moo [ m x k x ; x x x ; c) la legge oraria [ x( ) Ae B e (1. e.3e ) m d) la posizione della massa all isane = 5 s. [ 9.8 cm 8. Un corpo di massa m =. kg si muove lungo l asse x soo l azione di una forza elasica F el = - k. x, con k =. N/m, ed una forza di smorzameno viscoso F sm = -b. dx/d con b = 4. kg/s. All isane = il corpo si rova nel puno x = 9 cm ed ha velocià nulla. Si deermini: a) l energia oale del sisema all isane iniziale [ E =,81 J b) la legge del moo [ m x k x ; x x x ; 1 s c) la legge oraria [ x( ) ( A B) e m ; A = x m =.9 m, B = x m =.9 m s, = - s d) la posizione della massa all isane = 5 s. [ 3.64 cm 9. Un corpo di massa m =. kg si muove lungo l asse x soo l azione di una forza elasica F el = - k. x, con k = N/m, ed una forza di smorzameno viscoso F sm = -b. dx/d con b = 4. kg/s. All isane = il corpo si rova nel puno x = 9 cm ed ha velocià nulla. Si deermini: a) l energia oale del sisema all isane iniziale [ E = 81 J b) la legge del moo [ m x k x ; x x x ; = 1 s = 1. s c) la legge oraria [ x( ) e cos( ) m ; x m =.9 m. = 9.95 s, = d) la posizione della massa all isane = 5 s. [ 5.3 mm, 5.9 mm con = e) l energia oale del sisema a = 5 s. [ E (5s) = 3.7 mj 1. Un oscillaore debolmene smorzao è cosiuio da una massa m = 1. kg collegaa ad una molla di massa rascurabile. L oscillaore oscilla con una frequenza di. Hz. All isane iniziale la

3 velocià dell oscillaore è massima e pari a 1. m/s. Dopo 1 oscillazioni complee l ampiezza di oscillazione è il 9% di quella iniziale. Si deerminino (15//1): a) L equazione di moo, indicando i valori e le unià di misura di ui i parameri che in esse compaiono; [ m x k x ; x x x ; m = 1 kg, = s, b = Kg/s, = 1.6 s = k = 158 N/m, b) La legge oraria del moo, indicando i valori e le unià di misura di ui i parameri che compaiono.[ x( ) x e m cos( ) x e sin( ) m m, x m = 8. cm, c) La posizione e la velocià della massa al empo =1 s. [x(1s)= m, v(1s)=.81 m/s 11. Un oscillaore armonico si muove, senza smorzameno, sul piano orizzonale ed è formao da una molla di cosane elasica k = 1 N/m a cui è collegaa una massa M = 1 g. Sapendo che all isane = ua l energia è cineica, la massa si muove verso le x posiive e l ampiezza dell oscillazione è pari a 1 cm deerminare (19/1/1): a) la velocià della massa all sane iniziale; [ v =v m =1 m/s b) l equazione del moo e la legge oraria, indicando il valore di ue le grandezze che in esse compaiono; [ x ( ) x( ) ; x() = x m sin( ) ; = 1 rad/s ; x m = 1 cm c) la posizione della massa e la sua velocià all isane = 1.3 s, esprimendole con almeno due cifre significaive. [ x(1.3) = 5.31 mm 1. Una massa M = 1. kg è sospesa ad una molla di cosane elasica k = 1. N/m ed oscilla vericalmene lungo l asse y con un moo la cui ampiezza diminuisce del.% in 1. s. Sapendo che all isane iniziale la massa si muove verso il basso, che la sua energia cineica K() è massima ed è pari a. J, si deermini (7/9/11): a) l equazione differenziale che regge il moo, calcolando i valori di ue le grandezze che vi compaiono; [ M y by ky ; x x x ; M = 1. kg, b = kg/s, k = 3 1 N/m, o = 1 s, =. 1 - s b) la legge oraria, y = y(), che descrive il movimeno della massa, sempre calcolando i valori di ue le grandezze che vi compaiono; [ con y verso l alo: y( ) ym e sin( ) yme sin( ), = o = 1 s, =. 1 - s, y m = cm c) la posizione e la velocià della massa all isane = 5. s, indicando e giusificando le cifre significaive del risulao. [ y (5s) = 4.7 cm, v (5s) =.73 m/s d) la posizione y o di riposo dell esremo della molla, nello sesso sisema di riferimeno uilizzao precedenemene, qualora si sconnea la massa sospesa. [ y o = 9.8 cm 13. Una molla di cosane elasica k 1 = 6 N/m è vincolaa a un esremo. All esremo libero della molla è aaccaa una massa m = 6. kg. All isane iniziale la velocià della massa è massima ed è pari a. m/s. Dopo 1 periodi di oscillazione si osserva che la velocià si è ridoa al 3% del valore iniziale. Trascurando la forza di gravià si deermini (1/7/11): a) l equazione differenziale che regge il moo, calcolando i valori di ue le grandezze che vi compaiono [ m x k x ovvero x x x dove: m = 6. kg, k = k 1 = 6 N/m, = s, = = 1 rad/s, b =.67 kg/s b) la legge oraria, x = x(), che descrive il movimeno della massa, sempre calcolando i valori di ue le grandezze che vi compaiono; [ x() = x m e - sin() con: x m =. m e = = 1 rad/s c) come si modificano le soluzioni precedeni se alla molla k 1 viene collegaa in serie una molla di cosane elasica k = 4 N/m, all esremo libero della quale viene aaccaa la massa. [k = k eq = 4 N/m, = = 6.3 rad/s, = s. b =.4 kg/s, x m =.3 m. 14. Un paino di massa pari a 4 kg compie un moo di oscillazione, srisciando senza ario su una roaia reilinea orizzonale soo l azione di due molle conrappose, dispose parallelamene alla roaia. Sapendo che: le cosani elasiche delle molle sono k 1 = 15 N/m e k = 3 N/m,

4 all isane iniziale l energia poenziale del sisema è massima e la posizione del cenro di massa rispeo alla posizione di equilibrio è x() = cm, deerminare (7/7/11): a) il valore massimo della velocià del cenro di massa; [v m =.1 m/s, = 1.6 rad/s b) l equazione differenziale che regge il moo, calcolando i valori di ue le grandezze che vi compaiono; [ m x k x ovvero x, k = 45 N/m c) la legge oraria, x = x(), che descrive il movimeno della massa, sempre calcolando i valori di ue le grandezze che vi compaiono; [ x( ) cos( ), xm cm d) supponendo ora che il corpo sia un cilindro che roola senza srisciare e che le due molle siano collegae perpendicolarmene al suo asse di roazione (coordinaa x del sisema), indicare come si modificano le rispose ai puni a), b) e c) dell esercizio. [ uo uguale con m eq = 3/ m = 6 kg. Gli alri parameri che variano sono: v m = 1.73 m/s e = 8.66 rad/s. Le equazioni, x m e k resano gli sessi 15. Una molla pende liberamene dal soffio. Un corpo di massa M viene collegao all esremo libero della molla e viene lasciao andare. Il corpo cade, compiendo delle oscillazioni armoniche la cui escursione dal puno superiore a quello inferiore è inizialmene pari a 49 cm. Dopo 1 oscillazioni complee l escursione è pari a 17 cm. Sulla base dei dai (3/6/11): a) deerminare il periodo di oscillazione del corpo; [ T =.993 s =1. s b) deerminare la frazione di energia persa ad ogni ciclo di oscillazione; [.1 % c) scrivere l equazione di moo del sisema (indicare i valore dei parameri); [ y()=y m e - cos() con: y m =4.5 cm, = s, =6.3 s d) esprimere la velocià del corpo in funzione del empo (indicare i valori dei parameri). [ v() = y () = -y m e - sin() y m e - cos() 16. In presenza di gravià, una massa M = 5. kg è appesa ad una molla e compie un moo oscillaorio smorzao con frequenza pari a 3. Hz e cosane di smorzameno b = 1. [kg s. Sapendo che all isane = la massa si muove verso l alo con K () = 1 J e U() =, deerminare (19/4/11): a) Il sisema di riferimeno in cui descrivere il moo e giusificarlo [ -y = (M g)/k) b) L equazione del moo indicando il valore di ui i parameri che in essa compaiono con le rispeive cifre significaive. [ M y b y k x ; y y y ; k = N/m c) La legge oraria indicando il valore di ui i parameri che in essa compaiono con le rispeive cifre significaive. [ y( ) ym e sin( ) ; y m =,335 m,.1 s, = = s, d) La posizione della massa all isane = 1.3 s. [y(1.3) = -.17 m e) Il empo in cui l energia del sisema è ridoa al 5%. [.5 = 3.47 s 17. Un corpo di massa M=.1 kg si muove lungo l'asse x soo l'azione di una forza elasica F e =-k. x con k=5 N/m e di una forza di ipo viscoso F r =-. dx/d con =1 g/s. All'isane = il corpo passa dal puno x=1cm con velocià v=4 m/s. Si deermini: a) l energia oale associaa all oscillazione all isane iniziale [.8 J; b) l ampiezza dell oscillazione dopo 3 secondi [ 4. cm ; c) la legge del moo [ x x x ;.5s,.4s, xm 18 cm, 5.6 rad 18. L' energia iniziale di un oscillaore armonico smorzao è pari a 1 J e diminuisce dello.% per ciclo. Sapendo che la massa oscillane è pari a g e che la cosane elasica della molla è k=8 N/m, deerminare: 1) la posizione della massa all isane iniziale, supponendo che sia nulla l energia cineica; ) la legge del moo, indicando il valore e le dimensioni di ui i parameri; 3) l ampiezza dell oscillazione e la posizione della massa oscillane all isane =5 s. 19. Una cilindro di massa m = 8 kg e raggio R = 1 cm oscilla roolando senza srisciare su un piano soo l effeo di due molle conrappose, collegae al perno cenrale e aveni rispeivamene cosae elasica pari a 1 N/m e 17 N/m. Sapendo che la velocià angolare massima del disco è m = 5 rad/s, deerminare: 1) l energia oale del sisema; ) la legge del moo x() del cenro di 4

5 massa, calcolando e giusificando ui i parameri che vi compaiono, nell ipoesi che all isane = l energia poenziale del cilindro sia nulla e che il valore della coordinaa del cenro di massa sia crescendo.. Un corpo di massa m = 1 kg si muove lungo l'asse x aorno all'origine soo l'azione di una forza elasica F e = -kx con k = 64 N/m e di una forza resisene di ipo viscoso F r = -bdx/d con b=.5 Ns/m: Si deermini la legge oraria sapendo che all'isane = il corpo è fermo dalla pare delle x posiive con energia poenziale pari a 8 J. Si calcoli inolre dopo quano empo l energia oale dell oscillaore si sarà ridoa al valore di 1 J. 1. Un corpo di massa m = 1 g oscilla lungo l'asse x aorno all'origine soo l'azione di una forza elasica F e = -kx con k = 6.4 N/m e di una forza resisene di ipo viscoso F r = -bdx/d con b=.5 Ns/m: Si deermini la legge oraria sapendo che all'isane = il corpo è in movimeno verso le x negaive con energia cineica pari a 8 mj ed energia poenziale nulla. Si calcoli inolre dopo quano empo l energia oale dell oscillaore si sarà ridoa al valore di 1 mj e il valore dell energia cineica in quell isane.. Un corpo di massa m=5 g oscilla lungo l'asse x, aorno all origine, soo l'azione di una forza elasica F e =-k. x, con k=3n/m, Sapendo che all'isane = il corpo passa dal puno x= con velocià v=-4 m/s : a) si scriva la legge oraria, x=x(), indicando il valore delle grandezze che in essa compaiono; b) si assuma ora che sul corpo agisca anche una forza resisene di ipo viscoso F r =-b. dx/d, con b=.34 Ns/m e si scriva anche in queso caso la legge oraria, indicando il valore delle grandezze che in essa compaiono; c) si calcoli l'energia oale dell'oscillaore smorzao all'isane =5s. 3. Una massa oscillane di g è collegaa ad una molla con cosane elasica k=8 N/m. Sapendo che all isane =: l energia oale è pari a 1 J, l energia cineica è nulla e l energia del sisema diminuisce dell 1% per ciclo, calcolare: a) la posizione della massa all isane iniziale; b) la legge del moo, x=x(), indicando il valore e le dimensioni di ui i parameri; c) l energia del sisema e l ampiezza dell oscillazione all isane =1 minuo. 4. Una massa oscillane di 3 g è collegaa ad una molla con cosane elasica k=97 N/m. Sapendo che all isane =: l energia oale è pari a 14 J, la massa passa per la posizione di equilibrio e l energia del sisema diminuisce dello.7% per ciclo, calcolare: a) la velocià della massa all isane iniziale; b) la legge del moo, x=x(), indicando il valore e le dimensioni di ui i parameri; c) l energia del sisema e la velocià all isane =5 minui. 5. Un sisema oscillane è formao da un blocco collegao ad una molla, vincolaa rigidamene a un muro all alro esremo. Il sisema ha un energia meccanica pari a 1. J, un ampiezza di oscillazione di 1 cm e una velocià massima di 1. m/s e oscilla in assenza del campo graviazionale. a) Deerminare la cosane elasica della molla, la massa del blocco e la frequenza di oscillazione; b) Assumendo che l isane iniziale corrisponda a quello in cui la velocià è massima, deerminare l energia cineica e l energia poenziale elasica dopo 19 s; c) Si supponga ora che sul sisema agisca anche una forza di ario di ipo viscoso e che quesa deermini una diminuzione dell ampiezza di oscillazione del 3% ad ogni ciclo. Si deermini l energia oale del sisema dopo 19 s; 6. Ad una molla di cosane elasica k=1 N/m, appesa vericalmene e in condizioni di riposo, viene agganciaa una massa M=1. kg, che viene quindi lasciaa libera. Trascurando la massa della molla, supponendo che la massa M venga liberaa in un empo rascurabile e sapendo che dopo 1. s l ampiezza dell oscillazione si è ridoa a 1/e di quella iniziale: a) scrivere la legge oraria del moo, indicando il valore di ui i parameri che in essa compaiono; b) scrivere l equazione di moo, indicando il valore di ui i parameri che in essa compaiono; c) deerminare la posizione della massa al empo =1. s, giusificando le cifre significaive che appaiono nel risulao. 5