2 m 2u 2 2 u 2 = x = m/s L urto è elastico dunque si conserva sia la quantità di moto che l energia. Possiamo dunque scrivere: u 2

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1 1 Problema 1 Un blocchetto di massa m 1 = 5 kg si muove su un piano orizzontale privo di attrito ed urta elasticamente un blocchetto di massa m 2 = 2 kg, inizialmente fermo. Dopo l urto, il blocchetto 2, va a comprimere una molla di costante elastica k = 500 N/m e si ferma quando questa è compressa di 8 cm rispetto alla sua posizione di equilibrio. Determinare: (a) la velocità del blocchetto 1 prima dell urto; (b) la velocità del blocchetto 1 dopo l urto; (c) la velocità del blocchetto 2 dopo l urto; m1 m2 k Il dato che ci viene fornito è la compressione della molla che arresta il blocchetto 2. Lenergia cinetica del blocchetto si trasforma in energia potenziale della molla: 1 2 k x2 = 1 k 2 m 2u 2 2 u 2 = x = m/s m 2 L urto è elastico dunque si conserva sia la quantità di moto che l energia. Possiamo dunque scrivere: m 1 v 1 = m 1 u 1 + m 2 u 2 m 1 v 2 1 = m 1 u 2 1+ m 2 u 2 2 Abbiamo dunque due equazioni e due incognite. Dalla prima equazione ricaviamo v 1 che sostituiamo nella seconda: Sostituendo, troviamo v 1 = u 1 + m 2 m 1 u 2 m 1 (u m2 2 m 2 u m 2 u 1 u 2 ) = m 1 u m + m 2u 2 2 u 1 = m 1 m 2 u 2 1 2m 1 u 1 v 1 = m/s = m/s

2 2 Problema 2 Un blocchetto di massa m 1 = 3 kg è tenuto fermo comprimendo una molla (k = 800 N/m) di x = 15 cm. Ad una distanza d = 80 cm da questo si trova un secondo blocchetto di massa m 2 = 2 kg inizialmente fermo (vedi figura 1). Lasciando il primo blocchetto libero, questo viene spinto dalla molla e va ad urtare elasticamente il secondo blocchetto. Se sul piano è presente un attrito dinamico µ d = 0.2, calcolare: (a) la velocità del blocchetto 1 immediatamente prima dell urto v 1 ; (b) la velocità del blocchetto 1 immediatamente dopo l urto V 1 ; (c) lo spazio percorso dal blocchetto 2 prima di fermarsi m1 k m d L energia potenziale della molla si trasforma un pò in energia cinetica del blocchetto e un pò si perde in attrito: 1 2 k x2 = 1 2 m 1v µm k x 1gd v 1 = 2 2µm 1 gd m 1 Essendo l urto elastico, si conserva la quantità di moto e l energia, cioè m 1 v 1 = m 1 V 1 + m 2 V 2 m 1 (v 1 V 1 )=m 2 V m 1v 2 1 = 1 2 m 1V m 2V 2 2 m 1 (v 1 V 1 )(v 1 +V 1 )=m 2 V 2 2 Dividendo la seconda per la prima si ottiene: v 1 +V 1 = V 2 Sostituendo l espressione di V 2 nella prima otteniamo infine: V 1 m 1 m 2 m 1 + m 2 v 1 V 2 2m 2 m 1 + m 2 v 1 Per calcolare quanta strada fa il blocchetto 2 dopo l urto, uguagliamo l energia cinetica al lavoro di attrito (in cui quest ultima si perde) 1 2 m 2V 2 2 = µm 2 gl L= V 2 2 2µg

3 3 Problema 3 Un proiettile di massa m=10 g si ferma in un blocco di legno (M = 5 kg). La velocità del sistema blocco-proiettile dopo l urto è di 0.6 m/s. Qual era la velocità del proiettile prima dell urto? Si tratta di un urto completamente anelastico in cui si comserva solo la quantità di moto e tutto avviene in un unica direzione. Possiamo scrivere: mv 0 + MV 0 =(m+m)v f Ma il blocco all inizio è fermo per cui V 0 = 0 e dunque possiamo ricavare v 0 = m+m m v f = m/s

4 4 Problema 4 Un piattello di massa M= 3 kg è attaccato al soffitto tramite una molla di costante elastica k=50 N/m e lunghezza a riposo nulla. Il sistema è inizialmente in quiete. Ad un certo istante viene fatto cadere dal soffitto un blocchetto di massa m=2 kg, inizialmente in quiete, che urta il piattello in modo completamente anelastico. Il nuovo sistema si mette così ad oscillare. Calcolare (a) l allungamento h della molla quando il sistema è in quiete con il solo piattello attaccato; (b) l energia E del sistema immediatamente dopo l urto; (c) il massimo allungamento della molla H durante l oscillazione Per calcolare l allungamento iniziale... h m M H

5 5 Problema 5 Un corpo di massa m 1 = 3 kg e velocità iniziale v 1 = 5i m/s urta rimanendovi attaccato un altro corpo di massa m 2 = 2 kg e velocità iniziale v 2 = 3j m/s. Si calcoli la velocità finale dei due corpi attaccati. Si tratta di un urto completamente anelastico in cui si comserva solo la quantità di moto. L urto avviene su un piano dunque occorre partire dall equazione vettoriale m 1 v1 + m 2 v2 =(m 1 + m 2 ) V Ma il blocco all inizio è fermo per cui V 0 = 0 e dunque possiamo ricavare v 0 = m+m m v f = m/s m1 y m2 x

6 6 Problema 6 Un corpo di massa m 1 = 4 kg si muove lungo l asse x con energia cinetica E = 90 J e urta un corpo di massa m 2 inizialmente fermo. Dopo l urto la sua velocità vale v 1 f = v 1i /3. Trovare: (a) Il valore di m 2 se l urto è elastico; (b) il valore di m 2 se l urto è anelastico e l energia dissipata nell urto è pari a E = 20 J: (c) la velocità del blocchetto 2 dopo l urto in quest ultimo caso Scriviamo la conservazione della quantità di moto e dell energia considerando che V 1 = εv 1 (lettere maiuscole corrispondono alle velocità finali). m 1 v 1 = m 1 εv 1 + m 2 V 2 V 2 = m 1 m 2 v 1 (1 ε) m 1 v 2 1 = m 1 ε 2 v m 2V E m 1v 2 1 (1 ε2 )=m 2 V E Dalla prima equazione ricaviamo V 2 e la sostituiamo nella seconda, ottenendo un equazione nella sola incognita m 2 m 1 v 2 1(1 ε 2 )= m2 1 m 2 v 2 1(1 ε) E Questa equazione è generale ed il caso elastico corrisponde a E = 0. Questa può facilmente essere risolta per m 2 e, tenendo conto che abbiamo: m 1 v 2 1 = 2E Se l urto è elastico, E = 0 e, ponendo ε = 1/3, otteniamo m 2 = (1 ε)2 m 1 1 ε 2 E E m 2 = 1 εm 1 1+ε m 1 = m 1 2 = 2 kg Nel caso invece che E = 20 J, abbiamo E/E = 2/9 e sostituendo abbiamo m 2 = 4/9m 1 1 1/9 2/9 = 2 3 m 1 Una volta trovata la massa m 2, la velocità V 2 si trova dalla conservazione della quantità di moto, tenendo conto che v 1 = 2E/m 1 : Nell ultimo caso troviamo V 2 = m 1 v 1 (1 ε)= V 2 = m 1 2E (1 ε) m 2 m 2 m 1 V 2 = m 1 m 2 v 1 (1 ε)=v 1 = 2E m 1 = 13.4 m/s

7 7 Problema 7 Un cannone spara un proiettile di massa M= 30 kg con una traiettoria parabolica. Al culmine della traiettoria (x=0,y=h = 500 m) il proiettile, che ha in quel punto una velocità V 0 = 300 m/s, esplode in due frammenti di massa m 1 = 10 kg e m 2 = 20 kg. La velocità del primo frammento vale v 1 = 600 m/s e forma un angolo α=20 o con l orizzontale (vedi figura), mentre il secondo ha velocità v 2 e angolo β. Calcolare (a) l angolo β; (b) l energia cinetica totale dei due frammenti; (c) il valore di x M in cui il frammento 2 cadrà, misurato rispetto alla verticale del punto dell esplosione. α β 1 h Il processo di frammentazione (esplosione) è equivalente ad un urto completamente anelastico all indietro. Si ha dunque la conservazione della quantità di moto ed una liberazione di energia. La conservazione della quantità di moto vale MV 0 = m 1 v 1 cosα+m 2 v 2 cosβ Sostituendo il valore di v 2 così trovato nella prima otteniamo: Dall equazione di sopra abbiamo: 0 = m 1 v 1 sinα+m 2 v 2 sinβ v 2 = m 1v 1 sinα m 2 sinβ MV 0 = m 1 v 1 cosα+ m 1v 1 sinα tanβ ( ) β=tan 1 m 1 v 1 sinα = 31.4 MV 0 m 1 v 1 cosα L energia cinetica dei frammenti vale: v 2 = m 1v 1 sinα m 2 sin β = m/s E c = 1 2 m 1v m 2v 2 2 = Joule Per valutare dove impatta il frammento 2 dobbiamo scrivere l equazione oraria del corpo soggetto alla gravità e con le condizioni iniziali apprpriate. Se t è il tempo in cui lui impatta (misurato partendo dall esplosione), vale H v 2 sinβt 1 2 gt 2 = 0 da cui ricaviamo immediatamente La distanza coperta in x vale allora t = v 2 2 sin2 β+2gh v 2 sinβ g = 4.08 s x M = v 2 cosβt = 685 m

8 8 Problema 8 Un cannone è montato su un carrello che può scorrere senza attrito sul piano orizzontale ed ha un alzo di 30 rispetto al suolo. Il cannone, inizialmente fermo, ad un certo istante spara una palla di massa m = 30 kg con una velocità iniziale v 0 = 300 m/s (rispetto al cannone). Se la massa totale del sistema carrello+cannone vale M = 500 kg, calcolare (a) l altezza massima h raggiunta dalla palla; (b) la distanza D che separa il cannone dalla palla al momento che questa impatta al suolo; (c) l energia E liberata nell esplosione. m v0 M D Si conserva la quantità di moto lungo x. Indicando con V il modulo della velocità del carrello dopo l urto e con v la velocità della palla dopo l urto (rispetto al suolo), possiamo scrivere MV = mv x dove v x +V = v 0 cosα Abbiamo un sistema di due equazioni e due incognite che risolto fornisce: v x = Mv 0 cosα M+ m = m/s V = mv 0 cosα = m/s M+ m Il punto di massima altezza della traiettria si trova imponendo che l energia cinetica legata alla componente verticale della velocità della palla si trasformi interamente in energia potenziale gravitazionale. D altra parte la componente verticale della velocità della palla è la stessa sia che sono fermo al suolo e nel sistema del carrello e vale v 0 sinα. mgh= 1 2 mv2 0 sinα h= v2 0 sin2 α 2g = 1147 m Per trovare la distanza tra il punto di impatto della palla ed il carrello dobbiamo sommare la distanza orizzontale percorsa dalla palla e la distanza percorsa dal carrello. Per fare ciò dobbiamo innanzitutto trovare il tempo di volo t. Questo sarà uguale a due volte il tempo che ci mette la palla a raggingere la quota massima, il quale si trova ponendo a zero la velocità lungo y La distanza totale tra i due corpi sarà: v y = v 0 sinα gt = 0 t max = v 0 sinα g t = 2v 0 sinα g = 30.6 s D=(V + v x )t = v 0 cosα 2v 0 sin α g = 7948 m/s e viene la stessa formula della gittata, cioè lo stesso spazio percorso dalla palla se il cannone fosse stato bloccato. L energia liberata è la somma delle energie cinetiche: E = 1 2 MV m(v2 0 sin 2 α+v 2 x)= Joule

9 9 Problema 9 Una particella di massa m 0 = kg viaggiante a velocità v 0 = 10 6 m/s si spezza in due frammenti: il primo di massa m 1 =(2/3)m 0 e il secondo di massa m 2 =(1/3)m 0. La velocità v 1 del primo frammento vale in modulo v 1 = 0.5 v 0 e forma un angolo α=26 o rispetto a v 0 (vedi figura). Calcolare (a) il modulo v 2 della della velocità del secondo frammento; (b) l angolo γ fra v 1 e v 2 ; (c) l energia liberata nella disintegrazione (E f E i ). Il problema... v 1 0 α v m 0 v 2

10 10 Problema 10 Un piattello di massa m 1 = 200 g appeso al soffitto tramite una molla di costante elastica k e lunghezza a riposo nulla. La posizione di equilibrio a distanza l 0 = 20 cm dal soffitto (vedi figura). Da un altezza h sopra il piattello viene fatto cadere un corpo di massa m 2 = 50 g che urta anelasticamente il piattello rimanendovi attaccato. Sapendo che il piattello dopo lurto si abbassa di h=60 cm, calcolare: (a) k la costante elastica della molla e (b) la quota h da cui cade m2

11 11 Problema 11 Una pallina di massa m 1 = 100 g e velocità v 1 = 0.1 m/s urta centralmente una pallina di massa m 2 = 200 g ferma e collegata all estremo di una molla. Questa molla, di coefficiente elastico k = 1 N/m, è inizialmente non compressa ed è fissata all altro estremo ad una parete fissa. Determinare la massima deformazione x max di questa molla in conseguenza dell urto (a) nel caso in cui sia elastico e (b) nel caso in cui sia anelastico e ci sia una perdita di energia pari a 10 4 J

12 12 Problema 12 Due particelle, la prima di massa m 1 = kg e la seconda di massa m 2 = kg viaggiano l una contro l altra lungo l asse x e si urtano in modo completamente anelastico. La velocità relativa di 1 rispetto a 2 vale u= m/s e 1 si muove nel verso positivo delle x. L energia totale del sistema vale inizialmente E tot = J. Calcolare: (a) la velocità (col segno) del centro di massa del sistema, V CM ; (b) la velocità v 2 della seconda particella; (c) l energia dissipata nell urto

13 13 Problema 13 Due particelle di massa m 1 = 3.5m 2 si muovono lungo l asse x urtandosi elasticamente. La velocità iniziale di 1 vale v 1 = m/s. Dopo l urto le due particelle si allontanano formando tra loro un angolo di 180 gradi e deviando di un angolo α=33 o rispetto alla direzione iniziale (vedi figura). Trovare (a) la velocità di 2 prima dell urto, (b) la velocità di 1 dopo l urto e (c) la velocità di 2 dopo l urto. Il problema α 2

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