Le forze conservative e l energia potenziale

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1 S dcono conservatve quelle orze che s comportano n accordo alla seguente denzone: La orza F s dce conservatva se l lavoro eseguto da tale orza sul punto materale P mentre s sposta dalla poszone P 1 alla poszone P 2 dpende soltanto dalla poszone nzale e dalla poszone nale e non dal percorso eettuato, dalla traettora seguta per andare da P 1 a P 2, ne da alcun altro parametro come la veloctà, l tempo mpegato, ecc. Lavoro della orza peso: Voglamo calcolare l lavoro atto dalla orza peso F mentre P = mg una massa m è spostata da un altezza y ad un altezza y seguendo una curva Γ. Forze conservatve Energa potenzale 1

2 Il lavoro atto dalla orza peso è: L = F ds = mgds cosθ= P, p = mg ds cosα= mg dy= S trova che: l lavoro atto dalla orza peso è ndpendente dal percorso ma dpende solo da punto nzale ed al punto nale, coè la orza peso è una orza conservatva. [ ] Forze conservatve Energa potenzale 2 = mg y = mgy mgy ( 1 1) L mgy mgy. = P,

3 Lavoro della orza elastca: Voglamo calcolare l lavoro atto dalla orza elastca Fel = kx, durante uno spostamento lungo l asse x, da un punto nzale (d coordnata x ) ad uno nale (d coordnata x ) d una massa m collegata all estremtà della molla. L = F ds = kxdx= el, el S trova che: l lavoro atto dalla orza elastca è ndpendente dal percorso ma dpende solo da punto nzale ed al punto nale, coè la orza elastca è una orza conservatva. Forze conservatve Energa potenzale 3 2 x = k xdx= k = = kx kx Lel, 1 2 = kx kx ( )

4 Lavoro della orza d attrto (dnamco): Valutamo l lavoro della orza d attrto F attr =µn, durante lo spostamento d una massa m su un pano orzzontale ruvdo da un punto nzale =A ad un punto nale =B su due percors dvers. a) lungo una semcrconerenza d raggo R b) lungo l dametro della crconerenza d raggo R BB Lattr, = F A attr ds = B = µ N cosπ ds = A B = µ N ds = µ N πr B B B Lattr, = Fattr ds = µ N cosπ ds = µ N ds = µ N 2R A A A A Forze conservatve Energa potenzale 4

5 B dove è la lunghezza del dametro AB della crconerenza A ds d raggo R. S trova che: l lavoro atto dalla orza d attrto è dpendente dal partcolare percorso, coè la orza d attrto è una orza non conservatva. Conclusone: = 2 R C sono delle orze per le qual l lavoro compto per spostare un corpo da un punto ad un altro non dpende dal percorso: tal orze sono dette FORZE CONSERVATIVE. Qund la orza peso e la orza elastca sono orze conservatve, l attrto nvece è una orza non conservatva. Per le orze conservatve, l lavoro svolto lungo un dato percorso ra due punt è uguale a quello svolto lungo un qualsas percorso ra gl stess due punt: pertanto per Forze conservatve Energa potenzale 5

6 valutare l lavoro svolto possamo usare l cammno ra due punt rspetto al quale l calcolo è pù acle. Denzone equvalente d orza conservatva: Il lavoro atto da una orza conservatva lungo un qualsas percorso chuso è nullo. L = F dl = 0 natt: Il percorso chuso può essere vsto come un percorso da lungo la curva 1, pù un percorso da lungo la lnea 2 L = F dl = L + L, 1, 1 Forze conservatve Energa potenzale 6

7 Osservazone: a)la F è conservatva per cu l lavoro da lungo la lnea 1 è uguale a quello, lungo la lnea 2 (coè se la orza è conservatva l lavoro da ad è uguale sa se vado lungo la lnea 1 che lungo la lnea 2): L,1 =L,2 b)il lavoro sulla lnea 2 da (spostamento dl ) è uguale ed opposto a quello (spostamento dl ' ) qund: L = F dl ' = F dl = L, 2, 2, 2, 2 L = F dl = L + L = L L = L L =, 1, 2, 1, 2, 1, 1 0 Forze conservatve Energa potenzale 7

8 L Energa Potenzale: Per una orza conservatva, l lavoro L svolto per spostare un corpo da un punto nzale ad un punto nale non dpende dal percorso ma è ssato solo da due punt ed ovvero l lavoro non è pù una grandezza che dpende dal percorso ma esso è determnato solo da punt d partenza ed arrvo. Possamo pertanto pensare d costrure una unzone U, denta per ogn punto dello spazo, tale che L possa essere calcolato da valor d questa unzone ne punt ed a prescndere dal percorso seguto. Inatt, se guardamo la relazone (1.1) per la orza peso possamo scrvere: LP, = mgy mgy = U y U y = U con U y = mgy+ cost 1. 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y Forze conservatve Energa potenzale 8

9 la relazone (1.2) per la orza elastca possamo scrvere: Lel, = kx kx = U x -U x = U x ( ) 2 con U x = kx + cost ( 1. 4) 2 ( ) ( ) ( ) Generalzzando dcamo che nel caso del lavoro atto da una orza conservatva F( r) possamo costrure una unzone U( r ) tale che W può essere calcolato da valor che la unzone U( r ) assume ne punt ed e precsamente ponamo: L = U r U r = U 1. 5 ( ) ( ) ( ) Forze conservatve Energa potenzale 9

10 L aggettvo potenzale è dovuto al atto che questa è, come vedremo n seguto, un energa posseduta dal sstema che solo n certe condzon (ossa potenzalmente) può trasormars n lavoro. Unendo la denzone d Energa Potenzale (1.5) con la denzone generale d lavoro trovamo la ormula (1.6) con cu calcolare la unzone per ogn specca orza conservatva F r : U( r ) ( ) L ( ) ( ) = U r U r = U U = F dl 1. 6 L = F dl ( ) E evdente, dalla (1.6), che ogn orza conservatva avrà una specca espressone per l energa potenzale ad essa assocable. Chameremo varazone nntesma du dell energa potenzale l lavoro nntesmo atto da una orza conservatva F su un percorso Forze conservatve Energa potenzale 10

11 dl du F dl e qund U U U du F dl pccolssmo (nntesmo) : = = = = Osservazone: a) La relazone (1.5) evdenza che l energa potenzale è posseduta da un corpo n quanto esso occupa una poszone nello spazo: energa assocata alla congurazone del sstema. b) Dalla denzone d U( r ) rsulta charo che solo alle sue varazon U hanno un sgncato sco, ossa sono collegabl al lavoro. c) Spostamo con una orza applcata F appl un corpo m, sul quale agsce anche una orza conservatva F cons, da una poszone nzale ed una poszone nale con veloctà v=cost. Detto L appl e L cons rspettvamente l lavoro della orza applcata e della orza conservatva, segue dal teorema dell energa cnetca che: Forze conservatve Energa potenzale 11

12 K=0 L appl, + L cons, = 0 L appl, = L cons, = U, ma L cons, =L cons, L appl, = U=L cons, ovvero: portando un corpo da una poszone nzale ad una nale, la orza applcata svolge un lavoro che vene mmagazznato nel sstema come U; questa energa può successvamente essere trasormata n lavoro della orza conservatva rportando l corpo da ad. d) Se F è costante su un d una generca drezone l, abbamo: dl du = F dl U = F dl cosθ du = ( F cosθ) dl du du = Fl dl Fl = dl Forze conservatve Energa potenzale 12

13 qund per la drezone x Energa meccanca e sua conservazone. F x du = dx Supponamo che una massa m sotto l azone d una orza conservatva, s sposta da uno stato nzale, caratterzzato v da una veloctà r e da una poszone,ad uno stato nale, caratterzzato v da una veloctà r e da una poszone. In ogn caso: L = K=K K ma se la orza è conservatva vale anche: L = U=U U qund: K K =U U K + U =K U Forze conservatve Energa potenzale 13

14 Denamo Energa Meccanca la somma dell energa cnetca e dell energa potenzale. E M = K+U, la precedente può essere scrtta come E M, = E M,. Poché ed sono due punt generc la relazone precedente c dce che: a) E M=K+U=cost, equvalentemente b) E M = K+ U= 0, Possamo enuncare l prncpo d conservazone dell energa meccanca: se n un sstema agsce solo una orza conservatva, l energa meccanca s conserva ovvero non può cambare nel tempo. L energa cnetca e quella potenzale possono varare, stante per stante, ma n modo che la varazone dell una sa compensata dalla varazone dell altra. Forze conservatve Energa potenzale 14

15 1 Caso: Caduta lbera Massa m lascata da erma da un altezza h da un pano. Forze conservatve Energa potenzale 15

16 con E M,1 =E M,2 =E M,3. In partcolare usando E M,1 =E M,3 è possble calcolare mmedatamente la v Max : 1 2 mgh= mvmax vmax = 2gh 2 (rsultato gà trovato per va cnematca). 2 Caso: Energa nel moto armonco Consderamo un sstema massa-molla orzzontale. Ad un generco stante t abbamo: x(t)=acos(ωt+φ) v(t)=-ωasen(ωt+φ) dove x Max =A, v Max =ωa, con una energa totale E T =U(t)+K(t) = + = ( ω+φ ) + ( ω ( ω+φ )) = ( ) 2( ) ( ) 2 2 ET kx t mv t k Acos t m Asen t Forze conservatve Energa potenzale 16

17 k =... osservando che ω=.. ET = ka = kxmax = costante= m ( 2) = mω A = m( ω A) = mvmax Conclusone: n un moto armonco U e K varano con la poszone ma la loro somma è costante ed è par a: In partcolare: 1 1 E = kx = mv T Max Max Ad x=0 molla a rposo, U=0 e K massma par a½mv 2 Max=E T Ad x=x Max molla all allungamento massmo, K=0 e U massma par a½kx 2 Max=E T Ad x=-x Max molla alla compressone massma, K=0 e U massma par a½kx 2 Max=E T (dove x Max e x Max sono le coordnate de punt d nversone del moto) Forze conservatve Energa potenzale 17

18 Generalzzazone della conservazone dell energa: Sappamo che n caso d presenza d orze non conservatve l energa meccanca E M =K+ΣU non s conserva. S possono denre, come vedremo n seguto, molte orme d energa: energa termca, energa potenzale elettrostatca, energa nucleare e altre ancora. Cò che s osserva spermentalmente è che la somma d tutte le orme d energa d un sstema solato, detta ENERGIA TOTALE (E T ), s conserva. Un sstema è tenuto nseme da orze d nterazon dverse e ad ognuna d esse è assocata una energa specca; pertanto possamo dre che un sstema possede, per l solo atto d avere una certa congurazone, una ENERGIA INTERNA (E INT ) data dalla somma d tutt quest termn d energa. L energa totale d un sstema sarà data da: Forze conservatve Energa potenzale 18

19 ma E T =E M +E INT =K+ΣU+E INT =cost, sempre E T =0,sempre. Se, per la presenza d orze non conservatve, E M =K+ΣU 0 E T = E M + E INT =0 E M = E INT ovvero se n un sstema solato s osserva una varazone dell energa meccanca, c sarà d conseguenza una varazone d segno opposto dell energa nterna. Inatt, quando samo n presenza d attrto c è una dmnuzone dell energa meccanca e s osserva un rscaldamento del sstema coè un aumento d energa termca (nterna) del sstema. Forze conservatve Energa potenzale 19

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